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文檔簡介
山東省棗莊第八中學2025屆高三下學期第五次模擬數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.3.已知雙曲線的右焦點為F,過右頂點A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點,MF的中點恰好在雙曲線C上,則C的離心率為()A. B. C. D.4.已知雙曲線(,),以點()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點,若,則的離心率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,若,對任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個使,則的最大值為()A. B. C. D.6.已知六棱錐各頂點都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.7.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達,則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.8.已知為虛數(shù)單位,實數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.9.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則的一個充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且10.某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關(guān)”B.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“學生性別與中學生追星無關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“學生性別與中學生追星有關(guān)”11.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.312.中心在原點,對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切,則雙曲線的離心率是()A.2或 B.2或 C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),且,,使得,則實數(shù)m的取值范圍是______.14.在數(shù)列中,已知,則數(shù)列的的前項和為__________.15.設(shè),分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則_________16.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對角線折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.18.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,二面角為,求異面直線與所成角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐標系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設(shè)直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點,.(1)若,求線段的中點的坐標;(2)設(shè)點,若,求直線的斜率.20.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.21.(12分)已知在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,,且.(1)求的值;(2)求的面積.22.(10分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.2.D【解析】
用誘導公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.3.A【解析】
設(shè),則MF的中點坐標為,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點為,右焦點為,M所在直線為,不妨設(shè),∴MF的中點坐標為.代入方程可得,∴,∴,∴(負值舍去).故選:A.本題考查雙曲線的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意構(gòu)造的齊次方程.4.A【解析】
求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點,且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因為,所以圓心到的距離為:,即,因為,所以解得.故選A.本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于中檔題.對于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.5.C【解析】
根據(jù)的零點和最值點列方程組,求得的表達式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個最大值,求得的取值范圍,求得對應的取值范圍,由為整數(shù)對的取值進行驗證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當時,,此時取可使成立,當時,,所以當或時,都成立,舍去;②當時,,此時取可使成立,當時,,所以當或時,都成立,舍去;③當時,,此時取可使成立,當時,,所以當時,成立;綜上所得的最大值為.故選:C本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.6.D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因為,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.7.D【解析】
先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù),再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】,則故選D.9.B【解析】由且可得,故選B.10.B【解析】
通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項.【詳解】解:,可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關(guān)”,故選B.本題考查了獨立性檢驗的應用問題,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
根據(jù)復數(shù)除法運算化簡,結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復數(shù)的除法運算化簡可得,因為是純虛數(shù),所以,∴,故選:A.本題考查了復數(shù)的概念和除法運算,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
根據(jù)題意,由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程,再分焦點在x、y軸上兩種情況討論,進而求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,是圓的切線得:,得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論:
①當焦點在x軸上時有:②當焦點在y軸上時有:∴求得雙曲線的離心率2或.
故選:A.本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.解題的關(guān)鍵是:由圓的切線求得直線的方程,再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式,從而解出雙曲線的離心率的值.此題易忽視兩解得出錯誤答案.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集;分別求值域即可得到結(jié)論.【詳解】解:依題意,,即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因為在上的值域為()或(),在上的值域為,故或,解得故答案為:.本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.14.【解析】
由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,求其通項公式,得到,再由求解.【詳解】解:由,得,,則數(shù)列的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.,..故答案為:.本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式,訓練了數(shù)列的分組求和,屬于中檔題.15.1【解析】
令,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,令,可得,所以.故答案為:1.本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用,其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性,合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,得到直線與的交點為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,則由球的性質(zhì)可知,直線與的交點為幾何體外接球的球心,取的中點,連接,,由條件得,,連接,因為,從而,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點,連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關(guān)系得出,利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出,結(jié)合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點,連接,則平面平面,平面,,為的中點,為的中點,平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè)則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取得,設(shè)直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為.本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值,考查空間想象能力和推理能力.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點連接,得,可得,可證,可得,進而平面,即可證明結(jié)論;(2)設(shè)分別為邊的中點,連,可得,,可得(或補角)是異面直線與所成的角,,可得,為二面角的平面角,即,設(shè),求解,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明:取中點連接,由則,則,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:設(shè)分別為邊的中點,則,(或補角)是異面直線與所成的角.設(shè)為邊的中點,則,由知.又由(1)有平面,平面,所以為二面角的平面角,,設(shè)則在中,從而在中,,又,從而在中,因,,因此,異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點作交于點由(1)易知兩兩垂直,以為原點,射線分別為軸,軸,軸的正半軸,建立空間直角坐標系.不妨設(shè),由,易知點的坐標分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為,設(shè),則設(shè)平面的法向量為,則令,則由由上式整理得,解之得(舍)或,因此,異面直線與所成角的余弦值為.本題考查空間點、線、面位置關(guān)系,證明平面與平面垂直,考查空間角,涉及到二面角、異面直線所成的角,做出空間角對應的平面角是解題的關(guān)鍵,或用空間向量法求角,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數(shù)和,再利用M點的參數(shù)為A、B兩點參數(shù)和的一半即可求M的坐標;(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到,再利用計算即可,但要注意判別式還要大于0.【詳解】(1)由已知,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為,當時,將(為參數(shù))代入得,設(shè)直線l上A、B兩點所對應的參數(shù)為,中點M所對應的參數(shù)為,則,所以的坐標為;(2)將代入得,則,因為即,所以,故,由得,所以.本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識,考查學生的計算能力,是一道中檔題.20.(1);(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進而分類討
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