全國高中數(shù)學評優(yōu)課大賽數(shù)學賽課一等獎作品教學點評與教學設計模板二

全國高中數(shù)學評優(yōu)課大賽數(shù)學賽課一等獎作品

教學點評與教學設計精品模板（二）

目錄

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人教版必修4《平面向量的實際背景及基本概念》教學設計

一、教學內(nèi)容

本課時的數(shù)學知識及其由內(nèi)容所反映的數(shù)學思想方法主要有：

1、向量的概念；

概念抽象需要典型豐富的實例，通過教師舉例引導，隨即啟發(fā)學生聯(lián)系既有經(jīng)驗，主動

找尋實際生活中所存在的既有大小又有方向的量，讓學生充分感知生活中的確存在這樣的

“量”，從而提煉出“向量”的概念。讓學生充分經(jīng)歷概念的形成過程，讓學生體會到我們

所獲得的新的數(shù)學研究對象一一向量，是水到渠成的，讓學生感受到獲得數(shù)學研究對象的基

本方法。

2、向量的表示方法；

接觸到一個全新的“量”，自然而然會想到用合情合理的方式對其表示。通過引導學生

從向量的兩個要素出發(fā)，啟發(fā)學生聯(lián)想到物理學中表示力的方式，逐步引導學生借助有向線

段來表示向量，并進一步啟發(fā)學生，用類比的思想，將對線段（直線）的表示方法做合理改

進之后，遷移到對向量的表示。將“用絕對值表示距離”類比到“對向量的模的表示"。此

處反復滲透向量的兩個要素，尤其是體現(xiàn)出方向是向量的本質屬性之一。

3、特殊向量：零向量，單位向量；

當我們建立起了一個向量的集合之后，自然會想到向量這個“大家庭”里非常特殊的“成

員”，此處，繼續(xù)用類比的思想，聯(lián)系的觀點，啟發(fā)學生回憶在學習實數(shù)時，0與1的特殊

性，從而啟發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)長度為零的向量（零向量），長度為1的向量（單位向量）是特殊

的，并進一步引導，讓學生主動認識這兩個特殊向量是從“?！钡慕嵌润w現(xiàn)其特殊，至于方

向，啟發(fā)學生之間互相爭論，抓住向量本質屬性，得出其方向的任意性（并非沒有方向）

4、相等向量的概念；平行向量（共線向量）的概念

教師通過出示已經(jīng)準備好的含有多個向量的PPT,讓學生主動探求向量之間的特殊位置

關系，仍然用類比的思想、聯(lián)系的觀點，啟發(fā)學生去得出平行向量、相等向量、共線向量的

概念。

二、教學目標

（一）知識和能力：

（1）理解向量的概念；

（2）掌握向量的表示方法：幾何表示、字母表示；

（3）理解向量的幾種特殊關系：平行（共線）向量、相等向量；

（4）理解特殊的向量：零向量、單位向量；

（5）在學習的過程中，學生的觀察、聯(lián)系、類比、抽象、概括、歸納、實踐等方面的能力

都能得到一定程度培養(yǎng)和提高。

（二）過程與方法：

學生經(jīng)歷向量學習的過程，能體會出向量來自于客觀現(xiàn)實；

能體會到研究一個新的量的基本套路、能體會認識數(shù)學新對象的基本方法。

學生經(jīng)歷向量概念、表示，特殊向量的學習，感受到類比的思想和聯(lián)系的觀點是科學探

究中常用的手段。

（=）情感、態(tài)度與價值觀：

學生經(jīng)歷用有向線段表示向量的操作過程，體會數(shù)學的實用性、表達的簡潔美。

在體會研究數(shù)學問題的基本套路的同時，進而提高提出問題、研究問題的能力。

三、學生學情分析

學生已經(jīng)具備的認知基礎及達成教學目標所需要具備的認知基礎：

（1）在物理學中，已經(jīng)知道重力、彈力、摩擦力等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；

（2）知道可以借助有向線段來求作力的圖示；

（3）對實數(shù)的形成過程有一定了解；

（4）能夠對實際生活中的一些常見的量作是否具有大小、方向的識別；

（5）在以前的學習中，對類比的思想有所了解。

但是，由于學生處于高一年級，在思維辨析方面，總體情況不是很好。所以在分辨對向

量的長度而不是對向量本身進行度量的問題上，適度加以引導和指導。

雖然學生具備以上的認知基礎，但對于本節(jié)課的難點：向量概念的理解及形成過程、零

向量、相等向量、共線向量等概念，仍然需要做策略性引導，主要策略是：

（1）通過大量實例引導、啟發(fā)學生聯(lián)系既有生活經(jīng)驗，從眾多實例中歸納抽象出“向量”

這一概念及其所具備的兩個要素。

（2）通過類比的思想、聯(lián)系的觀點，引導學生從認識實數(shù)中特殊的0,結合向量的兩個要

素來理解零向量。

（3）通過類比的思想，引導學生從數(shù)的相等，結合向量的本質屬性，啟發(fā)學生突破相等向

量、共線向量的概念。

四、教學策略分析

教學方法：啟導式教學、討論式教學、多媒體輔助教學

教學方法的分析：

一方面，學生在物理學中已經(jīng)具備了一些感性經(jīng)驗（既有大小又有方向的量），在生活

實際中亦大量存在既有大小又有方向的量。另一方面，向量作為一個全新的概念，需要大量

實例的引導、鋪墊來抽象出這個概念。故可以采取啟發(fā)、引導式教學，讓學生從生活實例中

抽象、提煉出向量的概念。

在講解向量的表示方法、認識特殊的向量、相等向量、共線向量等概念時，可以借助曾

經(jīng)學習過的絕對值、實數(shù)中的特殊元素?；?、兩條直線的位置關系等，用類比的思想來研

究向量。從這一點出發(fā)，同樣需要用到啟導式教學，討論式教學來啟發(fā)學生突破難點，讓學

生之間互相討論來突破難點。

在學習了相關概念之后，可以借助多媒體出示相關概念辨析題目，從而立即獲取學生學

習效果的反饋。

五、教學過程

1.情景引入

結合PPT,展示三個情景（1、與世界男子100米冠軍博爾特“賽跑”；2、貓能抓到老

鼠嗎；3、兩車同樣的速度（大?。┖蜁r間，為什么前后兩種情景，兩車距離懸殊這么大），

教師提問、追問，學生思考、齊答的方式，讓學生發(fā)現(xiàn)并講出現(xiàn)實生活中存在著既有大小又

有方向的量。（讓學生感受“既有大小又有方向的量”客觀存在）

教師繼續(xù)追問：“你能再舉出類似既有大小又有方向的量嗎？”（激活學生已有的相關經(jīng)

驗）

教師再次追問：“那你能舉出只有大小沒有方向的量嗎？”（形成區(qū)別、對比不同的量的

必要性）

教師引入課題：像剛才同學們提到的如：位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活中

大量存在，類似于以前我們從一支筆、一本書、一張桌子、一個板凳……抽象出了只有大小

的數(shù)量1,數(shù)學中對以上既有大小又有方向的量進行抽象，就形成了一種新的量一一向量【板

書：1.概念：大小方向】

2.向量的表示

師：從向量的概念可以看出，它不同于我們之前學習研究的“數(shù)”。數(shù)只有大小，沒有

方向。我們研究一個數(shù)學知識，認識概念之后，為進一步研究的方便，通常要先表示它，向

量也如此。結合已有的經(jīng)驗，你打算怎樣形象的表示向量呢？（停頓片刻，若學生沒有思路,

則進行啟發(fā)引導）

師：見過這種既有大小，又有方向的量嗎？我們是怎么表示力（位移）的大小和方向

的？...

生：討論……（讓學生充分的討論）

師：（請學生在黑板上畫出圖形）講一講你的想法？

生1：可以用箭頭的指向表示方向，用它的長度表示大小。

生2：.........

生3：.........

（教師適時引導啟發(fā)，堅持讓學生親自得出向量的表示方法以及表示的合理性）

師：用準確的語言對向量的表示做準確的描述并加以強調

【板書：2.表示】剛才部分同學的想法和英國大科學家牛頓的想法不謀而合，牛頓是第

一個用有向線段表示向量的人。這是向量的“形”的表示方式，為了更簡潔的表達，我們也

可用符號語言表示，有向線段有起點【板書：A】、終點【板書：B】、有箭頭表示方向。就

用（在AB上面加上一個箭頭，以區(qū)別于線段4B）來表示這個向量?！景鍟篈3】注意,

起點在前，終點在后。更簡潔的，也可用々表示（同樣在。的上面加上箭頭），寫成。。【板

書：aI其中，大小用卜目或者忖表示【板書：卜目或網(wǎng)】，向量的大小也稱為向量的長

度或者?！景鍟洪L度（模）】。

教師追問：向量AB與向量BA是一回事兒嗎？（啟發(fā)學生時刻注意向量的方向性，通

過類比線段的表示方法，結合向量的特殊性，從而加深對向量概念的進一步理解）

3.零向量與單位向量

師：現(xiàn)在我們會表示向量了，我們可以更直觀的研究它，我們自然的可以想到先從特殊

入手，那么，在向量這個集合中，你認為哪些向量特殊呢？

生：討論......

師：根據(jù)向量的概念，既有大小，又有方向，我們不妨先從大小考慮其特殊性。

師：什么才是“特殊”？你認為哪些向量的長度是最特殊的？（引導學生類比實數(shù)集合

中的特殊元素0,從而想到長度為0的向量）

生：長度為。的向量，……（反復引導學生，讓學生親自得出零向量的模為0,方向為

任意方向）

師：強調零向量作為向量，同樣需要具備兩個要素（大小、方向），那么，還有特殊的

向量嗎？（與前面類似，啟發(fā)學生通過類比的方法，發(fā)現(xiàn)單位向量）

【板書：3.特殊向量零向量0：0（寫在大小的下方）；任意方向（寫在方向的下方）】

【單位向量：1（寫在大小的下方）。:]

師：有了單位長度的刻畫，我們才有度量向量大小的標準。請看圖形一一

師：指出圖中各向量的模，也就是長度。

生：（學生練習）口答。

師：其中有沒有單位向量，有幾個？

生：有，兩個。

4.特殊位置關系

師：從方向上看，圖形中，向量與向量之間形成了怎樣的特殊關系？觀察一下。

生：平行

師：哪些向量是平行的？你可以給兩個向量平行下一個定義嗎？

生：……

師：可不可以借助向量概念中的大小、方向對平行進行描述？

生：方向相同或相反的向量。（教師啟發(fā)，由學生歸納出平行向量的定義）

【板書：平行向量：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：6與任一向量平行】（闡釋規(guī)定是

合乎情理的）

師：兩個向量平行是從方向上對向量關系的刻畫，與他們大小有關嗎？（適時提醒和加

深對向量概念的認識）

生：沒有。

師：在這一組平行向量中，有沒有更特殊的？

生：……

師：理由是——

生：兩個向量方向相同，長度也相等。

師：我們稱這樣的兩個向量為一一相等向量

【板書：相等向量長度相等方向相同】

師：兩個向量是否相等，取決于一一

生：大小、方向。（進一步加深對向量概念的熟悉）

師：與他們的位置有關嗎？

生：無關。

師：說明任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段

的起點無關。（手指圖形）

師：如果任作一條與向量a所在直線平行的直線/,并在/上任取一點0,以。為起點

作有向線段方，使其等于向量。，可行嗎？

生：可行。

師：理由是——

生：只要保證大小相等，方向相同。

師：相當于將向量a平移到0P的位置。同理，我們也可以把向量b平移到直線/上。這時

候，直線/上的兩個向量形成了什么關系？

生：共線向量。

師：還是平行向量嗎？

生：……（通過引導，讓學生體會并講出共線向量與平行向量是一回事兒）

5.例題鞏固概念（略）

6.總結+結束語

師：啟發(fā)學生從所學到的知識（知識層面）的角度對本堂課做總結

生1：...

生2：...

師：這節(jié)課我們通過對現(xiàn)實世界中的一種量一一既有大小，又有方向的量（向量）進行

了數(shù)學的歸納、抽象和定義。并圍繞著這個基本概念，探究了他的表示及特殊向量一一零向

量、單位向量，特殊關系一一平行（共線）、相等。實際上，今天我們不僅僅是在探究向量

體系的基礎，也經(jīng)歷了建立一個數(shù)學知識體系的過程，即“歸納共性一一抽象定義一一形象

表示__認識特殊__研究一般__……”

師:繼續(xù)啟發(fā)同學們用類比的思想、聯(lián)系的觀點，來預見以后可以從哪些角度研究向量？

生1:...

生2：……（教師適時給予鼓勵引導）

結束語：下課的鈴聲阻止我們本堂課的學習，但無法阻止我們繼續(xù)探索向量的熱情……

《平面向量的復習一一數(shù)量積》教學點評

執(zhí)教者：上海市北郊高級中學金振華

點評者：上海市虹口區(qū)教師進修學院李家齊

本節(jié)課是向量數(shù)量積的復習課，向量的數(shù)量積是高中向量這一章的重點內(nèi)

容，并且有著廣泛的應用。本節(jié)課注重知識的回顧、強調方法的提煉、體現(xiàn)應用

知識解決問題能力的培養(yǎng)。

首先通過解決一組與向量數(shù)量積有關的數(shù)學問題，對向量數(shù)量積相關知識進

行復習，通過學生充分的思考、交流、辨析達到對相關知識理解的目的；其次通

過典型例題的解決，提煉出求數(shù)量積的方法，通過學生的體驗、感悟、思考，達

到對求數(shù)量積方法的掌握；再通過對典型例題的變式得到新問題，而通過對新問

題的解決，加深對數(shù)量積的理解和掌握，通過變式思考、拓展研究，在理解和掌

握的基礎上達到靈活應用；通過用數(shù)量積求距離、求角、判定共線、證明線線垂

直及代數(shù)中的求范圍等問題的分析思考和求解，提高應用知識解決問題的能力。

課堂教學能根據(jù)學生的現(xiàn)有水平，通過解決問題鏈調動學生的學習積極性；

通過對問題的變式，提高分析問題、解決問題的能力；通過學生自己的思考與反

思獲得對概念的深刻理解，提高學習效率;通過提出問題并解決問題的教學環(huán)節(jié),

提高思維的深刻性、靈活性、敏捷性，從而提高邏輯思維能力；通過對問題的探

究滿足學生的求知欲，提高探究水平。本節(jié)課注重數(shù)學思想方法的教學，注重溝

通代數(shù)與幾何的聯(lián)系。

本節(jié)課學生經(jīng)歷了以下幾個環(huán)節(jié)：“做”中“理”一一問題導入，梳理知識;

“解”中“結”一一一題多解，總結方法；“變”中“悟”一一變題悟法，訓練

思維；“用”中“升”一一應用感悟，任務后延。使學生對向量的數(shù)量積有更深

刻地認識，同時，也提高了學生運用向量解決綜合問題的能力。

《平面向量復習一數(shù)量積》教學設計說明

上海市北郊高級中學金振華

說課內(nèi)容：《高級中學課本數(shù)學高中二年級第一學期》（上教版）第八章《平

面向量坐標表示》的復習課一一平面向量復習-數(shù)量積。

一、教學內(nèi)容解析

向量是近代數(shù)學基本和重要的數(shù)學概念之一，有著極其豐富的實際背景，它

具有代數(shù)和幾何的雙重身份，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁。它能與中學數(shù)學中許多

教學內(nèi)容許多主干知識相結合，形成知識交匯點。而且初中課本里已經(jīng)對平面向

量做了簡單的介紹，再次將平面向量坐標表示引入高中課程，是現(xiàn)行數(shù)學教材的

重要特色之一。上教版《高級中學課本數(shù)學高中二年級第一學期》中第八章《平

面向量坐標表示》涉及到了向量的坐標表示及運算（2課時）、向量的數(shù)量積（2

課時）、平面向量的分解定理（2課時）、向量的應用（2課時）。其中平面向量的

數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一個重要運算，也是高中平面向量教學中的

一個重要概念，既有對幾何的體現(xiàn)，也有其對應的特殊性質和運算律。因此它在

數(shù)學、物理等學科中應用十分廣泛。本節(jié)平面向量數(shù)量積的復習課在教學內(nèi)容方

面不僅有對于向量相關知識的回顧，也有對于數(shù)量積求法的總結，也涉及到向量

數(shù)量積的應用；課堂中也很好的融入了數(shù)形結合的數(shù)學思想和化歸思想。

二、教學目標設置

《高級中學數(shù)學教學參考資料高二第一學期》（上教版）在教學設計建議

中提到：向量是溝通代數(shù)、幾何的一種工具。向量有非常直觀的幾何意義，是數(shù)

與形的完美結合。一方面，它可以把幾何問題轉化為坐標的代數(shù)運算；另一方面,

它還可以結合圖形對向量的有關問題進行分析求解。向量是解決數(shù)學問題和實際

問題的有力工具。所以，對于向量的數(shù)量積復習課而言，希望可以從定義的梳理

展開，結合圖形將向量數(shù)量積相關問題的求解方法進行歸納總結，并且讓學生體

會到向量數(shù)量積如何成為解決數(shù)學問題的有力工具入手完成這節(jié)課。

綜上所述，結合《上海市中小學課程標準》要求和學生實際，制定本節(jié)課的

教學目標和教學重難點。

教學目標：

1.掌握平面向量數(shù)量積的概念，回顧梳理與平面向量數(shù)量積相關的知識點。

2.通過體驗、歸納，總結求解平面數(shù)量積的方法，同時提高對題目的反思重

解能力。

3.通過平面向量數(shù)量積的應用，提高分析問題解決問題的能力。

教學重點：平面向量數(shù)量積概念的掌握。

教學難點：應用數(shù)量積解決問題。

三、學生學情分析

本節(jié)課的教學對象是上海市實驗性示范高中高二的學生，是任課教師自己平

時所帶班級學生，剛剛完成平面向量這一章節(jié)的學習。

1.知識方面：學生已完成了平面向量這一章知識內(nèi)容的學習，并已能運用

平面向量的知識解決一些簡單的向量幾何問題，但是還不能融會貫通地綜合理解

運用知識，尤其知識的遷移能力還不夠。同時整章的知識脈絡還沒完全成型。因

此，本節(jié)復習課對現(xiàn)階段的學生來說尤為重要。

2.能力方面：因為剛剛完成向量部分的學習，對于向量的相關知識內(nèi)化的

還不夠完善。部分學生解題時數(shù)形結合能力弱，但是由于學生是市實驗性示范高

中的學生，所以大部分學生的求知欲和學習主動性較高。

3.心理方面：學生已具備了一定的歸納知識的意識和能力，而且現(xiàn)階段學

生表現(xiàn)欲也很強，本節(jié)課的教學設計正好符合高二學生的這個心理特征。

四、教學策略分析

1.本節(jié)課的框架設計

本節(jié)課是一節(jié)復習教學課。上海數(shù)學課程標準中教學策略有以下幾個方面的

要求：①全面把握知識教學的要求。②重視教學的開放性。③有效應用現(xiàn)代信息

技術。④尊重學生現(xiàn)有的認知水平和個性差異。⑤堅持主導原則下的平衡與兼顧。

依據(jù)以上要求，結合本節(jié)課的知識的邏輯關系，按照以下框架安排本節(jié)課的教學:

環(huán)節(jié)一：“做”中“理”一一問題導入，梳理知識。

環(huán)節(jié)二：“解”中“結”一一一題多解，總結方法。

環(huán)節(jié)三：“變”中“悟”一一變題悟法，訓練思維。

環(huán)節(jié)四：“用”中“升”一一應用感悟，任務后延。

2.對教學過程各環(huán)節(jié)的教學材料分析

環(huán)節(jié)一：“做”中‘'理"一一問題導入，梳理知識。

首先，讓學生解決一組與向量數(shù)量積相關的數(shù)學問題。每一道小題的處理方

式都是通過學生回答，自行梳理概念，老師板書提煉包括向量的定義，向量數(shù)量

積的坐標表示，向量數(shù)量積的幾何意義，向量數(shù)量積的運算律等相關知識，達到

對向量數(shù)量積相關知識的復習。同時對于每道判斷題做說明和反例的細致解讀，

分析抽取概念。留出必要的時間對相關知識點做一個回顧和梳理，也為后面的例

題展開做鋪墊。這樣處理不僅避免枯燥的知識羅列，也為了避免做題中牽扯太多

的精力和時間，更加兼顧了不同認知水平的同學。建構三道看似普通的題目作為

平臺，將題目賦予了極大的價值，也給同學們提供一種課后復習的手段，在一些

簡單題目中就蘊含大量知識訊息。“做”中“理”，“會做”很重要的，但是“會

理”是更高境界。

環(huán)節(jié)二：“解”中“結”一一一題多解，總結方法。

讓學生解決在等邊三角形背景下的一個數(shù)量積典型例題。教學過程中，老師

啟發(fā)激勵學生挖掘出多種解題方法，同時在點評不同解法時，融入不同的數(shù)學思

想方法，比如在點評解法一時，強調將未知化歸已知的數(shù)學思維方式；在點評解

法三時，將“形”化歸“坐標”；又比如在點評解法四，特別強調數(shù)形結合的思

想方法。而且在解題的同時適當?shù)膶τ谙蛄繑?shù)量積解題方法做歸納總結。對于復

習課的例題如果選取若干道背景不同的題目，容易造成計算量的增加，同時讀題

時間的增加，而時間對于一堂復習課而言是非常寶貴的，所以選取一題多解的方

式，簡化運算和讀題時間，同時達到方法提煉的目的。同時在講解方法中，適當

的牽引學生的未知化歸已知的思想方法，和數(shù)形結合思想，也能夠達到復習課所

必須的廣度和深度。

環(huán)節(jié)三：“變”中“悟”一一變題悟法，訓練思維。

在這個環(huán)節(jié)中，學生自主變題，再由學生答題。教師事先做好充分的準備，

也做好情境的預設，建構一個有效平臺，創(chuàng)設出生生互動的一個課堂。讓學生在

變題中體會三種解題方法。首先老師先提供一種逆向變題方法，將A34。=上作

2

為條件，判斷點D的軌跡。通過本題解答強化向量數(shù)量積的幾何意義。接下來

學生首先嘗試將點D的三等分位置做改動，進而進一步得到變式：D點在線段

BC上運動，求解A3AD,老師在點評學生給出的求解方法時，強調三種方法的

選擇方式。在學生給出改動三角形條件，并給出解決方案時，教師緊扣概念教學,

讓學生熟練掌握三種方法。復習課，單純的老師出題學生答題，容易產(chǎn)生學生被

動記憶接受的效果，再加上學生剛剛完成《向量坐標表示》的全章學習，解題的

欲望和表現(xiàn)的欲望比較強，故此設計這樣的一個環(huán)節(jié)。在變題中完成對于不同解

題方法的再練習，在變題中做逆向的發(fā)散思維，在變題中體會不同條件對于題目

背景的影響，不同條件對于解題方法的影響。達到復習課所內(nèi)含的思維的碰撞和

課后的學習方法的外延。

環(huán)節(jié)四：“用”中“升”一一應用感悟，任務后延。

最后環(huán)節(jié)中，采取學生回顧，老師板書總結的方式對于向量的幾何應用做了

復習。同時對于向量的代數(shù)應用也選擇了由之前變式求數(shù)量積范圍而改編的應

用。讓學生體悟到數(shù)學中代數(shù)和幾何的聯(lián)系，也體悟到向量在跨章節(jié)方面的應用。

會“做”是為了能“用”，一堂向量數(shù)量積的復習課，不僅需要完成必要解題思

路的總結和訓練，也需要為知識的外延做好充分的推手。

3.對教學方法和手段的分析

因為是平面向量的復習課，教學內(nèi)容涵蓋較大。為了保證教學任務的完成，

順利實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，考慮到本節(jié)課的實際特點，在教學方法上，盡可能

的采用一個三角形為主體背景，將“知識回顧一一方法提煉一一變題訓練一一向

量應用”四個環(huán)節(jié)有機串聯(lián)起來，不同認知基礎的同學都可以參與到相應的環(huán)節(jié)

中。通過師生共同探討。根據(jù)學生的反饋，及時加以引導，達成本節(jié)課教學目標。

在教學手段的應用上，我的設想主要有以下兩點：

（1）制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關內(nèi)容的呈現(xiàn)方

式，以此來提高效率，增加課堂容量。①使用ppt,主要是對課堂的內(nèi)容作快速

呈現(xiàn)。②使用geogebra軟件，將學生變題產(chǎn)生的圖形，及圖形變換特征較迅速

地展現(xiàn)出來。

（2）設計科學合理的板書①使學生加深對主要知識的印象，②使學生清楚

本節(jié)內(nèi)容知識間的邏輯關系，形成知識網(wǎng)絡，③ppt和板書配合使用，達到了快

速呈現(xiàn)題目，同時板書梳理知識的效果

(3)課堂小結，布置作業(yè)，

五、教學過程設計

一、知識回顧

環(huán)節(jié)一：“做”中“理”一一問題導入，梳理知識。

1.完成以下問題

(1)已知等邊AABC的邊長為3,則-

(2)已知向量a=(l,2),Z?=(x,l),且a_1_d則兀=衛(wèi)

(3)判斷下列說法正確的是

①/=卜|(V)

②若a"=0則a=0或b=0(X)

③若匕wO,a-Z?=c?久貝［|a=c(X)

④若(a-3?c=a-S-c),對任意向量a,方,c都成立(X)

2.通過以上問題的解決，引出課題，并對以下知識進行回顧梳理。

若a=(%，X)]=(兀2，%)

l.ab=\a\\b\cos0=%龍？+yly2

2.向量的投影

2

3.向量的運算律4.tf=|a『,a6=0oa_Lb

二、方法提煉

環(huán)節(jié)二：“解”中“結”-----題多解，總結方法。

1.典型例題

ULLUULU1

例1:在正三角形ABC中，D是BC上的點，A8=3,30=1,求AB必。

uuuiuuuULiuiuuuiuuuiULUI2LOIULUI?1勺

解一：AB1ADAB?(ABBD)=AB+AB?BD9+3倉!]1(--)=—

22

解二：(余弦定理)|AD|2=|AB|2+|5￡>|2—2|905/450=7

,\AB\2+\AD\1-\BD\25幣

/Rcosn/BAD=----------------------------=------

2-|AB|-|AD|14

AB-AD^AB\\AD\cosZBAD=^-

解三：如右圖建立坐標系：

A。半);B(-|,0);D(-1,0)

則滯一一雪黑=(」-第

2222

UULUUUUqq

所以-x3=—

22

解四：利用幾何意義：AD在A3上的投影為g,|AB|=3

uumuuuv[v

故AB?A。-x3=—

22

2.方法提煉:

由例1提煉出求數(shù)量積的方法:

數(shù)量積的定義；數(shù)量積的坐標運算；數(shù)量積的幾何意義;

環(huán)節(jié)三：“變”中“悟”一一變題悟法，訓練思維。

變式1：在邊長為3的，正三角形ABC中，D是AA5C所在平面內(nèi)的一點,

uunumr1<

AB7AD-tD是否是原來的三等分點？

2

答案：在線段BC上取一點G,使得3G=1,過G點做直線AB的垂線/,

D的軌跡就是垂線/

通過變式1,進一步掌握數(shù)量積的幾何意義

變式2：學生編題，在生生互問中，完成數(shù)量積的求解復習

我們可以引導學生改變|AB|=3,|血|=1條件;引導學生改變，點D的

位置；引導學生改變不同的角的大??；引導學生將正三角形變?yōu)樾比?/p>

形……

通過變式2讓學生對三種方法再認識。

小結：平時解答問題時，不要滿足于原問題的解答，我們可以對解題有一

個反思，如果已知條件發(fā)生變化，結論是否依舊成立？如果結論變

成條件，那么原條件是否成立。在對題目的變化和重解過程中，不

僅可以達到復習鞏固的目的，同時思維也可以得到很好的訓練！

三、遷移、應用

環(huán)節(jié)四：“用”中“升”一一應用感悟，任務后延。

1.回顧用數(shù)量積能解決的問題：比如求角，求長度，判斷平行垂直問

題等等。

2.靈活應用

例2:已知％2+y2=9,/+62=1,試用向量的方法求+勿的

取值范圍。

解：設有向量。=(。,一母4=(羽丁)，夕與9的夾交角為0,

■:p、q都不是零向量(若p=0,則a=b=O,與a?+b?=1矛盾。同

理qW0),

p,q=ax+by,又cos6=7a2+b2yJx2+y2cos0=3

cos9,

ax+by=3cos9,,.,TWcos。W1,，3Wax+byW3。

四、小結：1.向量數(shù)量積的定義及相關知識；

2.平面向量數(shù)量積的三種主要求法；

3.數(shù)量積在幾何和代數(shù)中的應用。

五、課后作業(yè)

一、填空題：

1.平面向量中，已知a=(4,—3),網(wǎng)=1,且a?=5,則向量人=。

2.已知平面上三點A、B、C滿足?=3,忸。|=4,|。1|=5,則

的值等于。

3.正三角形ABC的邊長為1,貝I]A55①BCGA?，等于

________________________________________________O

二、選擇題：

L5

4.已知向量。=(1,2.,=2,0)才若&,+b(-C-：,求。與c的夾角

()

(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°

5.若|a|=l,M|=2,c=a+Z>,且cJ_a,則向量。與b的夾角為()

(J)30°(皮60°(C)120°(。)150°

6.已知。、b,c是三個不共線的非零向量，則下列等式中成立的是

()

(A)=(B)()

(C)a-^b-b^=a-^b^(D)=(4).(/?)

三、解答題：

7.在AA3C中，0為中線AM上一個動點，若AM=2,求Q4-(08+0。的最小值。

8.已知：2a—3b=20i—8j,-a+2b=-lli+5j,(i,/是x,y軸正方向上的單位

向量)，

求向量a,。的夾角。

9.已知忖=2,%=3,|3a—0=6,求(1)a與b的夾角；(2)|tz+3Z?|

平面向量基本定理

北京市第五中學王琦

一、教學內(nèi)容解析

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學4》(人教A版)第二章第三節(jié)的第一課

時(2.3.1)《平面向量基本定理》.平面向量基本定理屬于概念性知識.

平面向量基本定理是在向量知識體系中占有核心地位的定理.一方面，平面向量基本定

理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎,坐標表示使平面中的向量與它的坐標建立起了一

一對應的關系，這為通過"數(shù)"的運算處理"形"的問題搭起了橋梁；另一方面，平面向量基本

定理是共線向量基本定理由一維到二維的推廣，揭示了平面向量的結構特征，將來還可以推

廣為空間向量基本定理.因此，平面向量基本定理在向量知識體系中起著承上啟下的重要作

用.

我認為該定理之所以用“基本”命名，主要是基于如下幾個特點：

1.給定平面內(nèi)兩個不共線的向量，通過線性運算，可以構造出該平面內(nèi)的所有向量；

2.通過線性運算構造平面內(nèi)所有向量，至少需要兩個不共線的向量；

3.平面內(nèi)任意向量的問題都可以轉化為基底中兩個向量之間的問題，從而化任意為確

定，化未知為已知；

4.選定基底后，平面內(nèi)的任意向量與有序實數(shù)對---對應，為通過“數(shù)”的運算處理“形”

的問題搭起了橋梁，實現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一.

《課標》對本節(jié)課的要求是“了解平面向量基本定理及其意義”，我認為這是因為平面

向量基本定理理論性非常強，而對定理的應用又主要體現(xiàn)在向量線性運算的幾何意義以及坐

標運算上，直接應用極少.

但是，對平面向量基本定理的探究既是對前面所學向量線性運算知識的綜合應用和對平

行向量基本定理的推廣，又為后繼的平面向量坐標表示奠定了理論基礎，充分展現(xiàn)了數(shù)學結

構體系的嚴謹性和邏輯性，探究過程有助于學生體會數(shù)學思維的方式和方法，培養(yǎng)學生進行

數(shù)學思考和數(shù)學表述的能力.

平面向量基本定理的驗證過程是向量的分解，是兩向量進行線性運算的逆過程，是對學

生逆向思維的訓練.平面向量基本定理證明過程中，需要用到平行向量基本定理，同時，平

行向量基本定理也是平面向量基本定理在一維時的特殊情形.這里體現(xiàn)了特殊與一般的辨證

觀點.

平面向量基本定理將平面內(nèi)任意向量的問題轉化為一組基底的問題，從而使問題簡單

化、程序化，體現(xiàn)了化歸與轉化的數(shù)學思想.平面向量基本定理將平面向量與有序實數(shù)對建

立一一對應，搭起了數(shù)與形的橋梁，是利用向量進行數(shù)形轉化的理論基礎.

因此，我認為本節(jié)課的教學重點是平面向量基本定理的探究和理解.

二、教學目標設置

根據(jù)教學要求，教材的地位和作用，以及學生現(xiàn)有的認知水平和數(shù)學能力，我把本節(jié)課

的教學目標確定為以下三個方面：

1.通過觀察、猜想、實驗驗證、邏輯推理，知道平面向量基本定理是如何得來的，理解平

面向量基本定理中關鍵詞的含義；

2.學生經(jīng)歷從提出問題，到觀察猜想，再到驗證推理，然后概括總結，進而完善發(fā)展的數(shù)

學研究過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、類比、歸納的能力；通過與平行向量基本定理的比

較，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高對知識體系的整體認識.

3.在概念的發(fā)生、發(fā)展和深化的過程中，感受數(shù)學的思維方式，體驗數(shù)學的嚴謹性和概括

性，培養(yǎng)主動觀察、分析、探索的意識；在平面向量基本定理形成與理解的過程中，體

會特殊與一般，對立與統(tǒng)一的辯證觀點.

三、學生學情分析

在前兩節(jié)中，學生己經(jīng)學習了向量的基本概念、線性運算以及平行向量基本定理等知識;

學生在物理課上也學習過矢量的合成與分解.這都為本節(jié)課的學習作了一定的準備.但向量

的分解是對向量線性運算法則的逆用，這對學生的思維具有一定挑戰(zhàn)；止匕外，對定理中任意

性和唯一性的理解和驗證也是學生的一個難點.這些都需要教師引導突破.

我所任教的班級是示范校的普通班，學生各學科的基礎都比較扎實，但思維的靈活性和

深刻性仍有待提高，對于思維力度較大的問題仍需教師引導探究，學生對問題嚴謹完整的表

述能力仍需培養(yǎng).

因此，我認為本節(jié)課的教學難點在于平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性.

四、教學策略分析

為了更好的突出教學重點，突破教學難點，完成教學目標，我采用引導啟發(fā)的教學方式,

通過復習引入、逆向設問、直觀感知、實驗操作、定理雛形、完善定理、定理辨析，循序漸

進地將問題逐步引向深入，引導學生完成本節(jié)課的目標，體會學習數(shù)學的方法.

為了突破難點，我采取了以下措施：

1.針對存在性的難點，也就是分解向量的難點，通過學生黑板演示交流，對幾種典型的情

況分別做圖并完成線性表示；通過教師追問和點評，抓住向量加法法則中三個向量的位

置關系，提煉一■般做法.

2.對于定理中“任意性”的驗證，我引導學生分三步進行：首先將平面內(nèi)的任意向量簡化為

起點在某定點（與基底共起點）的任意向量；然后使向量方向不變，只改變大小，從數(shù)與

形兩個角度發(fā)現(xiàn)，只要在該方向上有一個向量能夠用給定向量的線性運算表示，那么與

之同向的向量就都可以用給定向量的線性運算來表示；最后，就只需改變向量的方向，

也就是讓向量繞其起點旋轉起來，分析其旋轉一周過程中的不同情況即可.在驗證“任

意性”的過程中，我在學生板演分析之余，采用多媒體輔助教學，借助幾何畫板的動態(tài)

演示，讓學生更加直觀地理解定理中的“任意

3.對定理中“唯一性”的討論我引導學生從定性的“存在”到定量的“幾組”將定理精細化，并

從形的角度（貼近學生思維）和數(shù)的角度分別對“唯一性''進行證明，使學生進一步體會向

量是集數(shù)形于一身的數(shù)學概念.

本節(jié)課在猜想的形成，以及對定理中的存在性、任意性、唯一性的驗證和證明過程中，

問題思維力度大，師生互動多.因此，我在設計本節(jié)課時，根據(jù)學情對每一個活動做好了充

分的預案，針對學生的不同反饋，靈活地進行引導啟發(fā)；對每一個問題的提出，注意了設問

的梯度和問題的明確性，針對解決過程設計好“提示”和“追問”，使不同認知基礎的學生

都能得到相應的收獲.

與此同時，由于定理的形成和理解難度較大，在授課過程中，我對學生表現(xiàn)出的積極因

素給予適時適度的鼓勵，當學生遇到知識漏洞和思維障礙時,本著循循善誘的原則進行幫助.

五、教學過程

（一）復習引入，鋪墊新課

引例如圖，平行四邊形ABC。的兩條對角線相交

于點點N為線段的中點，設=AD=b,

用向量a,方的線性運算來表示向量MN、MA、MB.A

設計意圖：

1.復習向量的線性運算；

2.使學生感受到用平面內(nèi)兩個給定向量的線性運算，可以表示出許多不同的向量；

3.利用這個并不困難的引例，引出本節(jié)課要研究的問題.

（二）逆向設問，形成猜想

通過活動1,我們發(fā)現(xiàn)通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運算，可以表示出許多不同的向

量.那么

問題1想通過線性運算表示這些向量，必須給定兩個向量嗎？

設計意圖：

1.如果兩個給定向量就夠用了，那么再增加其他的向量就沒有必要了，體現(xiàn)數(shù)學的簡

單化原則；

2.通過回憶數(shù)乘向量的幾何意義，說明一個非零向量只能表示與之共線的向量，無法

表示與之不共線的向量，因此至少需要兩個向量；

3.通過回憶平行向量基本定理，說明一個非零向量可以表示與之共線的任意向量，同

時為后面應用平行向量基本定理，以及兩個定理進行比較做知識上的復習.

預案：學生容易忽略特殊情況，如零向量.

問題2通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運算可以表示多少向量，是有限個、無數(shù)個還

是任意一個？

設計意圖：

1.說明當給定的兩個不全為零的向量共線的時候，只能表示與他們共線的向量，從而

形成定理中的“不共線”；

2.說明當給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們共面的向量，從而形成定理中的

“這一平面內(nèi)”；

3.區(qū)別“無數(shù)個”與“任意一個”，從而猜想定理中的“任意”.

預案：

1.學生認為兩個給定的向量可以表示無數(shù)個向量而非任意一個，此時可以引導學生思

考哪些向量無法表示；

2.學生容易忽略“平面內(nèi)”的限定，認為兩個給定的向量可以表示任意一個向量，這

與此前學生數(shù)學學習中對三維空間研究較少有關，難以突破二維空間的思維局限，

此時，教師可以給出反例，讓學生體會；

3.學生容易忽略共線的特殊情況，認為同一平面內(nèi)兩個給定向量可以表示該平面內(nèi)任

意一個向量，此時可以追問學生“無論這兩個向量如何給定，都可以表示平面內(nèi)任

意一■個向量嗎？”；

4,由問題1的討論，有些學生容易想到當一個向量是零向量時，無法表示平面內(nèi)任意

向量，有些學生會想到當兩給定向量共線時，無法表示平面內(nèi)任意向量，教師需要

引導學生認識到“不共線”的限定就排除了含零向量的可能.

活動1請學生表述猜想：通過同一平面內(nèi)兩個不共線向量的線性運算可以表示這一平

面內(nèi)任意一個向量.

設計意圖：

1.由猜想是否成立，引出課題；

2.猜想得到驗證之后，這就是定理文字語言的描述，也是用符號語言進行描述的基礎.

（三）操作確認，定理雛形

活動2操作確認，形成定理雛形

環(huán)節(jié)1教師給定一組不共線向量ei、C2（由向量的可平移性，不妨讓這兩個向量共起

點），并給出待分解的向量m請學生到黑板上作圖，并說明作圖過程及能夠用ei、02的線

性運算來表示的原因.

設計意圖:

1.基底給作共起點的情況，使學生更容易想到逆用平行四邊形法則進行分解；

2.由這種情況入手，是因為這種情況與學生物理課上學習過的矢量分解類似，學生比

較容易上手;

3.逆用向量線性運算法則，構造平行四邊形或三角形，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；

4.通過較簡單情況下向量。的分解，體會將向量a用不共線向量ei、e2的線性運算進

行表示的方法和依據(jù)；

5.通過對學生將向量a平移的追問，一方面再次明確向量只與大小、方向有關，與起

點位置無關，即可以平移，另一方面說明平移至共起點是根據(jù)平行四邊形法則中三

個向量的位置關系，目的是便于構造平行四邊形，從而說明可以將對平面內(nèi)任意向

量的驗證問題簡化為對以點。為起點的任意向量進行驗證.

預案：如果學生逆用三角形法則對向量a進行分解，首先給予肯定，再詢問其它方法;

如果學生沒有用三角形法則，那么在整個驗證活動結束后，提醒學生逆用三角形法則也

是可以驗證的，可以課后進行嘗試.

環(huán)節(jié)2當向量a可以用不共線向量ei、e2的線性運算進行表示時，不改變向量的方向，

只改變向量的大小，驗證分解的存在性.

方案一：從形入手，可以先想象再配合幾何畫板直觀觀察分解的存在性.

方案二：從數(shù)入手，由平行向量基本定理，與向量。方向相同的向量一定可以寫成?I,

既然”=入同+入202，那么ma=mA\ei+nTAie2-

設計意圖：

1.向量的兩個基本要素大小和方向同時變化不便于研究，我們可以分別研究；

2.從形理解更為直觀，從數(shù)理解更為嚴謹，同時也潛移默化地使學生體會到向量是有

著數(shù)、形兩種屬性的數(shù)學對象；

3.由本環(huán)節(jié)的探究可知，只要向量a可以用不共線向量ei、e2的線性運算進行表示，

那么與之同向的向量也可以用ei、C2的線性運算來表示，那么對猜想的驗證就只剩

下說明任意方向的向量都可以用的、e2的線性運算來表示了.

預案：

1.學生可能想不到從數(shù)的角度進行證明，這就需要教師進行引導了；

2.從數(shù)的角度進行說明的過程中，學生可能會發(fā)現(xiàn)向量〃口可以表示與向量a共線的

任意向量，也就是說如果向量a可以用不共線向量ei、e2的線性運算進行表示，那

么與之共線的向量就都以用ei、e2的線性運算來表示，而不僅僅是與之同向的向

量.如果學生發(fā)現(xiàn)這一點，是非常值得肯定的，這可以使得下一環(huán)節(jié)的驗證進一步

得到簡化.但數(shù)乘向量可以表示與原向量方向相反的向量這件事，學生在認知上仍

存在一定困難，為了分散難點，此處如果學生沒有發(fā)現(xiàn)，教師也不必提及.

環(huán)節(jié)3使向量。繞其起點旋轉，隨著旋轉，向量。的分解方法會有什么不同嗎？都有

哪些情況呢？請想好的學生在黑板上畫出代表不同情況的向量，對它們分別進行研究，提煉

一般方法，驗證任意性.同時，利用幾何畫板進行動態(tài)演示，直觀確認任意性.

1.通過對幾種情況的區(qū)別，培養(yǎng)學生分類討論的意識；通過對分類依據(jù)的交流，從分

解出的向量與基底方向的關系，到線性運算中系數(shù)的符號，為后續(xù)課程中建立坐標

系，劃分象限埋下伏筆；

2.通過對上圖中向量ai的分解方式與向量a分解方式的對比，將直接延長和反向延長

有向線段的情況統(tǒng)一起來，提煉出相應的平行四邊形的一般構造方法：過向量a的

起點和終點分別作與ei、e2平行的直線，這四條直線圍成所需平行四邊形；

3.對向量a與6、e2其中一個共線情況的討論，為后面分析平面向量基本定理與共線

向量基本定理之間的聯(lián)系做鋪墊；

4.利用幾何畫板動態(tài)演示使學生更加直觀地確定猜想中的“任意”.

預案：

1.如果學生沒有理解老師的意圖，無從下手，教師可以使最初的向量a旋轉一個小角

度，使學生發(fā)現(xiàn)此時分解的方法與原方法一致，那么向量。繼續(xù)旋轉，什么時候分

解方式就不同了呢？從而使學生理解老師的意圖；

2.如果學生按照夾在兩給定向量所成的小于180。的角內(nèi)和角外進行分類，那么可以先

請學生對畫出的向量進行線性表示，并分析分解出的向量方向及線性表達式中系數(shù)

的符號，從而從這個角度給出其余情況；

3.學生容易遺漏特殊情況，即與幻、02其中一個共線的情況，可以由其他同學補充；

4.如果學生對向量41、的、。4不會分解，可以引導學生回憶非零向量共線的定義，即

同向或反向.

活動3經(jīng)過上述活動的探究，猜想得到了驗證，試用符號語言總結得到的結論.

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量。存在實

數(shù)擊,42使。=尢01+4202.

設計意圖：學生對符號語言的表述有一定困難,但這也是培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力的機會,

需要教師幫助學生完善表述.

（四）完善定理，理解辨析

問題3我們定性地說明了滿足要求的實數(shù)尢，入2存在，那么到底存在多少組呢？

設計意圖：

1.從定性研究到定量研究，使學生體會科學研究的一般思路；

2.對唯一性的論證，一方面從形的角度用作圖方法證明，貼近學生思維，培養(yǎng)論證表

達能力，另一方面從數(shù)的角度用同一法、反證法證明，培養(yǎng)邏輯思維能力，同時使

學生進一步體會向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學概念；

3.理解當基底選定后，平面內(nèi)的任意向量與有序實數(shù)對（九，%）——對應，為后面向量

的坐標表示做鋪墊.

預案：

1.大部分學生會利用作圖過程進行分析，但學生證明的意識比較薄弱，容易想當然，

缺乏從定義、公理、定理出發(fā)進行嚴謹邏輯推理的意識，這就需要教師抓住契機進

行培養(yǎng)；

2.高一年級的學生還沒有學習反證法，同一法在課標當中也沒有涉及，所以從數(shù)的角

度嚴格證明對學生來講是個難點，如果沒有課外的補充學習，學生很難想到這種證

明方法，因此這里的處理方式是教師引導，且對證明不做規(guī)范性要求.

完善平面向量基本定理：

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量。存在唯

一一對實數(shù)A1，入2使a=尢0|+入202.

設計意圖：將教材定理中的“有且只有”寫作“存在唯一”，減少理解障礙.

教師解釋定理的價值，深化學生對定理的認識：

阿基米德曾經(jīng)說過：給我一個支點，我可以撬起地球.

通過平面向量基本定理，我們可以說：

給我兩個不共線的向量，我可以通過簡單的線性運算，構造出該平面內(nèi)的所有向量；

給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內(nèi)任意向量的問題都化歸為這兩個向量的問

題，從而化任意為確定，化未知為己知；

給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內(nèi)的向量與有序實數(shù)對建立一一對應，搭起數(shù)

與形之間的橋梁，為用數(shù)的運算來刻畫形的問題創(chuàng)造了可能.

我只需要兩個不共線的向量！

設計意圖：

1.借用阿基米德名言的句式，引起學生興趣和注意；

2.通過排比，強調平面向量基本定理的重要價值；

3.說明這兩個不共線向量的重要地位，引出基底定義.

給出基底的定義：

我們把不共線的向量ei，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底(base).

設計意圖：給出基底的英文單詞，base有基礎的意思，更容易讓學生理解基底是構建

平面內(nèi)所有向量的基礎.我認為這也體現(xiàn)了平面向量基本定理中“基本”的含義.

問題4這個定理與平行向量基本定理有什么聯(lián)系？

設計意圖：

1.使學生理解二者的聯(lián)系：平面向量基本定理是平行向量基本定理由一維到二維的推

廣，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一維時的特殊情形，這里體現(xiàn)了特殊

與一般的辨證觀點，在這種視角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以稱

為一維空間上的一個基底，由它生成了與之共線的所有向量；

2.使學生體會聯(lián)系地看待事物，而非割裂地看待知識，將新知識納入到自己的知識網(wǎng)

絡中，提高對知識體系的整體認識.

提出課后思考問題：三維空間的基底應該如何選取？

(五)小結反思，布置作業(yè)

1.小結：

本節(jié)課我們從一個具體問題的探究提出了研究的方向，從猜想到驗證得到了定理的雛

形，從存在到唯一完善了定理的內(nèi)容.

平面向量基本定理是將平面向量任意化歸為確定的理論依據(jù)，是由幾何到代數(shù)的橋梁.

希望同學們通過這節(jié)課能夠體會一個數(shù)學概念從起因到發(fā)生,再到雛形,然后逐步完善、

發(fā)展過程中蘊含的合理的思維方式.

設計意圖：

課標中對平面向量基本定理的要求是了解，而本節(jié)課花了較大的精力去發(fā)現(xiàn)、驗證和理

解,一方面是希望學生能夠認識到這個定理的價值,另一方面是希望學生通過這節(jié)課的探究,

經(jīng)歷一個數(shù)學概念形成的過程，體會其中蘊含的合理的思維方式.所以在小結中我希望學生

能夠理解老師的意圖.

2.作業(yè)：

必做作業(yè)：《成才之路》強化作業(yè)(十九)

課后思考：

(1)試利用三角形法則對定理進行驗證；

(2)要想表示三維空間內(nèi)的任意向量，我們最少需要幾個怎樣的向量作為基底呢？

設計意圖：

必做作業(yè)是對課內(nèi)知識的鞏固，課后思考是讓學有余力的生能夠有充分的發(fā)展空間.

“橢圓及其標準方程”教學點評

陜西商南高級中學張志鋒

本節(jié)課以學生發(fā)展為本，面向全體學生，設計的教學目標切合實際，注重學生活動和

探究的過程，并滲透數(shù)學方法。教學設計注重面向全體學生，把學生的學習過程視為在教師

引導下的自主探究過程，教學設計合理有序，落實得體。教學節(jié)奏合理。引入教學自然，問

題提出適當，問題設計環(huán)環(huán)相扣，承接有序。在教學推進過程中，為解決難點，教師根據(jù)建

標、提出從變量到不變量的問題，然后建立等量關系，進而轉化為數(shù)學函數(shù)，化簡后得到橢

圓的方程。在教學中注重創(chuàng)造思維、發(fā)散思維的培養(yǎng)。學具利用率高，直觀性強。全教學過

程中注意了全體同學的動手參與、交流討論也成為本節(jié)課的一個突出亮點，體現(xiàn)了"情景、

問題、探究、結論"的教學思路和數(shù)學教學注重思維的嚴密性的培養(yǎng)的學科特點，并發(fā)揮了

教師的引導在構建知識體系方面的突出作用，同時注重了聯(lián)系生活實際和科學思想方法教

育。

教師基本功扎實，語言清晰流暢，表達科學準確，教態(tài)自然大方，教學激情熾熱，教學

機智靈活，板書簡潔明了，多媒體輔助教學技能應用熟練，突出教學多元化及輔助功能，多

渠道、多角度調動教學資源，合理運用一切有利條件，注重教學過渡與轉承，教學環(huán)節(jié)渾然

一體。

本節(jié)課是一節(jié)優(yōu)秀的數(shù)學教學課例，但是老師在追求卓越的同時，也力求相關教學內(nèi)容

面面俱到，致使課堂內(nèi)容顯得繁多，這是本節(jié)課需要改進之處。

橢圓及其標準方程(第1課時)教學設計

陜西省商洛市商南縣高級中學雷星

一、教學內(nèi)容解析

1.地位與作用：

本章是北師大版選修1-1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數(shù)學解析幾

何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學中一個重要的分支,它聯(lián)系了數(shù)學中的數(shù)與形、

代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平

面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深

化代數(shù)與幾何的關系。本章教材內(nèi)容的順序是：橢圓一拋物線一雙曲線一曲線與

方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利

于學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規(guī)律。在圓錐曲線的

學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學生理解并掌握“曲線與方程”

這一概念奠定了基礎。

本節(jié)是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1