人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《第18章 平行四邊形》單元測(cè)試卷(二)

人教新版八年級(jí)下學(xué)期《第18章平行四邊形》

單元測(cè)試卷

解答題(共50小題)

1.四邊形A8C。為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)E作￡尸，。￡,交射線

BC于點(diǎn)F,以。E、跖為鄰邊作矩形。跖G,連接CG.

(1)如圖1,求證：矩形。EFG是正方形;

(2)若A2=2,CE=?,求CG的長(zhǎng)度;

(3)當(dāng)線段。E與正方形ABC。的某條邊的夾角是30°時(shí)，直接寫出/EFC的度數(shù).

2.如圖①，在正方形ABC。中，尸是對(duì)角線80上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且PE

=%，PE交CD于F.

(1)求證：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù);

(3)如圖②，把正方形ABC。改為菱形A2CZ),其它條件不變，若/42C=65°,則N

國(guó)②

3.如圖1,△A3。和△BOC都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

A

VW'VI

圖1圖2圖3

(1)四邊形ABC。是菱形嗎？為什么？

(2)如圖2,將△3DC沿射線8D方向平移到△3bDiG的位置，則四邊形是平

行四邊形嗎？為什么？

(3)在△BDC移動(dòng)過(guò)程中，四邊形A8C15有可能是矩形嗎？如果是，請(qǐng)求出點(diǎn)8移動(dòng)

的距離(寫出過(guò)程)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(圖3供操作時(shí)使用).

4.△ABC中，點(diǎn)。是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN〃BC,設(shè)MN交/BCA的平分

線于E,交/OC4的平分線于點(diǎn)反

(1)求證：EO=FO-,

(2)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AEC尸是矩形？并證明你的結(jié)論.

5.如圖，在平行四邊形A8C。中，的平分線與8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,與0c交于

點(diǎn)E

(1)求證：CD=BE；

(2)若AB=4,點(diǎn)尸為。C的中點(diǎn)，DG1AE,垂足為G,且。G=l,求AE的長(zhǎng).

6.如圖，在aABCD中，NABC的平分線交AO于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BE交的延長(zhǎng)線于H

(1)若NF=20°,求/A的度數(shù)；

(2)若AB=5,BC=8,CE±AD,求□ABC。的面積.

7.如圖：在平行四邊形中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交3c于點(diǎn)E(尺規(guī)作

圖的痕跡保留在圖中了)，連接EE

(1)求證：四邊形A8EF為菱形；

(2)AE,相交于點(diǎn)。，若BF=6,AB=5,求AE的長(zhǎng).

8.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)、E,歹分別在邊AB,BC上,NADE=/CDF.

(1)求證：AE=CF-,

(2)連接DB交所于點(diǎn)。，延長(zhǎng)。3至點(diǎn)G,使。G=。。，連接EG、FG,判斷四邊

形。EG尸是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由.

9.已知：如圖，在矩形ABCZ)中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)廠在邊BC上，且AE=CF,作EG

//FH,分別與對(duì)角線8。交于點(diǎn)G、H,連接EH,FG.

(1)求證：△3切之△DEG；

(2)連接。R若BF=DF,則四邊形EGF8是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.

10.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,是中線，E是A。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作A尸〃8C

交8E的延長(zhǎng)線于凡連接CH

(1)求證：AD=AF；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AOCB的形狀，并證明你的結(jié)論.

11.【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形A8E和ADR連結(jié)

ED與FC交于點(diǎn)M,則圖中△ADE2△￡)■r,可知即=FC,求得N￡)MC=.

【拓展應(yīng)用】如圖②，在矩形A8CO(AB>8C)的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ABE和AD凡

連結(jié)ED與FC交于點(diǎn)M.

(1)求證：ED=FC.

(2)若NAOE=20°,求NOMC的度數(shù).

12.已知：如圖，nABCD中，。是CD的中點(diǎn)，連接A。并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：AAOD^AEOC；

(2)連接AC,DE,當(dāng)N2=°和°時(shí)，四邊形ACED是正方

形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD±BC,垂足為Z),AN是△ABC外角/CAM的平分

線，CE1AN,垂足為點(diǎn)E

(1)求證：四邊形AOCE為矩形；

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AOCE是一個(gè)正方形？并給出證明.

14.如圖：在Rt^ABC中，ZACB=90°,過(guò)點(diǎn)C的直線MN〃AB,。為AB上一點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。作DELBC,交直線于點(diǎn)E,垂足為R連結(jié)CD,BE,

(1)當(dāng)點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形8EC。是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由

15.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,是8C邊的中線，AN為△ABC的外角/CAM

的平分線，CELAN于點(diǎn)E,線段DE交AC于點(diǎn)f

(1)求證：四邊形AOCE為矩形；

(2)線段。尸與A3有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論.

BDC

16.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在48邊上，過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線交NABC的平分線于點(diǎn)

D,過(guò)點(diǎn)B作BE1BD交直線0D于點(diǎn)E.

(1)求證：OE=OD；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在A8的什么位置時(shí)，四邊形BD4E是矩形？說(shuō)明理由.

17.【感知】如圖①，四邊形ABC。、CEFG均為正方形.可知BE=￡)G.

【拓展】如圖②，四邊形ABC。、CE/G均為菱形，且/A=NF.求證：BE=DG.

【應(yīng)用】如圖③，四邊形4BC。、CEFG均為菱形，點(diǎn)E在邊A。上，點(diǎn)G在延長(zhǎng)

線上.若AE=2ED,NA=NF,人防。的面積為8,則菱形CEFG的面積為.

圖①圖②圖③

18.探究：如圖，分別以△ABC的兩邊和AC為邊向外作正方形ANM8和正方形ACDE,

NC、8E交于點(diǎn)P.

求證：NANC=/ABE.

應(yīng)用：。是線段8C的中點(diǎn)，若BC=6,則PQ=.

19.以四邊形ABC。的邊AB、為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和AOE,連接￡8、

FD,交點(diǎn)為G.

E

(1)當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)(如圖1),E8和尸。的數(shù)量關(guān)系是；

(2)當(dāng)四邊形A8C。為矩形時(shí)(如圖2),即和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明；

(3)四邊形A8CD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，NEGD是否發(fā)生

變化？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中求出/EG。的度數(shù).

20.如圖，正方形ABCQ中，E是BD上一點(diǎn)、,AE的延長(zhǎng)線交CD于R交8C的延長(zhǎng)線于

G,M是尸G的中點(diǎn).

(1)求證：①N1=N2；@EC±MC.

(2)試問(wèn)當(dāng)/I等于多少度時(shí)，AECG為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

AD

21.如圖，已知△A8C為等邊三角形，CP〃A8,點(diǎn)P為線段A8上任意一點(diǎn)(點(diǎn)。不與A、

8重合)，過(guò)點(diǎn)P作PE〃BC,分別交AC、CF于G、E.

(1)四邊形PBCE是平行四邊形嗎？為什么？

(2)求證：CP=AE；

(3)試探索：當(dāng)尸為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APCE是什么樣的特殊四邊形？并說(shuō)明理由.

G

E

22.如圖，在△ABC中，。是AC的中點(diǎn)，￡是線段8C延長(zhǎng)線一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的平行

線與線段即的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)憶連接AE、CF.

(1)求證：AF=CE；

(2)如果AC=EE且NACB=135°,試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明

你的結(jié)論.

3

23.如圖，△ABC中，點(diǎn)。為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作直線MN〃2C,設(shè)MN交/

BCA的外角平分線CT于點(diǎn)F,交/ACB內(nèi)角平分線CE于E.

(1)試說(shuō)明EO=FO；

(2)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；

(3)若AC邊上存在點(diǎn)。，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)

24.如圖，在△ABC中，ZACB=90",點(diǎn)。，E分別是邊8C,AB上的中點(diǎn)，連接。E并

延長(zhǎng)至點(diǎn)日使Er=2〃E,連接CE、AF.

(1)證明：AF=CE；

(2)當(dāng)NB=30°時(shí)，試判斷四邊形ACEP的形狀并說(shuō)明理由.

25.如圖，在平行四邊形ABC。中，邊的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交C8的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、F,連接ARBE.

(1)求證：AAGE咨△BGF；

(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說(shuō)明理由.

26.如圖，矩形ABC。中，NABD、NCD8的平分線BE、。F分別交邊A。、8c于點(diǎn)E、F.

(1)求證：四邊形BE。尸是平行四邊形；

27.已知：如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E,O,尸分別為AB,AC,的中點(diǎn)，連接CE,

CF,OE,OF.

(1)求證：ABCE義ADCF；

(2)當(dāng)A2與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.如圖，在Rt/VIBC中，NABC=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，作NADB的角平分線DE

交于點(diǎn)E,

(1)求證：DE//BC-,

(2)若AE=3,AO=5,點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)8尸為何值時(shí)，△〃以為等腰

三角形.請(qǐng)求出所有2尸的值.

29.已知：如圖，在矩形48cL1中，M、N分別是邊A。、BC的中點(diǎn)，E、尸分別是線段BM、

CM的中點(diǎn).

(1)求證：AABM咨ADCM；

(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.

30.如圖，。是線段A8的中點(diǎn)，C是線段A2的垂直平分線上的一點(diǎn)，OELAC于點(diǎn)E,

DFLBC于點(diǎn)F.

(1)求證：DE=DF；

AE=CF.

(1)求證：AABF咨ACDE；

(2)當(dāng)四邊形A8C。滿足什么條件時(shí)，四邊形8EDE是菱形？為什么？

D

,E

32.如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作3個(gè)等邊三角形，即△AB。、4BCE、

△ACF.

（1）求證：四邊形AOEF是平行四邊形?

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AOEF是矩形，并說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AOEF是菱形，并說(shuō)明理由.

（4）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADE尸是正方形，不要說(shuō)明理由.

33.如圖，矩形ABCZ）中，AB=4cm,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā)，按折線。CBA。方

向以2cmls的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)，按折線DABCD方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng).

（1）若動(dòng)點(diǎn)/、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘兩點(diǎn)相遇？

（2）若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=3cw,若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)

過(guò)幾秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形？

4N汽

---------------------1。

B'----------------------C

34.如圖，梯形A3C。中，AB//CD,AB^24cm,DC^10cm,點(diǎn)P和。同時(shí)從。、B出發(fā),

P由。向C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1c%,點(diǎn)。由8向A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3cm,試求幾秒后,

尸、。和梯形A8CO的兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形？

0B

35.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD^Ucm,BC=15c〃z,點(diǎn)尸自點(diǎn)A向。以IcmJs

的速度運(yùn)動(dòng)，到。點(diǎn)即停止.點(diǎn)。自點(diǎn)C向8以2c加/s的速度運(yùn)動(dòng)，到8點(diǎn)即停止，點(diǎn)

P,。同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(s).

(1)用含f的代數(shù)式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=.

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形4PQB是平行四邊形？

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形？

36.如圖，在等邊三角形A8C中，BC=6cm,射線AG〃8C,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG

以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t(5).

(1)連接斯，當(dāng)所經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)。時(shí)，求證：AADE義ACDF；

(2)當(dāng)/為多少時(shí)，四邊形ACFE是菱形.

37.如圖，在矩形ABCZ)中，AB=24cm,8C=8c:w,點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線A-8-C-。以

4aMs的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿C。邊以Icmls的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從4

C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)。時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s).當(dāng)f

為何值時(shí)，四邊形QP2C為矩形？

D2<-----C

38.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//OC,A(0,12),B(a,c),C(6,0),并且a,b

滿足b=4a-21+、/21-a+16.一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)在線段0C上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、。分別從點(diǎn)A、。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)

(1)求8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)r為何值時(shí)，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

39.在正方形ABCD中，P是CD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,分別過(guò)點(diǎn)B、D作BELPA.DF

LPA,垂足為E、F.

(1)求證：BE=EF+DF；

(2)如圖(2),若點(diǎn)P是。C的延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、跖三條線段

之間的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

(3)如圖(3),若點(diǎn)尸是CD的延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF三條線之

間的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出結(jié)論，不需說(shuō)明理由).

40.如圖，點(diǎn)G是正方形對(duì)角線C4的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正

方形AEFG,線段EB和GD相交于點(diǎn)H.

(1)求證：AEAB絲AGAD；

(2)若A8=3&,AG=3,求的長(zhǎng).

41.如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂

點(diǎn)A重合，三角板的一邊交C。于點(diǎn)F,另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：EF=EG；

(2)如圖2,移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABC。的對(duì)角線AC上，其他條件不

變.(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

42.已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形。43c是矩形，點(diǎn)A、C的

坐標(biāo)分別為A(10,0),C(0,4),點(diǎn)。是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△ODP

是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

43.D、E分別是不等邊三角形ABC(即ABW8CWAC)的邊AB、AC的中點(diǎn).。是AABC

所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接08、OC,點(diǎn)G、F分別是。氏OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)。、G、

F、E.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形。GFE是平行四邊形；

(2)若四邊形。GFE是菱形，則。4與應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出答案，

不需要說(shuō)明理由.)

A

44.如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).作正方

形DEFG,使點(diǎn)A,C分別在。G、DE上，連接AE、BG.

(1)試猜想線段2G和AE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論;

(2)將正方形。所G繞點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后(旋轉(zhuǎn)角度大于0°,小于或等

于360。)，如圖②，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

45.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小輝將邊長(zhǎng)為我和3的兩個(gè)正方形放置在直線/上，如圖1,他連結(jié)

AD.CF,經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)AO=CR

(1)他將正方形ODE/繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2,試判斷與B還相

等嗎？說(shuō)明你的理由;

(2)他將正方形。。/繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線/上，如圖3,請(qǐng)你求出

46.已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形O48C為矩形，A(10,0),C(0,4),點(diǎn)。是

OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊2C上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形POO8是平行四邊形？

(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)0,使得。。。尸為菱形？若存在，求f的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)△。尸。為等腰三角形時(shí)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不必寫過(guò)程).

47.如圖1,在平面直接坐標(biāo)系中，矩形OA8C的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0)、(0,

4),點(diǎn)。是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在8c上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OD尸是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，求

發(fā)沿方向向點(diǎn)。以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C開(kāi)始沿著CB方向向點(diǎn)8以3cm/s

的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、。分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨

之停止運(yùn)動(dòng).

(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQC。是平行四邊形？

(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形尸。A4是矩形？

49.如圖，在RtaABC中，/B=90°,BC=$M，NC=30°.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C4

方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)點(diǎn)。、￡運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(r>0).過(guò)點(diǎn)。作。尸，BC于點(diǎn)尸，連接。E、EF.

(1)求證：AE=DF；

(2)四邊形AEED能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的才值；如果不能，說(shuō)明理由.

A

50.如圖①，在正方形ABC。中，尸是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且

PE=PB.

(1)求證：ABCP咨ADCP；

(2)求證：ZDPE=ZABC；

(3)把正方形ABC。改為菱形，其它條件不變(如圖②)，若NABC=58°,貝叱。尸￡

=度.

圖①圖②

人教新版八年級(jí)下學(xué)期《第18章平行四邊形》2019年

單元測(cè)試卷

參考答案與試題解析

解答題（共50小題）

1.四邊形A2CD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)E作EPLOE,交射線

8c于點(diǎn)兒以DE、EF為鄰邊作矩形。EFG,連接CG.

（1）如圖1,求證：矩形。E/G是正方形；

（2）若48=2,CE=V2>求CG的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)線段DE與正方形42。的某條邊的夾角是30°時(shí)，直接寫出NEFC的度數(shù).

【分析】（1）作EP1CD于P,EQ_L8C于。，證明RtAEQF咨RtAEPD,得到EF=ED,

根據(jù)正方形的判定定理證明即可；

（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)￡是AC中點(diǎn)，點(diǎn)廠與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即

可解決問(wèn)題.

（3）分兩種情形考慮問(wèn)題即可；

【解答】（1）證明：作EPJ_C。于P,EQ_L8C于Q,

,：ZDCA=ZBCA,

；.EQ=EP,

,：ZQEF+ZFEC^45°,ZPED+ZFEC=45°,

:./QEF=/PED,

在RtLEQF和RtAEPZ）中，

'NQEF=NPED

'EQ=EP，

kZEQF=ZEPD

RtAEQF^RtAEPD,

：.EF=ED,

矩形。EFG是正方形;

(2)如圖2中，在RtaABC中.AC=y[^B=2版,

???EC=亞，

J.AE^CE,

，點(diǎn)尸與C重合，此時(shí)△OCG是等腰直角三角形，易知CG=J]

圖2

(3)①當(dāng)。E與的夾角為30°時(shí)，NEFC=120°,

②當(dāng)。E與。C的夾角為30°時(shí)，NEFC=30°

綜上所述，ZEFC=120°或30°.

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題.

2.如圖①，在正方形ABC。中，尸是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且PE

=PA,PE交CD于F.

(1)求證：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù)；

(3)如圖②，把正方形ABCD改為菱形ABC。，其它條件不變，若NA2C=65°,則N

CPE=115度.

圖①圖②

【分析】(1)先證出△A2P絲△C3P,得B4=PC,由于E4=PE,得PC=PE；

(2)由△ABP0△CBP,得NBAP=NBCP,進(jìn)而得NZMP=NOCP,由24=PC,得到

NDAP=/E,ZDCP=ZE,最后/CPF=/EDF=90°得到結(jié)論；

(3)由△QRl0ZYDPC,推出/ZMP=/OCP,PA=PC,推出PA=PE,推出/ZMP=

ZE,推出NE=NPCD,由NDFE=NCPP,推出NCPF=NEDF,由此即可解決問(wèn)題;

【解答】解：(1)證明：在正方形A8CZ)中，AB=BC,

NABP=NCBP=45°,

在△ABP和△CBP中，

'AB=BC

<NABP=/CBP，

TB=PB

:.AABP2ACBP(SAS),

：.PA=PC,

\'PA=PE,

:.PC=PE；

(2)由(1)知，ZXAB尸出△CBP,

：.ZBAP=ZBCP,

：.ZDAP=ZDCP,

"：PA^PE,

：.ZDAP=ZE,

：.ZDCP=ZE,

,：/CFP=ZEFD(對(duì)頂角相等)，

，180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即/。尸/=/瓦甲=90°；

(3)在菱形A8CD中，AD=DC,ZADP=ZCDP,DP=DP,

：./\DPA^/\DPC,

：.ZDAP=ZDCP,PA=PC,

；.NDAP=/E,

:./E=/PCD,

'：ZDFE=ZCFP,

：.ZCPF=ZEDF,

VZABC^ZA￡)C=65°,

；.NCPE=NEDF=180°-ZADC=115°

圖①圖②

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角

形的判定和性質(zhì)，正確尋找全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵.

圖1圖2圖3

(1)四邊形A3。是菱形嗎？為什么？

(2)如圖2,將△B￡?C沿射線8。方向平移到△2bDiG的位置，則四邊形ABCiDi是平

行四邊形嗎？為什么？

（3）在△BOC移動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABQOi有可能是矩形嗎？如果是，請(qǐng)求出點(diǎn)3移動(dòng)

的距離（寫出過(guò)程）；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（圖3供操作時(shí)使用）.

【分析】（1）根據(jù)四條邊都相等的四邊形ABC。是菱形證明即可；

（2）四邊形ABQO1是平行四邊形，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判

定即可；

（3）在△BDC移動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABCbDi有可能是矩形，此時(shí)此時(shí)，ZDiBCi=30°,

ZZ）iCiB=90°,G￡>i=l,利用在直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可

求出點(diǎn)B移動(dòng)的距離.

【解答】解：（1）四邊形A3。是菱形；

理由如下：

?.?△48。和48。（7都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.

：.AB=AD=CD=BC=DB,

：.AB=AD^CD^BC,

四邊形ABC。是菱形；

（2）四邊形A8GD1是平行四邊形.

理由：=

：.AB//CxDi，

又?；4B=CbDi，

...四邊形ABCiOi是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

（3）四邊形42cbeh有可能是矩形.

此時(shí)，ZE>iBCi=30°,ZDiCiB=90o,G5=l

：.BDi=2,

：.BBX=\,

即點(diǎn)8移動(dòng)的距離是1.

A

v圖1w圖2v圖3l

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)矩形的判定和性質(zhì)以及直角

三角形的性質(zhì)，掌握特殊平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

4.△ABC中，點(diǎn)。是AC邊上■個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作直線設(shè)MN交NBCA的平分

線于E,交/OCA的平分線于點(diǎn)?

（1）求證：EO=FO；

（2）當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AEC尸是矩形？并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）由于CE平分/BC4,那么有Nl=/2,MMN//BC,利用平行線的性質(zhì)有

N1=N3,等量代換有N2=N3,于OE=OC,同理OC=OE,于是OE=OF；

（2）OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是NBCA及其外

角的角平分線，易證/ECF是90°,從而可證四邊形AECf1是矩形.

【解答】（1）證明？如圖所示：：CE平分NBCA,

又,：MN〃BC,

.\Z1=Z3,

/.Z3=Z2,

：.EO=CO,

同理，F(xiàn)O=CO,

:.EO=FO；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEC尸是矩形;

理由如下：

：OA=OC,

四邊形AECF是平行四邊形，

是N2C4的外角平分線，

Z4=Z5,

又：N1=N2,

.*.Z1+Z5=Z2+Z4,

X".'Z1+Z5+Z2+Z4=18O°,

/.Z2+Z4=90o,

平行四邊形AECF是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形判定，平行四邊形判定，平行線性質(zhì)，角平分線定義的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的推理能力.

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，/區(qū)4。的平分線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,與。C交于

點(diǎn)F.

(1)求證：CD=BE；

(2)若AB=4,點(diǎn)尸為DC的中點(diǎn)，DGLAE,垂足為G,且QG=1,求AE的長(zhǎng).

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出NBAE=NE.得出AB=BE,即可得

出結(jié)論；

(2)同(1)證出。4=。尸，由尸為。C中點(diǎn)，AB=CD,求出與。尸的長(zhǎng)，得出三

角形尸為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為中點(diǎn)，在直角三角形AZJG中，由

與。G的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由三角形尸與三

角形ECV全等，得出AF=E/，即可求出AE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：為的平分線，

：.ZDAE=ZBAE.

"/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,CD=AB.

：.ZDAE=ZE.

：.ZBAE=ZE.

:.AB=BE.

：.CD=BE.

(2)解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.CD//AB,

：.ZBAF^ZDFA.

：.ZDAF^ZDFA.

J.DA^DF.

為。C的中點(diǎn)，AB=4,

：.DF=CF=DA=2.

'：DG±AE,DG=1,

：.AG=GF.

:.AG=M-

：.AF=2AG=2y/3.

rZDAF=ZE

在小和△￡(7尸中，＜NADF=NECF，

,DF=CF

.?.△ADF段AECF(AAS).

：.AF=EF,

；.A￡=2AF=46.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三

角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題(2)

的關(guān)鍵.

6.如圖，在口428中，NABC的平分線交AD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BE交C。的延長(zhǎng)線于足

(1)若/歹=20°,求NA的度數(shù)；

(2)若AB=5,BC=8,CE±AD,求=ABC。的面積.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出/AE8=/C8產(chǎn)，ZABE=ZF=20°,

證出/AEB=/ABE=20°,由三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可；

(2)求出。E,由勾股定理求出CE,即可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)???四邊形ABCQ是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC=S,CD=AB=5,AB//CD,

：.ZAEB=ZCBF,ZABE=ZF=20°,

,/ZABC的平分線交AD于點(diǎn)E,

/ABE=/CBF,

：.ZAEB=ZABE=20°,

J.AE^AB,NA=(180°-20°-20°)+2=140°；

(2):AE=A2=5,AD=BC=8,CD=AB^5,

：.DE^AD-AE^3,

'：CE±AD,

22=22=4,

；?CE=7CD-DEV5-3

：.°ABCD的面積=AO?CE=8X4=32.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)，證出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.如圖：在平行四邊形48C。中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交8C于點(diǎn)E(尺規(guī)作

圖的痕跡保留在圖中了)，連接跖.

(1)求證：四邊形ABEF為菱形；

(2)AE,BF相交于點(diǎn)。，若BF=6,AB=5,求AE的長(zhǎng).

：F

?W'BAE。

【分析】(1)由尺規(guī)作尸的角平分線的過(guò)程可得，AB=AF,/BAE=/R1E,根據(jù)

平行四邊形的性質(zhì)可得/剛E=/AEB,然后證明AF=BE,進(jìn)而可得四邊形A8EF為平

行四邊形，再由AB=A尸可得四邊形ABE尸為菱形；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE1_BRB0=LFB=3,AE=2AO,利用勾股定理計(jì)算出AO

2

的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：由尺規(guī)作/BAF的角平分線的過(guò)程可得AB=AEZBAE=ZFAE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.ZFAE=NAEB,

:./BAE=/AEB,

：.AB=BE,

：.BE=FA,

...四邊形ABEF為平行四邊形，

'：AB=AF,

四邊形48匹為菱形；

(2)解：：四邊形ABE尸為菱形，

C.AELBF,BO=LFB=3,AE=2AO,

2

在RtzMOB中，AO=J52_32=4,

.\AE=2AO=8.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是

菱形，菱形對(duì)角線互相垂直且平分.

8.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC上,ZADE^ZCDF.

(1)求證：AE=CF；

(2)連接DB交EF于點(diǎn)。，延長(zhǎng)0B至點(diǎn)G,使OG=OD,連接EG、FG,判斷四邊

形。EGP是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)證明△D4Eg△QCR根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF,證明DG是EF的垂直平分線，得到DE=

EG=GF=GF,證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。是正方形，

：.DA=DC,ZA=ZC=90°,

在△D4E和△QCF中，

'NADE=/CDF

，DA=DC，

LZA=ZC

：.^DAE^/\DCF,

：.AE=CF；

(2)四邊形DEGP是菱形，

△D4E絲△OCR

:.DE=DF,

'：AE=CF,

:.BE=BF,

：.DG是EF的垂直平分線，

:.GE=GF,

VOG=OD,DG±EF,

：.ED=EG,

：.DE=EG=GF=FD,

.??四邊形DEGF是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相

關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.

9.已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)尸在邊BC上，且AE=CR作EG

//FH,分別與對(duì)角線8。交于點(diǎn)G、H,連接EH,FG.

(1)求證：ABFH沿4DEG；

(2)連接。E若BF=DF,則四邊形EGF”是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃BC,AD=BC,OB=OD,由平行線的性質(zhì)

得出NFBH=NEDG,/OHF=/OGE,得出尸=NDGE,求出BF=DE,由AAS

即可得出結(jié)論；

(2)先證明四邊形EGF”是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出EfUGH,即可得

出四邊形EGFH是菱形.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

：.ZFBH=NEDG,

"：AE=CF,

：.BF=DE,

,JEG//FH,

：.ZOHF=ZOGE,

：.ZBHF=NDGE,

在△8FW和△DEG中，

'NFBH=/EDG

<NBHF=/DGE，

LBF=DE

:.BFH咨ADEG(AAS)；

(2)解：四邊形EGFH是菱形；理由如下:

連接。F,設(shè)EF交BD于0.如圖所示：

由(1)得：BFHm4DEG,

：.FH=EG,

又,：EG〃FH,

，四邊形EGM是平行四邊形，

?：DE=BF,ZEOD=ZBOF,ZEDO=ZFBO,

：./\EDO^/\FBO,

：.OB=OD,

,:BF=DF,OB=OD,

：.EF1BD,

：.EF±GH,

...四邊形EGFH是菱形.

SF

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角

形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明

三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,是中線，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作A尸〃8C

交8E的延長(zhǎng)線于凡連接CF.

(1)求證：AD=AF；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AOC尸的形狀，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由E是AD的中點(diǎn)，AF//BC,易證得△AEP之△。班，即可得

又由在△ABC中，ZBAC=90°,AD是中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一

半，即可證得AD=BO=C￡>=L?C,即可證得：AD=AF；

(2)由AP=BD=￡)C,AF//BC,可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=AC,

根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得AD_LBC,AD=DC,繼而可得四邊形AOCE是正方形.

【解答】⑴證明：

：.ZEAF=ZEDB,

是AO的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

在△A￡F和△。防中，

'NEAF=/EDB

<AE=DE，

1ZAEF=ZDEB

:.AAEF絲ADEB(ASA),

：.AF=BD,

?.?在△ABC中，ZBAC=9Q°,AD是中線，

AD=BD=DC=LBC,

2

：.AD=AF；

(2)解：四邊形AZJCb是正方形.

"：AF=BD=DC,AF//BC,

四邊形ADCF是平行四邊形，

"：AB=AC,AO是中線，

：.AD±BC,

\'AD=AF,

四邊形AOb是正方形.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與

性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

11.【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABC。的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形A8E和ADR連結(jié)

ED與FC交于點(diǎn)M,則圖中可知磯>=尸。，求得N￡)MC=90°.

【拓展應(yīng)用】如圖②，在矩形ABC。(AB>BC)的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形A3E和AOR

連結(jié)即與歹C交于點(diǎn)

(1)求證：ED=FC.

(2)若/AOE=20°,求/OWC的度數(shù).

F

【分析】閱讀發(fā)現(xiàn)：只要證明/。尸。=/。。尸=/24。石=/4或)=15°,即可證明.

拓展應(yīng)用：(1)欲證明皮)=FC,只要證明△AOE/即可.

(2)根據(jù)/?！?。=/立小什/。b。=//。4+/40￡+/。/。即可計(jì)算.

【解答】解：如圖①中，???四邊形A8CQ是正方形，

：.AD=AB=CD,ZAZ)C=90°,

AADEmADFC,

：.DF=CD=AE=AD,

9：ZFDC=60°+90°=150°,

：.ZDFC=ZDCF=ZADE=ZAED=15°,

：.ZFDE=60°+15°=75°,

：.ZMFD+ZFDM=90°,

：.ZFMD=90°,

故答案為90°

(1).「△ABE為等邊三角形，

???NEA3=60°,EA=AB.

???△A。/為等邊三角形，

：.ZFDA=60°,AD=FD.

???四邊形ABC。為矩形，

：.ZBAD=ZADC=90°,DC=AB.

：.EA=DC.

VZEAD=ZEAB+ZBAD=150°,ZCDF=ZFDA-^-ZADC=150°,

：.ZEAD=ZCDF.

在△EAO和△CDb中,

AE=CD

<ZEAD=ZFDC>

,AD=DF

：.ED=FC；

(2)'：/\EAD^/\CDF,

；./ADE=/DFC=20°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的尋找解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

12.已知：如圖，口42?！?中，。是CD的中點(diǎn)，連接A。并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：△A。。g△EOC；

(2)連接AC,DE,當(dāng)45°和44匹=45°時(shí)，四邊形ACED是正方形？

【分析】(1)首先根據(jù)。是CD的中點(diǎn)，可得。0=C。，再證明/D=NOCE,然后可

利用ASA定理證明△AOOg/XEOC；

(2)當(dāng)N2=45°和/A￡B=45°時(shí)，四邊形ACED是正方形；首先證明/BAE=90°,

然后證明AC是8E邊上的中線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得4C=CE,然后利用等腰三

角形的性質(zhì)證明ACL3E,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：是C。的中點(diǎn)，

C.DO^CO,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD//BC,

:./D=/OCE,

，ZD=ZOCE

在△ADO和△ECO中，DO=CO

,ZA0D=ZC0E

AAOD^AEOC(ASA)；

(2)解：當(dāng)/B=45°和/AEB=45°時(shí)，四邊形ACED是正方形,

VZB=45°和NA匹=45,,

/.ZBAE=90°,

,/△40。絲△EOC,

：.AO=EO,

:。。=CO,

.??四邊形ACED是平行四邊形，

J.AD^CE,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,

:.BC=CE,

'：ZBAE=90°,

：.AC=CE,

平行四邊形ACE。是菱形，

?；/B=/AEB,BC=