山西省運城市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試含答案

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前項和，則的值為（

）A.135 B.145 C.155 D.1652.中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（）A. B. C. D.3.等差數(shù)列中，，則是()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.直線將圓分成兩段，這兩段圓弧弧長之比為（）A.1：2 B.1：3 C.1：5 D.3：55.已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.6.設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.7.點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（）A. B.2 C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（

）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相垂直”充要條件C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D.已知向量，，則在上的投影向量為10.已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為2，過的直線交拋物線于兩點，，則（）A.準線方程為B.若，則C.若，則的斜率為D.過點作準線的垂線，垂足為，若軸平分，則11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點的軌跡長度為D.若且，則存在點，使得的最小值為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的極大值點為___________.13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差會成等差數(shù)列．在楊輝之后，對這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項為______．14.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程為_________________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．16.如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．（1）證明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．17.已知數(shù)列的首項為2，前項和為，且（1）求的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的通項公式.18.已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.（1）求C的方程；（2）過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），求的取值范圍.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)取值范圍.康杰中學(xué)2023—2024年第二學(xué)期高二年級（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題2024年2月（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前項和，則的值為（

）A.135 B.145 C.155 D.165【答案】C【解析】【分析】利用與之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以.故選：C.2.中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程，根據(jù)已知得到，即可得到漸近線的方程.【詳解】由已知可設(shè)雙曲線的標準方程為.由已知可得，所以，則，所以.所以，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.3.等差數(shù)列中，，則是的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，時，成立，即充分性成立，反之：等差數(shù)列常數(shù)列，對任意成立，即必要性不成立.故選：B．【點睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，判斷是的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件能否推得條件；二是由條件能否推得條件.4.直線將圓分成兩段，這兩段圓弧的弧長之比為（）A.1：2 B.1：3 C.1：5 D.3：5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式，結(jié)合弧長公式即可求解.【詳解】設(shè)直線與圓的兩個交點為，圓心為，過點作交于,如圖所示設(shè)，則所以圓心到直線的距離為.在中，因為，所以，由圓的性質(zhì)知，，所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧所對圓心角的弧度數(shù)之比，等于．故選：A.5.已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得到，進而利用累加法可求得結(jié)果．【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時，，

，

，

，且，

，

故選：A．6.設(shè)，，，則、、大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得到、的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，則，即，即，所以，，因為，故，即，即，因此，.故選：D.7.點在橢圓上，的右焦點為，點在圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化為，即求的最小值，即為圓心與的距離減半徑即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則求的最小值即求的最小值，圓的半徑為圓心為所以的最小值為所以的最小值為故選：D.【點睛】本題考查了橢圓的定義，以及圓上一動點與圓外一定點的距離的最值問題，解決問題時需要對題中的目標進行轉(zhuǎn)化，將多個動點轉(zhuǎn)化為少（單）動點的問題，從而解決問題.8.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于、、之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出、與的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式，即可得解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（

）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D.已知向量，，則在上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項，利用兩直線的垂直及充要條件的定義即可判斷B選項，利用空間向量的基本定理可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以，故A正確；對于B選項，因為直線與直線互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C選項，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，不妨設(shè)這兩個非零向量不共線，設(shè)這兩個非零向量為，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非零向量，使得為空間的一個基底，假設(shè)不成立，故這兩個非零向量共線，故C正確;對于D選項，因為向量，所以在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為2，過的直線交拋物線于兩點，，則（）A.的準線方程為B.若，則C.若，則的斜率為D.過點作準線的垂線，垂足為，若軸平分，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線幾何意義求出，即可得到拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的定義判斷A、B、D，設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，根據(jù)焦半徑公式計算即可判斷C；【詳解】解：因為拋物線：（）的焦點到準線的距離為2，所以，所以拋物線方程為，則焦點，準線為，故A錯誤；若，則，所以，所以，故B正確；可設(shè)，，，，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去，可得，可得，，由拋物線的定義可得即，即，解得，則直線的斜率為，故C正確；對于D，若軸平分，則，又軸，所以，所以，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點的軌跡長度為D.若且，則存在點，使得的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到三點共線，得到平面，故點為平面距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項，作出輔助線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的幾何意義得到；C選項，建立空間直角坐標系，設(shè)，表達出，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合弧長公式求出答案；D選項，求出，，得到，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值.【詳解】A選項，在上分別取，使得，，因為，所以，因為，所以，即，故，即，所以三點共線，因為，，所以，故平面，故點為平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項，取的中點，因為的外心為，所以⊥，又題意得，則，B錯誤；C選項，取的中點，因為底面為菱形，，故⊥，以為坐標原點，以，分別為軸，建立空間直角坐標系，故，設(shè)，則，化簡得，點滿足，即點在正方形內(nèi)，包括邊界，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，如圖所示：因為，，故，故為等腰直角三角形，，故點的軌跡長度為，C正確；D選項，若且，，即，即，又，，設(shè)，設(shè)，即，解得，即，，如圖所示，設(shè)，且⊥，⊥，在線段上取一點，設(shè)，則，故，顯然，直接連接，此時取得最小值，最小值即為，由勾股定理得，故的最小值為，D正確.故選：ACD【點睛】空間向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用空間向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為空間幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用空間向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的極大值點為___________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得極大值點.【詳解】由題意知：定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是的極大值點.故答案為：.13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差會成等差數(shù)列．在楊輝之后，對這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項為______．【答案】56【解析】【分析】利用高階等差數(shù)列的定義，分別計算出前后兩項的差，再由等差數(shù)列定義即可求得第6項的值為56.【詳解】由題意可知，所給數(shù)列為高階等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的第6項為，根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個新數(shù)列，再利用新數(shù)列的后一項減去前一項也得到一個新數(shù)列，即可得到一個首相為3公差為1的等差數(shù)列，計算規(guī)律如下所示：則需滿足，解得.該數(shù)列的第6項為56.故答案為：5614.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程為_________________.【答案】【解析】【分析】明確函數(shù)的周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某點出的切線方程.【詳解】因為是上的偶函數(shù)，且，所以，所以，即為周期函數(shù)，且周期為4.設(shè)，則，由；設(shè)，則，由.當(dāng)時，.所以：，.所以曲線在點處的切線方程為：.故答案為：【點睛】方法點睛：該問題的解決方法可以有兩種思路：（1）求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，可得和，進而求出所求的切線方程；（2）利用函數(shù)的對稱性和周期性，先求得到切點，再根據(jù)的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于軸對稱，所以得切線斜率，可得所求切線方程.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.【小問1詳解】，則，由題意可得，解得；【小問2詳解】由，故，則，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.16.如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．（1）證明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【詳解】解：本題可通過建立空間坐標系求解．如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE.(2)＝(1，－2，－1)．設(shè)平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，則,即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為＝(－3，－2,1)．由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．于是cos〈，〉＝＝＝－，從而sin〈，〉＝，故二面角B1－CE－C1的正弦值為.(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝(λ＝－舍去)，∴AM＝.17.已知數(shù)列的首項為2，前項和為，且（1）求的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得求得．（2）由條件可得可得，于是，以上兩式相減變形可得，即，于是可得數(shù)列為等差數(shù)列，并可求得其通項．（3）由（2）可得，可得，根據(jù)累乘法可得數(shù)列的通項公式．【小問1詳解】∵，且，∴解得.【小問2詳解】由，可得，∴，∴，，∴，∴，化為:，即，又，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．∴.【小問3詳解】由(2)可得:，∴，∴，∴，又滿足上式．∴.18.已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點.（1）求C的方程；（2）過左焦點F的直