專題01 圓的認(rèn)識(shí)以及與圓有關(guān)的概念 （解析版）

專題01圓的認(rèn)識(shí)以及與圓有關(guān)的概念圓——知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納圓的定義以及相關(guān)元素（1）集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（2）軌跡形式的概念：圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓（3）圓中相關(guān)元素概念1、半徑：圓上一點(diǎn)與圓心的連線段。2、直徑：連接圓上兩點(diǎn)有經(jīng)過圓心的線段。3、弦：連接圓上兩點(diǎn)線段（直徑也是弦）。4、?。簣A上兩點(diǎn)之間的曲線部分，半圓周也是弧。劣弧：小于半圓周的弧。優(yōu)?。捍笥诎雸A周的弧。5、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．6、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)。8、弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．9、同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．注意：同圓或等圓的半徑相等．圓的對(duì)稱性（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性1、圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合．2、圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系．（2）軸對(duì)稱性1、圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對(duì)稱軸．2、圓的軸對(duì)稱性垂徑定理．垂徑定理：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：①平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．推論2：圓的兩條平行線所夾的弧相等．（擴(kuò)展）即：在⊙中，∵∥∴弧弧注意：若“過圓心的直線”、“垂直于弦”、“平分弦（非直徑）”、“平分弦所對(duì)的優(yōu)弧”、“平分弦所對(duì)的劣弧”中的任意兩個(gè)成立，則另外三個(gè)都成立．注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，，三個(gè)量中知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量．圓的性質(zhì)定理（1）圓周角定理1、定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．2、推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系1、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．2、推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩條弦相等所對(duì)的兩條弧相等所對(duì)的兩條弦的弦心距相等注意：①前提條件是在同圓或等圓中；②在由等弦推出等弧時(shí)應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等．點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外；（2）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。（4）切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分外接圓內(nèi)切圓外接圓內(nèi)切圓概念經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形名稱內(nèi)接三角形外切三角形圓心名稱外心內(nèi)心尺規(guī)作圖實(shí)質(zhì)三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)性質(zhì)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等到三角形各邊的距離相等直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法(為斜邊長(zhǎng))內(nèi)、外心的位置銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上。鈍角三角形外心在三角形外。三角形一定有內(nèi)切圓，圓心定在三角形內(nèi)部。I是的外心：∠BIC=2∠AI是的內(nèi)心：∠BIC=+∠A注意等邊三角形的內(nèi)心、外心重合。外接圓1、三角形一定有外接圓，其他的圖形不一定有外接圓。三角形的外接圓圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)。三角形外接圓圓心叫外心2、HYPERLINK銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。HYPERLINK直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上。HYPERLINK鈍角三角形外心在三角形外。3、有HYPERLINK外心的圖形，一定有HYPERLINK外接圓(各邊HYPERLINK中垂線的交點(diǎn)，叫做外心）外接圓HYPERLINK圓心到三角形各個(gè)HYPERLINK頂點(diǎn)的HYPERLINK線段長(zhǎng)度相等過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做HYPERLINK三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形內(nèi)部，可能在三角形外部（如鈍角三角形），也可能在三角形上（如直角三角形）4、過不在同一HYPERLINK直線上的三點(diǎn)可作一個(gè)圓（且只有一個(gè)圓）（2）內(nèi)切圓1、與三角形三邊都相切的圓叫做HYPERLINK三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心是三角形三條HYPERLINK角平分線的交點(diǎn)。2、HYPERLINK三角形一定有內(nèi)切圓，其他的圖形不一定有內(nèi)切圓，且內(nèi)切圓圓心定在三角形內(nèi)部。3、在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。4、HYPERLINK內(nèi)切圓的HYPERLINK半徑為r=2S÷C，當(dāng)中S表示三角形的HYPERLINK面積，C表示三角形的HYPERLINK周長(zhǎng)。補(bǔ)充：在直角三角形的內(nèi)切圓中，有這樣兩個(gè)簡(jiǎn)便HYPERLINK公式：兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2，得數(shù)是內(nèi)切圓的半徑。r=2、兩直角邊乘積除以直角三角形周長(zhǎng)，得數(shù)是內(nèi)切圓的半徑。r=（3）內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形正多邊形與圓概念與性質(zhì)正多邊形的概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．中心：把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心。中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。（2）圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算1、正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；2、正四邊形四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：3、正六邊形六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.復(fù)習(xí)：n邊形內(nèi)角和等于（n-2）×180°多邊形的外角和恒等于360°扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積（3）圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)；圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，高組成直角三角形，可利用勾股定理求解．2、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=（2）圓柱的體積：圓的認(rèn)識(shí)以及與圓有關(guān)的概念例題講解一、圓的概念【例1】下列關(guān)于圓的敘述中正確的是()A．圓是由圓心唯一確定的B．圓是一條封閉的曲線C．平面上到定點(diǎn)的距離小于或等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成圓D．圓內(nèi)任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等【答案】B【解析】圓是由圓心、半徑確定的，故A錯(cuò)誤；平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成圓，故C錯(cuò)誤；圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等，故D錯(cuò)誤；只有B正確．【例2】下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 B．圓的每一條直徑都是它的對(duì)稱軸 C．圓有無數(shù)條對(duì)稱軸 D．圓的對(duì)稱中心是它的圓心【答案】B【解析】圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤。【例3】對(duì)下列生活現(xiàn)象的解釋其數(shù)學(xué)原理運(yùn)用錯(cuò)誤的是（）A．把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個(gè)點(diǎn)就能畫出一條筆直的墨線是運(yùn)用了“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的原理 C．將自行車的車架設(shè)計(jì)為三角形形狀是運(yùn)用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理 D．將車輪設(shè)計(jì)為圓形是運(yùn)用了“圓上所有的點(diǎn)到圓心的距離相等”的原理【答案】B【解析】木匠師傅在刨平的木板上任選兩個(gè)點(diǎn)就能畫出一條筆直的墨線是運(yùn)用了兩點(diǎn)確定一條直線的原理弧、弦、圓心角等元素的概念【例1】下圖中∠ACB是圓心角的是()【答案】C【解析】圓心角的定義為頂點(diǎn)在圓心的角，由定義可知C正確。【例2】如圖，圖中的弦共有()A．1條B．2條C．3條D．4條【答案】B【解析】連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，圖中的弦為線段CD和線段AB,所以答案選擇B?！纠?】下列說法正確的是（）A．弦是直徑 B．弧是半圓 C．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦 D．半圓是圓中最長(zhǎng)的弧【答案】C【解析】A:直徑是弦，但弦不一定是直徑。B：半圓是弧，但弧不一定是半圓。D：半圓是小于優(yōu)弧而大于劣弧的弧。所以只有C正確【例4】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上的任意一點(diǎn)(不包括點(diǎn)O、B)，CD、EF是過點(diǎn)P的兩條弦，則圖中的弦有________________，以B為端點(diǎn)的劣弧有___________________．【答案】弦：AB，CD，EF劣?。骸窘馕觥扛鶕?jù)弧弦的定義可得答案。圓的認(rèn)識(shí)綜合題型【例1】下列4個(gè)說法中：①直徑是弦；②弦是直徑；③任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸；④弧是半圓；正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】①直徑是最長(zhǎng)的弦，故本小題說法正確；②弦是不一定是直徑，故本小題說法錯(cuò)誤；③經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸，故本小題說法正確；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本小題說法錯(cuò)誤．【例2】下列說法中，不正確的是（）A．直徑是最長(zhǎng)的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等 C．圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 D．長(zhǎng)度相等的弧是等弧【答案】D【解析】解：A、直徑是最長(zhǎng)的弦，說法正確；B、同圓中，所有的半徑都相等，說法正確；C、圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，說法正確；D、長(zhǎng)度相等的弧是等弧，說法錯(cuò)誤；【例3】下列命題中是真命題的有（）①兩個(gè)端點(diǎn)能夠重合的弧是等弧；②圓的任意一條弦把圓分成優(yōu)弧和劣弧兩部分；③長(zhǎng)度相等的弧是等?。虎馨霃较嗟鹊膱A是等圓；⑤直徑是最大的弦；⑥半圓所對(duì)的弦是直徑．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【解析】解：①能夠完全重合的兩條弧是等弧，故①錯(cuò)誤；②直徑將圓分成兩條相等的弧，故②錯(cuò)誤；③長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定能完全重合，故③錯(cuò)誤；④只要半徑相等的兩圓一定是等圓，故④正確；⑤直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，故⑤正確；⑥圓的直徑將圓分成兩個(gè)半圓，所以半圓所對(duì)的弦是直徑，故⑥正確，∴真命題有④⑤⑥三個(gè)【例4】如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F，且AE＝BF，請(qǐng)你判斷線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】OE＝OF.【解析】證明如下：連接OA、OB，則OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.【例5】已知，如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點(diǎn)，求證：AD＝BC．【答案】見解析【解析】解：∵OA、OB是⊙O的兩條半徑，∴AO＝BO，∵C、D分別是半徑OA、BO的中點(diǎn)，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，，∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【例6】如圖，半圓O的直徑AB＝8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點(diǎn)，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E、F，求EF的長(zhǎng)．【答案】4【解析】解：連接OD．∵OC⊥ABDE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四邊形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【例7】如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC＝a，EF＝b，HN＝c，則a、b、c三者間的大小關(guān)系為________．【答案】a=b=c【解析】連接OM、OD、OA，如圖，∵點(diǎn)A、D、M在半圓上，∴OM＝OD＝OA，∵四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，∴OM＝NH，OD＝EF，OA＝BC，∴BC＝EF＝HN，即a＝b＝c.證明四點(diǎn)共圓【例1】已知：如圖，BE、CFABCMBCB、C、E、FM【答案】見解析【解析】證明：連接ME、MF因?yàn)锽E、CF是△ABC的高，M為BC的中點(diǎn)∴ME=MF=MC=MB=BC∴B、C、E、FM【例2】如圖，在□ABCDBADAE⊥BC，AF⊥CD．求證：A、E、C、F【答案】見解析【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO、FO∵四邊形ABCD是平行四邊形∴O為AC的中點(diǎn)∵AE⊥BC，AF⊥CD∴三角形AEC和三角形AFC都是直角三角形∴AO=EO=CO=FO=AC∴A、E、C、FAC為半徑的課后練習(xí)題：1．如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號(hào)飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實(shí)時(shí)距離，那么S的最大值是（）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣b【答案】C【解析】解：空間站A與星球B、飛船C在同一直線上時(shí)，S取到最大值a+b．故選：C．2、生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋ǎ〢．圓的直徑是半徑的2倍 B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等 C．圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍 D．圓是軸對(duì)稱圖形【答案】B【解析】生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里，這是因?yàn)橥粋€(gè)圓里所有的直徑都相等．3．有一個(gè)圓的半徑為5，則該圓的弦長(zhǎng)不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【答案】D【解析】解：∵一個(gè)圓的半徑為5，∴圓中最長(zhǎng)的