第三單元圓柱與圓錐·總集篇·八種綜合型問題【八大考點(diǎn)】-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但在面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí)，總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學(xué)需求的同時(shí)，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結(jié)合自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后，最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)，又適應(yīng)課后作業(yè)，還適合階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》，它基于教材知識(shí)和常年真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精煉高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請(qǐng)留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學(xué)創(chuàng)作社2024年2月24日2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第三單元圓柱與圓錐·總集篇·八種綜合型問題【八大考點(diǎn)】專題解讀本專題是第三單元圓柱與圓錐·總集篇·八種綜合型問題。本部分內(nèi)容一共包括了圓柱與圓錐的拼切問題、圓柱與圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成問題、圓柱與圓錐的關(guān)系問題、比在圓柱與圓錐中的應(yīng)用問題、圓柱與圓錐的等積變形問題、圓柱與圓錐中不規(guī)則物體的體積問題、含圓柱圓錐的不規(guī)則或組合立體圖形的體積問題、圓柱圓錐中的注水運(yùn)動(dòng)問題等八種圓柱圓錐中?？嫉木C合型問題，考點(diǎn)遍布各種題型，考題綜合性強(qiáng)，其中大多數(shù)內(nèi)容以思維拓展題型為主，難度極大，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點(diǎn)考題，一共劃分為八個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。目錄導(dǎo)航TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】八種問題之圓柱與圓錐的切拼問題 3【考點(diǎn)二】八種問題之圓柱與圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成問題 11【考點(diǎn)三】八種問題之圓柱與圓錐的關(guān)系問題 20【考點(diǎn)四】八種問題之比在圓柱與圓錐中的應(yīng)用問題 23【考點(diǎn)五】八種問題之圓柱與圓錐的等積變形問題 25【考點(diǎn)六】八種問題之圓柱與圓錐中不規(guī)則物體的體積問題 30【考點(diǎn)七】八種問題之含圓柱圓錐的不規(guī)則或組合立體圖形的體積問題 35【考點(diǎn)八】八種問題之圓柱圓錐中的注水運(yùn)動(dòng)問題 37典型例題【考點(diǎn)一】八種問題之圓柱與圓錐的切拼問題?！痉椒c(diǎn)撥】立體圖形的切拼問題屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題和難點(diǎn)問題，由圓柱與圓錐的切拼所產(chǎn)生的表面積增減變化，在分析與思考過程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基礎(chǔ)的空間想象能力，因此，大部分同學(xué)掌握起來顯得十分困難，建議在理解方面，嘗試?yán)L制示意圖，在解題方面，注意尋找切拼后的變化規(guī)律。1.圓柱中高的增減變化引起的表面積變化。高的增減變化引起的表面積變化問題，由于底面積沒有改變，所以實(shí)際上發(fā)生變化的是側(cè)面積，由此可以先求出底面周長(zhǎng)，再進(jìn)而求出表面積，即底面周長(zhǎng)=變化的表面積÷變化的高度。2.圓柱中橫切引起的表面積變化。橫切，即沿著底面或平行于底面將圓柱切一刀，此時(shí)表面積會(huì)多出兩個(gè)面的面積，這兩個(gè)面是底面，每多切一刀，便多增加兩個(gè)面，即面數(shù)=刀數(shù)×2，相反，如果兩段圓柱拼接在一起，則會(huì)減少兩個(gè)底面。3.圓柱中豎切引起的表面積變化。豎切，即沿著直徑，垂直于底面切，此時(shí)多出的兩個(gè)面是長(zhǎng)方形，它是以底面圓的直徑為長(zhǎng)，以圓柱的高為寬的長(zhǎng)方形。4.圓錐中豎切引起的切面積變化。圓錐中的豎切是指將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個(gè)這樣的切面。5.圓柱與長(zhǎng)方體的切拼引起的表面積變化。將一個(gè)底面半徑為r，高為h的圓柱沿著高切成若干等份，并將其拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，此時(shí)這個(gè)圓柱和長(zhǎng)方體的體積相等，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比圓柱多2個(gè)面積大小為hr的長(zhǎng)方形?！镜湫屠}1】圓柱中高的增減變化引起的表面積變化。一根高8分米的圓柱木料，如果把它的高截短3分米，表面積就減少18.84平方分米，這根圓木體積是多少立方分米？【答案】25.12立方分米【分析】根據(jù)題意可知：如果把圓柱的高截短3分米，表面積就減少18.84平方分米，表面積減少的是高為3分米的圓柱的側(cè)面積，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S＝ch，用側(cè)面積除以3求出底面周長(zhǎng)，進(jìn)而求得底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式：，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?8.84÷3＝6.28（分米）6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（分米）3.14×1×1×8＝3.14×8＝25.12（立方分米）答：這根圓木體積是25.12立方分米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查圓柱的側(cè)面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)圓柱體（如圖），如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個(gè)圓柱體積原來是多少立方厘米？【答案】1177.5立方厘米【分析】表面積減少的側(cè)面積，減少的側(cè)面積÷截短的高＝圓柱底面周長(zhǎng)，底面周長(zhǎng)÷π÷2＝底面半徑，再根據(jù)圓柱體積＝底面積×高，求出原來體積即可?！驹斀狻?4.2÷3＝31.4（厘米）31.4÷3.14÷2＝5（厘米）3.14×52×（12＋3）＝3.14×25×15＝1177.5（立方厘米）答：這個(gè)圓柱體積原來是1177.5立方厘米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓柱側(cè)面積和體積公式?！镜湫屠}2】圓柱中橫切引起的表面積變化。把一根長(zhǎng)10米的木料鋸成一樣長(zhǎng)的兩段，結(jié)果表面積增加了6.28平方米，這根木料原來的體積是多少立方米？【答案】31.4立方米【分析】根據(jù)題意，這個(gè)木料長(zhǎng)是10米；鋸成兩段，增加的面積等于兩個(gè)底面積的和；用增加的面積÷2，求出圓柱的底面積；再根據(jù)圓柱的體積公式：體積＝底面積×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻浚?.28÷2）×10＝3.14×10＝31.4（立方米）答：這根木料原來的體積是31.4立方米?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵明確增加的面積和原來圓柱底面的關(guān)系；再結(jié)合圓柱的體積公式，進(jìn)行解答?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】一根長(zhǎng)12分米，橫截面直徑是4厘米的圓柱形木棍，將它平均截成三段，然后全部涂上顏色，涂色部分的面積是多少？【答案】1582.56平方厘米【分析】如圖所示，把這根圓柱形木棍平均截成三段后，表面積比原來增加4個(gè)截面的面積，，涂色部分的面積＝原來圓柱的表面積＋增加部分的面積，據(jù)此解答?！驹斀狻?2分米＝120厘米（3－1）×2＝2×2＝4（個(gè)）3.14×（4÷2）2＝3.14×4＝12.56（平方厘米）3.14×4×120＋12.56×2＋12.56×4＝12.56×120＋12.56×2＋12.56×4＝12.56×（120＋2＋4）＝12.56×126＝1582.56（平方厘米）答：涂色部分的面積是1582.56平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的切拼，表示出增加部分的面積并掌握?qǐng)A柱的表面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！镜湫屠}3】圓柱中豎切引起的表面積變化。如圖，一根圓柱形木料高8分米，沿底面直徑垂直切開，平均分成兩部分。這時(shí)表面積比原來增加了0.96平方米（π取3.14）。這根圓柱形木料的體積是多少立方分米？【答案】226.08立方分米【分析】觀察題意可知，圓柱形木料沿底面直徑垂直切開，平均分成兩部分，表面積增加了2個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的高，寬是圓柱的底面直徑；先把0.96平方米化為96平方分米，然后用96÷2即可求出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，然后再除以8即可求出底面直徑，進(jìn)而求出底面半徑，最后根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)解答即可。【詳解】0.96平方米＝96平方分米底面直徑：96÷2÷8＝6（分米）半徑：6÷2＝3（分米）3.14×32×8＝3.14×9×8＝226.08（立方分米）答：這根圓柱形木料的體積是226.08立方分米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體圖形的切割以及圓柱的體積公式的靈活應(yīng)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】如圖，一根圓柱形木料高1米，沿底面直徑垂直切開，平均分成兩部分。這時(shí)表面積比原來增加了1.8平方米（π取3.14）。（1）這根木料原來的表面積是多少平方米？（2）這根圓柱形木料的體積是多少立方米？【答案】（1）4.0977平方米；（2）0.63585立方米【分析】（1）沿底面直徑垂直切開，平均分成兩部分，表面積比圓柱多了2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，已知表面積比原來增加了1.8平方米，用1.8÷2即可求出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，又已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱的高，寬相當(dāng)于底面直徑，用1.8÷2÷1即可求出底面直徑；根據(jù)圓柱的表面積：S＝2πr2＋πdh求解這根木料原來的表面積即可。（2）根據(jù)圓柱的體積：V＝πr2h求解這根圓柱形木料的體積。【詳解】（1）這根木料的底面直徑為：1.8÷2÷1＝0.9（米）底面半徑：0.9÷2＝0.45（米）這根木料原來的表面積為：2×3.14×0.452＋3.14×0.9×1＝2×3.14×0.2025＋3.14×0.9×1＝1.2717＋2.826＝4.0977（平方米）答：這根木料原來的表面積是4.0977平方米。（2）3.14×0.452×1＝3.14×0.2025×1＝0.63585（立方米）答：這根圓柱形木料的體積是0.63585立方米?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓柱的表面積公式和體積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是明確多了哪兩個(gè)面的面積。【典型例題4】圓錐中豎切引起的切面積變化。將一個(gè)圓錐形糕點(diǎn)沿著高切成兩塊，表面積比原來增加了42平方厘米，測(cè)得圓錐形糕點(diǎn)的高是7厘米，原來這個(gè)圓錐形糕點(diǎn)的體積是多少立方厘米？【答案】65.94立方厘米【分析】把圓錐沿著高切成兩塊截面是兩個(gè)等腰三角形，切開之后的表面積比原來增加了兩個(gè)三角形的面積，先求出一個(gè)三角形的面積，再利用“底＝三角形的面積×2÷高”求出三角形的底邊，即圓錐的底面直徑，最后利用“”求出圓錐的體積，據(jù)此解答。【詳解】底面直徑：42÷2×2÷7＝21×2÷7＝42÷7＝6（厘米）底面半徑：6÷2＝3（厘米）體積：×3.14×32×7＝（3.14×7）×（×32）＝21.98×3＝65.94（立方厘米）答：原來這個(gè)圓錐形糕點(diǎn)的體積是65.94立方厘米。【點(diǎn)睛】根據(jù)增加部分的面積求出圓錐的底面半徑，并掌握?qǐng)A錐的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】一個(gè)圓錐的底面半徑是3分米。從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成相等的兩半后，表面積比原來的圓錐表面積增加了24平方分米。這個(gè)圓錐的體積是多少立方分米？【答案】37.68立方分米【分析】通過觀察圖形可知，把這個(gè)圓錐縱向切開，表面積增加的是兩個(gè)切面的面積，每個(gè)切面的底等于圓錐的底面直徑，每個(gè)切面的高等于圓錐的高，根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，據(jù)此求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?4÷2＝12（平方分米）12×2÷（3×2）＝24÷6＝4（分米）×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方分米）答：這個(gè)圓錐的體積是37.68立方分米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查三角形的面積公式、圓錐的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式，重點(diǎn)是求出圓錐的高。【典型例題5】圓柱與長(zhǎng)方體的切拼引起的表面積變化。把一個(gè)高為6厘米的圓柱體切割成若干等分，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。長(zhǎng)方體的表面積比圓柱的表面積增加了48平方厘米，如下圖，請(qǐng)求出原來圓柱體的表面積和體積?！敬鸢浮?51.2平方厘米；301.44立方厘米【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)圓柱切拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體，那么長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方體的寬等于圓柱的底面半徑，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高；拼成的長(zhǎng)方體的體積等于圓柱的體積，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比圓柱的表面積多了兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積（長(zhǎng)方體的左右面），長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的底面半徑，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高；先用增加的表面積除以2，求出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再除以高，即可求出長(zhǎng)方體的底面半徑；然后根據(jù)圓柱的表面積公式S表＝S側(cè)＋2S底，其中S側(cè)＝2πrh，S底＝πr2；圓柱的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻繄A柱的底面半徑：48÷2÷6＝24÷6＝4（厘米）圓柱的表面積：2×3.14×4×6＋3.14×42×2＝3.14×48＋3.14×16×2＝150.72＋100.48＝251.2（平方厘米）圓柱的體積：3.14×42×6＝3.14×16×6＝301.44（立方厘米）答：原來圓柱體的表面積是251.2平方厘米，體積是301.44立方厘米。【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A柱切割拼接成長(zhǎng)方體后，各部分元素間對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以及增加的表面積是哪些面的面積，并以此為突破口，利用公式列式計(jì)算。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】將一個(gè)高是12厘米的圓柱體如圖那樣切拼，切拼后的立體圖形的表面積比圓柱體大120平方厘米。求圓柱體的體積。（π取3.14）【答案】942立方厘米【分析】觀察圖形可知，切拼后的立體圖形的表面積比圓柱體大120平方厘米，即表面積比原來多了兩個(gè)長(zhǎng)為12厘米，寬為圓柱的底面半徑的長(zhǎng)方形的面積，據(jù)此求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可。【詳解】120÷2÷12＝60÷12＝5（厘米）3.14×52×12＝3.14×25×12＝78.5×12＝942（立方厘米）答：圓柱體的體積的是942立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，求出圓柱的底面半徑是解題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)二】八種問題之圓柱與圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成問題?！痉椒c(diǎn)撥】圓柱與圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成問題屬于平面圖形和立體圖形的空間轉(zhuǎn)化，具有一定的抽象性，需要具備基本的空間想象能力。1.圓柱的四種旋轉(zhuǎn)構(gòu)成方法。在旋轉(zhuǎn)時(shí)，以誰為軸誰就是高，而另一條邊就是底面半徑。①第一種旋轉(zhuǎn)方法：以寬為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以寬為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，寬就是圓柱的高，長(zhǎng)就是底面圓的半徑。②第二種旋轉(zhuǎn)方法：以長(zhǎng)為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以長(zhǎng)為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，長(zhǎng)就是圓柱的高，寬就是底面圓的半徑。③第三種旋轉(zhuǎn)方法：以兩條長(zhǎng)中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以兩條長(zhǎng)中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，寬就是圓柱的高，長(zhǎng)的一半就是底面圓的半徑。④第四種旋轉(zhuǎn)方法：以兩條寬中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以兩條寬中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，長(zhǎng)就是圓柱的高，寬的一半就是底面圓的半徑。2.圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成方法。沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑。【典型例題1】圓柱的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成方法。畫出如圖圖形繞BD邊旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求出的它的表面積和體積（單位：厘米）?！敬鸢浮?；150.72平方厘米；141.3立方厘米【分析】圓柱的定義：以矩形的一邊所在直線為軸，其余各邊繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體，叫做圓柱體；圓柱表面積＝兩個(gè)底面積＋側(cè)面積，圓柱體積＝底面積×高，S＝π，據(jù)此求解。【詳解】如圖：表面積：3.14×32×2＋3×2×3.14×5＝3.14×9×2＋18.84×5＝56.52＋94.2＝150.72（平方厘米）體積：3.14×32×5＝3.14×9×5＝28.26×5＝141.3（立方厘米）答：這個(gè)圓柱的表面積是150.72平方厘米，體積是141.3立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】如圖中的長(zhǎng)方形繞它的長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)一周，可分別得到立標(biāo)圖形A和B。（1）算一算立體圖形A、B的體積。（2）立體圖形A和B的體積之比與原長(zhǎng)方形有何關(guān)系？（請(qǐng)用數(shù)學(xué)式子或文字加以說明）【答案】（1）立體圖形A的體積是37.68立方厘米，B的體積是56.52立方厘米。（2）立體圖形A和B的體積之比等于原長(zhǎng)方形寬與長(zhǎng)的長(zhǎng)度之比?！痉治觥浚?）將長(zhǎng)方形繞長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓柱體A，圓柱體的高是3厘米，底面半徑是2厘米；繞寬旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱體B，圓柱體的高是2厘米，底面半徑是3厘米，根據(jù)圓柱的體積＝πr2h計(jì)算即可解答；（2）求出兩個(gè)圓柱的體積比，與原長(zhǎng)方形比較即可得出結(jié)論?！驹斀狻浚?）A的體積為：3.14×3×22＝37.68（立方厘米）B的體積為：3.14×32×2＝56.52（立方厘米）答：立體圖形A的體積是37.68立方厘米，B的體積是56.52立方厘米。（2）立體圖形A和B的體積之比是：（3.14×3×22）∶（3.14×32×2）＝2∶3原長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)的比是2∶3；所以立體圖形A和B的體積之比等于原長(zhǎng)方形寬與長(zhǎng)的長(zhǎng)度之比。答：立體圖形A和B的體積之比等于原長(zhǎng)方形寬與長(zhǎng)的長(zhǎng)度之比?！军c(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是得出旋轉(zhuǎn)后圖形的底面半徑和高。【典型例題2】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成方法。請(qǐng)你在下圖中，選取直角三角形的一條邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形的體積是多少？【答案】37.68立方厘米；50.24立方厘米；30.144立方厘米?！痉治觥坑深}可知，題目只說選取直角三角形的一條邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，并未說明選取哪一條邊，所以要分類討論。（1）當(dāng)AB為軸，旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，所形成的是一個(gè)高為4厘米，底面半徑為3厘米的圓錐，由圓錐的體積＝底面積×高×，底面積＝πr2代入實(shí)際數(shù)據(jù)可得；（2）當(dāng)BC為軸，旋轉(zhuǎn)一周，所形成的是一個(gè)高為3厘米，底面半徑為4厘米的圓錐。同理，代入圓錐體積公式即可得；（3）當(dāng)AC為軸，旋轉(zhuǎn)一周，所形成是兩個(gè)圓錐的結(jié)合體，斜邊上的高就是底面半徑，可以設(shè)小的圓錐的高為xcm，則大的圓錐的高為（5－x）cm，然后通過圓錐的體積公式分別算出大小圓錐的體積，再相加即可解答?！驹斀狻浚?）當(dāng)AB為軸時(shí)：3×3×3.14×4×＝3×4×3.14＝12×3.14＝37.68（立方厘米）（2）當(dāng)BC為軸時(shí)：4×4×3.14×3×＝4×4×3.14＝16×3.14＝50.24（立方厘米）（3）當(dāng)AC為軸時(shí)：底面半徑：3×4÷2×2÷5＝12÷2×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米）解：設(shè)小的圓錐的高為xcm，則大的圓錐的高為（5－x）cm?！?.14×2.4×2.4×x＋×3.14×2.4×2.4×（5－x）＝×3.14×2.4×2.4×（x＋5－x）＝3.14×0.8×2.4×5＝3.14×0.8×12＝3.14×9.6＝30.144（立方厘米）答：當(dāng)AB為軸時(shí)，所形成的立體圖形的體積是37.68立方厘米，當(dāng)BC為軸時(shí)，所形成的立體圖形的體積是50.24立方厘米，當(dāng)AC為軸時(shí)，所形成的立體圖形的體積是30.144立方厘米。【點(diǎn)睛】此題考查的是圓錐體積公式，能熟練掌握?qǐng)A錐的體積公式并分類討論是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】如圖三角形ABC是一個(gè)直角三角形，分別以三條邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)得到三個(gè)不同的立體形體，這三個(gè)立體圖形的體積分別是多少立方厘米？【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米【分析】將直角三角形以AB為軸為軸旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)高為40厘米，底面半徑為30厘米的圓錐，再利用圓錐的體積公式代入數(shù)據(jù)解答；以BC為軸旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)高為30厘米，底面半徑為40厘米的圓錐，再利用圓錐的體積公式代入數(shù)據(jù)解答；以AC為軸旋轉(zhuǎn)，得到兩個(gè)圓錐，借助三角形的面積公式，列式30×40÷2，求出三角形的面積是600平方厘米，再用600×2÷50求出斜邊上的高為24厘米，即底面半徑為24厘米，兩個(gè)圓錐的高之和是50厘米，先求出底面積，進(jìn)而求出兩個(gè)圓錐的體積即可。【詳解】以AB為軸旋轉(zhuǎn)的圓錐：×3.14×302×40＝×3.14×900×40＝942×40＝37680（立方厘米）以BC為軸旋轉(zhuǎn)的圓錐：×3.14×402×30＝×30×3.14×1600＝31.4×1600＝50240（立方厘米）以AC為軸旋轉(zhuǎn)的立體圖形，兩個(gè)圓錐半徑：30×40÷2＝600（平方厘米）600×2÷50＝24（厘米）體積：×3.14×242×50＝×3.14×576×50＝602.88×50＝30144（立方厘米）答：以AB為軸旋轉(zhuǎn)的圓錐體積37680立方厘米；以BC為軸旋轉(zhuǎn)的圓錐體積50240立方厘米；以AC為軸旋轉(zhuǎn)的立體圖形體積是30144立方厘米。【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A錐的特征和圓錐的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！镜湫屠}3】圓柱與圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成“綜合型”。小明、小花兩人分別以直角梯形的上底、下底和高所在的直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到了甲、乙、丙三個(gè)立體圖形。小明說：我們旋轉(zhuǎn)的平面圖形是完全一樣的，所以旋轉(zhuǎn)后甲、乙、丙三個(gè)立體圖形的體積也相等。小花說：我不同意你的看法，我認(rèn)為三個(gè)立體圖形的體積不相等。你同意誰的說法？甲、乙、丙三個(gè)立體圖形的體積是多少立方厘米？（π取3.14）【答案】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米【分析】觀察各立體圖形可知，圖形甲的體積＝圓柱的體積－圓錐的體積，圖形乙的體積＝圓錐的體積＋圓柱的體積，圖形丙的體積＝大圓錐的體積－小圓錐的體積；根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，圓錐的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解，然后比較三個(gè)立體圖形的體積，得出結(jié)論?！驹斀狻考椎捏w積：3.14×32×6－×3.14×32×（6－3）＝3.14×9×6－×3.14×9×3＝3.14×54－3.14×9＝169.56－28.26＝141.3（立方厘米）乙的體積：×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3＝×3.14×9×3＋3.14×9×3＝3.14×9＋3.14×27＝28.26＋84.78＝113.04（立方厘米）丙的體積：延長(zhǎng)圓臺(tái)的兩邊相交于一點(diǎn)，形成一個(gè)大圓錐，由小圓錐的底面半徑3厘米，圓臺(tái)的高3厘米，推出這是一個(gè)等腰直角三角形，由此得出小圓錐的高是3厘米?！?.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3＝×3.14×36×6－×3.14×9×3＝3.14×72－3.14×9＝226.08－28.26＝197.82（立方厘米）197.82＞141.3＞113.04，所以三個(gè)立體圖形的體積不相等。答：我同意小花的說法。甲的體積是141.3立方厘米，乙的體積是113.04立方厘米，丙的體積是197.82立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐體積公式的運(yùn)用，明確以同一個(gè)平面圖形的不同線段為軸旋轉(zhuǎn)，形成立體圖形的體積不相等?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】請(qǐng)根據(jù)下圖信息回答問題。（1）直角梯形ABCD，如果以AB為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所形成的立體圖形是圖（

）；如果以DC為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所形成的立體圖形是圖（

）。（2）選擇其中一個(gè)立體圖形計(jì)算它的體積?！敬鸢浮浚?）①；②（2）①的體積：150.72cm3；②的體積：188.4cm3【分析】（1）判斷旋轉(zhuǎn)得到的立體圖形時(shí)，要知道：以直角三角形的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，所形成的立體圖形是圓錐，以其斜邊為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，所形成的圖形是沙漏模型。（2）兩個(gè)不同的立體圖形的體積分別是圓柱的體積與圓錐的體積的和與差；只不過圖形②的圓柱的高=下部圓柱的高+上部分圓錐的高?！驹斀狻浚?）求①的體積：求②的體積【點(diǎn)睛】判斷旋轉(zhuǎn)得到的立體圖形要有一定的空間觀念，計(jì)算量也很大，還要注意細(xì)節(jié)部分“圖形②的圓柱的高=下部圓柱的高+上部分圓錐的高”不要弄錯(cuò)了?！究键c(diǎn)三】八種問題之圓柱與圓錐的關(guān)系問題。【方法點(diǎn)撥】圓柱與圓錐的關(guān)系問題常是填空、選擇題的?？碱}型，掌握二者的關(guān)系，需要注意尋找前提條件。1.底面積和高均相等的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的。2.體積和高相等的圓錐與圓柱，圓錐的底面積是圓柱的三倍。3.體積和底面積相等的圓錐與圓柱，圓錐的高是圓柱的三倍。【典型例題】有一個(gè)容器下面是圓柱，上面是與之等底的圓錐，圓柱的高是10cm，圓錐的高是6cm，容器內(nèi)水深7cm，把這個(gè)容器倒過來，從圓錐的角到水面的高度是()cm。【答案】11【分析】根據(jù)題意，把這個(gè)容器倒過來時(shí)，圓錐在下面，6cm高的圓錐裝滿水，根據(jù)等體積等底的圓柱的高是圓錐高的，即圓錐6cm高的水的體積相當(dāng)于圓柱2cm高的水的體積；再用原來的水深減去2cm，求出圓柱容器內(nèi)剩下水的高度，加上圓錐容器的高度，就是從圓錐的角到水面的高度?！驹斀狻?×＝2（cm）7－2＝5（cm）6＋5＝11（cm）從圓錐的角到水面的高度是11cm?！军c(diǎn)睛】根據(jù)等體積等底的圓柱和圓錐高之間的關(guān)系，明白圓錐容器內(nèi)水的高度相當(dāng)于圓柱容器內(nèi)水高度的3倍是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)由圓柱和圓錐組成的容器（如圖），圓柱的高是10cm，圓錐的高是6cm，正放時(shí)，容器里的水深7cm，將這個(gè)容器倒過來放時(shí)，從圓錐的頂端到水面的高是()厘米?！敬鸢浮?1【分析】等底等體積的圓柱和圓錐，圓錐的高是圓柱的3倍，所以圓錐部分能裝的水轉(zhuǎn)換到圓柱中，高度應(yīng)該是圓錐高度的三分之一，所以圓錐部分能容納的水轉(zhuǎn)換到圓柱當(dāng)中＝6÷3＝2cm，所以倒過來，水的高度在圓柱中的高度下降2cm，還剩下7－2＝5cm，加上圓錐的高度就是現(xiàn)在圓錐的頂端到水面的高度?！驹斀狻?－6÷3＋6＝7－2＋6＝11（厘米）【點(diǎn)睛】熟練掌握等底等體積的圓柱與圓錐之間高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)密閉的容器（如下圖）是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組成的，圓柱的高是，圓錐的高是，容器內(nèi)的液面高。當(dāng)將這個(gè)容器倒過來放時(shí)，從圓錐的頂點(diǎn)到液面的高是多少厘米？【答案】11cm【分析】根據(jù)圓柱的體積是與它等底等高的圓錐的體積的3倍可知，裝滿圓錐所需的水，裝在與這個(gè)圓錐等底的圓柱中時(shí)，高度為，所以將題中圓柱內(nèi)高為的水倒入圓錐中，正好把圓錐裝滿，則圓柱內(nèi)剩下的水的高為，由圓錐的高度＋圓柱內(nèi)剩下的水的高度即可得到容器倒放時(shí)，從圓錐的頂點(diǎn)到液面的高。【詳解】；

；；答：從圓錐的頂點(diǎn)到液面的高是?！军c(diǎn)睛】能夠靈活利用圓柱的體積是與它等底等高的圓錐的體積的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，一定要先求出把圓柱內(nèi)高為多少的水倒入圓錐中，再求出圓柱內(nèi)剩下的水的高度，進(jìn)而解答即可。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)裝有水的長(zhǎng)方體容器長(zhǎng)13厘米，寬10厘米，把一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐都放入容器中，水面上升了2厘米。已知圓柱和圓錐等底等高，圓錐完全浸入水中，圓柱有的高露出水面，則圓柱的體積是多少立方厘米？【答案】240立方厘米【分析】水面上升的體積就是圓柱和圓錐浸入水中的體積和，長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)×寬×水面上升的高度＝圓柱和圓錐浸入水中的體積和。等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐體積的3倍，將圓柱體積看作單位“1”，圓錐體積是圓柱體積的，1－露出水面的對(duì)應(yīng)分率＝水中圓柱體積對(duì)應(yīng)分率，水中圓柱體積對(duì)應(yīng)分率＋圓錐體積對(duì)應(yīng)分率＝圓柱和圓錐浸入水中的體積對(duì)應(yīng)分率，圓柱和圓錐浸入水中的體積和÷對(duì)應(yīng)分率＝圓柱體積，據(jù)此列式解答。【詳解】13×10×2＝260（立方厘米）（立方厘米）

答：圓柱的體積是240立方厘米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體、圓柱和圓錐的體積公式，理解分?jǐn)?shù)除法的意義。【考點(diǎn)四】八種問題之比在圓柱與圓錐中的應(yīng)用問題。【方法點(diǎn)撥】比與立體圖形的結(jié)合，在小升初考察中應(yīng)用較多，掌握比的基本性質(zhì)和圓柱圓錐的關(guān)系變化是其關(guān)系。1.圓柱與比。（1）當(dāng)圓柱的底面積相等時(shí)，已知高之比，求體積之比：高之比就是體積之比。（2）當(dāng)圓柱的高相等時(shí)，已知底面積之比，求體積之比：底面積之比就是體積之比。（3）已知底面積之比和高之比，求體積之比：分別用對(duì)應(yīng)的底面積×對(duì)應(yīng)的高求得對(duì)應(yīng)體積，再求體積之比。2.圓錐與比。（1）當(dāng)圓錐的底面積相等時(shí)，高的比就是體積的比。（2）當(dāng)圓錐的高相等時(shí)，底面積的比就是體積的比。（3）當(dāng)圓錐和圓柱如果底面積和高均相等，那么圓錐和圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，它們底面積的比是2∶3，高的比是2∶5，那么它們的體積比是()?！敬鸢浮?∶5【分析】圓柱的體積＝底面積×高，圓錐體積＝底面積×高÷3，將底面積的比和高的比當(dāng)成圓柱和圓錐的底面積和高，計(jì)算出它們的體積，寫出比即可。【詳解】2×2＝43×5÷3＝5所以他們的體積比是4∶5?！军c(diǎn)睛】本題考查了比的意義、圓柱和圓錐的體積，等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐的3倍。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】圓錐的高是圓柱的，圓錐的底面直徑是圓柱的2倍，這個(gè)圓錐與圓柱的體積比是()。【答案】16︰15【詳解】略【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，底面周長(zhǎng)的比是2∶3，它們的體積比是5∶6，圓柱和圓錐的高的最簡(jiǎn)單整數(shù)比是()?！敬鸢浮?∶8【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式知道底面周長(zhǎng)的比就是半徑的比，設(shè)圓柱的底面半徑是2，則圓錐的底面半徑是3，設(shè)圓柱的體積是5，則圓錐的體積是6，再根據(jù)圓柱的體積公式V＝sh＝πr2h與圓錐的體積公式V＝sh＝πr2h，得出圓柱的高與圓錐的高，進(jìn)而根據(jù)題意，進(jìn)行比即可?！驹斀狻吭O(shè)圓柱的底面半徑是2，則圓錐的底面半徑是3，設(shè)圓柱的體積是5，則圓錐的體積是6。則：[5÷（π×22）]∶[6÷÷（π×32）]＝∶＝5∶8【點(diǎn)睛】此題主要是根據(jù)圓柱的體積公式與圓錐的體積公式來推導(dǎo)出圓柱與圓錐高的關(guān)系。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體的底面積相等，它們的高的比是5∶6，它們體積比是多少？【答案】5∶2【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：V=sh，圓錐的體積公式：V=sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)圓柱的體積是：V1=s1h1，圓錐的體積是：V2=s2h2，因?yàn)椋瑂1=s2，h1∶h2=5∶6所以，圓柱與圓錐的體積比是：=5∶2答：它們體積比是5∶2。【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓柱和圓錐的體積公式的靈活應(yīng)用。【考點(diǎn)五】八種問題之圓柱與圓錐的等積變形問題。【方法點(diǎn)撥】圓柱、圓錐與長(zhǎng)方體、正方體的等積變形問題是較?？疾斓念}型之一，總體來說，難度不大，關(guān)鍵是掌握體積不變這一思路，再根據(jù)體積不變?nèi)ソ鉀Q問題?！镜湫屠}1】其一。一瓶果汁，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶子的容積為32立方厘米，當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)果汁液面高度為8厘米，當(dāng)瓶子倒放時(shí)，空余部分為2厘米，請(qǐng)你算一算，瓶?jī)?nèi)果汁的體積是多少立方厘米？【答案】25.6立方厘米【分析】分析題意，可知果汁的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，假設(shè)瓶身全部呈圓柱形，圓柱的高為（8＋2）厘米，進(jìn)而根據(jù)瓶子的容積，求得瓶子的底面積；接下來用底面積乘瓶?jī)?nèi)的果汁的高度即可得果汁的體積?！驹斀狻?2÷（8＋2）＝32÷10＝3.2（平方厘米）3.2×8＝25.6（立方厘米）答：瓶?jī)?nèi)果汁的體積是25.6立方厘米?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)瓶子的容積和高度求出瓶子的底面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)裝滿水的礦泉水瓶，壯壯喝了一些水后，水的高度還有6cm，把瓶蓋擰緊后倒置放平，無水部分高度是10cm。已知這個(gè)礦泉水瓶的容積是624mL，壯壯喝了多少水？【答案】390毫升【分析】礦泉水瓶上方是不規(guī)則的，將瓶子一正一反放置，可知剩余的水是高6厘米的圓柱，喝掉的水（空著的部分）是高10厘米的圓柱，則滿瓶時(shí)水的總高度是16厘米，根據(jù)圓柱的體積÷高＝底面積，求出底面積，再乘10即可。【詳解】624÷（6＋10）×10＝624÷16×10＝390（立方厘米）＝390（毫升）答：壯壯喝了390毫升的水?！军c(diǎn)睛】根據(jù)瓶子內(nèi)水的體積和空氣的體積不變，將不規(guī)則的瓶子轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圓柱解題是此題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】甲流是甲型流行性感冒的簡(jiǎn)稱，是由甲型流感病毒感染人體所導(dǎo)致的急性呼吸道疾病。李華感染了甲流，需要輸液。如圖①所示，輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升。護(hù)士阿姨給李華設(shè)置了平均每分鐘5毫升的輸液速度，10分鐘后，空的部分高度是6厘米，如圖②所示。（1）這個(gè)輸液瓶的底面積是多少平方厘米？（2）這個(gè)輸液瓶的容積是多少毫升？【答案】（1）25平方厘米（2）350毫升【分析】（1）已知圖①的輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升；先根據(jù)進(jìn)率：1毫升＝1立方厘米，將250毫升換算成250立方厘米；然后根據(jù)圓柱的底面積S＝V÷h，求出這個(gè)輸液瓶的底面積。（2）已知輸液速度為平均每分鐘5毫升，即每分鐘5立方厘米，那么10分鐘一共輸液5×10＝50立方厘米；由上一題可知這個(gè)輸液瓶的底面積是25平方厘米，根據(jù)圓柱的體積V＝Sh可知，圖②空的部分的體積是（25×6）立方厘米；用原來液體的體積加上圖②空的部分的體積，再減去10分鐘輸液的體積，即是這個(gè)輸液瓶的容積?！驹斀狻浚?）250毫升＝250立方厘米250÷10＝25（平方厘米）答：這個(gè)輸液瓶的底面積是25平方厘米。（2）5毫升＝5立方厘米250＋25×6－5×10＝250＋150－50＝350（立方厘米）350立方厘米＝350毫升答：這個(gè)輸液瓶的容積是350毫升?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明白圖②空的部分的體積包含原來空的部分體積和10分鐘輸液的體積?！镜湫屠}2】其二。如圖，一個(gè)圓錐形容器里面裝滿水，若把這些水全部倒入長(zhǎng)方體容器內(nèi)，水面高3cm，求圓錐形容器的底面積?！敬鸢浮?2.5cm2【分析】題目給了一個(gè)圓錐形，一個(gè)長(zhǎng)方體。把圓錐形容器裝滿的水到入長(zhǎng)方體，再求圓錐形的底面積。那就得用倒推法：先求到入長(zhǎng)方體內(nèi)的水的體積，再除以，轉(zhuǎn)化成和圓錐體同底等高的圓柱體，最后求底面積?！驹斀狻?×5×3÷÷10＝75÷÷10＝225÷10＝22.5（cm2）答：圓錐形容器的底面積為22.5平方厘米?！军c(diǎn)睛】要解答此題，思考這樣幾個(gè)問題①題中給的水面高3cm與水的體積有什么關(guān)系？②長(zhǎng)方體內(nèi)水的體積怎樣轉(zhuǎn)化成和圓錐體同底等高的圓柱的體積？思考后心里就有了初步的打算，即先求出水的體積，再除以（或乘3），最后除以圓錐體的高，就得出了圓錐體的底面積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱形儲(chǔ)水桶，底面周長(zhǎng)12.56分米，高3分米，盛滿一桶水，把它倒入另一長(zhǎng)方體水池后，長(zhǎng)方體水池里還空著21.5%。已知長(zhǎng)方體水池長(zhǎng)6分米，長(zhǎng)是寬的倍，求水池的高是多少分米？【答案】2分米【分析】根據(jù)圓柱形儲(chǔ)水桶的底面周長(zhǎng)和高求出盛滿一桶水的體積，把水倒入長(zhǎng)方體水池后水的體積不變，根據(jù)水的體積求出長(zhǎng)方體水池中水的高度，水的高度占長(zhǎng)方體水池總高度的（1－21.5%），根據(jù)“量÷對(duì)應(yīng)的百分率”求出水池的總高度，據(jù)此解答?！驹斀狻繄A柱形儲(chǔ)水桶底面半徑：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（分米）水的體積：3.14×22×3＝12.56×3＝37.68（立方分米）長(zhǎng)方體水池的寬：6÷＝4（分米）長(zhǎng)方體水池內(nèi)水的高度：37.68÷6÷4＝6.28÷4＝1.57（分米）長(zhǎng)方體水池的高度：1.57÷（1－21.5%）＝1.57÷0.785＝2（分米）答：水池的高是2分米?！军c(diǎn)睛】利用圓柱的體積計(jì)算公式求出水的體積，并根據(jù)水的體積求出長(zhǎng)方體容器內(nèi)水的高度是解答題目的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，有兩個(gè)邊長(zhǎng)為8厘米的正方體盒子，A盒中放入直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個(gè)，B盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊四個(gè)。先往A盒中注滿水，再把A盒的水倒入B盒里，使B盒也注滿水，問現(xiàn)在A盒中余下的水是多少?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)正方體的體積公式：v＝a3，圓柱的體積公式：v＝sh，用正方體的體積減去圓柱的體積求出A盒中剩余的空間（即水的體積），再用正方體的體積減去4個(gè)小圓柱的體積和求出B盒中剩余的空間（即水的體積），然后用A盒中水的體積減去B盒中剩余空間即可，由此解答?！驹斀狻緼盒中水的體積：8×8×8﹣3.14×（）2×8＝512×3.14×16×8＝512﹣401.92＝110.08（立方厘米）；B盒中剩余空間：8×8×8﹣3.14×（）2×8×4＝512﹣3.14×4×8×4＝512﹣100.48×4＝512﹣401.92＝110.08（立方厘米）110.08﹣110.08＝0（立方厘米）答：A盒中的水倒入B盒正好注滿，所以A盒中沒有余下水?！军c(diǎn)睛】此題主要根據(jù)正方體、圓柱的體積計(jì)算方法解決問題，把數(shù)據(jù)代入正方體和圓柱的體積公式，分別求此A、B兩盒中的剩余空間，然后進(jìn)行比較?！究键c(diǎn)六】八種問題之圓柱與圓錐中不規(guī)則物體的體積問題。【方法點(diǎn)撥】排水法求形狀不規(guī)則物體的體積是立體圖形中的必考題型之一，具有一定的抽象性，注意熟練掌握排水法的計(jì)算方法：①V物體=V現(xiàn)在－V原來；②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)；③V物體=S×h升高?！镜湫屠}1】其一。如圖所示，一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一些水的圓柱的玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6厘米、高20厘米的圓錐形狀的鉛錘，當(dāng)取出鉛錘后，杯里的水下降幾厘米？【答案】0.6厘米【分析】依題意，下降部分的水的體積等于圓錐的體積，先依據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式V＝Sh，求出圓錐形狀的鉛錘的體積，即求出了下降部分的水的體積，再求出圓柱形玻璃杯的底面積即下降部分水的底面積，最后用下降部分水的體積除以底面積求出杯里的水下降了多少厘米。【詳解】3.14×（6÷2）2×20×＝3.14×9×20×＝28.26×20×＝188.4（平方厘米）3.14×（20÷2）2＝3.14×100＝314（平方厘米）188.4÷314＝0.6（厘米）答：杯中的水下降0.6厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米。今將一個(gè)底面半徑為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中。求這時(shí)容器的水深是多少厘米？【答案】17.72厘米【分析】若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和。根據(jù)圓柱底面積公式：S＝πr2即可解答?！驹斀狻喀小?2×15＋π×22×17＝375π＋68π＝443π443π÷（52×π）＝443π÷25π＝17.72（厘米）它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中。答：這時(shí)容器的水深是17.72厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)浸入物體體積加原有水的體積等于容器底面積乘水深的理解與應(yīng)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】有一個(gè)倒圓錐形的容器，它的底面半徑是5厘米，高是10厘米，容器內(nèi)放著一些石子，石子的體積為π立方厘米，在容器內(nèi)到滿水后，再把石子全部拿出來，求此時(shí)容器內(nèi)水面的高度．【答案】6厘米【分析】先計(jì)算出圓錐容器的容積，又因水的體積等于圓錐的容積減去石子的體積，假設(shè)取出石子后，水面的高度為x厘米，則水面的底面半徑為x＝，所以水的體積等于×3.14×x×（）2＝水的體積等于圓錐的容積減去石子的體積，解方程得x＝6，所以此時(shí)容器內(nèi)水面高度為4.76厘米．【詳解】解：圓錐容器的容積為×3.14×52×10＝×3.14×25×10水的體積等于圓錐的容積減去石子的體積：×3.14×25×10－×3.14＝×3.14＝18×3.14假設(shè)取出石子后，水面的高度為x厘米，則水面的底面半徑為x＝×3.14×x×（）2＝18×3.14x3＝108x＝6答：此時(shí)容器內(nèi)水面高度為6厘米．【點(diǎn)睛】深刻理解題意，水的體積等于圓錐的容積減去石子的體積．【典型例題2】其二。在一個(gè)裝了水的圓柱形容器中（如下圖），放入一個(gè)體積為580cm3的圓錐形鐵塊，將會(huì)溢出多少毫升水？

【答案】14.8毫升【分析】根據(jù)題意可知，用這個(gè)圓錐形鐵塊的體積－圓柱形容器上面空白部分的體積＝溢出的水的體積，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?80－3.14×6×（20－15）

＝580－565.2＝14.8（毫升）答：將會(huì)溢出14.8毫升的水?！军c(diǎn)睛】本題考查了體積的等積變形，要理解圓錐形鐵塊放入容器體積會(huì)分成那兩部分?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】有一個(gè)底面半徑為8cm的圓柱形玻璃容器，水深6cm。把一塊底面半徑是6cm、高是10cm的圓錐形鐵塊放入水中，水會(huì)溢出45mL，那么這個(gè)玻璃容器有多高？（得數(shù)保留整數(shù)）【答案】8cm【詳解】圓錐形鐵塊的體積：×3.14×62×10＝376.8（cm3）水的體積：3.14×82×6＝1205.76（cm3）45mL＝45cm376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm3）玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×82）≈8（cm）答：這個(gè)玻璃容器的高約8cm?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】有一個(gè)高8厘米，容積50毫升的圓柱形容器，裝滿水，將一只長(zhǎng)16厘米圓柱形棒垂直插至杯底，有水溢出。把棒從水中抽出后，水的高度只有6厘米，求棒的體積?！敬鸢浮?5立方厘米【分析】根據(jù)求不規(guī)則物體體積的方法，利用排水法，只要求出容器的底面積和把棒從水中抽出后，水面下降的高，用容器的底面積×水面下降的高＝棒的體積的一半；這樣問題就得到解決，由此列式解答?！驹斀狻?0毫升＝50立方厘米8厘米長(zhǎng)的圓柱形棒的體積：50÷8×（8－6）＝6.25×2＝12.5（立方厘米）棒的體積：12.5×2＝25（立方厘米）答：棒的體積是25立方厘米。【點(diǎn)睛】此題的解答根據(jù)求不規(guī)則物體的體積計(jì)算方法，通常利用排水法來解決，由于棒沒有全部插入水中，排出水的體積即是棒的體積的一半，據(jù)此解答即可?！究键c(diǎn)七】八種問題之含圓柱圓錐的不規(guī)則或組合立體圖形的體積問題?！痉椒c(diǎn)撥】不規(guī)則或組合立體圖形的體積是圖形計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用中的?？碱}型，其中組合立體圖形的體積等于各部分規(guī)則立體圖形的體積之和?！镜湫屠}】圖形計(jì)算。（1）計(jì)算下面圖形的表面積和體積。（2）計(jì)算下面圖形的體積。【答案】（1）表面積：533.8cm2體積：665.68cm3（2）169.56dm3【詳解】（1）表面積:3.14×14×4+3.14×4×4+2×3.14×(14÷2)2=175.84+50.24+307.72=533.8(cm2)體積:3.14×(14÷2)2×4+3.14×(4÷2)2×4=615.44+50.24=665.68(cm3)（2）3.14×(6÷2)2×4+×3.14×(6÷2)2×6=113.04+56.52=169.56(dm3)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算下面圖形的表面積和體積。半圓柱的底面直徑是10cm【答案】體積：7822.5表面積：2792.5【分析】體積等于長(zhǎng)方體的體積-圓柱體積的一半，代入數(shù)據(jù)即可；表面積的體積等于長(zhǎng)方體的表面積-兩個(gè)半圓的面積+圓柱側(cè)面積的一半-圓柱的橫截面，代入數(shù)據(jù)即可?！驹斀狻縑＝15×20×30－×3.14××30＝9000-1177.5＝7822.5()S＝(20×15＋20×30＋15×30)×2－＋×3.14×10×30－10×30＝2700-78.5+471-300＝2792.5()【點(diǎn)睛】此題考查組合體的體積和表面積，認(rèn)真觀察圖片，分析圖形的組成，特別是算表面積時(shí)看準(zhǔn)表面都有哪些面組成?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】求下圖的表面積和體積?！敬鸢浮?45.4dm2，157dm3【詳解】表面積：3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]＝15.7（dm2）3.14×6×10＝188.4（dm2）3.14×4×10＝125.6（dm2）15.7×2＋188.4＋125.6＝345.4（dm2）體積：15.7×10＝157（dm3）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算下圖（按45°斜切）的體積（單位：厘米）?！敬鸢浮?5.7立方厘米【分析】?jī)蓚€(gè)這樣的立體圖形正好拼接成一個(gè)圓柱體，圓柱體的高是（6＋4）厘米，根據(jù)公式V柱＝πr2h求出圓柱的體積，再除以2即可?！驹斀狻?.14×（）2×（6＋4）÷2＝3.14×1×10÷2＝15.7（立方厘米）【考點(diǎn)八】八種問題之圓柱圓錐中的注水運(yùn)動(dòng)問題?！痉椒c(diǎn)撥】注水運(yùn)動(dòng)問題常使用實(shí)驗(yàn)的方式考察圓柱體積在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用，審題過程中，關(guān)鍵在于讀懂圖形給到的信息，需要很巧妙地把給到的注水“實(shí)驗(yàn)”過程圖形（高度與時(shí)間的關(guān)系）與實(shí)際注水過程節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來，比較考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”邏輯思考能力，其在獨(dú)立招生考試或是在小升初入學(xué)分層考試中較為常見?！镜湫屠}】下圖是一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐合在一起做成的水箱，開始時(shí)是空的。然后往里以180升/時(shí)的速度注水。（取3）（1）如果水箱的厚度忽略不計(jì)，這個(gè)水箱的容積是多少？（2）多長(zhǎng)時(shí)間可以把水箱注滿？（3）下面哪幅圖能表示隨著時(shí)間變化，水面高度的變化過程？【答案】（1）1立方米（2）小時(shí)（3）第二幅圖【分析】（1）由于水箱是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成，根據(jù)圓錐的體積公式：底面積×高÷3，圓柱的體積公式：底面積×高，把數(shù)代入即可求解。（2）用水箱的容積除以每小時(shí)的注水速度即可求解。（3）由于注水的時(shí)候先注滿下面的圓錐，再注滿上面的圓柱，所以水面的高度會(huì)先上升的快，再上升的慢，由此即可選擇?！驹斀狻浚?）3×（1÷2）2×1＋3×（1÷2）2×1×＝3×0.25×1＋3×0.25×＝0.75＋0.25＝1（立方米）答：這個(gè)水箱的容積是1立方米。（2）1立方米＝＝1000立方分米＝1000升1000÷180＝（時(shí)）答：小時(shí)可以把水箱注滿。（3）由分析可知，水面先快速上升，再緩慢上升；故選第二幅圖?！军c(diǎn)睛】本題主要考查圓柱和圓錐的體積公式，熟練掌握它們的體積公式并靈活運(yùn)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱體的容器內(nèi)放有一個(gè)圓錐形鐵塊?，F(xiàn)打開水龍頭向容器內(nèi)注水。2分鐘時(shí)，水恰好沒過鐵塊的頂點(diǎn)；再過了3分鐘，水恰好注滿容器。已知圓柱形容器的底面積為72平方厘米，它的高是21厘米；圓錐形鐵塊的高為9厘米，則鐵塊的底面積是多少？【答案】24平方厘米【分析】由題意得：圓柱體容器的容積＝2分鐘注入水的體積＋3分鐘注入水的體積＋圓錐體鐵塊的體積，根據(jù)“2分鐘時(shí)，水恰好沒過鐵塊的頂點(diǎn)，再過了3分鐘，水恰好注滿容器”可知：后3分鐘注入的水的體積是底面積72平方厘米，高為：21－9＝12厘米的圓柱體的體積，所以可以求出一分鐘注入的水的體積，再進(jìn)一步求出一共注入的水的體積，用圓柱的體積－一共注入的水的體積＝圓錐鐵塊的體積，所以再根據(jù)圓錐的底面積＝圓錐體積×3÷圓錐的高，即可求出圓錐鐵塊的底面積?！驹斀狻恳环昼娮⑷氲乃捏w積為：72×（21－9）÷3＝72×12÷3＝864÷3＝288（立方厘米）5分鐘注入水的體積是：288×5＝1440（立方厘米）圓錐體積：72×21－1440＝1512－1440＝72（立方厘米）所以圓錐的底面積為：72×3÷9＝24（平方厘米）答：圓錐鐵塊的底面積是24平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓柱的容積＝2分鐘注入水的體積＋3分鐘注入水的體積＋圓錐體鐵塊的體積，這樣就化難為簡(jiǎn)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】A和B都是高度為12厘米的圓柱形容器，底面半徑分別是1厘米和2厘米，一個(gè)水龍頭單獨(dú)向A注水，一分鐘可注滿。現(xiàn)將兩容器在它們的高度的一半出用一根細(xì)管連通（連通管的容積忽略不計(jì)），仍用該水龍頭向A注水，求（1）2分鐘容器A中的水有多高？（2）3分鐘時(shí)容器A中的水有多高？【答案】（1）6厘米（2）7.2厘米【分析】已知B容器的底面半徑是A容器的2倍，高相等，B容器的容積就