人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分類(lèi)集訓(xùn)專(zhuān)題115期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之二元一次方程組十四大(原卷版+解析)

專(zhuān)題1L5二元一次方程組十四大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】...........................................................1

【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】................................................................2

【考點(diǎn)3解二元一次方程組】...................................................................2

【題型4同解方程組】.........................................................................3

【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】......................................................3

【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】............................................................4

【考點(diǎn)7二元一次方程的整數(shù)解】..............................................................4

【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】...........................................................5

【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問(wèn)題】.........................................................6

【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】......................................................7

【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】................................................8

【考點(diǎn)12二元一次方程（組）的應(yīng)用】...........................................................9

【考點(diǎn)13三元一次方程組的解法】.............................................................10

【考點(diǎn)14三元一次方程組的應(yīng)用】.............................................................11

手，?三

【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】

[例I]（2022?浙江?義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級(jí)階段練習(xí)）方程①ZL3y=1,②孫=-2,@x2-5x

=5,④x-]2=0中，為二元一次方程的是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【變式1-1]（2022?上海?期末）下列方程組中，二元一次方程組有（）

①閔J'

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式1-2]（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）已知（。一2）X+。2-3+、=1是關(guān)于％,y的二元一次方程，則

Q的值為.

【變式1-3]（2022?浙江?杭州市大關(guān)中學(xué)七年級(jí)期末）關(guān)于x,y的二元一次方程如+b），=c（mb,c是常數(shù)），

b=a+l,s隊(duì)1,對(duì)于任意一個(gè)滿(mǎn)足條件的小此二元一次方程都有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為.

【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】

【例2】（2022?浙江?華東師范大學(xué)附屬杭州學(xué)校七年級(jí)期末）方程組二］的解為3則被遮蓋

的兩個(gè)數(shù)團(tuán)和■分別為（）

A.1,2B.5,1C.2,3D.2,4

【變式2-1］（2022?陜西?商洛市山陽(yáng)信毅九年制學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）樂(lè)樂(lè)，果果兩人同解方程組

｛二=孺二甯時(shí)，樂(lè)樂(lè)看錯(cuò)了方程①中的〃，解得［;二:，果果看錯(cuò)了方程②中的，解得

/2022

求0+（一4h）x的值.

【變式2-2】（2022?江蘇?無(wú)錫市查橋中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）若｛：二12和后;二:是某二元一次方程的解，

則這個(gè)方程為（）

A.x+2y--3B.2x—y=0C.y=3x—5D.x—3=y

【變式2-3］（2022?陜西漢中?七年級(jí)期末）已知關(guān)于％、y的方程組,則下列結(jié)論中正確的

有（）

①當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程》+7=2的解；

②當(dāng)x=y時(shí)，a=_*

③不論a取什么數(shù)，2%+y的值始終不變.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【考點(diǎn)3解二元一次方程組】

【例3】（2022?浙江?杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）關(guān)于％,y方程組｛3￡久；彳2滿(mǎn)足刈、的和

為2,則in?一2瓶+1的值為.

【變式3-1］（2022?福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知方程組1至+4,=［的解也是方程組

朦二5一二6的解求3的值?

【變式3-2］（2022?山東?聊城市東昌府區(qū)水城雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）解方程組

二:

（3（%+y）-4（%—y）=4

（2）1力+口=1

I26

【變式3?3】（2022?江蘇泰州?七年級(jí)期末）在等式丁=加+法+1中，當(dāng)X=-1時(shí)，y=6；當(dāng)x=2時(shí)，y

=11.

（1）求小人的值:

（2）當(dāng)x=-3時(shí)，求y的值.

【題型4同解方程組】

【例4】（2022?山東濟(jì)寧?七年級(jí)期末）己知方程組和方程組有相同的解，則a,b的

值分別為（）

A?｛廠：B.｛f=4C.（V；6D.代二手

3=2lb=-6（b=2Ib=2

【變式4-1】（2022?湖北武漢?七年級(jí)期末）已知方程組與二s'有相同的解，則巾+

n=.

【變式4-2］（2022?黑龍江?大慶市高新區(qū)學(xué)校七年級(jí)期末）關(guān)干x.y的兩個(gè)方程組｛。;1,黑二？和

二蹌U有相同的解，則押值是（）

A.-B.-C.--D.-

3232

【變式4-3】（2022?陜西安康?七年級(jí)期末）已知關(guān)于3,V的二元一次方程組和｛『二/二二

的解相同，求Q+b的值.

【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】

【例5】（2021?山東濱州七年級(jí)期末）解方程組償雪;;時(shí)，一學(xué)生把曙錯(cuò)而得到｛j蠢2,而正確

的解是｛::耳，那么。+力+c的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式5?1】（2022?四川巴中?七年級(jí)期末）甲、乙兩人解關(guān)于x、y的方程組=一；&時(shí)，甲因看

（ax+by=-5②

錯(cuò)〃得到方程組的解為［二;，乙將方程②中的b寫(xiě)成了它的相反數(shù)得到方程組的解為｛；二二：.

⑴求〃、b的值;

⑵求原方程組的解.

ax-Sy=15①

【變式5-2】（2018?江西宜春?七年級(jí)期末）已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的Q得到

4x—by=-2@

方程組的解為二:；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為若按正確的a,b計(jì)算，請(qǐng)你求原

方程組的解.

⑴計(jì)算：F(1213),尸(8567)；

⑵若"M數(shù)，=8900+10x+y(1<x<9,1<y<9,x,y都是正整數(shù))，/(九)也是數(shù)〃，旦產(chǎn)(九)能

被8整除.求F[F(n)]的值.

【變式7?3】(2022?重慶涪陵?七年級(jí)期末)對(duì)于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零的三位自然數(shù)m,若m的十

位數(shù)字等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，則稱(chēng)這個(gè)自然數(shù)m為“三峽數(shù)”.當(dāng)三位自然數(shù)m為“三峽數(shù)〃時(shí)，交換機(jī)

的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后會(huì)得到一個(gè)三位自然數(shù)n,規(guī)定F(m)=*.例如：當(dāng)m=583時(shí)，因?yàn)?+3=8,

583-385198

所以583是“三峽數(shù)"；此時(shí)n=385,則F(m)=登---------=——=2n.

9999

⑴判斷341和153是否是“二峽數(shù)〃？并說(shuō)明理由；

⑵求戶(hù)(352)的值；

⑶若三位自然數(shù)m=100a+10(a+b)+b(即m的百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是Q4-b,個(gè)位數(shù)字是b,1<a<

9,l<d<9,a,匕是整數(shù)，1Wa+bW9)為"三峽數(shù)〃，且F(m)=5時(shí)，求滿(mǎn)足條件的所有三位自然數(shù)m.

【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】

【例8】(2022?福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))數(shù)學(xué)方法:

解方程組:吃“1奢一乳=2，若設(shè)2%+y=m,%-2y=ri,則原方程組可化為｛羿"=26

(2(2%+y)+3(x-2y)=13127n4-3n=13

解方程組得｛工裳，所以?xún)?yōu)貳U，解方程組得后二，我們把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字

母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法.

⑴直接填空：已知關(guān)于斯y的二元一次方程組二;，的解為｛菰才，那么關(guān)于加、〃的二元一次

方程紂淤+n)+/>(m-n)=6的解為：_____________.

｛b｛m+九)+a(m—n)=3

(也一曰=4

⑵知識(shí)遷移：請(qǐng)用這種方法解方程組23.

(2(x+y)+x-y=16

⑶拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x,y的二元一次方程組匿機(jī)設(shè)二魯?shù)慕鉃椋?二3，

求關(guān)于x,)，的方程組普翁/的解?.

(2a2x+362y=5c2

---=1

【變式8-1](2022?上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末)用換元法解方程組H”1時(shí)，可設(shè)工==v,

-+—=1*y+】

\Xy+i

則原方程組可化為關(guān)于〃、好的整式方程組為

x+y=22①

【變式8-2】(2022?陜西?西大附中濟(jì)浦中學(xué)八年級(jí)期末)解方程組:

4(%+y)-5(x-y)=-2@

【變式8-3](2022?北京朝陽(yáng)?七年級(jí)期末)閱讀下列材料并填空:

(1)對(duì)于二元一次方程組工我們可以將％,y的系數(shù)和相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)表W，求

得一次方程組的解;，用數(shù)可表示為(：；；).用數(shù)表可以簡(jiǎn)化表達(dá)解一次方程組的過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)全

其中的空白：

上行f3叫m-J3018]上二、06_fl06]卜叫

下行[1336；{\336JU336}10330)

從而得到該方程組的解為&二二Z二.

(2)仿照(1)中數(shù)表的書(shū)寫(xiě)格式寫(xiě)出解方程組的過(guò)程.

【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問(wèn)題】

【例9】(2022?貴州?銅仁市第十一中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))我們規(guī)定：[m]表示不超過(guò)m的最大整數(shù)，例如：

[3.1J=3,[0J=0,1-3.1]=—4,則關(guān)于"fly的二元一次方程組儼]：二一瞥二的解為()

{X-[y]=[3.2]

A(x=3.2,(x-2.4,*(x=3,卜(4=3.4,

A.{DB.<C.{D.{

(y=0.2(y=1.2(y=0.2(y=0.2

【變式9-1](2022?江蘇?鹽城市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末)如果一個(gè)正整數(shù)m=aZb2(a,b均為正整數(shù)，且axb)我

們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“平方差數(shù)"，則a,b為m的一個(gè)平方差分解，規(guī)定：F(m)耳例如：8=8xl=4x2,由8=a2-b2=(a-

b)(a+b),可得或因?yàn)閍,b為正整數(shù)，解得{；；：，所以F(8)總試求F(45)的值

為.

【變式9?2】(2022?吉林?大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí))定義新運(yùn)算12對(duì)于任何非零實(shí)數(shù)人b.都有

ax-by.

(1)若2團(tuán)2=-3,求x-y的值；

(2)若313(-2)=3,(-2)123=8,求x、y的值.

【變式9-3](2022?江蘇南通?七年級(jí)期末)定義：數(shù)對(duì)(x,y)經(jīng)過(guò)一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)(/,、')，將該運(yùn)算

記作：

d(x,y)=(x；/),其中匕=Q'+?(①b為常數(shù)).

(y=ax-by

例如，當(dāng)a=1,b=1時(shí)，d(—2,3)=(1,-5).

(1)當(dāng)。=2,b=l時(shí)，d(3,l)=:

⑵若d(-3,5)=(-1,9),求a和b的值;

⑶如昊組成數(shù)對(duì)(x,y)的兩個(gè)數(shù)％,y滿(mǎn)足二元一次方程％-3y=0時(shí)，總有d(x,y)=(--y),則

a=,b=.

【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】

【例10】（2022秋?四川成都?七年級(jí)統(tǒng)考期末）相傳大禹時(shí)期，洛陽(yáng)市西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛

書(shū)"，獻(xiàn)給大禹，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州.圖1是我國(guó)古代傳說(shuō)中的洛書(shū)，圖2是洛書(shū)的數(shù)字

表示，洛書(shū)是一個(gè)三階幻方，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入3X3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對(duì)

角線上的數(shù)字之和都相等.在圖3的幻方中也有類(lèi)似于圖1的數(shù)字之和的這人規(guī)律，則a+b的值為（）

492a12-2

357048

81610b6

圖2圖3

B.-2C.4D.6

【變式10-1]（2022春?北京石景山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

序號(hào)123..n

2x+y=32x+y=52x+y=7

方程組

'-x—2y=44-4y=164-6y=36

x=2x=4x=6

R=-10=—3ty=-5

方程組解

按此規(guī)律，第n個(gè)方程組為,它的解為（n為正整數(shù)）.

【變式10-2]（2022秋?陜西寶雞?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的各圖表示由若干盆花組成的形如三角形的圖

案，每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有〃（〃:>1）盆花，每個(gè)圖案花盆的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷，以s,〃為未知數(shù)的

二元一次方程為.

O

oOO

ooOO

)00(

n=2n=3w=4

【變式10-3】(2022秋?湖北省直轄縣級(jí)單位?七年級(jí)統(tǒng)考期中)觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分

【例11】(2022秋?重慶大渡口?八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校?？计谀?閱讀下列材料，回答問(wèn)題.

對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n,如果n滿(mǎn)足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)"，將

一個(gè)“相異數(shù)〃任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111

的商記為尸(n).例如n=123,對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321,對(duì)

調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132,這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666,因?yàn)?66+111=6,所

以“123)=6.

(1)計(jì)算：F(341)=,F(625)=:

(2)若s,t都是"相異數(shù)"，其中s=100%+32,t=150+y,1<%<9,1&yK9且％,y都是正整數(shù)，規(guī)

定k=F(s)-F(t),當(dāng)F(s)+尸(t)=19時(shí)，求k的最小值.

【變式11-1】(2022春?廣西南寧?七年級(jí)統(tǒng)考期末)【閱讀理解】我們知道方程2x+3y=12有無(wú)數(shù)個(gè)解，但

在實(shí)際問(wèn)題中往往只需求出其正整數(shù)解.

例如：由Zi+3y=12,得：y=12~2x=4-^x(x、y為正整數(shù)).

要使y=4為正整數(shù)，則疑為正數(shù)可知：k為3的倍數(shù)，從而x=3,代入y=4-打=2.

所以2x+3y=12的正整數(shù)解為「:?

⑴【類(lèi)比探究】請(qǐng)根據(jù)材料求出方程九+2)，=8的正整數(shù)解.

⑵【拓展應(yīng)用】把一根長(zhǎng)20米的鋼管截成2米長(zhǎng)和3米長(zhǎng)兩種規(guī)格的鋼管，在不造成浪費(fèi)的情況下，共有

幾種截法？

【變式11-2】(2022春?重慶?八年級(jí)重慶八中校考期末)閱讀以下材料，并利用材料知識(shí)解決問(wèn)題.

材料一：如果實(shí)數(shù)m6滿(mǎn)足a(b-1)=6-2b,那么就稱(chēng)。和b是一組“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，用有序數(shù)對(duì)(a,b)表示.例

如：由于1'(3-1)=6-2*彳所以(1,9是"創(chuàng)意數(shù)對(duì)”?

材料二：任何一個(gè)自然數(shù)M都能分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積：M=AxB,對(duì)于M的所有分解，當(dāng)口一團(tuán)最小

時(shí)，我們稱(chēng)此分解為M的“和值分解”，并記F(M)=A+B.例如:對(duì)于18=lxl8=2x9=3x6,0|3-6|<

|2-9|<|1-18|,018=3x6是18的“和值分解〃，尸(18)=3+6=9.

⑴是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得(2,m)是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)〃？如果存在，請(qǐng)求解出山的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵一人兩位數(shù)N的十位數(shù)字為",個(gè)位數(shù)字為y,若&j)是“創(chuàng)意數(shù)對(duì)”，請(qǐng)求解F(N)的最小值.

【變式11-3】(2022春?重慶大渡口?七年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀下列材料，并根據(jù)材料回答以下問(wèn)題

材料一：一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位均不相等且不等于0,滿(mǎn)足這樣條件的數(shù)叫"無(wú)獨(dú)數(shù)".任選無(wú)獨(dú)數(shù)的兩個(gè)數(shù)

字，組成六個(gè)新的兩位數(shù)，并把這六個(gè)兩位數(shù)相加得到的和再除以11,得到的結(jié)果記作P(G).例如：無(wú)獨(dú)

數(shù)351,得到的六個(gè)兩位數(shù)分別為：35,31,53,51,13,15,則/(351)=^二18.

材料二：一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均為偶數(shù)，且百位數(shù)字最大，稱(chēng)這樣的三位數(shù)為“有偶數(shù)”.

⑴產(chǎn)(256)=；最小的有偶數(shù)為；

⑵試說(shuō)明任意一個(gè)無(wú)獨(dú)數(shù)〃?，F(xiàn)(m)的值均能被2整除；

⑶若一個(gè)三位數(shù)，，既是無(wú)獨(dú)數(shù)，又是有偶數(shù)，且F5)的結(jié)果為6的倍數(shù)，求滿(mǎn)足條件的所有〃.

【考點(diǎn)12二元一次方程(組)的應(yīng)用】

【例12】(2022?河南?南陽(yáng)市第十九中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))一方有難，八方支援."新冠肺炎〃疫情來(lái)襲，除

了醫(yī)務(wù)人員主動(dòng)請(qǐng)纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車(chē)向武漢運(yùn)送愛(ài)心

物資，兩次滿(mǎn)載的運(yùn)輸情況如表：

甲種貨車(chē)(輛)乙種貨車(chē)(輛)總量(噸)

第一次4531

第二次3630

⑴甲、乙兩種貨車(chē)每輛分別能裝貨多少?lài)崳?/p>

⑵現(xiàn)有45噸物資需要再次運(yùn)往武漢，準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車(chē)，每輛均全部裝滿(mǎn)貨物，問(wèn)有哪幾種租車(chē)方

案？

⑶若1輛甲種貨車(chē)需租金120元/次，1輛乙種貨車(chē)需租金100元次.請(qǐng)求出（2）中哪種租車(chē)方案費(fèi)用最少，

最少費(fèi)用是多少？

【變式12-1】（2022?重慶大足?七年級(jí)期末）今年“五一”勞動(dòng)節(jié)期間，某手機(jī)專(zhuān)賣(mài)店上架了甲、乙兩款手機(jī).前

三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比乙款手機(jī)的數(shù)量多50%,后兩天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比前三天售出的甲款

手機(jī)的數(shù)量少40%,結(jié)果后兩天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量比前三天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量多

12%,若后兩天甲、乙兩款手機(jī)的銷(xiāo)售總額比前三天甲、乙兩款手機(jī)的銷(xiāo)售總額多24%,在整個(gè)銷(xiāo)售期間甲

乙兩款手機(jī)的單價(jià)不變，則甲款手機(jī)的單價(jià)與乙款手機(jī)的單價(jià)的比值為.

【變式12-2]（2022?重慶銅梁?七年級(jí)期末）端午節(jié)臨近，某超市熱銷(xiāo)A、B、C三種粽子，其中其每千克B

種粽子的成本價(jià)比每千克4種粽子的成本價(jià)高50%,每千克。種粽子的成本價(jià)是每千克A種粽子的成本價(jià)

的2倍.最近，超市打算將三種粽子混裝配成甲、乙、丙三種禮品盒進(jìn)行銷(xiāo)售（禮品盒的盒子成本價(jià)不計(jì)）.其

中甲禮品盒有4種粽子3千克、8種粽子2千克、C種粽子2千克；乙禮品盒有A種粽子2千克、5種粽子

3千克、C種粽子3千克；丙禮品盒有A種粽子4千克、8種粽子2千克、C種粽子4千克.銷(xiāo)售時(shí)，每個(gè)

丙禮品盒在成本價(jià)基礎(chǔ)上提高g后銷(xiāo)售，甲、乙禮品盒的利潤(rùn)率都為20%.端午節(jié)前一天，該超市售出這三

種禮品盒后獲利25%,已知售出甲、丙禮品盒兩種共25盒，且甲禮品盒不低于12個(gè).則該超市當(dāng)天售出

三種禮品盒共個(gè).

【變式12-3】（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）唐代詩(shī)人杜甫曾至IJ“讀書(shū)破萬(wàn)卷，下筆如有神〃.為了提升全民素養(yǎng)，

某書(shū)店搞了一次現(xiàn)場(chǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)中名著和兒童讀物兩類(lèi)圖書(shū)套裝優(yōu)惠力度較大，其中每一類(lèi)套裝里含

有線裝本，精裝本，平裝本三種不同材質(zhì)的圖書(shū)，兩類(lèi)圖書(shū)套裝中相同材質(zhì)圖書(shū)的售價(jià)相同，且每一類(lèi)套

裝中數(shù)量均為44本，其中名著套裝內(nèi)線裝本，精裝本，平裝本數(shù)量之比為4：3：4,兒童讀物套裝內(nèi)線裝

本，精裝本，平裝本數(shù)量之比為3：6：2.已知一套名著套裝和一套兒童讀物套裝的售價(jià)之和與62本精裝

本圖書(shū)的售價(jià)相同，一本精裝本圖書(shū)售價(jià)是一本線裝本圖書(shū)售價(jià)的2倍，每套名著套裝的利潤(rùn)率為20%,

每套兒童讀物套裝的利潤(rùn)率為36%,則當(dāng)銷(xiāo)售名著套裝與兒童讀物套裝的數(shù)量之比為9：14時(shí)，該書(shū)店銷(xiāo)

售這兩類(lèi)套裝的總利潤(rùn)率為.

【考點(diǎn)13三元一次方程組的解法】

【例13】（2022?四川?隆昌市知行中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知％、y、z是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足3x+2y+z=5,

x+y-z=2,若S=2%+y-z,則S的最大值與最小值的和為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式13-1]（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解下列三元一次方程組:

（4x-9z=17（2x+4y+3z=9

（1）j3x+y+15z=18；（2）3x-2y+5z=11.

Ix+2y+3z=2（5x-6y+7z=13

【變式13-2】（2022?廣東?可園中學(xué)七年級(jí)期末）在等式y(tǒng)=ax?+族+c中，當(dāng)％=1時(shí)，y=0：當(dāng)％=-1

時(shí)，y=-2：當(dāng)％=2時(shí)，y=7.

⑴求mb,c的值；

（2）求當(dāng)％=—3時(shí)，y的值.

【變式13-3】（2022?吉林長(zhǎng)春?七年級(jí)階段練習(xí)）已知三個(gè)方程構(gòu)成的方程組%y-2y-3%=0,yz-3z-

5y=0,%z—5%—2z=0,恰有一組非零解％=a,y=btz=c,則Q2+b?+c?=.

【考點(diǎn)14三元一次方程組的應(yīng)用】

【例14】（2022?重慶?華東師范大學(xué)附屬中旭科創(chuàng)學(xué)校九年級(jí)期末）新世紀(jì)百貨推出A,B,。三種零食大

禮包，每種禮包都由一定數(shù)量的堅(jiān)果、牛肉干和薄脆餅組合搭配構(gòu)成.三種大禮包的成本分別為禮包中三

種零食的成本之和，同種零食的單價(jià)相同.已知2袋牛肉干和5袋薄脆餅的價(jià)格相同，一份A禮包包含6袋堅(jiān)

果、4袋牛肉干和2袋薄脆餅，一份B禮包包含4袋堅(jiān)果、6袋牛肉干和4袋薄脆餅.若一份B,C禮包的成本

相同，均比一份4禮包的成本貴40%,一份C禮包中的零食袋數(shù)與一份A禮包中的零食袋數(shù)之比為3：2,

且一份C禮包中堅(jiān)果袋數(shù)比牛肉干袋數(shù)多，則一份。禮包中的薄脆餅袋數(shù)比牛肉干袋數(shù)少袋.

【變式14-1】（2022?湖北黃岡?七年級(jí)階段練習(xí)）購(gòu)買(mǎi)鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購(gòu)買(mǎi)鉛筆

10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購(gòu)買(mǎi)鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需（）

A.4.5元B.5元C.6元D.6.5元

【變式14-2】（2022?重慶市永川區(qū)教育科學(xué)研究所一模）某中學(xué)科技節(jié)頒獎(jiǎng)儀式隆重舉行，其中小科技創(chuàng)

新發(fā)明獎(jiǎng)共有60人獲獎(jiǎng)，原計(jì)劃特等獎(jiǎng)5人，一等獎(jiǎng)15人，二等獎(jiǎng)40人.后來(lái)經(jīng)校領(lǐng)導(dǎo)開(kāi)會(huì)研究決定，

在該項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)總獎(jiǎng)金不變的情況下，各等級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)實(shí)際調(diào)整為：特等獎(jiǎng)8人，一等獎(jiǎng)18人，二等獎(jiǎng)34人，

調(diào)整后特等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金降低40元，一等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金降低20元，二等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金降低10元，調(diào)整前一等獎(jiǎng)

每人獎(jiǎng)金比二等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金多70元，則調(diào)整后特等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金比一等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金多元.

【變式14-3】（2022?重慶豐都?七年級(jí)期末）全球棉花看中國(guó)，中國(guó)棉花看新疆.新疆長(zhǎng)絨棉花是世界頂級(jí)

棉花，品質(zhì)優(yōu)，產(chǎn)量大，常年供不應(yīng)求.豐都縣某超市為了支持新疆棉花，在“五一節(jié)〃進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，將新

疆棉制成的A、B、C三種品牌毛巾混裝成甲、乙、丙三種禮包銷(xiāo)售.其中甲禮包含1條A品牌毛巾、2條8

品牌毛巾：乙禮包含2條A品牌毛巾、2條5品牌毛巾，3條C品牌毛巾；丙禮包含2條A品牌毛巾、4條

。品牌毛巾，每個(gè)禮包的售價(jià)等于禮包各條毛巾售價(jià)之和.5月1日當(dāng)天，超市對(duì)4、3、C三個(gè)品牌毛巾

的售價(jià)分別打8折、7折、5折銷(xiāo)售，5月2日恢復(fù)原價(jià)，小明發(fā)現(xiàn)5月1日一個(gè)甲禮包的售價(jià)等于5月2

日一個(gè)乙禮包售價(jià)的40%,5月1日一個(gè)乙禮包的售價(jià)比5月2日一個(gè)丙禮包售價(jià)少0.8元，若4、B、C三

個(gè)品牌的毛巾原價(jià)都是正整數(shù)，且△品牌毛巾的原價(jià)不超過(guò)11元，則小明在5月1日購(gòu)買(mǎi)一個(gè)丙禮包,應(yīng)

該付元.

專(zhuān)題1L5二元一次方程組十四大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】.........................................................13

【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】................................................................15

【考點(diǎn)3解二元一次方程組】..................................................................17

【題型4同解方程組】........................................................................19

【題型5二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】.....................................................22

【題型6構(gòu)造二元一次方程組求解】............................................................25

【考點(diǎn)7二元一次方程的整數(shù)解】..............................................................27

【考點(diǎn)8二元一次方程組的特殊解法】.........................................................30

【考點(diǎn)9二元一次方程組的新定義問(wèn)題】.......................................................33

【考點(diǎn)10二元一次方程（組）的規(guī)律探究】.....................................................36

【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】...............................................39

【考點(diǎn)12二元一次方程（組）的應(yīng)用】.........................................................43

【考點(diǎn)13三元一次方程組的解法】..............................................................47

【考點(diǎn)14三元一次方程組的應(yīng)用】..............................................................50

力?浮一更三

【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】

【例1】（2022?浙江?義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級(jí)階段練習(xí)）方程①②孫

=-2,@x2-5x=5,④x-；+2=0中，為二元一次方程的是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【答案】A

【分析】根據(jù)二元一次方程滿(mǎn)足的條件：含有2個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式

方程進(jìn)行判斷.

【詳解】解：@2x-3y=l,符合二元一次方程的定義，是二元一次方程；

@xy=-2,含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2,不是二元一次方程；

③/-5x=5,含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2,不是二元一次方程；

④x-，2=0不是整式方程，不是二元一次方程；

故選：A.

【點(diǎn)睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2

個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程.

【變式（2022?上海?期末）二列方程組中，二元一次方程組有（）

①僅②匕久二③口二C32：i3-

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次

數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程.

【詳解】解：①、符合二元一次方程組的定義，故①符合題意；

②、第一個(gè)方程與第二個(gè)方程所含未知數(shù)共有3個(gè)，故②不符合題意：

③、符合二元一次方程組的定義，故③符合題意；

④、該方程組中第一個(gè)方程是二次方程，故④不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題時(shí)需要掌握二元一次方程組滿(mǎn)足三個(gè)條件:

①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程.②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù).③每個(gè)方程都是一

次方程.

【變式1-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)邑元測(cè)試）已知（0-2）%+小一3+丫=1是關(guān)于％,y的二

元一次方程，則a的值為.

【答案】a工2

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，

像這樣的方程叫做二元一次方程可得Q-2H0,再解即可.

【詳解】解：依題意得：Q—2H0,

解得a*2.

故答案是：aH2.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的定義.熟記二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022?浙江?杭州市天關(guān)中學(xué)七年級(jí)期末）關(guān)于x,y的二元一次方程ar+by=c

（a,b,。是常數(shù)），加cAl,對(duì)于任意一個(gè)滿(mǎn)足條件的小此二元一次方程都有一

個(gè)公共解，這個(gè)公共解為.

【答案】俘工1

【分析】由ar+b尸c,b=a+l,c=b+l,得ar+qy+y=a+2,由對(duì)于任意一個(gè)滿(mǎn)足條件的a,此二

元一次方程都有一個(gè)公共解即可求解：

【詳解】解：0ar+外=c,h=a+l,c=h+lf

回對(duì)于任意一個(gè)滿(mǎn)足條件的小此二元一次方程都有一個(gè)公共解

團(tuán)令〃=0,則1y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2

得：ax=-a,

團(tuán)公共解為｛.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程，由b="l,。%+1得到"+@+戶(hù)"2是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】

【例2】（2022?浙江?華東師范大學(xué)附屬杭州學(xué)校七年級(jí)期末）方程蛆的解為

則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)團(tuán)和■分別為（）

A.1,2B.5,1C.2,3D.2,4

【答案】B

【分析】將％=2代入x+y=3中求出y的值，將％,y的值代入2x+求值即可得出答案.

【詳解】解：將％=2代入x+y=3中得：y=l,

2x+y=2x2+l=5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解是方程組兩個(gè)方程的公

共解是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?陜西?商洛市山陽(yáng)信毅九年制學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）樂(lè)樂(lè)，果果兩人同

解方程組｛匕［5怖］翦時(shí)，樂(lè)樂(lè)看錯(cuò)了方程①中的小解得二:，果果看錯(cuò)了方程

②中的。，解得戲：,求/021+（_卷）2。22的值

【答案】0

【分析】把｛；;二:代入②得出-12=-b-2可求出b,把::代入①得出5a+20=15

可求出Q,然后再代入求代數(shù)式的值即可.

【詳解】解：?甲、乙兩人同解方程組『：十51二黑時(shí)，甲看錯(cuò)了方程①中的Q,

［4x=by-2（2）

解得二:，乙看錯(cuò)了方程②中的瓦解得憂(yōu):，

???把代入②，得—12=-8一2,解得：8=10,

把，二:代入①，得5a+20=15,解得：。=一1,

Q2021+（_±）2022

=（-1）2。2】+（4嚴(yán)2

=-1+1

0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次方程和代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，解題

的關(guān)鍵是列出關(guān)于a、b的一元一次方程求得a、b的值.

【變式2-2］（2022?江蘇?無(wú)錫市查橋中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）若｛：二,2和［J二］：是某二元

一次方程的解，則這個(gè)方程為（）

A.x+2y=-3B.2x—y=0C.y=3x—5D.x-3=y

【答案】D

【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義判斷即可.

【詳解】解：A、當(dāng)％=-1,y=-4時(shí)，x+2產(chǎn)-9/-3,

故｛；;二:不是方程戶(hù)2尸-3的解，不符合題意；

B、當(dāng)x=l,y=-2時(shí)，2x-y=2+2x-3,

故｛；二,2不是方程2%—y=o的解，不符合題意；

C、當(dāng)％=-1,y=-4時(shí)，y=3x-5=-8￥：-4,

故二;不是方程y=3x-5的解，不符合題意；

D、當(dāng)Jl2z和C二一：時(shí)，方程*—y=3都成立，

故｛；2和｛；;二:是方程、一＞=3的解,故符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值即為

該方程的解，掌握方程的解使方程左右兩邊相等是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?陜西漢中?七年級(jí)期末）已知關(guān)于％、V的方程組:31a二，則下

列結(jié)論中正確的有（）

①當(dāng)。=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=2的解；

②當(dāng)工=y時(shí)，Q=-1；

③不論a取什么數(shù)，2%+y的值始終不變.

A.。個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】將已知代入二元一次方程組后進(jìn)行判斷，可知①②是否正確；用代入消元法解二

元一次方程組，然后再求2%+y即可判斷③是否正確.

【詳解】解：當(dāng)a=l時(shí)，x4-y=0,

故①不符合題意；

當(dāng)％=y時(shí)，3Q+5=0,

故②符合題意；

(x+y=l-a①

(X—y=3a+5②'

①+②得，x=a+3,

將x=a+3代入①得，y=-2—2a?

???2%+y=2Q+6—2—2a=4,

???2x+y的值始終不變，

故③符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的

關(guān)系，會(huì)用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3解二元一次方程組】

【例3】(2022?浙江?杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末)關(guān)于無(wú)，V方程組

(ZX十3y—771

滿(mǎn)足，y的和為2,則加2一2租+1的值為.

【答案】9

【分析】先求出方程組的解，然后結(jié)合％+y=2,求出機(jī)的值，再代入計(jì)算，即可求出答

案.

【詳解】解:啜雷7勺2,

解方程組,喉黑:,

0%+y=2,

02m—6—m+4=2,

解得m=4,

0m2-2m4-1=(m—l)2=(4—I)2=9：

故答案為：9

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，方程組的解，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是正確的

求出方程組的解，從而求出機(jī)的值.

【變式3-1](2022?福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))已知方程組的解也

是方程組成-？=S的解求°力的值.

(4%—5y=—6

【答案】a=5,b=-1

【分析】根據(jù)題意可知兩個(gè)方程組有相同的解，即說(shuō)明第一個(gè)方程組的解也適合第二個(gè)方程

組，再根據(jù)二元一次方程組解的定義，即可求出答案.

【詳解】3%+y=5①4x-5y=-60,①x(-5)一②得，-19%=-19,解得％=1,

把％=1代入①得，3+y=5,解得y=2,

所以方程組[4；：&七+6的解是I：!，

端二代入方程組右沈；，得十二工，解得H

故答案為：a=5,b=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組解的定義及二元一次方程組的解法，解答此題的關(guān)鍵是

要弄清題意，兩個(gè)方程組有相同的解，即說(shuō)明第一個(gè)方程組的解也適合第二個(gè)方程組.

【變式3-2](2022?山東?聊城市東昌府區(qū)水城雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí))解方程組

(3(4+y)—4(4-y)=4

⑵|上+口=i

I26

【答案】⑴二2

【分析】(1)用代入法求解即可；

(2)先化簡(jiǎn)方程，再用加減法求解即可.

(1)

解#=2%-々，

(3x+y=1(2)

把①代入②得：3x+2x-4=L

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-2,

則方程組的解為Y二二2:

(2)

+7=4

解：方程組整理得：hy?t

{2x+y=3?

①x2+②得：

解得：產(chǎn)遂

②x7-①得：15x=17,

解得:x==，

x=-

則方程組的解為{*.

y=-

V15

【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握根據(jù)方程組的特征，恰當(dāng)選擇代入消元法和

加減消元法求解是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2022?江蘇泰州?七巨級(jí)期末)在等式曠=加+云+1中，當(dāng)x=-1時(shí)，y=6；

當(dāng)x=2時(shí)，y=ll.

(1)求小b的值；

(2)當(dāng)x=-3時(shí)，求y的值.

【答案】(1)a號(hào),從春(2)36

【分析】(1)把小y的值分別代入產(chǎn)加+法+1,得出關(guān)于小匕的方程組，再求出方程組

的解即可；

(2)把x=-3代入(1)中所求的結(jié)果，即可求出y.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，得L

4Q+2b+1=11(2)

①x2+②，得6a+3=23,

解得：。=辛，

把所學(xué)代入①，得攀加1=6,

解得:b哼

(2)y=yX2-1x+1,

當(dāng)4-3時(shí)，y=與x(-3/一?X(-3)+1=36.

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，能得出關(guān)于。、b的方程組是解此題的關(guān)鍵.

【題型4同解方程組】

[例4](2022?山東濟(jì)寧?七年級(jí)期末)已知方程組落;;二;和方程組卷"二g有相同

的解，則Q,b的值分別為()

(a=1(a=4-(a=—6fa=14

AA.,_DB.J,C.),_