2025版高考數(shù)學大一輪復習第九章計數(shù)原理與概率隨機變量及其分布第60講幾何概型課時達標理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第60講幾何概型課時達標一、選擇題1．在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)B解析區(qū)間[－2,3]的長度為3－(－2)＝5，[－2,1]的長度為1－(－2)＝3，故滿意條件的概率P＝eq\f(3,5).2．設p在[0,5]上隨機地取值，則關(guān)于x的方程x2＋px＋1＝0有實數(shù)根的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)C解析方程有實根，則Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率為eq\f(5－2,5－0)＝eq\f(3,5).3．老師安排在晚修19：00～20：00解答同學甲、乙的問題，預料解答完一個學生的問題須要20分鐘．若甲、乙兩人在晚修內(nèi)的隨意時刻去問問題是相互獨立的，則兩人獨自去時不須要等待的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(7,9)B解析設19：00～20：00對應時刻[0,60]，甲、乙問問題的時刻分別為x，y，則x，y∈[0,60]．兩人獨自去時不須要等待滿意|x－y|≥20，則由幾何概型可知，所求概率為eq\f(\f(1,2)×60－202×2,60×60)＝eq\f(4,9)，故選B.4．如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是eq\f(1,3)，則陰影部分的面積是()A.eq\f(π,3) B．πC．2π D．3πD解析設陰影部分的面積為S1，圓的面積S＝π×32＝9π，由幾何概型的概率計算公式得eq\f(S1,S)＝eq\f(1,3)，得S1＝3π.5．(2024·北京昌平模擬)設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是()A.eq\f(4,13) B.eq\f(5,13)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)D解析作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點的三角形區(qū)域，當點在△AED區(qū)域內(nèi)時，點到直線y＋2＝0的距離大于2.P＝eq\f(S△AED,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25)，故選D.6．(2024·山東棗莊一模)已知實數(shù)a滿意－3<a<4，函數(shù)f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域為R的概率為P1，定義域為R的概率為P2，則()A．P1>P2 B．P1＝P2C．P1<P2 D．P1與P2的大小不確定C解析若f(x)的值域為R，則Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.故P1＝eq\f(－2－－3,4－－3)＋eq\f(4－2,4－－3)＝eq\f(3,7).若f(x)的定義域為R，則Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2.故P2＝eq\f(4,7)，所以P1<P2.二、填空題7．(2024·石寶中學一模)如圖所示，M是半徑為R的圓周上的一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過eq\r(2)R的概率是________．解析當弦MN的長度恰為eq\r(2)R時，∠MON＝eq\f(π,2)，如圖．當點N落在半圓弧上時，弦MN的長度不超過eq\r(2)R，故所求概率為P＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8．記集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點M(x，y)，則點M落在區(qū)域Ω2的概率為________．解析作圓O：x2＋y2＝4，區(qū)域Ω1就是圓O內(nèi)部(含邊界)，其面積為4π，區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內(nèi)部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為eq\f(2,4π)＝eq\f(1,2π).答案eq\f(1,2π)9．在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是________．解析設隨機取出的兩個數(shù)分別為x，y，則0<x<1,0<y<1，依題意有x＋y<eq\f(6,5)，由幾何概型知，所求概率為P＝eq\f(12－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5))),12)＝eq\f(17,25).答案eq\f(17,25)三、解答題10．甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停岸兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是等可能的．(1)假如甲船和乙船的停岸時間都是4小時，求它們中的任何一條船不須要等待碼頭空出的概率；(2)假如甲船的停岸時間為4小時，乙船的停岸時間為2小時，求它們中的任何一條船不須要等待碼頭空出的概率．解析(1)設甲、乙兩船到達時間分別為x，y，則0≤x<24,0≤y<24，且y－x>4或y－x<－4.作出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或y－x<－4.))設“兩船無需等待碼頭空出”為事務A，則P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,36).(2)當甲船的停岸時間為4小時，乙船的停岸時間為2小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿意x－y>2或y－x>4.設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事務B，畫出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或x－y>2.))則P(B)＝eq\f(\f(1,2)×20×20＋\f(1,2)×22×22,24×24)＝eq\f(442,576)＝eq\f(221,288).11．已知袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干，其標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，其次次取出的小球標號為b.①記“2≤a＋b≤3”為事務A，求事務A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事務“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解析(1)由題意共有小球n＋2個，標號為2的小球n個．從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個球，記第一次取出的小球標號為a，其次次取出的小球標號為b，則取出2個小球的可能狀況共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＝12種結(jié)果，令滿意“2≤a＋b≤3”為事務A，則事務A共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8種結(jié)果，故P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)；②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中點的坐標，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由幾何概型可得概率為P＝eq\f(4－\f(1,4)π·22,4)＝1－eq\f(π,4).12．甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的嘉獎方案如下：甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15°，邊界忽視不計)即為中獎．乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外不加區(qū)分)，假如摸到的是2個紅球，即為中獎．問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？解析假如顧客去甲商場，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圓盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).所以，在甲商場中獎的概率為P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).假如顧客去乙商場，從盒子中摸出2個球的一切可能的結(jié)果有Ceq\o\al(2,6)共15種．摸到的2個球都是紅球有Ceq\o\al(2,3)種，共3種，所以在乙商場中獎的概率為P2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，又P1<P2，所以顧客在乙商場中獎的可能性大．13．[選做題](2024·福州一模)已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M.(1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機抽取一個數(shù)作為x，從集合Q中隨機抽取一個數(shù)作為y，求復數(shù)z為純虛數(shù)的概率；(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率．解析(1)記“復數(shù)z為純虛數(shù)”為事務A.因為組成復數(shù)z的全部狀況共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)＝12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種狀況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型，其中事務A包含的基本領件共2個：i,2i，所以所求事務的概率為P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依條件可知，點M勻稱地分布在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3，,0≤y≤4))))))內(nèi)，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求事務構(gòu)成的平面區(qū)域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c