專題02《分?jǐn)?shù)的巧算》解析

2022-2023學(xué)年六年級奧數(shù)舉一反三典型題檢測專題02分?jǐn)?shù)的巧算試卷滿分：100分考試時(shí)間：100分鐘一．選擇題（共5小題，滿分15分，每小題3分）1．（3分）三個(gè)既約真分?jǐn)?shù)、、的積為，則++＝（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】根據(jù)三個(gè)既約真分?jǐn)?shù)、、的積為，求出a，b，c的值，再求++．【完整解答】解：由題意，××＝，所以abc＝360＝23×32×5，∵、、是三個(gè)既約真分?jǐn)?shù)，∴a＝9，b＝5，c＝8，∴++＝＝，故選：D?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題考查既約真分?jǐn)?shù)，考查分解質(zhì)因數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確理解既約真分?jǐn)?shù)的概念．2．（3分）算式2013×+2014×+計(jì)算結(jié)果是（）A．4027 B．4029 C．2013 D．2015【思路引導(dǎo)】＞1，那么2013×＞2013；＞1，那么2014×＞2014，2013+2014＝4027，所以計(jì)算的結(jié)果一定大于4027，再從選項(xiàng)中選出結(jié)果即可．【完整解答】解：＞1，那么2013×＞2013；＞1，那么2014×＞2014，2013+2014＝4027，則2013×+2014×+＞4027選項(xiàng)中只有4029＞4027，所以只能這個(gè)選項(xiàng)正確．故選：B?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】解決本題不需要計(jì)算出算式的結(jié)果，根據(jù)一個(gè)數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)，找出算式結(jié)果的取值范圍，再根據(jù)選項(xiàng)進(jìn)行排除求解．3．（3分）+++…+＝（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】+++…+＝（+…+﹣），即可得出結(jié)論．【完整解答】解：+++…+＝（+…+﹣）＝（﹣）＝，故選：C。【考察注意點(diǎn)】本題考查分?jǐn)?shù)的巧算，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，正確裂項(xiàng)是關(guān)鍵．4．（3分）計(jì)算（9999×+3333×﹣6666×）÷﹣2012的結(jié)果為（）A．3333 B．1331 C．1332 D．1321【思路引導(dǎo)】先約分，再根據(jù)乘法的交換律簡算即可．【完整解答】解：（9999×+3333×﹣6666×）÷﹣2012＝（3333×+3333×﹣2222×）÷﹣2012＝[3333×（+）﹣2222×]÷﹣2012＝[3333﹣2222×]÷﹣2012＝﹣2012＝3333﹣2012＝1321故選：D?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題重點(diǎn)考查了學(xué)生對運(yùn)算定律的掌握與運(yùn)用情況，要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征，靈活選擇簡算方法．5．（3分）從，，，，中去掉兩個(gè)數(shù)，使得剩下的三個(gè)數(shù)之和與最接近，去掉的兩個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】這五個(gè)分?jǐn)?shù)的總和為1.45，而≈0.857，前者比后者大0.593，所以題目即需要從前面五個(gè)分?jǐn)?shù)中選出兩個(gè)，使他們的和最接近0.593，比較后可得應(yīng)選和．【完整解答】解：++++＝++＝1＝1.45，≈0.857，1.45﹣0.857＝0.593，所以題目即需要從五個(gè)分?jǐn)?shù)中選出兩個(gè)，使他們的和最接近0.593，比較后可得應(yīng)選和．故選：D?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】先求出五個(gè)分?jǐn)?shù)的和，然后用和減去，得出一個(gè)差，看看那兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和與這個(gè)差最接近．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）算式（202﹣192）÷（﹣）的計(jì)算結(jié)果為780。【思路引導(dǎo)】根據(jù)平方差公式簡算即可?！就暾獯稹拷猓海?02﹣192）÷（﹣）＝（20+19）×（20﹣19）÷＝39×20＝780故答案為：780?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】解答此題，應(yīng)仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析式中數(shù)據(jù)，運(yùn)用運(yùn)算技巧或運(yùn)算定律合理簡算。7．（2分）一個(gè)自然數(shù)，與它的倒數(shù)的差為19，那么這個(gè)自然數(shù)為20。【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可得這個(gè)自然數(shù)一定不是1，這樣這個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)一定是真分?jǐn)?shù)，所以這個(gè)自然數(shù)與它的倒數(shù)的差相差一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，即這個(gè)自然數(shù)為20；據(jù)此解答即可。【完整解答】解：因?yàn)檫@個(gè)自然數(shù)與它的倒數(shù)的差相差一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，即差19的分母就是這個(gè)自然數(shù)20。故答案為：20?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】解答本題關(guān)鍵是明確倒數(shù)的意義和求法。8．（2分）算式（+）÷（﹣）的計(jì)算結(jié)果是2020。【思路引導(dǎo)】先算小括號里的加法和減法，再算除法?！就暾獯稹拷猓海?）÷（﹣）＝（）÷（）＝＝＝2020故答案為：2020?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】熟練掌握分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的順序是解題的關(guān)鍵。9．（2分）將化為有限小數(shù)：0.4375?！舅悸芬龑?dǎo)】先將分?jǐn)?shù)約分，再進(jìn)行除式運(yùn)算?！就暾獯稹拷猓海剑?÷16＝0.4375故答案為0.4375?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】化為有限小數(shù)做除法之前，化為最簡分?jǐn)?shù)看可以減少計(jì)算量。10．（2分）計(jì)算：×+×＝。【思路引導(dǎo)】把×變成×，然后根據(jù)乘法的分配律簡算即可?！就暾獯稹拷猓骸?×＝×+×＝×（+）＝×2＝故答案為：。【考察注意點(diǎn)】本題利用具體的算式考查了學(xué)生對于乘法分配律的理解和靈活應(yīng)用。11．（2分）算式（63﹣）÷（1﹣）的計(jì)算結(jié)果是64．【思路引導(dǎo)】根據(jù)商不變的性質(zhì)和平方差公式簡算即可．【完整解答】解：（63﹣）÷（1﹣）＝[（63﹣）×63]÷[（1﹣）×63]＝（632﹣1）÷（63﹣1）＝63+1＝64故答案為：64．【考察注意點(diǎn)】此題重點(diǎn)考查了學(xué)生對運(yùn)算定律的掌握與運(yùn)用情況，要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征，靈活選擇簡算方法．12．（2分）計(jì)算：×＝．．【思路引導(dǎo)】將分?jǐn)?shù)的分子與分母分別寫成兩項(xiàng)的積，約分可得結(jié)論．【完整解答】解：×＝＝．故答案為．【考察注意點(diǎn)】本題考查分?jǐn)?shù)的巧算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是將分?jǐn)?shù)的分子與分母分別寫成兩項(xiàng)的積．13．（2分）已知2016S＝1+2×（1+）+3×（1+）2+…+2016×（1+）2015，則S＝2016．【思路引導(dǎo)】根據(jù)等式的特點(diǎn)，通過兩邊同乘同一常數(shù)的方法進(jìn)行求和，可得結(jié)論．【完整解答】解：∵2016S＝1+2×（1+）+3×（1+）2+…+2016×（1+）2015，①∴2016×（1+）S＝1×（1+）+2×（1+）2+3×（1+）3+…+2016×（1+）2016，②①﹣②得﹣S＝1+（1+）+（1+）2+…+（1+）2015﹣2016×（1+）2016，令S′＝1+（1+）+（1+）2+…+（1+）2015，③則（1+）S′＝（1+）+（1+）2+（1+）3+…+（1+）2016，④③﹣④可得﹣S′＝1﹣（1+）2016，∴S′＝﹣2016+2016×（1+）2016，∴﹣S＝﹣2016，∴S＝2016．故答案為2016．【考察注意點(diǎn)】本題考查分?jǐn)?shù)的巧算，考查方程思想，正確同乘常數(shù)是關(guān)鍵．三．計(jì)算題（共8小題，滿分39分）14．（4分）計(jì)算下列題目，寫出簡要的計(jì)算過程與計(jì)算結(jié)果：（1）（）×（2）【思路引導(dǎo)】計(jì)算四則混合運(yùn)算時(shí)，要按照運(yùn)算順序，先算乘除，后算加減，同一級運(yùn)算，按從左到右的運(yùn)算順序計(jì)算，有括號的先算括號里面的，再算括號外面的，如果既含有小括號又含有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的．能簡算的要簡算．【完整解答】解：（1）（）×＝+＝1（2）＝×（）＝×5＝2【考察注意點(diǎn)】本題考查的目的是讓學(xué)生熟練掌握四則混合運(yùn)算的順序．15．（5分）計(jì)算：1997÷1997+1÷1999．【思路引導(dǎo)】根據(jù)倒數(shù)的意義把前一項(xiàng)算式變形再根據(jù)除法的性質(zhì)簡算．【完整解答】解：1997÷1997+1÷1999＝1÷（1997÷1997）+1÷1999＝1÷（1）+1÷1999＝＝1【考察注意點(diǎn)】此題重點(diǎn)考查了學(xué)生對運(yùn)算定律的掌握與運(yùn)用情況，要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征，靈活選擇簡算方法．16．（5分）計(jì)算：（1）1+22+333+4444+5555+666+77+8（2）3×1+6×+4÷（3）3（x+5）﹣17＝7（x﹣2）（4）（3x+2）：3＝（9x﹣2）：5．【思路引導(dǎo)】第（1）題，利用兩數(shù)相加得到都是含有1個(gè)到4個(gè)9的數(shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算第（2）題，把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再運(yùn)算第（3）題，先去括號，再把未知數(shù)x的項(xiàng)移到一邊，解方程第（4）題，把比的形式化成兩乘積的形式，再解方程【完整解答】解：（1）1+22+333+4444+5555+666+77+1+8＝1+8+22+77+333+666+4444+5555＝9+99+999+9999＝（10﹣1）+（100﹣1）+（1000﹣1）+（10000﹣1）＝（10+100+1000+10000）﹣1×4＝11110﹣4＝11106（2）3×1+6×+4÷＝+＝+＝＝＝＝＝（3）3（x+5）﹣17＝7（x﹣2）?3x+15﹣17＝7x﹣14?15+14﹣17＝7x﹣3x?12＝4x∴x＝3（4）（3x+2）：3＝（9x﹣2）：5?（3x+2）×5＝（9x﹣2）×3?15x+10＝27x﹣6?10+6＝27x﹣15x?16＝12x∴x＝【考察注意點(diǎn)】本題考查了整數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算，本題突破點(diǎn)：交換位置；帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)；先去括號，再求解；比的形式化成乘積的形式．17．（5分）計(jì)算及解方程（1）3×4.4+×16+2÷（2）22+42+62+82+102+122+142+162（3）﹣+﹣（4）﹣＝1．【思路引導(dǎo)】（1）利用結(jié)合律，可得結(jié)論；（2）（3）直接計(jì)算得出結(jié)論；（4）利用一元一次方程的求解方法，即可解方程．【完整解答】解：（1）3×4.4+×16+2÷＝+6＝+6＝24+6＝30；（2）22+42+62+82+102+122+142+162＝4+16+64+100+144+196+256＝816；（3）﹣+﹣＝＝；（4）﹣＝1，去分母6（x+1）﹣（29﹣x）＝12，去括號6x+6﹣29+x＝12，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，7x＝35，兩邊同除以7，x＝5【考察注意點(diǎn)】本題考查分?jǐn)?shù)的巧算，考查一元一次方程的解法，屬于中檔題．18．（5分）用你喜歡的方法計(jì)算：×4.5+4.5×60%+0.68×4×12.5××40【思路引導(dǎo)】（1）、（3）根據(jù)乘法的分配律簡算即可．（2）根據(jù)乘法的交換律與結(jié)合律簡算即可．【完整解答】解：（1）×4.5+4.5×60%+0.6＝0.6×（4.5+4.5+1）＝0.6×10＝6（2）8×4×12.5×＝（8×12.5）×（×4）＝100×1＝100（3）×40＝×（39+1）＝×39+＝11+＝【考察注意點(diǎn)】此題重點(diǎn)考查了學(xué)生對運(yùn)算定律的掌握與運(yùn)用情況，要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征，靈活選擇簡算方法．19．（5分）計(jì)算：（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1）.【思路引導(dǎo)】觀察發(fā)現(xiàn)，可以把原式變形為10﹣（﹣+++++++﹣++），再進(jìn)一步化簡即可?！就暾獯稹拷猓海?﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+（1）.＝10﹣（﹣+++++++﹣++）＝10﹣×（）＝10﹣×＝10﹣＝9【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了學(xué)生對于探索規(guī)律進(jìn)行計(jì)算的知識的掌握情況，把原式變形為10﹣（﹣+++++++﹣++）是解題的關(guān)鍵。20．（5分）1﹣（）2×（）2×（）2×（）2【思路引導(dǎo)】將拆成×、拆成×、拆成、拆成×，再進(jìn)一步計(jì)算即可?！就暾獯稹拷猓?﹣（）2×（）2×（）2×（）2＝1﹣（×）2×（×）2×（）2×（×）2＝1﹣（）2×（）2×（）2×（）2＝1﹣＝1﹣＝【考察注意點(diǎn)】發(fā)現(xiàn)原式可變形為：“1﹣（×）2×（×）2×（）2×（×）2”是解題的關(guān)鍵。21．（5分）計(jì)算。（能簡算的要簡算）①75×+25×②÷[×（2﹣）]③34×99④×+⑤××28×45⑥[1﹣（+）]÷【思路引導(dǎo)】①根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算簡算；②先算小括號里的減法，再算中括號里的乘法，最后算中括號外的除法；③先把99寫成（100﹣1），然后根據(jù)乘法分配律簡算；④先把除法變?yōu)槌朔?，再根?jù)乘法分配律簡算；⑤根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律簡算；⑥先算小括號里的加法，再算中括號里的減法，最后算中括號外的除法?！就暾獯稹拷猓孩?5×+25×＝（75+25）×＝100×＝60②÷[×（2﹣）]＝÷[×]＝÷＝③34×99＝34×（100﹣1）＝34×100﹣34＝3400﹣34＝3366④×+＝×+×＝×（+）＝×1＝⑤××28×45＝（×28）×（×45）＝12×25＝300⑥[1﹣（+）]÷＝[1﹣]÷＝＝【考察注意點(diǎn)】本題考查了四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序、運(yùn)用合適的運(yùn)算律簡便計(jì)算的方法。四．解答題（共6小題，滿分30分，每小題5分）22．（5分）計(jì)算（4﹣0.8+3）×[（7+2.6）×1.25]【思路引導(dǎo)】計(jì)算四則混合運(yùn)算時(shí)，要按照運(yùn)算順序，先算乘除，后算加減，同一級運(yùn)算，按從左到右的運(yùn)算順序計(jì)算，有括號的先算括號里面的，再算括號外面的，如果既含有小括號又含有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。【完整解答】解：（4﹣0.8+3）×[（7+2.6）×1.25]＝（4+3﹣）×[（7+2）×]＝（8﹣）×[10×]＝8×10×﹣×10×＝10010＝90【考察注意點(diǎn)】本題考查的目的是讓學(xué)生熟練掌握四則混合運(yùn)算的順序。23．（5分）求++++……++的整數(shù)部分．【思路引導(dǎo)】設(shè)x＝++++……++，根據(jù)＝1+＝1+2（﹣）（2≤n≤2017），可得：x＝2016+2×（1﹣+﹣+…+﹣），據(jù)此求出它的整數(shù)部分是多少即可．【完整解答】解：設(shè)x＝++++……++，因?yàn)椋?+＝1+2（﹣）（2≤n≤2017），所以x＝2016+2×（1﹣+﹣+…+﹣）＝2016+2×（1+﹣﹣）＝2019﹣所以[x]＝2018．答：++++……++的整數(shù)部分是2018．【考察注意點(diǎn)】此題主要考查了分?jǐn)?shù)的巧算問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式是多少．24．（5分）計(jì)算：++++＝．【思路引導(dǎo)】先計(jì)算出每個(gè)分?jǐn)?shù)，即原式＝++++，再把每個(gè)分?jǐn)?shù)拆成拆成“1+分?jǐn)?shù)單位”的形式，然后把分?jǐn)?shù)單位進(jìn)一步拆分，通過加減相互抵消，求出結(jié)果．【完整解答】解：++++＝++++＝（1+）+（1+）+（1+）+（1+）+（1+）＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）＝5+×（1﹣+﹣+…+﹣）＝5+×（1﹣）＝5+×＝5+＝故答案為：．【考察注意點(diǎn)】此題解答的關(guān)鍵在于進(jìn)行分?jǐn)?shù)的拆分，通過加減相互抵消，使計(jì)算簡化．25．（5分）將1999減去它的，再減去余下的，再減去余下的，…，最后減去