2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)45雙曲線含解析理

PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)(四十五)(建議用時(shí)：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.(2024·浙江高考)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)B[∵雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，即得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．故選B.]2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的兩條漸近線相互垂直，那么它的離心率為()A．2B.eq\r(3) C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)C[由漸近線相互垂直可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))·eq\f(b,a)＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝eq\r(2)a，所以e＝eq\r(2).]3．(2024·青島二模)直線l：x－2y－5＝0過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)且與其一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1A[依據(jù)題意，令y＝0，則x＝5，即c＝5.又eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝20，b2＝5，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.]4．(2024·湖南師大附中模擬)已知A是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，G是△PF1F2的重心，若存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(GA,\s\up12(→))＝λeq\o(PF1,\s\up12(→))，則雙曲線的離心率為()A．3 B．2C．4 D．與λ的取值有關(guān)A[由題意，可知|PG|＝2|GO|，GA∥PF1，∴2|OA|＝|AF1|，∴2a＝c－a，∴c＝3a，∴e＝3.]5．已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)D[由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4－eq\f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2,3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)，所以AP∥x軸，又PF⊥x軸，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq\f(1,2)|PF|·|AP|＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).]二、填空題6．已知(2,0)是雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則b＝________.eq\r(3)[因?yàn)?2,0)是雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，所以1＋b2＝4，則b＝eq\r(3).]7．(2024·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(3),2)c，則其離心率的值為________．2[雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離d＝eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝b.∴b＝eq\f(\r(3),2)c，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(1,2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2.]8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的離心率大于eq\r(6)，則m的取值范圍為________．(0,1)∪(4，＋∞)[由雙曲線方程可得m>0，所以e＝eq\f(\r(m＋m2＋4),\r(m))>eq\r(6)，解得m>4或m<1.由m>0，故可得m的取值范圍為(0,1)∪(4，＋∞)．]三、解答題9．已知橢圓D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9.雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．[解]橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3.∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴雙曲線G的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.10．(2024·安徽江南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)P(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.[解](1)∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線的方程為x2－y2＝6，即eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：法一：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，eq\o(MF1,\s\up12(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.B組實(shí)力提升1．(2024·湖南四校聯(lián)考)已知A，B，P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積kPA·kPB＝3，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3) C．2 D．3C[由雙曲線的對稱性知，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，又kPA＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，kPB＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，所以kPA·kPB＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，故選C.]2．(2024·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C[如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A(c，eq\f(b2,a))，B(c，－eq\f(b2,a))．其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，∴b＝3.又由e＝eq\f(c,a)＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝eq\r(3).∴雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.故選C.]3．(2024·北京高考)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.4[由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))知eq\f(a2＋4,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＝eq\f(5,4)，∴a2＝16.∵a>0，∴a＝4.]4．已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(2\r(5),5).(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))，求△AOB的面積．[解](1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝2，,\f(|2×0＋a|,\r(5))＝\f(2\r(5),5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))故雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，設(shè)A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))得點(diǎn)P的坐標(biāo)為