安徽省合肥市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含答案

2023-2024學(xué)年高二第一學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為150分鐘．2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無(wú)效．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列的遞推公式，依次求出即可.【詳解】數(shù)列中，，則有，，.故選：C.2.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分、必要條件的定義計(jì)算即可.【詳解】易知時(shí)，，但時(shí)有，此時(shí)方程表示圓，所以不滿足充分性，若方程表示的曲線為橢圓，則，顯然成立，滿足必要性，故“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B3.已知直線和直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或2 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系列式求的值，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意可得：，解得或，若，則兩直線分別為，符合題意；若，則兩直線均為，不符合題意；綜上所述：.故選：D.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.2 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以.故選：D5.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在兩邊的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍.【詳解】，則，，當(dāng)時(shí)，令得或，令得，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合是函數(shù)的極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令得或，令得，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；綜上，要使函數(shù)在處取到極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.6.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1）可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形（如圖2），籃球的外輪廓為圓，將籃球的表面粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得出的值，再利用雙曲線的離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，連接、，則，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，則，故點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，所以，所以，該雙曲線的離心率為.故選：C.7.如圖，在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定底面的外接圓圓心，結(jié)合圖形的特征，利用勾股定理及外接球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)E，連接，在上取F點(diǎn)滿足，由題意易知為正三角形，則F點(diǎn)為的外接圓圓心，且,因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以底面，底面，過(guò)F作，故三棱錐外接球的球心O在直線上，作交于G點(diǎn)，設(shè)，球半徑為R，根據(jù)，易知，四邊形為矩形，由勾股定理可知：，即，故其外接球表面積為.故選：B8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用的單調(diào)性可判斷，利用的單調(diào)性可判斷，故可得三者之間的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；，即有，；令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞減；，即有，，綜上所述，則有，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線必過(guò)定點(diǎn) B.與可能相離C.與可能相切 D.當(dāng)時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】利用直線方程確定過(guò)定點(diǎn)可判定A，利用直線與圓位置關(guān)系可判定BC，利用弦長(zhǎng)公式可確定D.【詳解】由直線方程變形得，顯然時(shí)，即直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；易知，即點(diǎn)在圓上，則直線不會(huì)與圓相離，但有可能相切，故B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，圓心為原點(diǎn)，半徑為，則圓心到的距離為，所以被截得的弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD10.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（）A. B.函數(shù)既有極大值又有極小值C.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D.對(duì)任意，都有【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)拐點(diǎn)定義二次求導(dǎo)可計(jì)算可求出函數(shù)解析式即可判定A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究其極值可判定B，結(jié)合B項(xiàng)結(jié)論及零點(diǎn)存在性定理可判定C，利用函數(shù)解析式取特殊值可判定D.【詳解】由題意可知，，而，故A正確；此時(shí)，，顯然或時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，故B正確；易知，結(jié)合B結(jié)論及零點(diǎn)存在性定理可知在存在一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；易知，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點(diǎn)（A在軸的上方，在軸的下方），過(guò)點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（）A.當(dāng)直線的斜率為1時(shí)， B.若，則直線的斜率為2C.存在直線使得 D.若，則直線的傾斜角為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)一一計(jì)算即可.【詳解】易知，可設(shè)，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得，則，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，此時(shí)，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；由上可知，即，故C錯(cuò)誤；若，又知，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.故選：AD12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知分別是棱的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則（）A.平面B.平面截正方體所得的截面圖形為正六邊形C.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.能放入由平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，找到平面截正方體所得的截面；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)Q的軌跡，并求出軌跡長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，由對(duì)稱性得到平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，球心在上，設(shè)球心坐標(biāo)建立方程，求出半徑的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，令得，易知，故平面，即A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合題意可知，所以四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共面，兩個(gè)平面都過(guò)點(diǎn)P，所以六點(diǎn)共面，易知，所以平面截正方體所得的截面為正六邊形，B正確；C選項(xiàng)，由上知平面，設(shè)垂足為，以為圓心為半徑在平面上作圓，由題意可知Q軌跡即為該圓，結(jié)合B的結(jié)論可知平面平分正方體，根據(jù)正方體的中心對(duì)稱性可知平分，故半徑，故點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由上知該兩部分空間幾何體相同，不妨求能放入含有頂點(diǎn)的這一空間幾何體的球的半徑最大值，結(jié)合A項(xiàng)空間坐標(biāo)系及正方體的對(duì)稱性知該球球心在上，該球與平面切于點(diǎn)S，與平面、平面、平面都相切，設(shè)球心為，則球半徑為，易知，故，故球的半徑的最大值為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于立體幾何中截面的處理思路有以下方法（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過(guò)程；（2）作平行線法：過(guò)直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過(guò)作延長(zhǎng)線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.關(guān)于立體幾何中求動(dòng)點(diǎn)軌跡的問(wèn)題注意利用幾何特征，比如動(dòng)直線與定直線夾角為定值，可以考慮結(jié)合圓錐體得出動(dòng)點(diǎn)軌跡.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知正方體的棱長(zhǎng)為，則異面直線與所成的角的余弦值_________________．【答案】##【解析】【分析】利用正方體的特征構(gòu)造平行線求異面直線夾角即可.【詳解】如圖所示連接，根據(jù)正方體的特征易知，且為等邊三角形，所以即異面直線與所成的角，且，.故答案為：14.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，_____________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)正項(xiàng)等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，計(jì)算即可詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，解得，舍去負(fù)值，所以.故答案：515.以兩條直線的交點(diǎn)為圓心，并且與直線相切的圓的方程是_____________________．【答案】【解析】【分析】直接利用交點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心和半徑，最后求出圓的方程.【詳解】利用，解得，則圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的方程為利用圓心到直線的距離，整理得，故圓的方程為.故答案為：.16.關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_____________________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值，分離參數(shù)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，易知，則當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)兩函數(shù)均單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)兩函數(shù)均單調(diào)遞減，故，對(duì)于不等式，由上可知，故，又單調(diào)遞增，故.所以實(shí)數(shù)a的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：觀察不等式結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)是指對(duì)同構(gòu)式即原式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性與最值分參計(jì)算即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式分析求解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，可得，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以.18.設(shè)圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．（1）求圓心的軌跡的方程；（2）已知直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓的半徑為，若圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則，可得；若圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則，可得；綜上所述：，可知：圓心的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，且，可得，所以圓心的軌跡的方程.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立方程，消去y得，則，可知直線與雙曲線相交，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，可得，即，且在圓上，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.19.如圖所示，用平面表示圓柱的軸截面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為母線的中點(diǎn)，已知為一條母線，且．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形特征結(jié)合勾股逆定理先證，由線線垂直得線面垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得面面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】依題意可知，則是等腰直角三角形，故，由圓柱的特征可知平面，又平面，，因?yàn)槠矫?，則平面，而平面，則，因?yàn)?，則，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】由題意及（1）知易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系則，所以，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則有，取，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.即平面與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上恒成立.【答案】（1），單調(diào)區(qū)間見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義分析求解，進(jìn)而可得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意分析可得，令，利用單調(diào)性判斷其單調(diào)性和符號(hào)，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，若是的極值點(diǎn)，則，解得，當(dāng)，則，，令，解得；令，解得；則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可知是的極大值點(diǎn)，即符合題意，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，且，可得，即，令，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，即，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立.21.對(duì)每個(gè)正整數(shù)是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)．（1）證明：；（2）取，并記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析證明；（2）根據(jù)拋物線的定義結(jié)合（1）可得，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，且直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，可得，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由?）可得，則，可得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理證明關(guān)系，并根據(jù)拋物線的定義求