人教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）（全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習(xí)）（文科版）（家教、補習(xí)、復(fù)習(xí)用）

新人教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）

重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

i.通過對實際問題的分析，了解回歸分析的必要性與回歸分析的一般步驟。

2.能作出散點圖，能求其回歸直線方程。

3.會用所學(xué)的知識對簡單的實際問題進(jìn)行回歸分析。

【要點梳理】

要點一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1.變量與變量間的兩種關(guān)系：

（1）函數(shù)關(guān)系：這是一種確定性的關(guān)系，即一個變量能被另一個變量按照某種對應(yīng)法則唯一確定.例

如圓的面積.S與半徑r之間的關(guān)系S=nr?為函數(shù)關(guān)系.

（2）相關(guān)關(guān)系：這是一種非確定性關(guān)系.當(dāng)一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的隨

機(jī)性，這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。例如人的身高不能確定體重，但一般來說“身高者，體重也

重”，我們說身高與體重這兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.

2.相關(guān)關(guān)系的分類：

（1）在兩個變量中，一個變量是可控制變量，另一個變量是隨機(jī)變量，如施肥量與水稻產(chǎn)量；

（2）兩個變量均為隨機(jī)變量，如某學(xué)生的語文成績與化學(xué)成績.

3.散點圖：

將兩個變量的各對數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點而得到的圖形叫做散點圖.它直觀地描述了兩個變量之間

有沒有相關(guān)關(guān)系.這是我們判斷的一種依據(jù).

4.回歸分析：

與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫

做回歸分析。

要點二、線性回歸方程：

1.回歸直線

如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，

這條直線叫作回歸直線。

2.回歸直線方程？=%+6

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（西,乂），（/，%），……，（尤“，”），其回歸直線亍=京+2的截

距和斜率的最小二乘法估計公式分別為：

、Z（x,-x）（y—y）__

b--------------,a-y-bx

力（可―4

i=\

其中［表示數(shù)據(jù)Xi(i=l,2,n)的均值，亍表示數(shù)據(jù)y,(i=l,2,…，n)的均值，石表示數(shù)

據(jù)x.(i=l,2,…，n)的均值.

。、力的意義是：以。為基數(shù)，x每增加一個單位，y相應(yīng)地平均變化匕個單位.

要點詮釋：

__

E(七一x)(y.—y)E-nxy

①回歸系數(shù)3=--------——，也可以表示為3=母-------,這樣更便于實際計算。

—x)2^xj-nx~

i=l/=1

②%=，(內(nèi)+工2++z)；y=L(x+%++%)。

n,=inn/=,n

③丘,y)稱為樣本中心點，回歸直線亍=4+的必經(jīng)過樣本中心點(x,y)。

④回歸直線方程亍=々+右:中的3表示x增加1個單位時$，的變化量，而。表示?不隨x的變化而變

化的量。

3.求回歸直線方程的一般步驟：

①作出散點圖

由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若存在線性相關(guān)關(guān)系，進(jìn)行第二步。

②求回歸系數(shù)B、a

-1-1

計算％=—(％+*,++%)，丁=一(凹+%++先)，

nn

n〃

V^22)2

七丫=入陰+々%+%得，=xi+x2++z，

Ei=li=l

__

Z%/一〃xy

利用公式B=月-------求出九

fx；-nx

i=\

再由4=y-Bx求出d的值；

③寫出回歸直線方程；

④利用回歸直線方程y=a+hx預(yù)報在x取某一個值時y的估計值。

要點詮釋：

一般地，我們可以利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，但這里所得到的值是預(yù)報值，而不是精確值，它帶有

很大的隨機(jī)性，可能對于某一次的實際值而言會有很大的出入，這是因為：

(1)回歸直線的截距6和斜率成都是通過樣本估計出來的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測

結(jié)果的偏差。

(2)即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能保證對應(yīng)于x的預(yù)報值？能夠與實際值y很接近。

我們不能保證點(x,y)落在回歸直線上，甚至不能保證它落在回歸直線的附近，事實上，

y^/3x+a+￡^y+￡,這里￡是隨機(jī)變量，預(yù)報值亍與實際值y的接近程度由隨機(jī)變量￡決定。

盡管我們利用回歸直線方程所得到的值僅是一個預(yù)報值，它具有隨機(jī)性，但它是我們根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律所

得到的結(jié)論，因而結(jié)論正確的概率很大。故我們可以放心地利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測。

要點三、相關(guān)性檢驗

(1)相關(guān)系數(shù)r的定義

對于變量x與y隨機(jī)抽取到的n對數(shù)據(jù)(花，%)，(x2,y2),……,(xn,y?),稱

_〃_____

Z(X,一x)(y,.-y)ZX*-nxy

r=?J“=[“a"為x與y的樣本相關(guān)系數(shù)。

(%-x茂(凹一〃尤2)(￡(才

V/=1/=1V/=!/=1

(2)相關(guān)系數(shù)r的作用

樣本相關(guān)系數(shù)r用于衡量兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱：

①|(zhì)咋1

行|越接近1,表明兩個變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；行|越接近0,表明兩個變量之間的線性相關(guān)

程度越弱。

②當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)，即x增加，y隨之相應(yīng)地增加，若x減少，y隨之相應(yīng)地減少.

當(dāng)rVO時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)，即x增加，y隨之相應(yīng)地減少；若x減少，y隨之相應(yīng)地增加.

若r=0,則稱x與y不相關(guān)。

③當(dāng)|川>0.75,認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。

④當(dāng)|廠|大于a)5時，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這時求回歸直線方程有必

要也有意義，當(dāng)|〃區(qū)605時，尋找回歸直線方程就沒有意義。

(3)利用相關(guān)系數(shù)r檢驗的一般步驟：

法一：

①作統(tǒng)計假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。

②根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計算公式算出r的值。

③比較|川與0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計結(jié)論。如果|川＞0.75,認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相

關(guān)關(guān)系。

法二：

①作統(tǒng)計假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。

②根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計算公式算出r的值。

③根據(jù)小概率0.05與n-2在相關(guān)性檢驗的臨界值表中查出r的一個臨界值為必行未數(shù)據(jù)的對數(shù)）。

④比較|川與&）5，作統(tǒng)計推斷，如果I網(wǎng)＞石.05，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。

如果|廠區(qū)@）5,我們沒有理由拒絕原來的假設(shè)，即不認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。這時尋找回歸直

線方程是毫無意義的。

要點四、線性回歸分析與非線性回歸分析

1.線性回歸分析

對于回歸分析問題，在解題時應(yīng)首先利用散點圖或相關(guān)性檢驗判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如

果線性相關(guān)，才能求解后面的問題.否則求線性回歸方程沒有實際意義，它不能反映變量x與y,之間的

變化規(guī)律.只有在x與y之間具有相關(guān)關(guān)系時，求線性回歸方程才有實際意義.

相關(guān)性檢驗的依據(jù)：主要利用檢驗統(tǒng)計量

_，1__

Yx^-nxy——

r______H_______________盯一一

a[n-力_2n也-才-~S￡S

VZ=1i=\

（其中化簡式容易記也好用）求出檢驗統(tǒng)計量的樣本相關(guān)系數(shù)，再利用r的性質(zhì)確定x和y是否具有

線性相關(guān)關(guān)系，r具有的性質(zhì)為：|r|Wl且|r|越接近于1,線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r1越接近于0,線性相

關(guān)程度越弱.

2.線性回歸分析的一般步驟

（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；

（2）判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系

①作散點圖

由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。

②求相關(guān)系數(shù)r

當(dāng)|川＞0.75,認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。

（3）若兩變量存在線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)所求的線性回歸方程為3=+求回歸系數(shù)2、a.

（4）寫出回歸直線方程；

（5）利用回歸直線方程y=4+以預(yù)報在x取某一個值時y的估計值。

3.非線性回歸分析

（1）對于非線性回歸分析問題，如果給出了經(jīng)驗公式可直接利用換元，使新元與y具有線性相關(guān)關(guān)

系，進(jìn)一步求出，，對新元的線性回歸方程，換回x即可得y對x的回歸曲線方程.

（2）非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，這時按以下步驟求回歸方程：

①畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，看是否是線性回歸分析問題，如果不是，把它與必修數(shù)學(xué)中學(xué)過的函數(shù)（哥

函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）圖像作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，采用適當(dāng)?shù)淖兞恐?/p>

換，把非線性回歸分析問題化為線性回歸分析問題.

②作相關(guān)性檢驗，即判斷尋找線性回歸方程是否有意義.

③當(dāng)尋找線性回歸方程有意義時，計算系數(shù)a,b,得到線性回歸方程.

④代回x得y對x的回歸曲線方程.

【典型例題】

【回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591例題1]

類型一、利用散點圖判斷兩個變量的線性相關(guān)性

例1.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x的一組數(shù)據(jù)如下表所示.

X/秒510152030405060

y/微米610111316171923

（1）畫出散點圖.

（2）根據(jù)散點圖，你能得出什么結(jié)論？

【思路點撥】利用散點圖，直觀地歸結(jié)出相關(guān)關(guān)系的兩個變量所具備的特點.

【解析】（1）如圖所示散點圖.

°102030405060x

（2）結(jié)論：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n組觀測值的n個點大致分布在一條直

線附近，其中整體上與這n個點最接近的一條直線最能代表x與y之間的關(guān)系.

【總結(jié)升華】

①解決此類問題，最直觀也最直接的方法就是畫散點圖。如果散點圖中的點分布在一條直線附近，那

么就可判斷兩個變量之間具有近似的線性相關(guān)關(guān)系?？蛇M(jìn)一步對它進(jìn)行回歸分析。

②解決本題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，合理地選取單位長度準(zhǔn)確地描出所有點，然后觀察散點圖中的

點呈現(xiàn)在一條直線附近即說明二者具有線性相關(guān)關(guān)系。解決此類題目，由于有時數(shù)據(jù)較大，在建立平面直

角坐標(biāo)系時，若單位長度確定不合適，往往容易造成描點的困難。因此必須選擇適當(dāng)?shù)膯挝婚L度。

舉一反三：

【變式1】給出x與y的數(shù)據(jù)如下：

X24568

y3040605070

畫出散點圖，并由圖判斷x、y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系。

【答案】散點圖如圖所示：

y,t

80?

70??

60?,

50??

40?,

30??

20?

10-

O12345678x

從圖中可以看出，各點散布在一條直線附近，即可認(rèn)為X與y具有線性相關(guān)關(guān)系。

【變式2】如圖所示的5組數(shù)據(jù)中，去掉點，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大.

y\*￡(10,12)

?0(3,10)

?C(4,5)

.?8(2,4)

4(1,3)

【答案】D,由本圖的直觀性可得。

【變式3］如下表所示，某地區(qū)一段時間內(nèi)觀察到的大于或等于某震級x的地震個數(shù)為N,試畫出散點

圖，并由圖判斷x、N之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系。

震級33.23.43.63.844.24.44.64.85.0

地震數(shù)28381203801479510695764155023842269819191356973

震級5.25.45.65.866.26.46.66.87

地震數(shù)74660443527420614898574125

【答案】由表中數(shù)據(jù)得散點圖如下:

從散點圖中可以看出，震級x與大于該震級的地震次數(shù)N之間不呈線性相關(guān)關(guān)系，隨著x的減少，所

考察的地震數(shù)N近似地以指數(shù)形式增長.

類型二、運用樣本相關(guān)系數(shù)r檢驗線性相關(guān)關(guān)系

例2.下表是隨機(jī)抽取的8對母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討y與x之間的關(guān)系.

母親身高工/。加154157158159160161162163

女兒身高155156159162161164165166

【思路點撥】相對于用散點圖檢驗相關(guān)性，利用相關(guān)系數(shù)r,檢驗兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱更

為準(zhǔn)確。

【解析】所給數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：由圖可以看出，這些點在一條直線附近，

因為1=(154+157++163)+8=159.25,亍=(155+156++166)+8=161,

8_

Z%”8(x)2=(154?++163?)-8x159.252=59.5,

/=1

8_

=(1552++1662)-8X1612=116,

i=l

8__

y-8xy=(154x155++163x166)-8x159.25x161=80,

i=\

on

所以r=/?0.963,

759.5x116

由檢驗水平0.05及〃-2=6,在附錄2中查得&)5=0.707,因為Q963>0.707,所以可以認(rèn)為x與y之

間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

【總結(jié)升華】

(1)討論x與y之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般稱之為相關(guān)性檢驗。一般地，相關(guān)性檢驗是討論線性回

歸模型的第一步。當(dāng)|網(wǎng)>0.75時，可以認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，此時，建立線性回歸模型

是有意義的，其他情況下，建立線性回歸模型意義就不大了，基本上沒有什么價值。

(2)相關(guān)系數(shù)r的計算公式：

__

Z（七一x）（?—y）Z%/一〃x>

i=l_________________________________________i=l

^U,,-x）2^（^.-y）2J￡玉2一“丘）2口^W一〃G）2

1=1i=iVLI'=lJLi=i

(3)利用相關(guān)系數(shù)r檢驗兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱的步驟:

①運用公式求出相關(guān)系數(shù)r；

②比較|r|與0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計結(jié)論。如果|川>0.75,認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線

性相關(guān)關(guān)系。

舉一反三：

【變式1】給出x與y的數(shù)據(jù)如下:

X24568

y3040605070

判斷x與y的線性相關(guān)性。

【答案】相關(guān)性檢驗：

x=5,y=50,xjyi-5xy=130,

/=1

5_5_

Z片一5（x）2=20,Zy；_5（y）2=]000,

x=l/=1

所以-52—而=一^.。.男9。

唇.5(丁154一5（_獷

i=\

因為Ir1=0.919>0.75,所以x與y之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。

【變式2】

要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績對高一年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,

分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績和高一年級期末數(shù)學(xué)考試成績?nèi)缦卤恚?/p>

學(xué)生編號12345678910

入學(xué)成績X63674588817152995876

高一期末成績65785282928973985675

y

計算入學(xué)成績x與高一期末成績y的相關(guān)系數(shù)；

_?—?

【答案】⑴因為％=歷*(63+67++76)=70,y=—x(65+78++75)=76,

10__10_2

%=Z(x，一x)(y，「y)=1894,4=Z(x-x)=2474，

i=li=l

5)2=2056.

因此求得相關(guān)系數(shù)為r==0.840.

結(jié)果說明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的.

類型三、求線性回歸方程

例3.以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù):

房屋面積（冊）11511080135105

銷售價格（萬元）24.821.618.429.222

（1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；

（2）求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線：

【思路點撥】本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點圖表示出來，若這些點大致分布在

通過散點圖中心的一條直線附近，說明這兩個變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過的最小二乘估計思想及

計算公式求得線性回歸直線方程。

【解析】（1）數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示：

30

25

20

15

7090110130150

^(x,.-x)2=1570,

y=23.2,0=￡(x;-x)(y,-y)=308

設(shè)所求回歸直線方程為y=bx+a,

則力=上=網(wǎng)^。0.1962

1570

。=亍—底=23.2—109x^^之1.8166

1570

故所求回歸直線方程為?=0.1962x+1.8166

【總結(jié)升華】如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模。

舉一反三：

【變式1】下面是兩個變量的一組數(shù)據(jù)。

X12345678

y1491625364964

求X與y兩個變量之間的回歸直線方程。

【答案】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以計算出有關(guān)數(shù)據(jù)，列成下表。

2

序號Xi必X,X/

11111

22448

339927

44161664

552525125

663636216

774949343

886464512

￡362042041296

_1_188

所以有x=—x36=4.5,y=—x204=25.5,^X/=204,^^弘=1296。

88/=i/=i

8___

斫"1296-8x4.5x25.5

所以b=上^---------=---------------—=9,

12Q-2204-8x4.5?

),x；-8x

/=!

a-y-bx=25.5-9x4.5=-15o

于是回歸直線方程為9=—15+9x。

【回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591例題1】

【變式2】從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示:

編12345678

號

身

165165157170175165155170

高/cm

體

4857505464614359

重/kg

求根據(jù)?名女大學(xué)生的身高預(yù)引艮她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的以K重.

【答案】所給數(shù)據(jù)的散點圖如圖:

70

身高/cn

計算器得：

￡=-85.712,___\當(dāng)x=172時，

6=0,849.?——/

7=0,849x172-85.712

故線性回歸方程：=60,316(ig)>

j=0.849r-85.712.

類型四、線性回歸分析及應(yīng)用

例4.近幾年來，隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，汽車已進(jìn)入普通百姓家中.根據(jù)某汽車協(xié)會資料統(tǒng)計，國產(chǎn)某種型

號家庭轎車的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（千元），如下表：

使用年限/年23456

維修費用/千元2.23.85.56.57.0

（1）求出相關(guān)系數(shù)r,并根據(jù)所求的r判斷兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；

（2）試求出回歸直線方程，若某家庭購得此型號的汽車，請你為他們估計一下使用年限為10年時，

維修費用是多少？

【思路點撥】通過求出相關(guān)系數(shù)r,從而判斷出是否具有相關(guān)關(guān)系；再求回歸方程，從而進(jìn)行回歸預(yù)測.

【解析】（1）根據(jù)公式，求得r^O.9792>0.878,故兩個變量之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

（2）設(shè)所求的回歸方程為y=bx+a.則

5__

bJ=I=1.23,a=y—bx=0.08

5f

XXi-5X~

i=l

即所求的回歸直線方程為y=1.23x+O.O8.

當(dāng)x=10時，代入回歸直線方程得y=12.38,所以傳計使用年限為10年時，維修費用是L238萬元.

【總結(jié)升華】求x與y的回歸直線方程，應(yīng)首先判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果直接求x與y

的回歸直線方程，它就沒有任何實際價值，也就不能準(zhǔn)確反映變量x與y之間的變化規(guī)律.

舉一反三：

【變式1］下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)

能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)。

X3456

y2.5344.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程￡=%+&；

（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤。試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程,

預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

（參考數(shù)值：3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5）

【答案】

（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示:

噸標(biāo)準(zhǔn)煤

4-3+4+5+6--25+3+4+4.51

(2)計算得W＞；=86,x——4.5,y-=3.5,

i=\44

4

已知=66.5,

/=1

所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為

4___

自X,)廠_665_4x4.5x3.5_

。\=z=U./

/2尸86-4x4.52

*-4x

i=l

a=y-bx=3.5-0.7x4.5=0.35。

因此，所求的線性回歸方程為9=0.7x+0.35。

（3）由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,

得降低的生產(chǎn)能耗為90-（0.7X100+0.35）=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）.

【變式2】測得某地10對父子身高（單位：英寸）如下:

父60626165666768707271

親身

高(X)

兒子63.665.26665.566.967.167.468.370.170

身高

(y)

如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程.如果父親的身高為78英寸，試估計兒子的身

高.

【答案】解法一：先將兩個變量的有關(guān)數(shù)據(jù)在表中計算出來，如下表所示：

22

序號XiYiXiyiXiYi

16063.636004044.963816

26265.238444251.044042.4

36466409643564224

46565.542254290.254257.5

56666.943564475.614415.4

66767.144894502.414495.7

76867.446244542.764583.2

87068.349004664.894781

97270.151844914.015047.2

107470547649005180

E6686709344842.4

_66R_670110io

由表中數(shù)據(jù)可計算，x=—=66.8,y=一==67.01,\＞戊=44842.4,=44794,

10___

107972

/=1________________44842.4-10x66.8x67.01=」一“0.4646.所以

244941.93,代入公式。=-H)

Zx44794-10x66.82171.6

-10x

i=i

==67.01-0.4646x66.8?35.975.因而所求得線性回歸方程為：y=0.4646%+35.975.當(dāng)

x=78時，y=0.4646x78+35.975=72.2138?72.2.所以當(dāng)父親的身高為78英寸時，估計兒子的身高

約為72.2英寸.

【變式3】已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量x(kg)與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量y(t)之

間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：

年份19851986198719881989199019911992

X/kg7074807885929095

y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0

年份1993199119951996199719981999

X/kg92108115123130138145

y/111.511.011.812.212.512.813.0

（1）求X與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗是否線性相關(guān)；

（2）若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量x之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥150kg

時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量.

【答案】（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計算公式來完成.（2）先作統(tǒng)計假設(shè)，由小概率0.05與n-2在附表

中查得相關(guān)系數(shù)臨界值坨。5,若r>0.05則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān).

列出下表，并用科學(xué)計算器進(jìn)行相關(guān)計算:

i12345678

Xi7074807885929095

Yi5.16.06.87.89.010.210.012.0

Xiyi357444544608.4765938.49001140

i9101112131415

Xi92108115123130138145

yi11.511.011.812.212.512.813.0

XiYi1058118813571500.616251766.41885

15___

(1)r=/=1

16076.8-15x101x10.11760.15

7(161125-15X1012)(1628.55-15X10.112)879.45

由小概率0.05與n—2=13在附表中查得ro.^0.514,

V|r|>r0,05,Ax與y線性相關(guān).

???回歸直線方程為多=00937x+06463.

15__

X》身一15/y

16076.8-15x101x10.11

(2).?"=^--------不?0.0937,

2

2t廠-216U25-15X101

E%-15x

a=y-bx=10.11-0.0937x101=0.6463.

.?.回歸直線方程為y=Q0937x+0.6463.

?.當(dāng)每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量為0.0937X150+0.6463=14.7013^14.7

（t）.

類型五、非線性回歸的轉(zhuǎn)化

例5.在一化學(xué)反應(yīng)過程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度yg/min與一種催化劑的量xg有關(guān)，現(xiàn)收集了

8組數(shù)據(jù)列于表中，試建立y與x之間的回歸方程.

催化劑量x/g1518212427303336

化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度y/(g/min)6830277020565350

【思路點撥】兩個變量不一定是線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關(guān)系，可以通

過變換的方法將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.

【解析】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點圖：

400-

350??

300-

250-

200-?

150-

100-

50-..??

o一.—

12151821242730333639x/g

根據(jù)樣本點分布情況，可選用兩種曲線模型來擬合.

(1)可認(rèn)為樣本點集中在某二次曲線y=cix，c2的附近.令t=x2,則變換后樣本點應(yīng)該分布在直線,

y=bt+a(b=ci,a=C2)的周圍.

由題意得變換后的t與y的樣本數(shù)據(jù)表如下:

t22532444157672990010891296

y6830277020565350

由y與t的散點圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程

y=ht+a來擬合，即不宜用二次曲線y=sx，c2來擬合y與x之間的關(guān)系.

(2)根據(jù)x與y的散點圖也可以認(rèn)為樣本點集中在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線V=qeC2X的周圍.

令z=lny,貝ijzujx+lnq,

即變換后樣本點應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnci,b=c2)的周圍,

由y與x數(shù)據(jù)表可得z與x的數(shù)據(jù)表

X1518212427303336

Z1.7922.0793.1013.2964.2485.3231.1715.858

作出Z與X的散點圖.

產(chǎn)

8.

6???

小..**

2-.?

%152025303540x

由散點圖可觀察到大致在一條直線上，所以可用線性回歸方程來擬合它.

由z與x的數(shù)據(jù)表，得到線性回歸方程，z=0.1812x-0.8485,

所以非線性回歸方程為y=e"⑻2*3螃5

因此，該化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度關(guān)于催化劑的量的非線性回歸方程為y=e°?⑻2T.s485.

【總結(jié)升華】非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出己知數(shù)據(jù)的散點圖。把它

與學(xué)過的各種函數(shù)圖像作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后像本例這樣，采用適當(dāng)?shù)淖?/p>

量置換，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決.

舉一反三：

【變式1】某種圖書每冊的成本費y（元）與印刷冊數(shù)x（千冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：

X123510203050100200

y10.155.524.082.852.111.621.111.301.211.15

檢測每冊書的成本費y與印刷冊數(shù)的倒數(shù),之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如有，求出y對x的回歸方

X

程.

【答案】首先作變量置換〃=’,題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的數(shù)據(jù).

X

Ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005

yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.21.15

可以求得r=—上，?0.9998.

x)2t(y—y)2

Vi=l/=i

由r^O.9998>0,75,因此，變量y與u之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并且人。8.973,

y-bxa1.125.

IQ973

最后回代〃=—可得y=1.125+—^.

xx

Q973

因此y與x的回歸方程為y=1.125+—^.

x

【回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591例題3】

【變式2】一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立y與x之間的

回歸方程.

溫度

x/C21232527293235

產(chǎn)卵數(shù)7

y/個11212466115325

【答案】觀察右圖中的散點圖，發(fā)現(xiàn)樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，即兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系,

所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.

根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線尸GeQ,的周圍（其中de?是待定

的參數(shù)），故可用指數(shù)函數(shù)模型來擬合這兩個變量.

在上式兩邊取對數(shù)，得lny=C2X+lnc],再令z=lny,則z=C2X+lnq,而z與x間的關(guān)系如下：

21232527293235

1233445

.946.398.045.178.190.745.784

觀察z與x的散點圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.

利用計算器算得a=-3.843力=0.272,z與x間的線性回歸方程為z=0.272^-3.843,因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵

數(shù)對溫度的非線性回歸方程為y=843【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.下列關(guān)系中為相關(guān)關(guān)系的有（）

①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系；

②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系;

③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系；

④某個人的年齡與本人的知識水平之間的關(guān)系.

(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④

2.對于線性相關(guān)系數(shù)r,下列敘述正確的是().

A.|r|G(0,+8),|r1越大，相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越小

B.|r|G(一8