全國高中數(shù)學(xué)評優(yōu)課大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎作品教學(xué)點(diǎn)評與教學(xué)設(shè)計模板二

全國高中數(shù)學(xué)評優(yōu)課大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎作品

教學(xué)點(diǎn)評與教學(xué)設(shè)計精品模板（二）

目錄

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人教版必修4《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容

本課時的數(shù)學(xué)知識及其由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法主要有：

1、向量的概念；

概念抽象需要典型豐富的實(shí)例，通過教師舉例引導(dǎo)，隨即啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系既有經(jīng)驗(yàn)，主動

找尋實(shí)際生活中所存在的既有大小又有方向的量，讓學(xué)生充分感知生活中的確存在這樣的

“量”，從而提煉出“向量”的概念。讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，讓學(xué)生體會到我們

所獲得的新的數(shù)學(xué)研究對象一一向量，是水到渠成的，讓學(xué)生感受到獲得數(shù)學(xué)研究對象的基

本方法。

2、向量的表示方法；

接觸到一個全新的“量”，自然而然會想到用合情合理的方式對其表示。通過引導(dǎo)學(xué)生

從向量的兩個要素出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到物理學(xué)中表示力的方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生借助有向線

段來表示向量，并進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，用類比的思想，將對線段（直線）的表示方法做合理改

進(jìn)之后，遷移到對向量的表示。將“用絕對值表示距離”類比到“對向量的模的表示"。此

處反復(fù)滲透向量的兩個要素，尤其是體現(xiàn)出方向是向量的本質(zhì)屬性之一。

3、特殊向量：零向量，單位向量；

當(dāng)我們建立起了一個向量的集合之后，自然會想到向量這個“大家庭”里非常特殊的“成

員”，此處，繼續(xù)用類比的思想，聯(lián)系的觀點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生回憶在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時，0與1的特殊

性，從而啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)長度為零的向量（零向量），長度為1的向量（單位向量）是特殊

的，并進(jìn)一步引導(dǎo)，讓學(xué)生主動認(rèn)識這兩個特殊向量是從“模”的角度體現(xiàn)其特殊，至于方

向，啟發(fā)學(xué)生之間互相爭論，抓住向量本質(zhì)屬性，得出其方向的任意性（并非沒有方向）

4、相等向量的概念；平行向量（共線向量）的概念

教師通過出示已經(jīng)準(zhǔn)備好的含有多個向量的PPT,讓學(xué)生主動探求向量之間的特殊位置

關(guān)系，仍然用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生去得出平行向量、相等向量、共線向量的

概念。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識和能力：

（1）理解向量的概念；

（2）掌握向量的表示方法：幾何表示、字母表示；

（3）理解向量的幾種特殊關(guān)系：平行（共線）向量、相等向量；

（4）理解特殊的向量：零向量、單位向量；

（5）在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的觀察、聯(lián)系、類比、抽象、概括、歸納、實(shí)踐等方面的能力

都能得到一定程度培養(yǎng)和提高。

（二）過程與方法：

學(xué)生經(jīng)歷向量學(xué)習(xí)的過程，能體會出向量來自于客觀現(xiàn)實(shí)；

能體會到研究一個新的量的基本套路、能體會認(rèn)識數(shù)學(xué)新對象的基本方法。

學(xué)生經(jīng)歷向量概念、表示，特殊向量的學(xué)習(xí)，感受到類比的思想和聯(lián)系的觀點(diǎn)是科學(xué)探

究中常用的手段。

（=）情感、態(tài)度與價值觀：

學(xué)生經(jīng)歷用有向線段表示向量的操作過程，體會數(shù)學(xué)的實(shí)用性、表達(dá)的簡潔美。

在體會研究數(shù)學(xué)問題的基本套路的同時，進(jìn)而提高提出問題、研究問題的能力。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)及達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所需要具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：

（1）在物理學(xué)中，已經(jīng)知道重力、彈力、摩擦力等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；

（2）知道可以借助有向線段來求作力的圖示；

（3）對實(shí)數(shù)的形成過程有一定了解；

（4）能夠?qū)?shí)際生活中的一些常見的量作是否具有大小、方向的識別；

（5）在以前的學(xué)習(xí)中，對類比的思想有所了解。

但是，由于學(xué)生處于高一年級，在思維辨析方面，總體情況不是很好。所以在分辨對向

量的長度而不是對向量本身進(jìn)行度量的問題上，適度加以引導(dǎo)和指導(dǎo)。

雖然學(xué)生具備以上的認(rèn)知基礎(chǔ)，但對于本節(jié)課的難點(diǎn)：向量概念的理解及形成過程、零

向量、相等向量、共線向量等概念，仍然需要做策略性引導(dǎo)，主要策略是：

（1）通過大量實(shí)例引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系既有生活經(jīng)驗(yàn)，從眾多實(shí)例中歸納抽象出“向量”

這一概念及其所具備的兩個要素。

（2）通過類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從認(rèn)識實(shí)數(shù)中特殊的0,結(jié)合向量的兩個要

素來理解零向量。

（3）通過類比的思想，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的相等，結(jié)合向量的本質(zhì)屬性，啟發(fā)學(xué)生突破相等向

量、共線向量的概念。

四、教學(xué)策略分析

教學(xué)方法：啟導(dǎo)式教學(xué)、討論式教學(xué)、多媒體輔助教學(xué)

教學(xué)方法的分析：

一方面，學(xué)生在物理學(xué)中已經(jīng)具備了一些感性經(jīng)驗(yàn)（既有大小又有方向的量），在生活

實(shí)際中亦大量存在既有大小又有方向的量。另一方面，向量作為一個全新的概念，需要大量

實(shí)例的引導(dǎo)、鋪墊來抽象出這個概念。故可以采取啟發(fā)、引導(dǎo)式教學(xué)，讓學(xué)生從生活實(shí)例中

抽象、提煉出向量的概念。

在講解向量的表示方法、認(rèn)識特殊的向量、相等向量、共線向量等概念時，可以借助曾

經(jīng)學(xué)習(xí)過的絕對值、實(shí)數(shù)中的特殊元素。或1、兩條直線的位置關(guān)系等，用類比的思想來研

究向量。從這一點(diǎn)出發(fā)，同樣需要用到啟導(dǎo)式教學(xué)，討論式教學(xué)來啟發(fā)學(xué)生突破難點(diǎn)，讓學(xué)

生之間互相討論來突破難點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)了相關(guān)概念之后，可以借助多媒體出示相關(guān)概念辨析題目，從而立即獲取學(xué)生學(xué)

習(xí)效果的反饋。

五、教學(xué)過程

1.情景引入

結(jié)合PPT,展示三個情景（1、與世界男子100米冠軍博爾特“賽跑”；2、貓能抓到老

鼠嗎；3、兩車同樣的速度（大?。┖蜁r間，為什么前后兩種情景，兩車距離懸殊這么大），

教師提問、追問，學(xué)生思考、齊答的方式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并講出現(xiàn)實(shí)生活中存在著既有大小又

有方向的量。（讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”客觀存在）

教師繼續(xù)追問：“你能再舉出類似既有大小又有方向的量嗎？”（激活學(xué)生已有的相關(guān)經(jīng)

驗(yàn)）

教師再次追問：“那你能舉出只有大小沒有方向的量嗎？”（形成區(qū)別、對比不同的量的

必要性）

教師引入課題：像剛才同學(xué)們提到的如：位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活中

大量存在，類似于以前我們從一支筆、一本書、一張桌子、一個板凳……抽象出了只有大小

的數(shù)量1,數(shù)學(xué)中對以上既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，就形成了一種新的量一一向量【板

書：1.概念：大小方向】

2.向量的表示

師：從向量的概念可以看出，它不同于我們之前學(xué)習(xí)研究的“數(shù)”。數(shù)只有大小，沒有

方向。我們研究一個數(shù)學(xué)知識，認(rèn)識概念之后，為進(jìn)一步研究的方便，通常要先表示它，向

量也如此。結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)，你打算怎樣形象的表示向量呢？（停頓片刻，若學(xué)生沒有思路,

則進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)）

師：見過這種既有大小，又有方向的量嗎？我們是怎么表示力（位移）的大小和方向

的？...

生：討論……（讓學(xué)生充分的討論）

師：（請學(xué)生在黑板上畫出圖形）講一講你的想法？

生1：可以用箭頭的指向表示方向，用它的長度表示大小。

生2：.........

生3：.........

（教師適時引導(dǎo)啟發(fā)，堅持讓學(xué)生親自得出向量的表示方法以及表示的合理性）

師：用準(zhǔn)確的語言對向量的表示做準(zhǔn)確的描述并加以強(qiáng)調(diào)

【板書：2.表示】剛才部分同學(xué)的想法和英國大科學(xué)家牛頓的想法不謀而合，牛頓是第

一個用有向線段表示向量的人。這是向量的“形”的表示方式，為了更簡潔的表達(dá)，我們也

可用符號語言表示，有向線段有起點(diǎn)【板書：A】、終點(diǎn)【板書：B】、有箭頭表示方向。就

用（在AB上面加上一個箭頭，以區(qū)別于線段4B）來表示這個向量?！景鍟篈3】注意,

起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后。更簡潔的，也可用々表示（同樣在。的上面加上箭頭），寫成。。【板

書：aI其中，大小用卜目或者忖表示【板書：卜目或網(wǎng)】，向量的大小也稱為向量的長

度或者?！景鍟洪L度（模）】。

教師追問：向量AB與向量BA是一回事兒嗎？（啟發(fā)學(xué)生時刻注意向量的方向性，通

過類比線段的表示方法，結(jié)合向量的特殊性，從而加深對向量概念的進(jìn)一步理解）

3.零向量與單位向量

師：現(xiàn)在我們會表示向量了，我們可以更直觀的研究它，我們自然的可以想到先從特殊

入手，那么，在向量這個集合中，你認(rèn)為哪些向量特殊呢？

生：討論......

師：根據(jù)向量的概念，既有大小，又有方向，我們不妨先從大小考慮其特殊性。

師：什么才是“特殊”？你認(rèn)為哪些向量的長度是最特殊的？（引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)集合

中的特殊元素0,從而想到長度為0的向量）

生：長度為。的向量，……（反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生親自得出零向量的模為0,方向?yàn)?/p>

任意方向）

師：強(qiáng)調(diào)零向量作為向量，同樣需要具備兩個要素（大小、方向），那么，還有特殊的

向量嗎？（與前面類似，啟發(fā)學(xué)生通過類比的方法，發(fā)現(xiàn)單位向量）

【板書：3.特殊向量零向量0：0（寫在大小的下方）；任意方向（寫在方向的下方）】

【單位向量：1（寫在大小的下方）。:]

師：有了單位長度的刻畫，我們才有度量向量大小的標(biāo)準(zhǔn)。請看圖形一一

師：指出圖中各向量的模，也就是長度。

生：（學(xué)生練習(xí)）口答。

師：其中有沒有單位向量，有幾個？

生：有，兩個。

4.特殊位置關(guān)系

師：從方向上看，圖形中，向量與向量之間形成了怎樣的特殊關(guān)系？觀察一下。

生：平行

師：哪些向量是平行的？你可以給兩個向量平行下一個定義嗎？

生：……

師：可不可以借助向量概念中的大小、方向?qū)ζ叫羞M(jìn)行描述？

生：方向相同或相反的向量。（教師啟發(fā)，由學(xué)生歸納出平行向量的定義）

【板書：平行向量：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：6與任一向量平行】（闡釋規(guī)定是

合乎情理的）

師：兩個向量平行是從方向上對向量關(guān)系的刻畫，與他們大小有關(guān)嗎？（適時提醒和加

深對向量概念的認(rèn)識）

生：沒有。

師：在這一組平行向量中，有沒有更特殊的？

生：……

師：理由是——

生：兩個向量方向相同，長度也相等。

師：我們稱這樣的兩個向量為一一相等向量

【板書：相等向量長度相等方向相同】

師：兩個向量是否相等，取決于一一

生：大小、方向。（進(jìn)一步加深對向量概念的熟悉）

師：與他們的位置有關(guān)嗎？

生：無關(guān)。

師：說明任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段

的起點(diǎn)無關(guān)。（手指圖形）

師：如果任作一條與向量a所在直線平行的直線/,并在/上任取一點(diǎn)0,以。為起點(diǎn)

作有向線段方，使其等于向量。，可行嗎？

生：可行。

師：理由是——

生：只要保證大小相等，方向相同。

師：相當(dāng)于將向量a平移到0P的位置。同理，我們也可以把向量b平移到直線/上。這時

候，直線/上的兩個向量形成了什么關(guān)系？

生：共線向量。

師：還是平行向量嗎？

生：……（通過引導(dǎo)，讓學(xué)生體會并講出共線向量與平行向量是一回事兒）

5.例題鞏固概念（略）

6.總結(jié)+結(jié)束語

師：啟發(fā)學(xué)生從所學(xué)到的知識（知識層面）的角度對本堂課做總結(jié)

生1：...

生2：...

師：這節(jié)課我們通過對現(xiàn)實(shí)世界中的一種量一一既有大小，又有方向的量（向量）進(jìn)行

了數(shù)學(xué)的歸納、抽象和定義。并圍繞著這個基本概念，探究了他的表示及特殊向量一一零向

量、單位向量，特殊關(guān)系一一平行（共線）、相等。實(shí)際上，今天我們不僅僅是在探究向量

體系的基礎(chǔ)，也經(jīng)歷了建立一個數(shù)學(xué)知識體系的過程，即“歸納共性一一抽象定義一一形象

表示__認(rèn)識特殊__研究一般__……”

師:繼續(xù)啟發(fā)同學(xué)們用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)，來預(yù)見以后可以從哪些角度研究向量？

生1:...

生2：……（教師適時給予鼓勵引導(dǎo)）

結(jié)束語：下課的鈴聲阻止我們本堂課的學(xué)習(xí)，但無法阻止我們繼續(xù)探索向量的熱情……

《平面向量的復(fù)習(xí)一一數(shù)量積》教學(xué)點(diǎn)評

執(zhí)教者：上海市北郊高級中學(xué)金振華

點(diǎn)評者：上海市虹口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院李家齊

本節(jié)課是向量數(shù)量積的復(fù)習(xí)課，向量的數(shù)量積是高中向量這一章的重點(diǎn)內(nèi)

容，并且有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課注重知識的回顧、強(qiáng)調(diào)方法的提煉、體現(xiàn)應(yīng)用

知識解決問題能力的培養(yǎng)。

首先通過解決一組與向量數(shù)量積有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，對向量數(shù)量積相關(guān)知識進(jìn)

行復(fù)習(xí)，通過學(xué)生充分的思考、交流、辨析達(dá)到對相關(guān)知識理解的目的；其次通

過典型例題的解決，提煉出求數(shù)量積的方法，通過學(xué)生的體驗(yàn)、感悟、思考，達(dá)

到對求數(shù)量積方法的掌握；再通過對典型例題的變式得到新問題，而通過對新問

題的解決，加深對數(shù)量積的理解和掌握，通過變式思考、拓展研究，在理解和掌

握的基礎(chǔ)上達(dá)到靈活應(yīng)用；通過用數(shù)量積求距離、求角、判定共線、證明線線垂

直及代數(shù)中的求范圍等問題的分析思考和求解，提高應(yīng)用知識解決問題的能力。

課堂教學(xué)能根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有水平，通過解決問題鏈調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；

通過對問題的變式，提高分析問題、解決問題的能力；通過學(xué)生自己的思考與反

思獲得對概念的深刻理解，提高學(xué)習(xí)效率;通過提出問題并解決問題的教學(xué)環(huán)節(jié),

提高思維的深刻性、靈活性、敏捷性，從而提高邏輯思維能力；通過對問題的探

究滿足學(xué)生的求知欲，提高探究水平。本節(jié)課注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重溝

通代數(shù)與幾何的聯(lián)系。

本節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了以下幾個環(huán)節(jié)：“做”中“理”一一問題導(dǎo)入，梳理知識;

“解”中“結(jié)”一一一題多解，總結(jié)方法；“變”中“悟”一一變題悟法，訓(xùn)練

思維；“用”中“升”一一應(yīng)用感悟，任務(wù)后延。使學(xué)生對向量的數(shù)量積有更深

刻地認(rèn)識，同時，也提高了學(xué)生運(yùn)用向量解決綜合問題的能力。

《平面向量復(fù)習(xí)一數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計說明

上海市北郊高級中學(xué)金振華

說課內(nèi)容：《高級中學(xué)課本數(shù)學(xué)高中二年級第一學(xué)期》（上教版）第八章《平

面向量坐標(biāo)表示》的復(fù)習(xí)課一一平面向量復(fù)習(xí)-數(shù)量積。

一、教學(xué)內(nèi)容解析

向量是近代數(shù)學(xué)基本和重要的數(shù)學(xué)概念之一，有著極其豐富的實(shí)際背景，它

具有代數(shù)和幾何的雙重身份，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁。它能與中學(xué)數(shù)學(xué)中許多

教學(xué)內(nèi)容許多主干知識相結(jié)合，形成知識交匯點(diǎn)。而且初中課本里已經(jīng)對平面向

量做了簡單的介紹，再次將平面向量坐標(biāo)表示引入高中課程，是現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的

重要特色之一。上教版《高級中學(xué)課本數(shù)學(xué)高中二年級第一學(xué)期》中第八章《平

面向量坐標(biāo)表示》涉及到了向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算（2課時）、向量的數(shù)量積（2

課時）、平面向量的分解定理（2課時）、向量的應(yīng)用（2課時）。其中平面向量的

數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一個重要運(yùn)算，也是高中平面向量教學(xué)中的

一個重要概念，既有對幾何的體現(xiàn)，也有其對應(yīng)的特殊性質(zhì)和運(yùn)算律。因此它在

數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)平面向量數(shù)量積的復(fù)習(xí)課在教學(xué)內(nèi)容方

面不僅有對于向量相關(guān)知識的回顧，也有對于數(shù)量積求法的總結(jié)，也涉及到向量

數(shù)量積的應(yīng)用；課堂中也很好的融入了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和化歸思想。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

《高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考資料高二第一學(xué)期》（上教版）在教學(xué)設(shè)計建議

中提到：向量是溝通代數(shù)、幾何的一種工具。向量有非常直觀的幾何意義，是數(shù)

與形的完美結(jié)合。一方面，它可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算；另一方面,

它還可以結(jié)合圖形對向量的有關(guān)問題進(jìn)行分析求解。向量是解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際

問題的有力工具。所以，對于向量的數(shù)量積復(fù)習(xí)課而言，希望可以從定義的梳理

展開，結(jié)合圖形將向量數(shù)量積相關(guān)問題的求解方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并且讓學(xué)生體

會到向量數(shù)量積如何成為解決數(shù)學(xué)問題的有力工具入手完成這節(jié)課。

綜上所述，結(jié)合《上海市中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求和學(xué)生實(shí)際，制定本節(jié)課的

教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握平面向量數(shù)量積的概念，回顧梳理與平面向量數(shù)量積相關(guān)的知識點(diǎn)。

2.通過體驗(yàn)、歸納，總結(jié)求解平面數(shù)量積的方法，同時提高對題目的反思重

解能力。

3.通過平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，提高分析問題解決問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積概念的掌握。

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)量積解決問題。

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是上海市實(shí)驗(yàn)性示范高中高二的學(xué)生，是任課教師自己平

時所帶班級學(xué)生，剛剛完成平面向量這一章節(jié)的學(xué)習(xí)。

1.知識方面：學(xué)生已完成了平面向量這一章知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)，并已能運(yùn)用

平面向量的知識解決一些簡單的向量幾何問題，但是還不能融會貫通地綜合理解

運(yùn)用知識，尤其知識的遷移能力還不夠。同時整章的知識脈絡(luò)還沒完全成型。因

此，本節(jié)復(fù)習(xí)課對現(xiàn)階段的學(xué)生來說尤為重要。

2.能力方面：因?yàn)閯倓偼瓿上蛄坎糠值膶W(xué)習(xí)，對于向量的相關(guān)知識內(nèi)化的

還不夠完善。部分學(xué)生解題時數(shù)形結(jié)合能力弱，但是由于學(xué)生是市實(shí)驗(yàn)性示范高

中的學(xué)生，所以大部分學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)主動性較高。

3.心理方面：學(xué)生已具備了一定的歸納知識的意識和能力，而且現(xiàn)階段學(xué)

生表現(xiàn)欲也很強(qiáng)，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計正好符合高二學(xué)生的這個心理特征。

四、教學(xué)策略分析

1.本節(jié)課的框架設(shè)計

本節(jié)課是一節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)課。上海數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中教學(xué)策略有以下幾個方面的

要求：①全面把握知識教學(xué)的要求。②重視教學(xué)的開放性。③有效應(yīng)用現(xiàn)代信息

技術(shù)。④尊重學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和個性差異。⑤堅持主導(dǎo)原則下的平衡與兼顧。

依據(jù)以上要求，結(jié)合本節(jié)課的知識的邏輯關(guān)系，按照以下框架安排本節(jié)課的教學(xué):

環(huán)節(jié)一：“做”中“理”一一問題導(dǎo)入，梳理知識。

環(huán)節(jié)二：“解”中“結(jié)”一一一題多解，總結(jié)方法。

環(huán)節(jié)三：“變”中“悟”一一變題悟法，訓(xùn)練思維。

環(huán)節(jié)四：“用”中“升”一一應(yīng)用感悟，任務(wù)后延。

2.對教學(xué)過程各環(huán)節(jié)的教學(xué)材料分析

環(huán)節(jié)一：“做”中‘'理"一一問題導(dǎo)入，梳理知識。

首先，讓學(xué)生解決一組與向量數(shù)量積相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。每一道小題的處理方

式都是通過學(xué)生回答，自行梳理概念，老師板書提煉包括向量的定義，向量數(shù)量

積的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算律等相關(guān)知識，達(dá)到

對向量數(shù)量積相關(guān)知識的復(fù)習(xí)。同時對于每道判斷題做說明和反例的細(xì)致解讀，

分析抽取概念。留出必要的時間對相關(guān)知識點(diǎn)做一個回顧和梳理，也為后面的例

題展開做鋪墊。這樣處理不僅避免枯燥的知識羅列，也為了避免做題中牽扯太多

的精力和時間，更加兼顧了不同認(rèn)知水平的同學(xué)。建構(gòu)三道看似普通的題目作為

平臺，將題目賦予了極大的價值，也給同學(xué)們提供一種課后復(fù)習(xí)的手段，在一些

簡單題目中就蘊(yùn)含大量知識訊息?！白觥敝小袄怼?，“會做”很重要的，但是“會

理”是更高境界。

環(huán)節(jié)二：“解”中“結(jié)”一一一題多解，總結(jié)方法。

讓學(xué)生解決在等邊三角形背景下的一個數(shù)量積典型例題。教學(xué)過程中，老師

啟發(fā)激勵學(xué)生挖掘出多種解題方法，同時在點(diǎn)評不同解法時，融入不同的數(shù)學(xué)思

想方法，比如在點(diǎn)評解法一時，強(qiáng)調(diào)將未知化歸已知的數(shù)學(xué)思維方式；在點(diǎn)評解

法三時，將“形”化歸“坐標(biāo)”；又比如在點(diǎn)評解法四，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思

想方法。而且在解題的同時適當(dāng)?shù)膶τ谙蛄繑?shù)量積解題方法做歸納總結(jié)。對于復(fù)

習(xí)課的例題如果選取若干道背景不同的題目，容易造成計算量的增加，同時讀題

時間的增加，而時間對于一堂復(fù)習(xí)課而言是非常寶貴的，所以選取一題多解的方

式，簡化運(yùn)算和讀題時間，同時達(dá)到方法提煉的目的。同時在講解方法中，適當(dāng)

的牽引學(xué)生的未知化歸已知的思想方法，和數(shù)形結(jié)合思想，也能夠達(dá)到復(fù)習(xí)課所

必須的廣度和深度。

環(huán)節(jié)三：“變”中“悟”一一變題悟法，訓(xùn)練思維。

在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生自主變題，再由學(xué)生答題。教師事先做好充分的準(zhǔn)備，

也做好情境的預(yù)設(shè)，建構(gòu)一個有效平臺，創(chuàng)設(shè)出生生互動的一個課堂。讓學(xué)生在

變題中體會三種解題方法。首先老師先提供一種逆向變題方法，將A34。=上作

2

為條件，判斷點(diǎn)D的軌跡。通過本題解答強(qiáng)化向量數(shù)量積的幾何意義。接下來

學(xué)生首先嘗試將點(diǎn)D的三等分位置做改動，進(jìn)而進(jìn)一步得到變式：D點(diǎn)在線段

BC上運(yùn)動，求解A3AD,老師在點(diǎn)評學(xué)生給出的求解方法時，強(qiáng)調(diào)三種方法的

選擇方式。在學(xué)生給出改動三角形條件，并給出解決方案時，教師緊扣概念教學(xué),

讓學(xué)生熟練掌握三種方法。復(fù)習(xí)課，單純的老師出題學(xué)生答題，容易產(chǎn)生學(xué)生被

動記憶接受的效果，再加上學(xué)生剛剛完成《向量坐標(biāo)表示》的全章學(xué)習(xí)，解題的

欲望和表現(xiàn)的欲望比較強(qiáng)，故此設(shè)計這樣的一個環(huán)節(jié)。在變題中完成對于不同解

題方法的再練習(xí)，在變題中做逆向的發(fā)散思維，在變題中體會不同條件對于題目

背景的影響，不同條件對于解題方法的影響。達(dá)到復(fù)習(xí)課所內(nèi)含的思維的碰撞和

課后的學(xué)習(xí)方法的外延。

環(huán)節(jié)四：“用”中“升”一一應(yīng)用感悟，任務(wù)后延。

最后環(huán)節(jié)中，采取學(xué)生回顧，老師板書總結(jié)的方式對于向量的幾何應(yīng)用做了

復(fù)習(xí)。同時對于向量的代數(shù)應(yīng)用也選擇了由之前變式求數(shù)量積范圍而改編的應(yīng)

用。讓學(xué)生體悟到數(shù)學(xué)中代數(shù)和幾何的聯(lián)系，也體悟到向量在跨章節(jié)方面的應(yīng)用。

會“做”是為了能“用”，一堂向量數(shù)量積的復(fù)習(xí)課，不僅需要完成必要解題思

路的總結(jié)和訓(xùn)練，也需要為知識的外延做好充分的推手。

3.對教學(xué)方法和手段的分析

因?yàn)槭瞧矫嫦蛄康膹?fù)習(xí)課，教學(xué)內(nèi)容涵蓋較大。為了保證教學(xué)任務(wù)的完成，

順利實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，考慮到本節(jié)課的實(shí)際特點(diǎn)，在教學(xué)方法上，盡可能

的采用一個三角形為主體背景，將“知識回顧一一方法提煉一一變題訓(xùn)練一一向

量應(yīng)用”四個環(huán)節(jié)有機(jī)串聯(lián)起來，不同認(rèn)知基礎(chǔ)的同學(xué)都可以參與到相應(yīng)的環(huán)節(jié)

中。通過師生共同探討。根據(jù)學(xué)生的反饋，及時加以引導(dǎo)，達(dá)成本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)。

在教學(xué)手段的應(yīng)用上，我的設(shè)想主要有以下兩點(diǎn)：

（1）制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方

式，以此來提高效率，增加課堂容量。①使用ppt,主要是對課堂的內(nèi)容作快速

呈現(xiàn)。②使用geogebra軟件，將學(xué)生變題產(chǎn)生的圖形，及圖形變換特征較迅速

地展現(xiàn)出來。

（2）設(shè)計科學(xué)合理的板書①使學(xué)生加深對主要知識的印象，②使學(xué)生清楚

本節(jié)內(nèi)容知識間的邏輯關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)，③ppt和板書配合使用，達(dá)到了快

速呈現(xiàn)題目，同時板書梳理知識的效果

(3)課堂小結(jié)，布置作業(yè)，

五、教學(xué)過程設(shè)計

一、知識回顧

環(huán)節(jié)一：“做”中“理”一一問題導(dǎo)入，梳理知識。

1.完成以下問題

(1)已知等邊AABC的邊長為3,則-

(2)已知向量a=(l,2),Z?=(x,l),且a_1_d則兀=衛(wèi)

(3)判斷下列說法正確的是

①/=卜|(V)

②若a"=0則a=0或b=0(X)

③若匕wO,a-Z?=c?久貝［|a=c(X)

④若(a-3?c=a-S-c),對任意向量a,方,c都成立(X)

2.通過以上問題的解決，引出課題，并對以下知識進(jìn)行回顧梳理。

若a=(%，X)]=(兀2，%)

l.ab=\a\\b\cos0=%龍？+yly2

2.向量的投影

2

3.向量的運(yùn)算律4.tf=|a『,a6=0oa_Lb

二、方法提煉

環(huán)節(jié)二：“解”中“結(jié)”-----題多解，總結(jié)方法。

1.典型例題

ULLUULU1

例1:在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，A8=3,30=1,求AB必。

uuuiuuuULiuiuuuiuuuiULUI2LOIULUI?1勺

解一：AB1ADAB?(ABBD)=AB+AB?BD9+3倉!]1(--)=—

22

解二：(余弦定理)|AD|2=|AB|2+|5￡>|2—2|905/450=7

,\AB\2+\AD\1-\BD\25幣

/Rcosn/BAD=----------------------------=------

2-|AB|-|AD|14

AB-AD^AB\\AD\cosZBAD=^-

解三：如右圖建立坐標(biāo)系：

A。半);B(-|,0);D(-1,0)

則滯一一雪黑=(」-第

2222

UULUUUUqq

所以-x3=—

22

解四：利用幾何意義：AD在A3上的投影為g,|AB|=3

uumuuuv[v

故AB?A。-x3=—

22

2.方法提煉:

由例1提煉出求數(shù)量積的方法:

數(shù)量積的定義；數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；數(shù)量積的幾何意義;

環(huán)節(jié)三：“變”中“悟”一一變題悟法，訓(xùn)練思維。

變式1：在邊長為3的，正三角形ABC中，D是AA5C所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

uunumr1<

AB7AD-tD是否是原來的三等分點(diǎn)？

2

答案：在線段BC上取一點(diǎn)G,使得3G=1,過G點(diǎn)做直線AB的垂線/,

D的軌跡就是垂線/

通過變式1,進(jìn)一步掌握數(shù)量積的幾何意義

變式2：學(xué)生編題，在生生互問中，完成數(shù)量積的求解復(fù)習(xí)

我們可以引導(dǎo)學(xué)生改變|AB|=3,|血|=1條件;引導(dǎo)學(xué)生改變，點(diǎn)D的

位置；引導(dǎo)學(xué)生改變不同的角的大小；引導(dǎo)學(xué)生將正三角形變?yōu)樾比?/p>

形……

通過變式2讓學(xué)生對三種方法再認(rèn)識。

小結(jié)：平時解答問題時，不要滿足于原問題的解答，我們可以對解題有一

個反思，如果已知條件發(fā)生變化，結(jié)論是否依舊成立？如果結(jié)論變

成條件，那么原條件是否成立。在對題目的變化和重解過程中，不

僅可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，同時思維也可以得到很好的訓(xùn)練！

三、遷移、應(yīng)用

環(huán)節(jié)四：“用”中“升”一一應(yīng)用感悟，任務(wù)后延。

1.回顧用數(shù)量積能解決的問題：比如求角，求長度，判斷平行垂直問

題等等。

2.靈活應(yīng)用

例2:已知％2+y2=9,/+62=1,試用向量的方法求+勿的

取值范圍。

解：設(shè)有向量。=(。,一母4=(羽丁)，夕與9的夾交角為0,

■:p、q都不是零向量(若p=0,則a=b=O,與a?+b?=1矛盾。同

理qW0),

p,q=ax+by,又cos6=7a2+b2yJx2+y2cos0=3

cos9,

ax+by=3cos9,,.,TWcos。W1,，3Wax+byW3。

四、小結(jié)：1.向量數(shù)量積的定義及相關(guān)知識；

2.平面向量數(shù)量積的三種主要求法；

3.數(shù)量積在幾何和代數(shù)中的應(yīng)用。

五、課后作業(yè)

一、填空題：

1.平面向量中，已知a=(4,—3),網(wǎng)=1,且a?=5,則向量人=。

2.已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足?=3,忸。|=4,|。1|=5,則

的值等于。

3.正三角形ABC的邊長為1,貝I]A55①BCGA?，等于

________________________________________________O

二、選擇題：

L5

4.已知向量。=(1,2.,=2,0)才若&,+b(-C-：,求。與c的夾角

()

(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°

5.若|a|=l,M|=2,c=a+Z>,且cJ_a,則向量。與b的夾角為()

(J)30°(皮60°(C)120°(。)150°

6.已知。、b,c是三個不共線的非零向量，則下列等式中成立的是

()

(A)=(B)()

(C)a-^b-b^=a-^b^(D)=(4).(/?)

三、解答題：

7.在AA3C中，0為中線AM上一個動點(diǎn)，若AM=2,求Q4-(08+0。的最小值。

8.已知：2a—3b=20i—8j,-a+2b=-lli+5j,(i,/是x,y軸正方向上的單位

向量)，

求向量a,。的夾角。

9.已知忖=2,%=3,|3a—0=6,求(1)a與b的夾角；(2)|tz+3Z?|

平面向量基本定理

北京市第五中學(xué)王琦

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)4》(人教A版)第二章第三節(jié)的第一課

時(2.3.1)《平面向量基本定理》.平面向量基本定理屬于概念性知識.

平面向量基本定理是在向量知識體系中占有核心地位的定理.一方面，平面向量基本定

理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一

一對應(yīng)的關(guān)系，這為通過"數(shù)"的運(yùn)算處理"形"的問題搭起了橋梁；另一方面，平面向量基本

定理是共線向量基本定理由一維到二維的推廣，揭示了平面向量的結(jié)構(gòu)特征，將來還可以推

廣為空間向量基本定理.因此，平面向量基本定理在向量知識體系中起著承上啟下的重要作

用.

我認(rèn)為該定理之所以用“基本”命名，主要是基于如下幾個特點(diǎn)：

1.給定平面內(nèi)兩個不共線的向量，通過線性運(yùn)算，可以構(gòu)造出該平面內(nèi)的所有向量；

2.通過線性運(yùn)算構(gòu)造平面內(nèi)所有向量，至少需要兩個不共線的向量；

3.平面內(nèi)任意向量的問題都可以轉(zhuǎn)化為基底中兩個向量之間的問題，從而化任意為確

定，化未知為已知；

4.選定基底后，平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對---對應(yīng)，為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”

的問題搭起了橋梁，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一.

《課標(biāo)》對本節(jié)課的要求是“了解平面向量基本定理及其意義”，我認(rèn)為這是因?yàn)槠矫?/p>

向量基本定理理論性非常強(qiáng)，而對定理的應(yīng)用又主要體現(xiàn)在向量線性運(yùn)算的幾何意義以及坐

標(biāo)運(yùn)算上，直接應(yīng)用極少.

但是，對平面向量基本定理的探究既是對前面所學(xué)向量線性運(yùn)算知識的綜合應(yīng)用和對平

行向量基本定理的推廣，又為后繼的平面向量坐標(biāo)表示奠定了理論基礎(chǔ)，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)

構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，探究過程有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行

數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表述的能力.

平面向量基本定理的驗(yàn)證過程是向量的分解，是兩向量進(jìn)行線性運(yùn)算的逆過程，是對學(xué)

生逆向思維的訓(xùn)練.平面向量基本定理證明過程中，需要用到平行向量基本定理，同時，平

行向量基本定理也是平面向量基本定理在一維時的特殊情形.這里體現(xiàn)了特殊與一般的辨證

觀點(diǎn).

平面向量基本定理將平面內(nèi)任意向量的問題轉(zhuǎn)化為一組基底的問題，從而使問題簡單

化、程序化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.平面向量基本定理將平面向量與有序?qū)崝?shù)對建

立一一對應(yīng)，搭起了數(shù)與形的橋梁，是利用向量進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的理論基礎(chǔ).

因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是平面向量基本定理的探究和理解.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)教學(xué)要求，教材的地位和作用，以及學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力，我把本節(jié)課

的教學(xué)目標(biāo)確定為以下三個方面：

1.通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、邏輯推理，知道平面向量基本定理是如何得來的，理解平

面向量基本定理中關(guān)鍵詞的含義；

2.學(xué)生經(jīng)歷從提出問題，到觀察猜想，再到驗(yàn)證推理，然后概括總結(jié)，進(jìn)而完善發(fā)展的數(shù)

學(xué)研究過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比、歸納的能力；通過與平行向量基本定理的比

較，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高對知識體系的整體認(rèn)識.

3.在概念的發(fā)生、發(fā)展和深化的過程中，感受數(shù)學(xué)的思維方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和概括

性，培養(yǎng)主動觀察、分析、探索的意識；在平面向量基本定理形成與理解的過程中，體

會特殊與一般，對立與統(tǒng)一的辯證觀點(diǎn).

三、學(xué)生學(xué)情分析

在前兩節(jié)中，學(xué)生己經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的基本概念、線性運(yùn)算以及平行向量基本定理等知識;

學(xué)生在物理課上也學(xué)習(xí)過矢量的合成與分解.這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作了一定的準(zhǔn)備.但向量

的分解是對向量線性運(yùn)算法則的逆用，這對學(xué)生的思維具有一定挑戰(zhàn)；止匕外，對定理中任意

性和唯一性的理解和驗(yàn)證也是學(xué)生的一個難點(diǎn).這些都需要教師引導(dǎo)突破.

我所任教的班級是示范校的普通班，學(xué)生各學(xué)科的基礎(chǔ)都比較扎實(shí)，但思維的靈活性和

深刻性仍有待提高，對于思維力度較大的問題仍需教師引導(dǎo)探究，學(xué)生對問題嚴(yán)謹(jǐn)完整的表

述能力仍需培養(yǎng).

因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性.

四、教學(xué)策略分析

為了更好的突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，完成教學(xué)目標(biāo)，我采用引導(dǎo)啟發(fā)的教學(xué)方式,

通過復(fù)習(xí)引入、逆向設(shè)問、直觀感知、實(shí)驗(yàn)操作、定理雛形、完善定理、定理辨析，循序漸

進(jìn)地將問題逐步引向深入，引導(dǎo)學(xué)生完成本節(jié)課的目標(biāo)，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法.

為了突破難點(diǎn)，我采取了以下措施：

1.針對存在性的難點(diǎn)，也就是分解向量的難點(diǎn)，通過學(xué)生黑板演示交流，對幾種典型的情

況分別做圖并完成線性表示；通過教師追問和點(diǎn)評，抓住向量加法法則中三個向量的位

置關(guān)系，提煉一■般做法.

2.對于定理中“任意性”的驗(yàn)證，我引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：首先將平面內(nèi)的任意向量簡化為

起點(diǎn)在某定點(diǎn)（與基底共起點(diǎn)）的任意向量；然后使向量方向不變，只改變大小，從數(shù)與

形兩個角度發(fā)現(xiàn)，只要在該方向上有一個向量能夠用給定向量的線性運(yùn)算表示，那么與

之同向的向量就都可以用給定向量的線性運(yùn)算來表示；最后，就只需改變向量的方向，

也就是讓向量繞其起點(diǎn)旋轉(zhuǎn)起來，分析其旋轉(zhuǎn)一周過程中的不同情況即可.在驗(yàn)證“任

意性”的過程中，我在學(xué)生板演分析之余，采用多媒體輔助教學(xué)，借助幾何畫板的動態(tài)

演示，讓學(xué)生更加直觀地理解定理中的“任意

3.對定理中“唯一性”的討論我引導(dǎo)學(xué)生從定性的“存在”到定量的“幾組”將定理精細(xì)化，并

從形的角度（貼近學(xué)生思維）和數(shù)的角度分別對“唯一性''進(jìn)行證明，使學(xué)生進(jìn)一步體會向

量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念.

本節(jié)課在猜想的形成，以及對定理中的存在性、任意性、唯一性的驗(yàn)證和證明過程中，

問題思維力度大，師生互動多.因此，我在設(shè)計本節(jié)課時，根據(jù)學(xué)情對每一個活動做好了充

分的預(yù)案，針對學(xué)生的不同反饋，靈活地進(jìn)行引導(dǎo)啟發(fā)；對每一個問題的提出，注意了設(shè)問

的梯度和問題的明確性，針對解決過程設(shè)計好“提示”和“追問”，使不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生

都能得到相應(yīng)的收獲.

與此同時，由于定理的形成和理解難度較大，在授課過程中，我對學(xué)生表現(xiàn)出的積極因

素給予適時適度的鼓勵，當(dāng)學(xué)生遇到知識漏洞和思維障礙時,本著循循善誘的原則進(jìn)行幫助.

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入，鋪墊新課

引例如圖，平行四邊形ABC。的兩條對角線相交

于點(diǎn)點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，設(shè)=AD=b,

用向量a,方的線性運(yùn)算來表示向量MN、MA、MB.A

設(shè)計意圖：

1.復(fù)習(xí)向量的線性運(yùn)算；

2.使學(xué)生感受到用平面內(nèi)兩個給定向量的線性運(yùn)算，可以表示出許多不同的向量；

3.利用這個并不困難的引例，引出本節(jié)課要研究的問題.

（二）逆向設(shè)問，形成猜想

通過活動1,我們發(fā)現(xiàn)通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運(yùn)算，可以表示出許多不同的向

量.那么

問題1想通過線性運(yùn)算表示這些向量，必須給定兩個向量嗎？

設(shè)計意圖：

1.如果兩個給定向量就夠用了，那么再增加其他的向量就沒有必要了，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡

單化原則；

2.通過回憶數(shù)乘向量的幾何意義，說明一個非零向量只能表示與之共線的向量，無法

表示與之不共線的向量，因此至少需要兩個向量；

3.通過回憶平行向量基本定理，說明一個非零向量可以表示與之共線的任意向量，同

時為后面應(yīng)用平行向量基本定理，以及兩個定理進(jìn)行比較做知識上的復(fù)習(xí).

預(yù)案：學(xué)生容易忽略特殊情況，如零向量.

問題2通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運(yùn)算可以表示多少向量，是有限個、無數(shù)個還

是任意一個？

設(shè)計意圖：

1.說明當(dāng)給定的兩個不全為零的向量共線的時候，只能表示與他們共線的向量，從而

形成定理中的“不共線”；

2.說明當(dāng)給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們共面的向量，從而形成定理中的

“這一平面內(nèi)”；

3.區(qū)別“無數(shù)個”與“任意一個”，從而猜想定理中的“任意”.

預(yù)案：

1.學(xué)生認(rèn)為兩個給定的向量可以表示無數(shù)個向量而非任意一個，此時可以引導(dǎo)學(xué)生思

考哪些向量無法表示；

2.學(xué)生容易忽略“平面內(nèi)”的限定，認(rèn)為兩個給定的向量可以表示任意一個向量，這

與此前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對三維空間研究較少有關(guān)，難以突破二維空間的思維局限，

此時，教師可以給出反例，讓學(xué)生體會；

3.學(xué)生容易忽略共線的特殊情況，認(rèn)為同一平面內(nèi)兩個給定向量可以表示該平面內(nèi)任

意一個向量，此時可以追問學(xué)生“無論這兩個向量如何給定，都可以表示平面內(nèi)任

意一■個向量嗎？”；

4,由問題1的討論，有些學(xué)生容易想到當(dāng)一個向量是零向量時，無法表示平面內(nèi)任意

向量，有些學(xué)生會想到當(dāng)兩給定向量共線時，無法表示平面內(nèi)任意向量，教師需要

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到“不共線”的限定就排除了含零向量的可能.

活動1請學(xué)生表述猜想：通過同一平面內(nèi)兩個不共線向量的線性運(yùn)算可以表示這一平

面內(nèi)任意一個向量.

設(shè)計意圖：

1.由猜想是否成立，引出課題；

2.猜想得到驗(yàn)證之后，這就是定理文字語言的描述，也是用符號語言進(jìn)行描述的基礎(chǔ).

（三）操作確認(rèn)，定理雛形

活動2操作確認(rèn)，形成定理雛形

環(huán)節(jié)1教師給定一組不共線向量ei、C2（由向量的可平移性，不妨讓這兩個向量共起

點(diǎn)），并給出待分解的向量m請學(xué)生到黑板上作圖，并說明作圖過程及能夠用ei、02的線

性運(yùn)算來表示的原因.

設(shè)計意圖:

1.基底給作共起點(diǎn)的情況，使學(xué)生更容易想到逆用平行四邊形法則進(jìn)行分解；

2.由這種情況入手，是因?yàn)檫@種情況與學(xué)生物理課上學(xué)習(xí)過的矢量分解類似，學(xué)生比

較容易上手;

3.逆用向量線性運(yùn)算法則，構(gòu)造平行四邊形或三角形，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；

4.通過較簡單情況下向量。的分解，體會將向量a用不共線向量ei、e2的線性運(yùn)算進(jìn)

行表示的方法和依據(jù)；

5.通過對學(xué)生將向量a平移的追問，一方面再次明確向量只與大小、方向有關(guān)，與起

點(diǎn)位置無關(guān)，即可以平移，另一方面說明平移至共起點(diǎn)是根據(jù)平行四邊形法則中三

個向量的位置關(guān)系，目的是便于構(gòu)造平行四邊形，從而說明可以將對平面內(nèi)任意向

量的驗(yàn)證問題簡化為對以點(diǎn)。為起點(diǎn)的任意向量進(jìn)行驗(yàn)證.

預(yù)案：如果學(xué)生逆用三角形法則對向量a進(jìn)行分解，首先給予肯定，再詢問其它方法;

如果學(xué)生沒有用三角形法則，那么在整個驗(yàn)證活動結(jié)束后，提醒學(xué)生逆用三角形法則也

是可以驗(yàn)證的，可以課后進(jìn)行嘗試.

環(huán)節(jié)2當(dāng)向量a可以用不共線向量ei、e2的線性運(yùn)算進(jìn)行表示時，不改變向量的方向，

只改變向量的大小，驗(yàn)證分解的存在性.

方案一：從形入手，可以先想象再配合幾何畫板直觀觀察分解的存在性.

方案二：從數(shù)入手，由平行向量基本定理，與向量。方向相同的向量一定可以寫成?I,

既然”=入同+入202，那么ma=mA\ei+nTAie2-

設(shè)計意圖：

1.向量的兩個基本要素大小和方向同時變化不便于研究，我們可以分別研究；

2.從形理解更為直觀，從數(shù)理解更為嚴(yán)謹(jǐn)，同時也潛移默化地使學(xué)生體會到向量是有

著數(shù)、形兩種屬性的數(shù)學(xué)對象；

3.由本環(huán)節(jié)的探究可知，只要向量a可以用不共線向量ei、e2的線性運(yùn)算進(jìn)行表示，

那么與之同向的向量也可以用ei、C2的線性運(yùn)算來表示，那么對猜想的驗(yàn)證就只剩

下說明任意方向的向量都可以用的、e2的線性運(yùn)算來表示了.

預(yù)案：

1.學(xué)生可能想不到從數(shù)的角度進(jìn)行證明，這就需要教師進(jìn)行引導(dǎo)了；

2.從數(shù)的角度進(jìn)行說明的過程中，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)向量〃口可以表示與向量a共線的

任意向量，也就是說如果向量a可以用不共線向量ei、e2的線性運(yùn)算進(jìn)行表示，那

么與之共線的向量就都以用ei、e2的線性運(yùn)算來表示，而不僅僅是與之同向的向

量.如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，是非常值得肯定的，這可以使得下一環(huán)節(jié)的驗(yàn)證進(jìn)一步

得到簡化.但數(shù)乘向量可以表示與原向量方向相反的向量這件事，學(xué)生在認(rèn)知上仍

存在一定困難，為了分散難點(diǎn)，此處如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)，教師也不必提及.

環(huán)節(jié)3使向量。繞其起點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，隨著旋轉(zhuǎn)，向量。的分解方法會有什么不同嗎？都有

哪些情況呢？請想好的學(xué)生在黑板上畫出代表不同情況的向量，對它們分別進(jìn)行研究，提煉

一般方法，驗(yàn)證任意性.同時，利用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示，直觀確認(rèn)任意性.

1.通過對幾種情況的區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識；通過對分類依據(jù)的交流，從分

解出的向量與基底方向的關(guān)系，到線性運(yùn)算中系數(shù)的符號，為后續(xù)課程中建立坐標(biāo)

系，劃分象限埋下伏筆；

2.通過對上圖中向量ai的分解方式與向量a分解方式的對比，將直接延長和反向延長

有向線段的情況統(tǒng)一起來，提煉出相應(yīng)的平行四邊形的一般構(gòu)造方法：過向量a的

起點(diǎn)和終點(diǎn)分別作與ei、e2平行的直線，這四條直線圍成所需平行四邊形；

3.對向量a與6、e2其中一個共線情況的討論，為后面分析平面向量基本定理與共線

向量基本定理之間的聯(lián)系做鋪墊；

4.利用幾何畫板動態(tài)演示使學(xué)生更加直觀地確定猜想中的“任意”.

預(yù)案：

1.如果學(xué)生沒有理解老師的意圖，無從下手，教師可以使最初的向量a旋轉(zhuǎn)一個小角

度，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時分解的方法與原方法一致，那么向量。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，什么時候分

解方式就不同了呢？從而使學(xué)生理解老師的意圖；

2.如果學(xué)生按照夾在兩給定向量所成的小于180。的角內(nèi)和角外進(jìn)行分類，那么可以先

請學(xué)生對畫出的向量進(jìn)行線性表示，并分析分解出的向量方向及線性表達(dá)式中系數(shù)

的符號，從而從這個角度給出其余情況；

3.學(xué)生容易遺漏特殊情況，即與幻、02其中一個共線的情況，可以由其他同學(xué)補(bǔ)充；

4.如果學(xué)生對向量41、的、。4不會分解，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶非零向量共線的定義，即

同向或反向.

活動3經(jīng)過上述活動的探究，猜想得到了驗(yàn)證，試用符號語言總結(jié)得到的結(jié)論.

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量。存在實(shí)

數(shù)擊,42使。=尢01+4202.

設(shè)計意圖：學(xué)生對符號語言的表述有一定困難,但這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的機(jī)會,

需要教師幫助學(xué)生完善表述.

（四）完善定理，理解辨析

問題3我們定性地說明了滿足要求的實(shí)數(shù)尢，入2存在，那么到底存在多少組呢？

設(shè)計意圖：

1.從定性研究到定量研究，使學(xué)生體會科學(xué)研究的一般思路；

2.對唯一性的論證，一方面從形的角度用作圖方法證明，貼近學(xué)生思維，培養(yǎng)論證表

達(dá)能力，另一方面從數(shù)的角度用同一法、反證法證明，培養(yǎng)邏輯思維能力，同時使

學(xué)生進(jìn)一步體會向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念；

3.理解當(dāng)基底選定后，平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對（九，%）——對應(yīng)，為后面向量

的坐標(biāo)表示做鋪墊.

預(yù)案：

1.大部分學(xué)生會利用作圖過程進(jìn)行分析，但學(xué)生證明的意識比較薄弱，容易想當(dāng)然，

缺乏從定義、公理、定理出發(fā)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理的意識，這就需要教師抓住契機(jī)進(jìn)

行培養(yǎng)；

2.高一年級的學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)反證法，同一法在課標(biāo)當(dāng)中也沒有涉及，所以從數(shù)的角

度嚴(yán)格證明對學(xué)生來講是個難點(diǎn)，如果沒有課外的補(bǔ)充學(xué)習(xí)，學(xué)生很難想到這種證

明方法，因此這里的處理方式是教師引導(dǎo)，且對證明不做規(guī)范性要求.

完善平面向量基本定理：

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量。存在唯

一一對實(shí)數(shù)A1，入2使a=尢0|+入202.

設(shè)計意圖：將教材定理中的“有且只有”寫作“存在唯一”，減少理解障礙.

教師解釋定理的價值，深化學(xué)生對定理的認(rèn)識：

阿基米德曾經(jīng)說過：給我一個支點(diǎn)，我可以撬起地球.

通過平面向量基本定理，我們可以說：

給我兩個不共線的向量，我可以通過簡單的線性運(yùn)算，構(gòu)造出該平面內(nèi)的所有向量；

給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內(nèi)任意向量的問題都化歸為這兩個向量的問

題，從而化任意為確定，化未知為己知；

給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內(nèi)的向量與有序?qū)崝?shù)對建立一一對應(yīng)，搭起數(shù)

與形之間的橋梁，為用數(shù)的運(yùn)算來刻畫形的問題創(chuàng)造了可能.

我只需要兩個不共線的向量！

設(shè)計意圖：

1.借用阿基米德名言的句式，引起學(xué)生興趣和注意；

2.通過排比，強(qiáng)調(diào)平面向量基本定理的重要價值；

3.說明這兩個不共線向量的重要地位，引出基底定義.

給出基底的定義：

我們把不共線的向量ei，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底(base).

設(shè)計意圖：給出基底的英文單詞，base有基礎(chǔ)的意思，更容易讓學(xué)生理解基底是構(gòu)建

平面內(nèi)所有向量的基礎(chǔ).我認(rèn)為這也體現(xiàn)了平面向量基本定理中“基本”的含義.

問題4這個定理與平行向量基本定理有什么聯(lián)系？

設(shè)計意圖：

1.使學(xué)生理解二者的聯(lián)系：平面向量基本定理是平行向量基本定理由一維到二維的推

廣，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一維時的特殊情形，這里體現(xiàn)了特殊

與一般的辨證觀點(diǎn)，在這種視角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以稱

為一維空間上的一個基底，由它生成了與之共線的所有向量；

2.使學(xué)生體會聯(lián)系地看待事物，而非割裂地看待知識，將新知識納入到自己的知識網(wǎng)

絡(luò)中，提高對知識體系的整體認(rèn)識.

提出課后思考問題：三維空間的基底應(yīng)該如何選?。?/p>

(五)小結(jié)反思，布置作業(yè)

1.小結(jié)：

本節(jié)課我們從一個具體問題的探究提出了研究的方向，從猜想到驗(yàn)證得到了定理的雛

形，從存在到唯一完善了定理的內(nèi)容.

平面向量基本定理是將平面向量任意化歸為確定的理論依據(jù)，是由幾何到代數(shù)的橋梁.

希望同學(xué)們通過這節(jié)課能夠體會一個數(shù)學(xué)概念從起因到發(fā)生,再到雛形,然后逐步完善、

發(fā)展過程中蘊(yùn)含的合理的思維方式.

設(shè)計意圖：

課標(biāo)中對平面向量基本定理的要求是了解，而本節(jié)課花了較大的精力去發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和理

解,一方面是希望學(xué)生能夠認(rèn)識到這個定理的價值,另一方面是希望學(xué)生通過這節(jié)課的探究,

經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)概念形成的過程，體會其中蘊(yùn)含的合理的思維方式.所以在小結(jié)中我希望學(xué)生

能夠理解老師的意圖.

2.作業(yè)：

必做作業(yè)：《成才之路》強(qiáng)化作業(yè)(十九)

課后思考：

(1)試?yán)萌切畏▌t對定理進(jìn)行驗(yàn)證；

(2)要想表示三維空間內(nèi)的任意向量，我們最少需要幾個怎樣的向量作為基底呢？

設(shè)計意圖：

必做作業(yè)是對課內(nèi)知識的鞏固，課后思考是讓學(xué)有余力的生能夠有充分的發(fā)展空間.

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)點(diǎn)評

陜西商南高級中學(xué)張志鋒

本節(jié)課以學(xué)生發(fā)展為本，面向全體學(xué)生，設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)切合實(shí)際，注重學(xué)生活動和

探究的過程，并滲透數(shù)學(xué)方法。教學(xué)設(shè)計注重面向全體學(xué)生，把學(xué)生的學(xué)習(xí)過程視為在教師

引導(dǎo)下的自主探究過程，教學(xué)設(shè)計合理有序，落實(shí)得體。教學(xué)節(jié)奏合理。引入教學(xué)自然，問

題提出適當(dāng)，問題設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，承接有序。在教學(xué)推進(jìn)過程中，為解決難點(diǎn)，教師根據(jù)建

標(biāo)、提出從變量到不變量的問題，然后建立等量關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)函數(shù)，化簡后得到橢

圓的方程。在教學(xué)中注重創(chuàng)造思維、發(fā)散思維的培養(yǎng)。學(xué)具利用率高，直觀性強(qiáng)。全教學(xué)過

程中注意了全體同學(xué)的動手參與、交流討論也成為本節(jié)課的一個突出亮點(diǎn)，體現(xiàn)了"情景、

問題、探究、結(jié)論"的教學(xué)思路和數(shù)學(xué)教學(xué)注重思維的嚴(yán)密性的培養(yǎng)的學(xué)科特點(diǎn)，并發(fā)揮了

教師的引導(dǎo)在構(gòu)建知識體系方面的突出作用，同時注重了聯(lián)系生活實(shí)際和科學(xué)思想方法教

育。

教師基本功扎實(shí)，語言清晰流暢，表達(dá)科學(xué)準(zhǔn)確，教態(tài)自然大方，教學(xué)激情熾熱，教學(xué)

機(jī)智靈活，板書簡潔明了，多媒體輔助教學(xué)技能應(yīng)用熟練，突出教學(xué)多元化及輔助功能，多

渠道、多角度調(diào)動教學(xué)資源，合理運(yùn)用一切有利條件，注重教學(xué)過渡與轉(zhuǎn)承，教學(xué)環(huán)節(jié)渾然

一體。

本節(jié)課是一節(jié)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)課例，但是老師在追求卓越的同時，也力求相關(guān)教學(xué)內(nèi)容

面面俱到，致使課堂內(nèi)容顯得繁多，這是本節(jié)課需要改進(jìn)之處。

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第1課時)教學(xué)設(shè)計

陜西省商洛市商南縣高級中學(xué)雷星

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1.地位與作用：

本章是北師大版選修1-1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數(shù)學(xué)解析幾

何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學(xué)中一個重要的分支,它聯(lián)系了數(shù)學(xué)中的數(shù)與形、

代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學(xué)生已掌握了在平

面直角坐標(biāo)系下研究直線和圓的方法，本章教材進(jìn)一步利用三種基本圓錐曲線深

化代數(shù)與幾何的關(guān)系。本章教材內(nèi)容的順序是：橢圓一拋物線一雙曲線一曲線與

方程。這樣安排的用意是，先學(xué)圓錐曲線，再學(xué)曲線與方程，這樣的順序更有利

于學(xué)生的學(xué)習(xí)，符合學(xué)生從特殊到一般，具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。在圓錐曲線的

學(xué)習(xí)過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學(xué)生理解并掌握“曲線與方程”

這一概念奠定了基礎(chǔ)。

本節(jié)是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1