2023電動(dòng)力學(xué)講義

目緒 電動(dòng)力學(xué)的基本觀 電磁場(chǎng)作為一種物理實(shí) 電與磁的統(tǒng) 講義的內(nèi)容安 學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的意 靜電 庫(kù)倫定 一般電荷分布的電場(chǎng)計(jì) 補(bǔ)充：關(guān)于計(jì)算機(jī)軟件的使 靜電場(chǎng)的宏觀性 靜電場(chǎng)中的曲 靜電場(chǎng)中的曲 應(yīng) 梯度 矢量代數(shù)與張 梯度 電 一般矢量場(chǎng)的微積 一般矢量場(chǎng)的宏觀性 一般矢量場(chǎng)的微觀性 靜電場(chǎng)的微觀性 散度公 泊松方程、拉普拉斯方 靜電場(chǎng)的能量密 靜電問題的 一般矢量場(chǎng)的分 存在有限邊界的靜電問 庫(kù)侖定律在有限區(qū)域靜電問題中的擴(kuò) 導(dǎo) 鏡像 拉普拉斯方程的分 笛卡爾坐標(biāo)系下的變量分 正交曲線坐標(biāo) 變量的分 靜電場(chǎng)的正交函數(shù)展 正交函 笛卡爾坐標(biāo) 球坐標(biāo) 多極子與靜電場(chǎng)的多極展 靜磁 磁場(chǎng)的探 畢奧–薩伐爾定 靜磁場(chǎng)的微觀與宏觀性 靜磁場(chǎng)的基本性 靜磁場(chǎng)的矢 靜磁場(chǎng)的多極展 介質(zhì)中的靜電場(chǎng)與靜磁 電介 極化矢 有電介質(zhì)存在時(shí)的靜電定 線性電介 磁化矢 有介質(zhì)存在時(shí)的靜磁定 從靜電/一個(gè)幾何觀 場(chǎng)作為一種幾何 第一組運(yùn)動(dòng)方 第二組運(yùn)動(dòng)方 磁生電與電生 麥克斯韋方程 電磁場(chǎng)的一般動(dòng)力學(xué)性 等效原 洛倫茲變 閔氏時(shí)空里的張量 能量與動(dòng) 真空中的電磁 動(dòng)力學(xué)變量與規(guī)范不變 真空中電磁場(chǎng)的波動(dòng)方 平面 有宏觀介質(zhì)存在時(shí)的電磁 宏觀介質(zhì)中的電磁 導(dǎo)體中的電磁 帶有邊界的電磁場(chǎng)動(dòng)力 一般電磁場(chǎng)的邊界條 電磁波在兩種介質(zhì)界面上的傳 全反 波 電磁輻 推遲 單個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)的電磁輻 電偶極輻 磁偶極輻 輻射的一般性 動(dòng)體的電動(dòng)力 索 電動(dòng)力學(xué)的基本觀 電磁場(chǎng)作為一種物理實(shí) 電與磁的統(tǒng) 講義的內(nèi)容安 學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的意 電動(dòng)力學(xué)的基本觀 磁場(chǎng)（electromagneticfield。注意這即不是電場(chǎng)也不是磁場(chǎng)，而是電磁場(chǎng)。當(dāng)然在我們最初接觸電磁現(xiàn)象的時(shí)候，在最簡(jiǎn)單的情形中電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象往往是分立的，至少乍看上去如此。在這些情形中我們經(jīng)?？吹诫姾膳c電荷間的吸引與排斥，磁體與磁體間的吸引與排斥。在初等的電學(xué)與磁學(xué)中我們甚至學(xué)到這些吸引與排斥力在理想情況下可以由一些簡(jiǎn)單的定律指導(dǎo)。依據(jù)最初的經(jīng)驗(yàn)我們很容易傾向與把這些相互作用力描述為電荷與電荷間、磁體與磁體間直接發(fā)生的作用，就好比牛頓力學(xué)中我們經(jīng)常研究的兩個(gè)相互接觸的物體之間發(fā)生的壓力與拉力，雖然現(xiàn)在這種相互作用是超距電場(chǎng)與磁場(chǎng)不是兩種獨(dú)立的物理存在，而是同一種場(chǎng)（電磁場(chǎng)）電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野11.2.電磁場(chǎng)作為一種物理實(shí) 事實(shí)上每個(gè)人無時(shí)無刻不在與這種存在形式打交道。但在歷史上對(duì)于這種存在形式的明確認(rèn)知是在人們完全掌握了電磁場(chǎng)的規(guī)律后作為一個(gè)推論獲得的。電磁波的發(fā)現(xiàn)反過來也佐證了我們對(duì)電磁現(xiàn)象構(gòu)建的理論的正確性。微觀層面深究這種探測(cè)方式的機(jī)理，便會(huì)知道我們真正直接覺細(xì)胞的接受器里與特定分子發(fā)生作用使其電子激發(fā)到更高能量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并進(jìn)也是電磁相互作用。我們之所以沒有察覺電磁場(chǎng)本身的存在，僅僅是在于我們的感受器從這些觸發(fā)事件中所提取的信息是有限的，它并沒有細(xì)致到去測(cè)量電磁場(chǎng)本身的性質(zhì)，而只是把電磁相互作用作為一種途徑去獲知產(chǎn)生這種作用的物質(zhì)的有與無。（1理量–這些物理量隨時(shí)間滿足什么規(guī)律、公式、運(yùn)動(dòng)方程?·E(t,x)?B(t,

ρ(t, ?×E(t,x)?×B(t,x)?

= ?E(t,=μ0J(t,?·B(t,x)= 簡(jiǎn)便起見，這里我們只寫出麥克斯韋方程組在真空中的形式。?0μ0是兩個(gè)常數(shù)，E(tx)為電場(chǎng)，B(tx)J(tx)tx處穿過每單位面積的電流強(qiáng)度。由于電流在?ρ(t, +?·J(t,x)=F=q(E+v× 這里我們把物質(zhì)抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，qv第一個(gè)式子與第四個(gè)式子不依賴于對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，并它們具有相似的結(jié)構(gòu)。EρB而言存在某種類似的規(guī)律，只不過相應(yīng)的“磁荷”在我們所考慮的電動(dòng)力學(xué)的范疇里（至少被假定）是不存在的。麥克斯韋方程組本身是一階微分方程組，這與我們?cè)诮?jīng)典力學(xué)中經(jīng)常遇到的動(dòng)力學(xué)方程看上去不太一樣（后者關(guān)于時(shí)間的微分是二階的EB的二階微分方BE的二階微分方程。因此這組方程確實(shí)描述了電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)演化規(guī)律。事實(shí)上上述得到的二階微分方程與經(jīng)典力學(xué)里討論的波動(dòng)方程具有非常相似的結(jié)構(gòu)。在后續(xù)的講解中我們將看到這些方程的確存在隨時(shí)間震蕩的解，亦即波動(dòng)解。并這其中具有單一振蕩頻率的解總是具有固定的傳播速度c=(?0μ0)?1/2在電動(dòng)力學(xué)中，我們不再說電磁場(chǎng)由電荷或電流激發(fā)產(chǎn)生。在麥克斯韋方程組ρ(t,x)=0，J(t,x)=0。如此得到的方程依然是非平庸的，后面我們會(huì)看到這種情況下方程依然有非平庸的解。?·E(x)

?×E(x)= ?×B(x)= ?·B(x)= EB之間的耦合完全被解除了。因而這種情況下它們知傾向于把它作為獨(dú)立的電場(chǎng)與磁場(chǎng)分別對(duì)待。畢竟，同樣作為矢量場(chǎng)，EB在電與磁的統(tǒng) EB在時(shí)間演化上是相互耦合的。以EB表征了另一種稱為磁E。這個(gè)參考系里我們既能觀測(cè)到電場(chǎng)E也能觀測(cè)到磁場(chǎng)B。EB的耦合。在兩個(gè)參考系中所涉及的EB看作是共同表征了某種唯一的物理實(shí)體的構(gòu)形，而在慣性參考v做勻速運(yùn)動(dòng)。在牛頓力學(xué)的框架下我們知道這兩個(gè)參考系間的變換涉及坐x′=x+ y′= z′= t′= ?表示的是對(duì)空間坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)的操作，?·?×之間?=

+v

EB做適當(dāng)線性組合，并把所得到的組合結(jié)果看作是新的參考系中的E′或者B′。電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野11.4.tx(tx的分量，在慣性參transformation另一方面，EB在參考系變換下發(fā)生混合的事實(shí)也告訴我們，把它們各自看作是EB具體變換方式的深入研44） cB2Fμν

dF= d(?F)+J= J相當(dāng)于電荷密度與電流密度組成的四維矢量。關(guān)于這組方程在后面的講座里講義的內(nèi)容安 2不考慮非線性變換。高維空間里的非線性變換一般是沒法在全空間很好定義的，而我們不會(huì)期待對(duì)伽利略變換做出很大改動(dòng)，畢竟在日常經(jīng)驗(yàn)中伽利略變換是一個(gè)非常好的近似?？赡芘c過去大多數(shù)教材所采取的路線不同的是，這里我們從已知的靜電與靜磁規(guī)律出發(fā)，直接利用電磁場(chǎng)作為不依賴于具體參考系的物質(zhì)這一要求，從幾何的角度導(dǎo)出麥克斯韋方程組。在得到該方程組后我們?cè)俜催^來回顧實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的電磁感應(yīng)現(xiàn)象。在把場(chǎng)作為一個(gè)物理系統(tǒng)的觀點(diǎn)指導(dǎo)下，我們也將詳細(xì)介紹如何在拉格朗日力學(xué)的框架下描述電磁場(chǎng)，并在這個(gè)基礎(chǔ)上探討電磁場(chǎng)所具有的對(duì)稱性以及相應(yīng)的守恒律與守恒量。第一個(gè)部分一般性地討論微觀粒子的動(dòng)力學(xué)行為如何能夠與電磁規(guī)律相協(xié)調(diào)，亦即動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)。學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的意 毫不夸張地說，電動(dòng)力學(xué)是人類跨入現(xiàn)代文明的關(guān)鍵基石之一。支撐現(xiàn)代社會(huì)的能如何將其它形式的能量高效地轉(zhuǎn)換為電能、如何將電能進(jìn)行高效地安全地遠(yuǎn)距離傳輸，在動(dòng)力方面如何將電能高效地穩(wěn)定地轉(zhuǎn)化成機(jī)械能（特別例如現(xiàn)在的高速鐵路以及新能源汽車在制造方面如何提高傳感器以及加工的精度、如何為工程設(shè)計(jì)提供一個(gè)可靠的物理電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野11.5.電動(dòng)力學(xué)之所以對(duì)我們的日常生活如此重要，歸根結(jié)底在于電磁相互作用在自然界所有已知的四種相互作用中其特征尺度與我們大部分日常生活所涉及的尺度是最為（而引力相互作用的影響只有大到星球、星系或者更大的尺度才會(huì)變得顯著。雖然放眼整個(gè)宇宙所有這些相互作用都有著自身不可忽視的角色，但是迄今人類生活所真內(nèi)的一切物理現(xiàn)象與物理過程，電磁相互作用的影響無疑都是占有主導(dǎo)地位前面提到在學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的過程中我們會(huì)順帶學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論。它源自于電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與等效原理這一物理學(xué)普遍原理的調(diào)和，而其意義則又超出了電磁場(chǎng)的范疇。由于我們平時(shí)生活中所接觸到的特征速度普遍遠(yuǎn)小于光速，我們極少會(huì)接觸到顯著的狹義相對(duì)論效應(yīng)。這也是為什么我們每個(gè)人在頭一次接觸到這一理論的時(shí)候或多或少都會(huì)感受到震撼的原因。同樣出于這個(gè)原因狹義相對(duì)論似乎顯得并沒有那么有用。不過設(shè)想隨著人類對(duì)太空探索的技術(shù)不斷進(jìn)步、范圍不斷擴(kuò)展，在將來我們需要涉足的速度與尺度勢(shì)必要不斷增大。事實(shí)上在現(xiàn)今的太空探索中為了精度的要求我們已經(jīng)必須考慮相對(duì)論效應(yīng)的影響，而人類生產(chǎn)活動(dòng)進(jìn)入到星系的層面，狹義相對(duì)論乃至廣義相對(duì)論不可避免地會(huì)像如今的電動(dòng)力學(xué)一樣成為不可或缺的指導(dǎo)工具，甚至進(jìn)入我們的日常生活。這個(gè)將來不一定那么遙遠(yuǎn)。格上的質(zhì)點(diǎn)，它們相互間通過某種作用關(guān)聯(lián)，在取特定的連續(xù)極限下它們的運(yùn)動(dòng)也類似于一個(gè)場(chǎng)（前面提到以太就是采用了這樣的機(jī)械觀點(diǎn)。這確實(shí)是一種用來構(gòu)造場(chǎng)的常用方法，在凝聚態(tài)物理中我們其實(shí)會(huì)遇到不少類似的問題。但是這樣的研究場(chǎng)的方法自身也會(huì)帶來不少問題。–并非所有種類的場(chǎng)都能夠用這種方法構(gòu)造。對(duì)于大多數(shù)的場(chǎng)，如果目的是研究深入學(xué)習(xí)，會(huì)了解到它可以被看作是具有內(nèi)稟自旋為1的場(chǎng)，并是“無質(zhì)量”的1決定了電磁場(chǎng)與其它物質(zhì)之間相至于它的運(yùn)動(dòng)方程（麥克斯韋方程組）幾乎是唯一在往后的課程中我們會(huì)看到，電磁場(chǎng)具有所謂的規(guī)范變換不變性，也稱規(guī)范對(duì)稱性。這種不變性與局域的電荷變換有關(guān)，因此又稱為局域?qū)ΨQ性。這是電磁場(chǎng)的一種內(nèi)秉的性質(zhì)。事實(shí)上已知的其它三種相互租用都可以看作是對(duì)電磁場(chǎng)概念的某種拓展，而它們同樣都具有規(guī)范對(duì)稱性。–米爾斯場(chǎng)。強(qiáng)相互作用與弱相互作用皆屬于這一大類。此外，電磁場(chǎng)也孕育了（EB交換這種對(duì)偶思想為人們理解強(qiáng)耦合系統(tǒng)的物理性質(zhì)提供了莫大的幫助。2，我們會(huì)得到引力相互作用。細(xì)心的同學(xué)可能早已注意FEM=kQ1Q2 4。4有興趣的同學(xué)可以閱讀一下激光干涉儀引力波天文臺(tái)（LIGO）官網(wǎng)給的介紹：\h\hlearn-more 庫(kù)倫定 一般電荷分布的電場(chǎng)計(jì) 補(bǔ)充：關(guān)于計(jì)算機(jī)軟件的使 庫(kù)倫定 庫(kù)侖定律（Coulomb’s

F= Qq 4π?0Q的點(diǎn)狀物體（點(diǎn)源）q的點(diǎn)狀物體施加的作用力。兩個(gè)物體相對(duì)距離為r，?0為真空介電常數(shù)1 力的大小:（1）正比于各自的電荷（2）（Qx′qxQqF為F=

x?

注意|x?x′

4π?0|x?x′x′xQQ，F(xiàn)= E

x?

4π?0|x?x′Ex處的電場(chǎng)強(qiáng)度ExE(x)（亦即空間中每個(gè)點(diǎn)所1\h/cgi-電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野22.2.只與點(diǎn)電荷的位置以及電量有關(guān)，大小正比于試驗(yàn)電荷的電量q。一般電荷分布的電場(chǎng)計(jì) E并非一定來自于單一點(diǎn)源，因而需要對(duì)(2.5)進(jìn)行擴(kuò)展。當(dāng)電在任意給定的空間點(diǎn)x上同樣遵循矢量疊加原理。在數(shù)學(xué)處理上有兩種情況：ixE(x)=1∑Qix?xi′

4π?0

如果一個(gè)系統(tǒng)具有連續(xù)的電荷分布，如前所述我們假想把帶電物體切成許多小份，其中每一份在尺度趨近于零的極限下可看作是一個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)源。假設(shè)電荷ρ(x)x′ρ(x′)dV≡ρ(x′)d3x′，由此電場(chǎng)強(qiáng)度可以表述成一個(gè)關(guān)于空間的積分E(x)=

d3x′ρ(x′)x? |x?x′

（）ρ(x′0長(zhǎng)度上的電荷量）為λ(x′)（單位Cm?1。那么我們?cè)?2.6)中做替換 txi′=xi′(t)。注意曲線上任意線段的實(shí)際長(zhǎng)度并不一定等同于對(duì)應(yīng)參數(shù)t改變的值。當(dāng)t改變了一個(gè)微小量dt時(shí)，曲線上的點(diǎn)產(chǎn)生了微小位移 ?t≡?/?tdl≡|dl|=q(?tx1′)2+(?tx2′)2+(?tx3′ tx1 –m?2 dS指代微小面元的面積。例如，如果用球坐標(biāo)處理半徑為r的球面，其面元dS=r2sinθdθd?。更一般地，假定曲面可以由一個(gè)函數(shù)f(x1x2′)描述， 1 1 cosdS 1+(?′f)+(?′f)dxdx dxdx （?x≡?/?x）θx1-

?在上面公式中我們把曲面按沿第三軸投影方向分割。曲面由方程F(x′)f(x1x2x3′0x′F出（關(guān)于梯度的概念后面將進(jìn)一步介紹 θcosθ=(?F)3=

(?x′f)2+(?x′f)2+

dx1dx2，因此我們得到表達(dá)?dS在三個(gè)方向上 dS則為這個(gè)矢量的模長(zhǎng)（為了使這個(gè)關(guān)系嚴(yán)格成立我們需要引入微分形電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野22.3.q(?a0,0處，另一個(gè)在(a,0,0)處。我們分兩種情況考慮y-z平面上的場(chǎng)強(qiáng)。第一種情況下兩個(gè)電荷同為正電荷，由對(duì)稱性不難發(fā)現(xiàn)E的指向背離坐標(biāo)原點(diǎn)。我們有（|E|然E=q (a,y, + (?a,y,

(a2+y2+z2(0,y,

(a2+y2+z2

=2π?0(a2+y2+z2)3/2E=q (a,y, ? (?a,y, (a2+y2+z2 (a2+y2+z2 (a,0,

=2π?0(a2+y2+z2)3/2我們可以研究更一般的位置，甚至在例如Mathematica等軟件里繪制出電場(chǎng)E(x)x總是連續(xù)變化的。于是從任意一點(diǎn)–λ。那么對(duì)于任意空間點(diǎn)x我們有 λ∫0

(x1?x1′,x2,=4π?0 1((x1?x′)2+x2+x2

x2+ 1x2+

1?x1

1?x1x2+ x2+r√x2x2x2補(bǔ)充：關(guān)于計(jì)算機(jī)軟件的使 computation（matrixlaboratory運(yùn)算能力，不過是通過額外的函數(shù)庫(kù)實(shí)現(xiàn)的。我們學(xué)校已經(jīng)購(gòu)買有MATLABMapleMathematica相比相對(duì)小眾一點(diǎn)，不Mathematica。除了上述現(xiàn)成的應(yīng)用軟件外，科學(xué)計(jì)算也往往涉及到計(jì)算程序的直接編寫。前面介紹的應(yīng)用軟件也有各自專用的交互語(yǔ)言，依托應(yīng)用平臺(tái)可以編寫簡(jiǎn)單的程序，但這因此特別是當(dāng)一個(gè)計(jì)算程序有在大量事例上反復(fù)應(yīng)用的需求時(shí)，使用通用語(yǔ)言直接ortraC/C++ytho（除非自己把所有需要的功能自己寫起來。它對(duì)科學(xué)計(jì)算的支持是通過各種事先專門設(shè)計(jì)、編寫、優(yōu)化并編譯好的函數(shù)庫(kù)實(shí)現(xiàn)的。每一個(gè)函數(shù)庫(kù)往往只針對(duì)一類特定的問題而設(shè)計(jì)。C/C++(+gsl,ginac,gmp,mpi...)（之一gsl（GNUScienceLibrary，集成了許多科學(xué)計(jì)算常用的函數(shù)和方法mkl（另一個(gè)常用Itel處理器的數(shù)值計(jì)算庫(kù)ginac（用于符號(hào)運(yùn)算的函數(shù)庫(kù)，定義了不少常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)和運(yùn)算方法。這個(gè)庫(kù)最早實(shí)際上是高能粒子物理中為了計(jì)、gm（用于實(shí)現(xiàn)任意精度數(shù)值計(jì)算的函數(shù)庫(kù)mp（用于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模并行計(jì)算等等。ython(+um,sci,sym,matplotlib...。近幾年非常流行的通用高級(jí)編程語(yǔ)言。該語(yǔ)言語(yǔ)法結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，因此其日常使用的調(diào)試和維護(hù)成本很低，對(duì)于初學(xué)者來講也非常容易上手，但是該語(yǔ)言的解釋和運(yùn)行效率較低。該語(yǔ)言之所以會(huì)在科學(xué)計(jì)算（甚至許多其它領(lǐng)域）中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，核心原因在于它對(duì)于其它語(yǔ)言（C/C++）提供了非常便利的接口，從而能夠便利地調(diào)ython2其公司還運(yùn)營(yíng)了一個(gè)包含各種標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)的各種常見與不常見性質(zhì)的百科網(wǎng)站：\hnumpy（C編寫的、用于數(shù)據(jù)制圖的matplotlib、用于符號(hào)運(yùn)算的sympy等等。我們以課上同學(xué)們舉的一個(gè)例子3我們假設(shè)圓柱面的軸線為x3軸，半徑R=1，用x2=0的平面切去了其x2>0的部分。此外假設(shè)面電荷密度σ=1（計(jì)算機(jī)模擬時(shí)候我們暫忽略物理量單位。該半圓柱面可以方便地用參數(shù)(x3′,t)建立坐標(biāo)，其上任意一點(diǎn)為(x1′,x2′,x3′)=(cost,?sint,x3′),x3′∈(?∞,+∞),t∈[0, xx={x[1],x[2],x[3]}-{Cos[txx={x[1],x[2],x[3]}-{Cos[t],-Sin[t],x3i};InteIntegrate[xx/((xx.xx)^{3/2}),x3i]int=Limit[%,x3i->+Infinity]-Limit[%,x3i->-Infinity]//Factor 2(x1?cos , 2(x2+sin ,0.1+x2+x2?2x1cost+2x2sint1+x2+x2?2x1cost+2x2sinFlattenTable[{x,y},{x,-2,2,1FlattenTable[{x,y},{x,-2,2,1/100},{y,-3/2,1/2,1/100data=Pardata=ParallelTable{item32021-2022NIntegrateNIntegrate[int[[1]]/.{x[i_]:>item[[i]]},{t,0,Pi}]NIntegrate[int[[2]]/.{x[i_]:>item[[i]]},{t,0,Pi}]}},{item,points}]ShowListStreamDensityPlot[data,RegionFunction->FunctionShowListStreamDensityPlot[data,RegionFunction->Function[{x,y,vx,vy,n}(Abs[Sqrt[x^2+y^2]-1]>1/10&&y<1/10)||y>=1/10],StreamPoints->Fine,PlotRange->{{-2,2},{-1.5,0.5}}AspectRatio->1/2]Graphics[{Red,Thickness[0.01],Circle[{0,0},1,{Pi,2Pi}]}Table[{x[Table[{x[2],NIntegrate[int[[2]]/.{x[1]->0},{t,0,Pi}],{x[2],-6,5,1/22}]ShowListPlot[%]Graphics[{Red,Dashed,Thick,Line[{{-1,-10},{-1,5}}]}]x2x1軸上各點(diǎn)處電場(chǎng)的第一分量。所使用的代碼也是與上一段 靜電場(chǎng)中的曲 靜電場(chǎng)中的曲 應(yīng) 我們把這種相互作用看作是源電荷直接對(duì)任意帶電物體的影響，只不過在引入了電如果我們所面對(duì)的系統(tǒng)中所有的源都已經(jīng)知曉，那么我們完全可以放心地使用前一特定的邊界及其相應(yīng)的邊界條件，但我們對(duì)邊界上以及邊界之外的可能的電荷分布E(x)下面我們利用庫(kù)侖定律中平方反比律中心指向性靜電場(chǎng)中的曲 rd?rdS，其|dS|=|r|2d?dS是一個(gè)矢量，其方向與它的法矢量一致。此處電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)|E|=4 12，并與dS是平行的。我們現(xiàn)在考慮兩種變換π?0 Q|E||dS|=4π?0rcosrθ，那么掠過該立體角的平面面積為|dS|=|r|2d?cosE·dS≡|E||dS|cosθ=Q是一個(gè)不變量，并與前面例子（θ=0）的結(jié)果等同E·dS再求和，基于上述討論我們知道在無限切割的極限下這等同于對(duì)一∫E·dS=Q∫d?=Q 3.2.∫SE·dS= E·dSE本身滿足矢量EdS=Q包圍 QS上述關(guān)系是我們這門課程中遇到的第一個(gè)關(guān)于電磁場(chǎng)的積分恒等式，這里涉及到矢量場(chǎng)在曲面上的積分。我們把這個(gè)積分稱為電場(chǎng)的通量（flux。這個(gè)式子告訴我們，一個(gè)曲面所包圍的電荷量正比于這個(gè)曲面上的電場(chǎng)通量。–dS靜電場(chǎng)中的曲 其次我們看一下中心指向性的另一個(gè)推論依然考慮單個(gè)點(diǎn)源Q（假定位于坐標(biāo)原點(diǎn)xqEx的方向相同。如果把這個(gè)電荷做一個(gè)微小位移dl0，dl0平行于x，那么靜電力對(duì)電荷做的功為q|E||dl0|。dlxθq|E||dl|cosθ≡qE· 同于dl0，那么現(xiàn)在做的功與原先的情況相等。在幾何上我們看到這兩種位移換一種情況，如果我們考慮出發(fā)點(diǎn)為x′，并做位移dl0′，其方向依然沿著徑|x|=|x|，|dl0′|=|dl0|，那么兩種情況下靜電力做的功依然相等。qx1電動(dòng)力學(xué)講義（袁野：第3講、靜電場(chǎng)的宏觀性 r的rdr的球殼，雖然兩條路徑的具體起止點(diǎn)不同，依據(jù)上x1L1x2L2x1，由此走過一條完整的閉1+∫LLE(x)·dl=1+看到這個(gè)結(jié)論依然成立。因此，對(duì)任意閉合路徑L∫LE·dl= 應(yīng) 3.3. 矢量代數(shù)與張 梯度 電 矢量代數(shù)與張 有(x1,x2,x3)。這種表示往往在實(shí)際計(jì)算中更加實(shí)用，因?yàn)樗严鄬?duì)抽象的符xi（i1,2,3），但不特意指（ijk）。這種標(biāo)記方法是（tensor分內(nèi)容里我們幾乎只討論三維矢量，并不需要對(duì)上標(biāo)與下標(biāo)作出明確區(qū)分1，因此在這一階段我們暫可以把張量?jī)H僅當(dāng)作是一種便捷的表示方法。在同學(xué)們適應(yīng)了這種描述語(yǔ)言后，等到討論電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)時(shí)我們將進(jìn)一步了解張量的一般意義和用法。x=x1=xi=x2=x3=1這種特殊性是由三維歐幾里得空間中距離的定義（數(shù)學(xué)上稱為度規(guī)）的意義。簡(jiǎn)單起見我們暫忽略這個(gè)問題并約定所有指標(biāo)都寫在下面，以免與指數(shù)混淆電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野44.1.(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=(x1+y1,x2+y2,x3+ xy可以定義一個(gè)點(diǎn)乘x·y道這個(gè)標(biāo)量等于兩個(gè)矢量模長(zhǎng)的乘積再乘以兩矢量夾角的余弦，x·y=|x||y|cosθ。這個(gè)點(diǎn)乘的幾何意義是其中一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量方向上的投影長(zhǎng)度與另一矢量長(zhǎng)度間的乘積。在前面的討論中我們已經(jīng)看到，它會(huì)出現(xiàn)在許多從矢量性質(zhì)的物理量中提取標(biāo)量的問題里，例如通量或者功。 x·y=x1y1+x2y2+x3y3=∑xiyi≡xiyi 在張量表達(dá)式的最后一個(gè)式子里我們使用了愛因斯坦約定（Einstein’scoetio：每當(dāng)一個(gè)指標(biāo)在同一個(gè)張量表達(dá)式里出現(xiàn)僅出現(xiàn)兩次時(shí)，我們默認(rèn)對(duì)它所有的取值求和（數(shù)學(xué)上也稱為縮并（cotraction。不參與求和的指標(biāo)實(shí)際都只會(huì)出現(xiàn)一次。因此雖然這個(gè)表達(dá)式乍看起來帶了兩個(gè)指標(biāo)，但它實(shí)際上并不依賴于任何指標(biāo)，x·y=y· (ax+by)·z=a(x·z)+b(y· x·(ay+bz)=a(x·y)+b(x· xy我們也可以定義一個(gè)叉乘x×y，該運(yùn)算返回另一個(gè)矢量。這個(gè)新的矢量的模長(zhǎng)等于兩矢量模長(zhǎng)的乘積再乘以?shī)A角的正弦，其方向垂直于兩矢量所張成的平面并滿足右手定則（因而兩個(gè)相互平行或反平行的矢量的叉乘為零。xy所張成的平行四邊形的面積。(x1,x2,x3)×(y1,y2,y3)=(x2y3?x3y2,x3y1?x1y3,x1y2? Levi–Civita符號(hào)?ijk?1231(x×y)i= Levi–Civita符號(hào)的x×y=?y× (ax+by)×z=a(x×z)+b(y× x×(ay+bz)=a(x×y)+b(x× 如果z=x×y并x與y是通常所說的矢量，那么嚴(yán)格說來z并不是矢量，而是所謂的贗矢量（pseudo-ecto。普通矢量與贗矢量在三維空間的連續(xù)平移或旋轉(zhuǎn)變（或者換個(gè)角度說坐標(biāo)系的連續(xù)變換不會(huì)特意在意它們之間的區(qū)別。但它們的區(qū)別在于前者在空間反演變換（x→?x）下其各個(gè)分量是取反號(hào)的，而后者在該變換下保持不變。類似地，如果我們有三個(gè)xyzLevi–Civita?ijkxiyjzk也稱為贗標(biāo)量（pseudo-scalar，在一般的張量表達(dá)式里我們會(huì)看到許多不同的指標(biāo)。所有這些指標(biāo)可以分為兩(4.8ijk張量的階（rank第二類指標(biāo)做了求和，確切地說它們并不是（表達(dá)式整體作為一個(gè)張量的）張dumyindex。對(duì)于這類指標(biāo)我們?cè)跁鴮懙臅r(shí)候甚至可以根據(jù)需要隨意改變它們的記號(hào)而保持表達(dá)式的意義不變，例如(x×y)i=?ijkxiyk≡?ixy 標(biāo)看作行的標(biāo)記，第二個(gè)指標(biāo)看作列的標(biāo)記ST。當(dāng)我Sij= 2STSij= STT（右側(cè)是矩陣的轉(zhuǎn)置。從這個(gè)例子我們看到–盡管存在可能的指標(biāo)縮并，一個(gè)寫成乘積的具體張量表達(dá)式里乘積的各個(gè)因子點(diǎn)的例子，假如我們用二階張量Aij、BijCi通過指標(biāo)縮并定義一個(gè)新的三階張量Tijk=AilBljCk，那么它等價(jià)地也可以寫為Tijk=AilCkBlj=BljAilCk=BljCkAil=CkAilBlj=CkBljAil x·(yz)x·(y×z)=?ijkxiyjzk. 由Levi–Civita符號(hào)的全反對(duì)稱性質(zhì)我們知道這個(gè)標(biāo)量關(guān)于三個(gè)矢量的交換也是全x·(y×z)=?ijkxiyjzk=?ijkyjxizk==??ijkyixjzk=?y·(x×

Levi–Civita符號(hào)的反對(duì)稱性，第四個(gè)等號(hào)純粹改變了兩組偽指 x·(y×zx·(y×z)= y3 我們也可以考慮由兩個(gè)叉乘組成的復(fù)合運(yùn)算x×(y×z)vx、y、z上重新做線性v=ax+by+ v·(y×z)=ax·(y×z)= a0x·v=b(x·y)+c(x·z)= bc中的一個(gè)自由度，剩下一個(gè)整體的待定因子。所以我們可以x×(y×z)=A((x·z)y?(x· Ax·y、y·zz·x的乘除法所得，亦即A∝(x·y)p1(x·z)p2(y·z)p3 p1p2p30為了得到這個(gè)常數(shù)我們不妨假設(shè)一個(gè)特殊情形：令y·z=0x與z平行。那么等式(4.22)|x||z|yc|x||z|yc1。于是我們得到了一個(gè)恒x×(y×z)=(x·z)y?(x· (x×(y×z))i=?ijmxj(y×=?ijm?mklxjykzl

Levi–Civita符號(hào)構(gòu)成的四階張量（依賴于四個(gè)指?ijm?mkl=δikδjl?δilδjk δij是Kronecker

= i=

Kroneckerδ首先由定義它顯然關(guān)于兩個(gè)指標(biāo)置換是對(duì)稱的，δijAi1i2i3...Kroneckerδ做縮并只不過相當(dāng)δjiaA···ia···= δijxjxi，δijδjkδik–Kroneckerδδii(x×(y×z))i=δikδjl?δilδjk

=(δikyk)(δjlxjzl)?(δilzl)(δjkxjyk=((x·z)y?(x·y)z)i

關(guān)于4.26)是非常簡(jiǎn)單直接的。這里我們簡(jiǎn)單聊一下如果事先不知道能夠?qū)懗傻仁接疫叺男问剑?i1i2i3?123Levi–Civita{i1,i2,i3}{1,2,3}這兩組指標(biāo)自身的任意置換是反對(duì)稱的（來自Levi–Civita符號(hào)本身的定義。當(dāng)這些指標(biāo)取一些特殊值時(shí)我們很容易看出表達(dá)式返回的數(shù)值，比如?123?123=1（而對(duì)于任何指標(biāo)我們顯然只能得到{?1,0,1}這三種結(jié)果。為了湊出這個(gè)特殊結(jié)果我們可以猜想 {j1,j2,j3}有關(guān)的對(duì)稱條件，一{j1,j2,j3}這三個(gè)指標(biāo)之間所有可能的

+δi1j2δi2j3δi3j1+δi1j3δi2j1δi3j2?δi1j3δi2j2δi3j1?123?1231，并{j1,j2,j3}的對(duì)稱條件。此時(shí)又很容易看出這個(gè)式子其實(shí)也直接符合了{(lán)i1i2i3}?i1i2i3?j1j2j3的所有要求。通過簡(jiǎn)單的利用Kroneckerδ的性質(zhì)我們有+δi1j2δi2j3δi3i1+δi1j3δi2i1δi3j2?δi1j3δi2j2δi3+δi2j3δi3j2+δi2j3δi3j2?δi2j2δi3=δi2j2δi3j3?δi2j3δi3j2

為了尋求整體的比例系數(shù)，我們看到當(dāng)i2、i3的值具體取定后，為了獲得非零的貢i1Levi–Civita符號(hào)的反對(duì)稱性定死的，這解釋了這個(gè)比例系數(shù)得1（當(dāng)然我們最終還是要實(shí)際檢驗(yàn)所得到的表達(dá)式。類似地，如果有兩對(duì)指標(biāo)做?mni?mnj= 2im、n的取值會(huì)有非零的貢獻(xiàn)。而所有指?mno?mno= Levi–Civita梯度 space磁學(xué)的討論中這個(gè)空間是三維歐氏空間R3，而在后面有關(guān)動(dòng)力學(xué)的討論中我fieldfieldR：上的標(biāo)量場(chǎng)，雙變量函數(shù)f(xy)R2上的標(biāo)量場(chǎng)，等等。更復(fù)f(θ)θ～θ2πsinθ，那么這個(gè)函數(shù)可以看作是圓環(huán)S1上的標(biāo)量場(chǎng)。我們暫只討論基底空間為R3的情況。?=?,?,?≡ ?i≡電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野44.2.（）于是給定一個(gè)標(biāo)量函數(shù)/標(biāo)量場(chǎng)f(x)以后我們可以得到一?f(x)=?f(x),?f(x),?f(x)≡?igradient，potetial–在微積分課程中我們學(xué)到過多元函數(shù)沿特定路徑的導(dǎo)數(shù)。具體地，指定一條由tx(t)。那么函數(shù)f(x)x處沿這條路徑的導(dǎo)數(shù)為d

3dxi(t)?f

(x(t))=

·?f 不失一般性我們假定|dx/dt|=13，那么這個(gè)量表征了函數(shù)沿曲線方向的變不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)dx/dt與f夾角為零時(shí)上述乘積達(dá)到最大值。因而我們說函數(shù)f(x)的梯度在每個(gè)點(diǎn)上表征了函數(shù)在該點(diǎn)處最速增大的方向以及快慢。–?tx·f0?txf(x)f(xC（C為任意常數(shù)）在空間中定義了一個(gè)曲面，稱為等（equipotetial)在任意矢量場(chǎng)u(x)上得到一個(gè)新的矢量場(chǎng)?×u(x)==?u3??u2,?u1??u3,?（curl?×?f(x)=?ijk?j?kf?x2?x3?x3?x1?x1?x2=??f???f,???x2?x3?x3?x1?x1?x2?×?f(x)= v(x在一個(gè)單連v(x)=0，那么在這個(gè)區(qū)域里我們總是能夠x3這一點(diǎn)總是可以通過參數(shù)重定義t=t(τ)

Ei= 4π?0(xkxk

xi

?jEi=Qδij(xkxk)?3xixj (xmxm?xi/?xj=δij?jEi=?iEj?×E(x)= u(x) ?·u(x)=?iui=?x1+?x2+?x3 ?·?f(x)=( ?·?f(x)=(?i?i)f?x2+?x2+f ?operator?·E(x)=?iEi= （δii=3）這個(gè)式子在原點(diǎn)處并不成立，對(duì)于更一般–dx，我們把這稱為微分形式（differential（wedge，dx1∧ dx1∧dx2∧ dxdx044dx1···dxn=

·· ·· ·· .dx1′···· 把這些微分形式看作（帶方向的）面積元與體積元。尤其在三維空間中，我們dxi∧dxj楔積只有三個(gè)，這對(duì)應(yīng)于曲面（法矢量）的三維指向性：dS在三個(gè)方向上的投影（1-2平(dx1,0,0)(0,dx2,0)兩個(gè)位移框出的平行四邊形的面積，因此相應(yīng)的面積元投影必須與兩者的叉乘相關(guān)，而后者是反對(duì)稱的）dS=(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧dx2). dx的楔積只有唯一一個(gè)，而我們也知道體積分的積分元是可dV=dx1∧dx2∧ –S在某個(gè)區(qū)域內(nèi)如果可以用變量t1、t2x≡x(t1t2)∈S，那么(4.50)中任意一個(gè)楔積可dxi∧dxj=?xidt1+?xidt2∧?xjdt1+ x,x x,x

?(

?x

?x/?tdt1∧dt2≡?(t1,t2)dt1∧S?(t1,?(t1,?(t1,dS=?(x2,x3),?(x3,x1),??(t1,?(t1,?(t1,而它的模長(zhǎng)（亦即面積元的絕對(duì)面積）而它的模長(zhǎng)（亦即面積元的絕對(duì)面積）dS≡|dS|

s?(x2,x3) ?(t1,

(x,x(x,x?(t1,

+?(x1,x2) dt 1 ?(t1 1 (t1t2)=(x1,x2)時(shí)，上述表達(dá)式退化為前面關(guān)于面積分討論k-形式（k-form。普通的函數(shù)f(x)0-形式。一般所做的（多元）（0-形式f(x)）微分形式的一個(gè)常用構(gòu)造方法是所謂的外微分（exteriordifferentiationdd=dx1

+dx2

+dx3

dx。它可以作用在任意的微分形式ω上，具體作用方式為 ω=∑dxi∧?xi?ω/?xiω的楔積展開中的每個(gè)展開系數(shù)分別求導(dǎo)。當(dāng)然它也可以作用在普通函數(shù)f上，其結(jié)果為一個(gè)一階微分形式df=dx·?f –d=(dx1∧dx2+dx2∧dx1)?x1?x2+···= 作為一個(gè)直接推論，對(duì)于任意一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)f(x)d2f= ?x2?x3d2f=dx2∧dx3??f???x2?x3=(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧dx2)·(?×?f)理論上d2不僅可以作用在標(biāo)量函數(shù)上，而可以作用在任何微分形式上，等以參考《Geometry,TopologyandPhysics（MikioNakahara著，第二版）的5.4節(jié)。當(dāng)然我們這個(gè)課程里用不到這些更一般化的討論，我們暫只需要了電 x?|x?x′

=??|x?x′| ?(x)，稱為電勢(shì)x′處的點(diǎn)電荷這個(gè)勢(shì)函數(shù)?(x)

4π?0|x?x′E(x)= 4.3.的線性性質(zhì)我們可以得知電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān) (x)=1 d3x′ρ(x′) . 4π?0 |x?x′0。上述點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式(4.62)即是遵循了這一約定。x2txi=xi(t)，那么dl=(?tx1,?tx2,?tx3) E·dl=?d 也就是說，上式左側(cè)在這條曲線的一維空間中是一個(gè)全微分，而是勢(shì)函數(shù)?(x)約∫L(qE)·dl=q?(x1)? 我們看到這個(gè)勢(shì)與前面討論靜電力做功的結(jié)論是一致的：q?(x對(duì)應(yīng)于試驗(yàn)電荷在點(diǎn)xJ/CVL∫LE·dl= ?×E(x)= 一般矢量場(chǎng)的宏觀性 一般矢量場(chǎng)的微觀性 一般矢量場(chǎng)的宏觀性 在沒有外力距影響的情況下剛體的運(yùn)動(dòng)具有守恒的角動(dòng)量。對(duì)于流體我們?cè)谧匀唤缰幸灿^察到諸如龍卷風(fēng)、臺(tái)風(fēng)這樣的渦旋狀態(tài)。從直觀感受上這樣的狀態(tài)在一定條件下能夠長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定存在，這反映出其背后某種（被微弱破缺了的）守恒性質(zhì)。我們也需要引入合適的概念來表征這種守恒性。先我們?cè)谶吔缟宵c(diǎn)x取一個(gè)微小面元dS。注意這個(gè)面元雖然帶面積單位但是是一x處流速為v(x)dt后總共有(vdt)· 體積的流體通過這一面元，這個(gè)標(biāo)量取正號(hào)時(shí)為流出，負(fù)號(hào)時(shí)為流入。除去時(shí)間v·dSv(xdS上的通量（flux，電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野55.1.Φ=∫Sv(x)· 的邊界?V是一個(gè)閉合曲面1，于是流的守恒意味著矢量場(chǎng)v(x)在整個(gè)閉合曲面上0∫?Vv(x)·dS= V ρ(x) v(x)dS v(x)· L(具有兩個(gè)端點(diǎn))f1?f0=∫Lv(x)· ?0?1?！?v(x)·dl= Γ被稱為環(huán)量（circulation）。所受的外力（場(chǎng)）均為保守力，那么對(duì)于與流體協(xié)動(dòng)的任意閉合路徑L(t)其環(huán)量是dΓ= theorem1?V?23關(guān)于開爾文定理的證明，有興趣的同學(xué)可以參考\h/en/kelvin’s_circulation_theorem一般矢量場(chǎng)的微觀性 R?R（1的閉合區(qū)域）上積分。我們有一個(gè)一般的關(guān)∫?Rω=∫R 有興趣的同學(xué)可以參考《Geometry,TopologyandPhysics（MikioNakahara著，第二版）的6.1節(jié)。 ·v(x)dl= f(x) ·

dxi?f=df dt到的相應(yīng)的例子是ω=v(x·dS（這也是我們?cè)谌S空間中能夠?qū)懗龅淖钜籿(x)·dS=v1(x)dx2∧dx3+v2(x)dx3∧dx1+v3(x)dx1∧ d(v·dS)=?v1dx1∧dx2∧dx3+?v2dx2∧dx3∧dx1+?v3dx3∧dx1∧

=(?·v)dx1∧dx2∧dx3=(?·

v(x)的散度有關(guān)。因此重新改回矢量的語(yǔ)言(5.9)∫?Vv(x)·dS=∫V(?· ω1ω=v(x·dl（這v(x)·dl=v1(x)dx1+v2(x)dx2+ 4電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野55.2.d(v·dl)=?v1dx2+?v1dx3∧dx1+?v2dx1+?v2d+?v3dx1+?v3dx2∧=?v3??v2dx2∧dx3+?v1??v3dx3∧dx1+?v2??=(?×v)·v(x)

v(x)·dl=∫(?×v(x))·

v(x)·dS?

ρ(x)dV=

(?·v?ρ)dV= ?·v(x)?ρ(x)= 定面區(qū)域S我們有

v·dl=∫S(?×v)·dS= ?×v(x)= 反之，在任意單聯(lián)通區(qū)域內(nèi)如果v(x)的旋度處處為零，那么由斯托克斯定理我們知道該區(qū)域內(nèi)任意一條閉合路徑對(duì)應(yīng)的環(huán)量也恒為零。這意味著在該區(qū)域內(nèi)v(x)可以以由區(qū)域S上的某種其它通量積分得到，相應(yīng)的另外一種矢量場(chǎng)記作u(x)，亦即∫?Sv·dl=∫Su· ∫S(?×v?u)·dS= ?×v(x)?u(x)= 電動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用。這里我們僅討論u(x)的一個(gè)一般性質(zhì)從(5.23)u(x)的散度為零（有關(guān)張量用法見下一節(jié)點(diǎn) ?·u(x)=?·(?×v(x))

vk= ?xiu(x由此，如果我們給矢量場(chǎng)u(x)畫場(chǎng)線的話，這些場(chǎng)線只能要么沒有端點(diǎn)，要的性質(zhì)。該算符作用在一個(gè)? ?if ?i≡?xi 這里微分算符所帶的指標(biāo)完全可與普通張量的指標(biāo)一樣處理，唯一不同是我們得記??的指標(biāo)與相應(yīng)的指標(biāo)縮并。在三維空間中，這種縮并只有兩種可能性?· ?×

∑ ∑ ?i?i(af+bg)=a?if+ ?i(fg)=f?ig+g?if ab–為了幫助大家熟悉這種分析方法，我們這里舉一個(gè)例子，(uv)。張量方(?×(u×v))i=?ijk?j(?kmnumvn =?ijk?kmn?j( =δimδjn? vn?jum+=vj?jui?vi?juj+ui?jvj?

?×(u×v)=(v·?)u?v(?·u)+u(?·v)?(u· 散度公 泊松方程、拉普拉斯方 靜電場(chǎng)的能量密 散度公

E·dS≡

d3x(?·E)=1

V成立，我們于是知道對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)x?·E(x)

ρ(xE(x滿反過來，通過這個(gè)微分等式我們也可以把電荷看作是靜電場(chǎng)散度的一種度量。如果把這個(gè)等式看作是電場(chǎng)的一個(gè)基本性質(zhì)，那么庫(kù)倫定律所給出的電場(chǎng)分布則是該方程的一個(gè)特解。事實(shí)上，這個(gè)方程是作為麥克斯韋方程組的一員出現(xiàn)的，也就是說它其實(shí)適用于一般的電磁場(chǎng)，因而相對(duì)于庫(kù)倫定律來講更加基本（雖然到目前為止我們是從庫(kù)倫定律出發(fā)“推導(dǎo)”出這個(gè)等式的定了一個(gè)體電荷分布ρ(x)。如果系統(tǒng)里的電荷是構(gòu)成面分布或者線分布或者甚至是紹一下狄拉克delta函數(shù)δ(x)。–δ(x的范疇1x/δ(x0δ(0∞，此外對(duì)任意試驗(yàn)函數(shù)f(x)（要求f(x)x0的+∞

δ(x)

(x)

f 電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野66.1.換句話說，δ(x)?δ(x)?δ(x)的積分是亥維賽（Heaviside）dtδ(t)=

x)

x≥0 x<??δ(x)+∞

δ′(x)

(x)=

+∞

f

x)=

f

?g(x)x=x?的鄰域內(nèi)單調(diào)g(x?0（x?為某個(gè)具體數(shù)字，那么（t=g(x)）∫x?+?

δ(g(x))

(x)

∫+?

δ(t)

??∫+? = |g′(g?1(t))|δ(t)f

= f(x?)|g′(x)|δ(x?|g′(x)|δ(x?x)f這里第一個(gè)等式右邊出現(xiàn)的絕對(duì)值考慮到了g(x)在x=x?鄰域內(nèi)的單調(diào)遞增或遞減兩種情況2。因此一般性地，如果g(x)有n{x1?x2?xn?}n δ(g(x))=∑|g′(x)|δ(x?xiδ(kx)

—?δ—δ(x)=lim

a 在不同x上的取值很容易通過等式右邊的極限驗(yàn)證。δ(x)所滿足的積分?δ(x)δ(x)=1lim ?1 . 2πi x? x+2如果g(x)在x=x?處有重根，那么我們?cè)趯?shí)際操作時(shí)候需要先對(duì)g(x)進(jìn)行微小調(diào)整使得重根分裂為幾個(gè)不同的單根，這種定義方式的好處在于在必要的時(shí)候我們可以把原先實(shí)軸上的積分解析延拓到復(fù)平面上的軌道積分。?δ(xi)δ–δ函數(shù)的概念，我們便可以利用電荷密度的方式描述離散點(diǎn)電荷。假定點(diǎn)x?處存在一個(gè)離散電荷Q，那么這種情況下電荷密度可以寫成ρ(x)=Qδ3(x? δ3(x)≡ ?x??|x?x′

=4πδ3(x? ?x–上面我們把離散的點(diǎn)電荷用體電荷密度替代了。我們同樣可以問是否能利用δσλρ。答案是肯定的，?以面電荷密度為例，假如電荷所分布的曲面可以由某個(gè)方程f(x)=0ρ(x)=σ(x)δ(f x2-x3x10x20，甚arctan(x1)=0δ函數(shù)的性質(zhì)(6.7)我們知道這些不?這門課程中我們不要求大家掌握關(guān)于面密度與線密度的體密度描述方法。方向做積分的時(shí)候我們能夠恰好遇到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的δ(x)函數(shù)（從而只留下σ(x本身）f(xf的值沿法方向的增減速度。由此我們便知道首先得確保f(x)在曲面上不能有重根，在這個(gè)前提下正確的表達(dá)式實(shí)際只需再額外乘以f(x)梯度矢量的模長(zhǎng)ρ(x)=σ(x)|?f(x)|δ(f ·作為驗(yàn)證，我們看一下第一次作業(yè)中的例子。我們假設(shè)曲面x3?(x2+x2)?1/2上均勻分布有面密度恒為σ用面分布的話，我們以{x1,x2}電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野66.2.σs1

?x3

?x3

dx1dx2=

s dxs (x2+x2 f=x3x2x2)?1/2 x3∫∫

?∞?∞σ|?fx3+(x1+

2

=σ|?fx=(x1,x2,?(x2x2)?1/2)(x2+x2(x2+x2?f(x)=? (x2+x2(x2+x2?λ(x)，我們首先要明確三維空間中的曲線一般可以由兩個(gè)g(x)h(x)。因此在它的體電荷密度描?h(x)這兩個(gè)矢量張成。與面電荷分布的情況類似，g(x)h(x)的選ρ(x)=λ(x)|(?g(x))×(?h(x))| 泊松方程、拉普拉斯方 ??(x)+ = ??(x)≡?· equation爾坐標(biāo)系中這里的二階微分算符?2實(shí)際為 ?=?x2+?x2+?x2 ρ(x)=0，那么上述方程?2?(x)= equation靜電場(chǎng)的能量密 q而言，當(dāng)它在移動(dòng)過程中其所處位置的電勢(shì)改變了??時(shí)，我們說它在靜電場(chǎng)中的勢(shì)能改變了?E，滿足?E= 如果一個(gè)靜電系統(tǒng)中只有一個(gè)點(diǎn)電荷Q1，電勢(shì)在無限遠(yuǎn)處衰落至零，那么這個(gè)電由此我們可以假定這樣的系統(tǒng)的靜電勢(shì)能E=0。Q2x2， Q1Q2 4π?0|x1?Q1Q2荷Qn移動(dòng)至xn，那么移動(dòng)過程中外界做的功為n∑4π?0|xi?n∑4π?0|xi?n個(gè)電荷組成的系統(tǒng)整體的靜電勢(shì)能增量。因此遞推可知，如果一個(gè)系統(tǒng)由n個(gè)離散的點(diǎn)電荷組成，并在無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)衰減至零，那么系統(tǒng)所擁E=1

QiQj 1n

QiQj 4π?01≤i<j≤n|xi?xj

|xi?為零，但是構(gòu)成密度為ρ(x)的連續(xù)分布，那么系統(tǒng)的總電勢(shì)能為E=1∫d3xid3xjρ(xi)ρ(xj)

|xi?上述表達(dá)式也可以寫成一個(gè)等價(jià)的形式：如果已知每一點(diǎn)處的電勢(shì)為?(x)，那么總E=1∫ 電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野66.3.E==

d3x(?· d3x?·(ΦE)??0

d3x(E·

=

Φ(x)E(x)dS+

d3x 2|E(x)| 現(xiàn)在我們反過來看一下前面提到的所謂電荷自身勢(shì)能的情況。為了說明問題，我們Q1x1Q2x2。按照6.29)計(jì)算，系統(tǒng)的總電勢(shì)能為E=?0

x?

+

x?

V4π?0|x? 4π?0|x?=?0

x?

dV

?0

x?

V4π?0|x? V4π?0|x?+Q1Q2 (x?x1)·(x?x2)dV 16π2?0V|x?x1|3|x? Q1Q2時(shí)候電場(chǎng)依照能量密度(6.29)I。為了方便計(jì)算這個(gè)積分我們可以以x2作為原點(diǎn)，并以x1?x2標(biāo)記第三軸正向（假定其笛卡x1?x2=(0,0,a)）建立球坐標(biāo)系，于是x?x1=(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ? x?x2=(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcos 2∫∞dr∫πd r?acos sin=π θ(r2+a2?2racos

2π∫ ∫ s? (s2+1?ras，cosθt2。我 . 4π?0|x1?當(dāng)然，這并不能說明兩種計(jì)算之間存在什么矛盾。前面我們看到電勢(shì)的取值存在一我們不難看到，這部分貢獻(xiàn)不會(huì)參與系統(tǒng)與外界的任何作用：它完全不會(huì)由于電荷系統(tǒng)對(duì)外界的做功而增加或者減少。因此這部分貢獻(xiàn)到底取什么值在物理上是沒有(6.29計(jì)算的話這部分貢獻(xiàn)是發(fā)散的。 一般矢量場(chǎng)的分 存在有限邊界的靜電問 導(dǎo) 鏡像 一般矢量場(chǎng)的分 ?·v(x)= 出發(fā)，并已知源的分布ρ(x)（假設(shè)這個(gè)分布是局域的現(xiàn)在問存在什么樣的矢量v(xv1(x來，v1(x)=1∫d3x′ρ(x)x?x′ |x?x′v(x)?×v(x)= (?·u= v1(x)v(x)v(x)=v1(x)+ ?·v1(x)= ?×v1(x)= ?·v2(x)= ?×v2(x)= v1有源v2則有旋而無源。到此我們看到矢量場(chǎng)的散度與旋度是兩種相電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野77.1.我們可以進(jìn)一步挖掘上述分解蘊(yùn)含的信息。從靜電場(chǎng)電勢(shì)的討論我們得知v1(x)可v1(x)=?f 代一個(gè)一階微分形式ω1的外微分為零dω1= ω1=v1·(dx1,dx2, fω1=df v2ω2=v2·(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧ dω2= ω2= A=A·(dx1,dx2, R3dA=(?×A)·(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧ v2(x)=?× AR3v(x)=?f(x)+?× 存在有限邊界的靜電問 ??(x)=

在利用微分方程求解靜電場(chǎng)分布的時(shí)候我們首先面對(duì)的問題是什么樣的已知邊界條件能夠幫助我們唯一確定出電場(chǎng)的分布。顯然，如果沒有足夠的邊界條件輸入的話，微分方程本身往往會(huì)給出多種可能的解，此時(shí)邊界條件的信息還不足以完全替代缺失掉的有關(guān)完整電荷分布的信息。而如果邊界條件不小心設(shè)置的過多的話，我們同樣有可能沒法保證微分方程給出的任何一個(gè)解都與所有邊界條件相符合（作為類比，在研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果我們?cè)诔跏紩r(shí)刻和終止時(shí)刻把質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)以及速度（一個(gè)一元二次常微分方程往往是無解的?！?·v(x)d3x= v(x)· φ(x)ψ(x)v(x)= 把這個(gè)選擇代入高斯定理，并注意到恒等?·(ψ?φ)=?i(ψ?i

=(?iψ)(?iφ)+ψ(?i?i=(?ψ)·(?φ)+ψ?2

∫?ψ·?φ+ψ?2φd3x= ψ(?φ)· 該等式稱為格林第一恒等式（Green’sFirstIdentity(??·dSφ在?V上任意點(diǎn)沿曲面法矢量方向的方向?qū)?shù)與該點(diǎn)處曲面面元（模長(zhǎng)）再次強(qiáng)調(diào)，作為一個(gè)數(shù)學(xué)恒等式，(7.22)V以及任意的標(biāo)量場(chǎng)（或函數(shù)）φ(x)ψ(x)都是成立的。特別地，這里的兩個(gè)函數(shù)一般甚至可以是多元函數(shù)，只不過在該恒等式中我們僅關(guān)注它們對(duì)積分變量x的依賴。電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野77.2.V內(nèi)靜電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù)有兩個(gè)不同的解都滿足同樣的泊松方程(7.18)，那么它們的差u(x)=?1(x)??2(x)在區(qū)域V內(nèi)滿足拉普拉斯方程?2u(x)= φ(x)ψ(x)u(x)，我們看到恒等式左側(cè)∫|?u|2d3x=

u(?u)·(?1??2)(E2·dS?E1·

u在整個(gè)區(qū)域V一定總是有|?u(x)|≡|E1(x)?E2(x)|= E1(x)=E2(x)，我們從而得到唯一的解。當(dāng)然，如果是看電勢(shì)函數(shù)的話，?1(x)?1(x)?2(x))況下靜電問題的解是唯一的。這種已知電勢(shì)函數(shù)?(x)在邊界上取值的條件稱為狄利希里條件（Dirichletcondition）。這里取值可以是一個(gè)常數(shù)也可以是依E2·dSE1·dS0，靜電問題的解也是唯一的。這種已知邊界上電場(chǎng)（或電勢(shì)梯condition域邊界?V拆分成若干互不重疊的區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域上分別給出狄利希里條件或者庫(kù)侖定律在有限區(qū)域靜電問題中的擴(kuò) 場(chǎng)φψ對(duì)調(diào)，再減去(7.22)自身，可以得到一個(gè)更對(duì)稱的恒等式∫φ?2ψ?ψ?2φd3x= (φ(?ψ)·dS?ψ(?φ)·dS) 這稱為格林第二恒等式（Green’sSecondIdentity）V以及任意函數(shù)φ(x)和ψ(x)都成立。在格林第二恒等式(7.26)左側(cè)的體積分里我們看到了一個(gè)熟悉的結(jié)構(gòu)?2。同樣的算符出現(xiàn)在了泊松方程里。于是我們直接令φ(x)=?(x)就是我們想要求解的靜電系??(x)= ??(x)=

G(y,x)?2G(y,x)=?4πδ3(y? ?x∫?4πδ3(y?x)?(x)+G(y,x)ρ(x)= (?(x)(?G(y,x)·dS)+G(y,x)(E(x)·dS))

G函數(shù)的要求(7.28)y∈VV (x)=

G(x,

14π

G(x,x′)(E(x′)·dS)?1

?(x′)(?′G(x,x′)·x′。?′勢(shì)函數(shù)?(x)寫成了三個(gè)貢獻(xiàn)的加和。電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野77.3.–Vρ(x′是作為已知數(shù)據(jù)G(x,x′)= , |x?x′G(xx′)xx′之間幾何關(guān)系對(duì)電勢(shì)的影響。這個(gè)function–另外兩項(xiàng)貢獻(xiàn)都源自于區(qū)域邊界上的積分，因而會(huì)與靜電問題中設(shè)置的邊界條G(xx′)是已知的，那么當(dāng)邊界上指定狄利希里條件的G(xx′)的微分方程(7.28)G(x,x′)所滿足的邊界條件，使得在唯一確定它的表達(dá)式的同時(shí)將(7.31)中兩個(gè)邊界G(x,x′)= ?x′∈ GG自身GV內(nèi)的電勢(shì)便 (x)=

G(x, 1

?(x′)(?′G(x,x′)· 積分（因?yàn)槲覀儾恢离妱?shì)在邊界上的值G函數(shù)提供一?′G(x,x′)法向分量= ?x′∈ G的表達(dá)式后我們便可以利用(7.30)退化 (x)=

G(x, 1

G(x,x′)(E(x′)· V場(chǎng)分布時(shí)，我們首先都需要根據(jù)微分方程(7.28)GGfunction在從微分方程出發(fā)求解靜電問題時(shí)我們輸入的信息往往分為三個(gè)部分導(dǎo) E(x)·S=(???)·S

電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野77.5.結(jié)論，σ(x)=?0|E(x)|。這種電荷分布也稱為感應(yīng)電荷(inducedcharge)，因?yàn)楱C當(dāng)導(dǎo)體具有空腔時(shí)，如果空腔不存在額外的電荷，那么導(dǎo)體的空腔中電場(chǎng)恒為零。這里我們?cè)趯?dǎo)體的內(nèi)表面及其包圍的空腔中討論靜電問題的解。因?yàn)榭涨籧。很容?(x)=c一定是滿足這些條件的一個(gè)解。依據(jù)上一講介紹的解的唯一而與導(dǎo)體外表面的感應(yīng)電荷分布以及其它可能存在的空腔均無關(guān)。Vρ(x)定會(huì)有感應(yīng)電荷分布，內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷總量—∫V 鏡像 例一。假設(shè)x1≤0的整個(gè)空間中布滿了導(dǎo)體，導(dǎo)體的電勢(shì)為零。在點(diǎn)A=(a,0,（a>0）Qx1>04π?0(a2+x2+x2–這個(gè)問題中空間的邊界是一個(gè)導(dǎo)體，相應(yīng)地我們有一個(gè)狄利希里條件，即導(dǎo)體4π?0(a2+x2+x24π?0|x?4π?0|x?

(?a,x2,

(?a0,0)?Q的電荷（稱4π?0|x+4π?0|x+

=? (a,x2,

4π?0(a2+x2+x2E(x)= x?A? x+A x1> 4π?0|x? 4π?0|x+x1>0之外，它顯然滿足該區(qū)間里的泊松方程。我們需要再檢查一下它是?(x)=Q1?1

|x?(x1(x1?a)2+x2+

|x+ (x1+(x1+a)2+x2+

! x1> x1=0時(shí)恒為零（不過這里已經(jīng)被所假設(shè)的導(dǎo)體電勢(shì)大小固定了。由狄利希里條件下電場(chǎng)解的唯一性我們于是知道7.40)就是最終的答案。–現(xiàn)在我們回過來反觀一下上一講介紹的格林函數(shù)方法。對(duì)于狄利希里條件一般(x)=

G(x, 1

?(x′)(?′G(x,x′))· V為x1>0的區(qū)域，?V為x2-x3坐標(biāo)平面。由于導(dǎo)體的電勢(shì)為V中的體積分。ρ(x′)=Qδ3(x′? G(x,x′)= ? , |x?x′ |x?′我們也可以首先從格林函數(shù)的角度出發(fā)，問格林函數(shù)的具體形式應(yīng)該是什么。1）鏡像電荷一定在所考察區(qū)域之外（否則會(huì)破壞泊松方程2|x?x′|?1–當(dāng)有了格林函數(shù)的表達(dá)式(7.44)以后，對(duì)于區(qū)域x1>0ρ(x) (x)=

G(x, x∈V意點(diǎn)(0,x2,x3)處總的場(chǎng)強(qiáng)為() ∈E Q (?a,0, () ∈2π?0(a2+x2+x3 σ(x)=?2π(a2+x2+x2)3/2 x∈ ?如果我們是觀察導(dǎo)體的受力，那么這等效于導(dǎo)體表面每個(gè)面元上電荷受力F=

rdr,0, 2 (a 2

,0,0（切向受力對(duì)于完整的導(dǎo)體而言相互抵消了?如果我們是觀察點(diǎn)電荷，計(jì)算方法則更為簡(jiǎn)單。原則上我們需要計(jì)算導(dǎo)體F′= 2a 4π?0例二–為了理解最一般的情況，我們首先研究一下兩個(gè)帶有相反符號(hào)的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生Q1?Q2x?r0,0處。我們x1軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。我們還是取無窮遠(yuǎn)處參考電勢(shì)為零。加入點(diǎn)x位于電勢(shì)為C的等勢(shì)面上，那么我們有如下關(guān)系式 Q2

4π? |x|?|x?x′|=√x2+x2+x2?

+r)2+x2+x3 CC?Q1Q22x1+r= ?Q1/Q2時(shí)（Q1Q2x1x1

+x2+x2 Q2? +x2+x2 ((?

r,0,0)為圓心，Q1 Q2Q2為R，兩個(gè)電荷距該球面距離分別為r1和r2，那么我們總是有r1r2= rr rr –0)?|a|<R?|a|>R。R2 （這個(gè)位置一定是在導(dǎo)體里面，并帶電荷—|a| x4π?0|x?a|?4π?04π?0|x?a|?4π?0|a|x?R2G(x,x′)= ? . |x′|x?x′ |x′|x?Rx|x′ 笛卡爾坐標(biāo)系下的變量分 正交曲線坐標(biāo) 變量的分 ?(?(x)= ?x2+?x2+?x2+

這是一個(gè)二階三變量的齊次方程。直接嘗試從邊界條件出發(fā)對(duì)這樣的方程做積分是這里的核心思想包括兩個(gè)方面：笛卡爾坐標(biāo)系下的變量分 ?(x)=

+

+

= 電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野88.2.A1、A2A3，于是對(duì)于這個(gè)試探解拉普

+A1U(x1)= +A2V(x2)= +A3W(x3)= 并并A1+A2+A3= 于是我們確實(shí)得到了三個(gè)因子函數(shù)U(x1)、V(x2)以及W(x3)各自所滿足的一元常正交曲線坐標(biāo) ??在笛卡爾坐標(biāo)系中不會(huì)特意強(qiáng)調(diào)這個(gè)問題，因?yàn)榘凑找话慵s定我們直接用x=(x1,x2,x3)、y=(y1y2y3)，那么它們之間距|x?y|=q(x1?y1)2+(x2?y2)2+(x3? dldl=(dx1,dx2,dx3)≡dx1?1+dx2?2+dx3?3, {?1,?2,?3}?i?j dxii?然而在一般的坐標(biāo)系中上述刻度與距離間的直接對(duì)應(yīng)不再適用。作為解釋xtxsinhtt∈(?+∞與一維空間中的點(diǎn)也具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。然而，這時(shí)我們的線元dl則為dl=dx=cosht coshtttt刻度所對(duì)參數(shù)為{t1,t2,t3}。為了避免混淆，我們把任意一點(diǎn)上三個(gè)坐標(biāo)方向的單位矢量記為{?1,?2,?3}，?i?j dl=f1dt1?1+f2dt2?2+f3dt3?3, f1,f2,f3}三個(gè)標(biāo)量因子分別指代三個(gè)坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的標(biāo)度，類似于(8.11)coshtdS=f2f3dt2∧dt3?1+f3f1dt3∧dt1?2+f1f2dt1∧dt2?3, dV=f1f2f3dt1∧dt2∧ ∫Rdω=∫R （–∫L(??·dl=??=∫??dt1+??dt2+

=∫??,??,??·(dt1,dt2,?(8.17)中第一個(gè)等號(hào)是從宏觀角度考慮要求斯托克斯定理(8.16)是一個(gè)不??。?第二個(gè)等號(hào)是拋開了幾何尺度不談純粹從參數(shù)角度在指定鄰域內(nèi)我們定?第三個(gè)等號(hào)是利用了區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)上坐標(biāo)架的正交歸一性質(zhì)(??)將被積e?的線性展開。a1?1a2?2a3?3. 由(8.13)dl(dt1dt2dt3)e?每一個(gè)分量都多出了一個(gè)標(biāo)度fi，因此在梯度的每一個(gè)分量中除了對(duì)新坐標(biāo)的偏導(dǎo)外我們也需要把這些??=1???1+1???2+1???3. f1 f2 f3∫S(?×v)·dS=∫Sv· 注意這里矢量場(chǎng)的三個(gè)分量為新坐標(biāo)系下的分量而非笛卡爾坐標(biāo)系里的分量，v=v1?1+v2?2+v3?3。用分量形式右側(cè)的積分元可以寫為v·dl=(v1,v2,v3)e?·(f1dt1,f2dt2,=(f1v1,f2v2,f3v3)e?·(dt1,dt2,

(?×v)·dS=?(f3v3)??(f2v2),?(f1v1)??(f3v3),?(f2v2)·(dt2∧dt3,dt3∧dt1,dt1∧dt2)e?dS的定義(8.14)?×v=1?(f3v3)??(f2v2)?1+1?(f1v1)??(f3v3)?2

f2

f3

f1+1?(f2v2)??(f1f1∫V(?·v)dV=∫Vv· (v1,v2,v3)e?·(f2f3dt2∧dt3,f3f1dt3∧dt1,f1f2dt1∧ (f2f3v1,f3f1v2,f1f2v3)e?·(dt2∧dt3,dt3∧dt1,dt1∧dt2)e?(?·v)dV=?(f2f3v1)+?(f3f1v2)+?(f1f2v3)dt1∧dt2∧dV的定義(8.15)f1f2?·v= ?(f2f3v1)+?(f3f1v2)+?(f1f2拉斯算符?2的表達(dá)式為f1f2?2?= ?f2f3??+?f3f1f2–對(duì)于所有這些表達(dá)式，我們看到當(dāng)選取笛卡爾坐標(biāo)系的時(shí)候，f1=f2=f31，r與兩個(gè)角度參數(shù)θ與φ。它們與笛卡爾坐標(biāo)之間的關(guān)系為x1=rsinθcos x2=rsinθsin x3=rcos dx1?1dx2?2dx3?3=(drsinθcosφ+dθrcosθcosφ?dδ?rsinθsinφ)?1+(drsinθsinφ+dθrcosθsinφ+dφrsinθcosφ)?2+(drcosθ?dθrsinθ)?3 =dr(sinθcosφ?1+sinθsinφ?2+cosθ fr+dθ(rcosθcosφ?1+rcosθsinφ?2?rsinθ?3)

?θ ?1?2) ?φ dr、dθdφ分別乘的矢量的單位矢量，由此得到球坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)上?r(x)?1?2?3, ?θ?1?2?3, ?φ(x)?1?2. ?r?θ?φ. fr= fθ= fφ=rsin ??=r2+r2sinθsin+??=r2+r2sinθsin+r2sin2θ?φ2 1]， 1?

2

1

2

??=r2

r

+r2

(1?t)

+r2(1?t2)?φ2 z12平面上使{rφ}，它們與笛卡爾坐標(biāo)之間的關(guān)系為x1=rcos x2=rsin x3= ?r?φ?z. fr= fφ= fz= ??=r+r2?φ2+??=r+r2?φ2+?z2 變量的分 ?(t1,t2,t3)= 拉普拉斯算符里每一項(xiàng)只作用在其中一個(gè)因子上。當(dāng)?2作用完以后我們?cè)俪?(r,t,φ)= 1?r2 1? t2 R +P ) +(1?t2)F?φ2?r2?R+A1R=?(1?t2)?P?A1+A2P=

???φ2+A2F= ?(r,t,φ)= 8.3.

1

1

1?2H

Rr

+Fr2?φ2+

r?R?(A1+r2A2)R= ???φ2+A1F= ???z2+A2H= 正交函 笛卡爾坐標(biāo) 球坐標(biāo) 多極子與靜電場(chǎng)的多極展 正交函 (ab)Un(x)n用以區(qū)分∫bU?x

x

=那么我們稱它們?yōu)檎粴w一的（=里每一個(gè)“點(diǎn)”都對(duì)應(yīng)于某個(gè)函數(shù)f(x)，并可以一般性地展開為f(x)=∑ cn為線性展開系數(shù)。有了上述正交歸一關(guān)系后我們甚至可以非常方便地利用f（如果已知它的具體表達(dá)式的話）cn

∫n(x∫

電動(dòng)力學(xué)講義（袁野電動(dòng)力學(xué)講義（袁野99.1.Un(x)是：是否存在一組基函數(shù)Un(x)使得這樣構(gòu)造出來的函數(shù)集合與（一定條件下）區(qū)間(ab)上所有函數(shù)的集合等價(jià)(ab)Un(x)該問題涉及到基矢量Un(x)