重慶市萬(wàn)州區(qū)2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試題含答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：設(shè)直線的傾斜角為，由兩點(diǎn)斜率公式的直線的斜率所以，故選A．考點(diǎn)：1、直線的斜率公式；2、直線的傾斜角．2.等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)為（）A.24 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】與的等比中項(xiàng)為，，則．故選：C．3.關(guān)于橢圓與雙曲線的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）A.焦點(diǎn)相同 B.頂點(diǎn)相同 C.焦距相等 D.離心率相等【答案】C【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別考慮其性質(zhì)即可得解.【詳解】對(duì)于橢圓，顯然恒成立，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，所以，則，則，所以橢圓的焦點(diǎn)為，焦距為，頂點(diǎn)和離心率是變化的；對(duì)于雙曲線，顯然其焦點(diǎn)在軸上，只需考慮焦距即可，不妨設(shè)其焦距為，則，故，所以雙曲線的焦距為；所以橢圓與雙曲線的焦距相等，故C正確，其余選項(xiàng)都不正確.故選：C.4.已知是空間的一個(gè)基底，則可以和構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基底的概念及空間向量的共面定理一一分析即可.【詳解】易知：，則與共面，同理，，即、均與共面，所以A、B、D三項(xiàng)均不能和構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故A、B、D錯(cuò)誤；設(shè)，顯然無(wú)法成立，即與不共面，故C正確.故選：C5.在中國(guó)古代，人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣，一年之中日影最長(zhǎng)的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A【解析】【分析】由題意可知，十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，即可求出，從而得到答案．【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長(zhǎng)為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A．6.若直線與圓相離，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0或1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線與圓相離得，則點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，由此即可得解.【詳解】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：D.7.在空間中，“經(jīng)過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由定義得出兩直線的法向量，數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦值.【詳解】由題意，平面和平面的法向量分別是，，設(shè)平面和平面的夾角為，故選：B.8.若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，設(shè)四邊形的面積為，四邊形的外接圓的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出，再求出作答.【詳解】依題意，點(diǎn)與，與都關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且，因此四邊形是矩形，如圖，由雙曲線：得：，，于是，顯然四邊形的外接圓半徑為，因此，所以.故答案為：二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)在圓M內(nèi) B.圓M關(guān)于對(duì)稱C.半徑為1 D.直線與圓M相切【答案】CD【解析】【分析】化出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，再逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為1，A.因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓M外，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，即圓心不在直線上，故錯(cuò)誤；C.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，半徑為1，故正確；D.因?yàn)閳A心為到直線的距離為，與圓M的半徑相等，故直線與圓M相切，故正確；故選：CD10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由、知、，即可判斷AB；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷CD.【詳解】由，得，即，由，得，即，所以.A：由，可知，故A正確；B：由，可知數(shù)列的公差，故B錯(cuò)誤；C：，由知隨的增大而增大，則，所以的最小值為，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，，所以，，所以，即，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD11.已知拋物線，焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.直線的方程為D.面積的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)、，推導(dǎo)出拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可得出拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩切線的方程，可推導(dǎo)出直線的方程，然后將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)、，先證明出拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，即，可得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩切線方程可得，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)均滿足方程，又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，故直線的方程為，C對(duì)；聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可知，，，故直線、的斜率之積為，故，A對(duì)；因，則，可得，所以，，易知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，，所以，，則，B對(duì)；，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最小值為，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在其上一點(diǎn)處切線方程為；拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線與直線具有相同的法向量，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的一般式方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】分析可知，直線與直線平行，可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的一般方程.【詳解】因?yàn)椋?，點(diǎn)不在直線上，又因?yàn)橹本€與直線具有相同的法向量，且直線過(guò)點(diǎn)，則直線與直線平行，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以，直線的一般方程為.故答案：.13.已知數(shù)列滿足：，，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意是遞增數(shù)列可知，進(jìn)而可得不等式恒成立，即得.【詳解】是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的，都有成立對(duì)于任意，，，化為：恒成立，又單調(diào)遞減，所以．故答案為：.14.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見(jiàn).某學(xué)習(xí)小組通過(guò)單光源實(shí)驗(yàn)來(lái)演示月球背面.由光源點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)、，稱兩射線、上切點(diǎn)上方部分的射線與優(yōu)弧上方所夾的平面區(qū)域(含邊界)為圓的“背面”.若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出，即可得到直線、的方程，從而求出的取值范圍，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時(shí)，取最大值，從而求出的最大值，即可得解.【詳解】如圖設(shè)過(guò)點(diǎn)切線方程為，所以，解得，所以直線的方程為，即，令，解得，直線的方程為，即，令，解得，因?yàn)閳A處于圓的“背面”，所以，當(dāng)圓與圓外切且圓與（或）相切時(shí)，取最大值，由圓與圓外切得，圓與相切時(shí)，又，所以，所以，即，解得或，結(jié)合，所以，所以的最大值為，同理圓與相切時(shí)的最大值為，綜上可得的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（6，0）的距離等于M到點(diǎn)的距離的3倍，（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）若直線與軌跡C沒(méi)有交點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）聯(lián)立直線與軌跡的方程，結(jié)合判別式列不等式來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），由題意得：|MA|=3|MB|，即：,整理得：,故軌跡C是以（0，0）點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其方程為：.【小問(wèn)2詳解】由題意可聯(lián)立方程組，消去y，得方程：，因?yàn)橹本€與圓C沒(méi)有交點(diǎn)，所以，即：，解得：.16.如圖，平行六面體的底面是正方形，，，若，，．（1）用，，表示；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得；（2）空間向量數(shù)量積公式結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋拘?wèn)2詳解】，因?yàn)椋?，，所以，，，所以，所以異面直線與夾角的余弦值為．17.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，…，，，，…，，若記的面積為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程求出首項(xiàng)和，的值即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論計(jì)算，，計(jì)算的通項(xiàng)，利用乘公比錯(cuò)位相減即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則.因?yàn)?，，所以，得，又因?yàn)?，所以，可得，所以；設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以解得，所以；?）由（1）得，，故，則，，①，②由①－②得，，，所以.18.在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，在梯形中，，，，平面平面.（1）證明：；（2）若直線與平面所成的角為，為棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），試探究上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，1【解析】【分析】（1）由平面平面推出，再由推出平面，進(jìn)而推出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法表示出平面與平面夾角的余弦值即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，平面平面，所以平面，又平面，故，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；【小?wèn)2詳解】設(shè)，由（1）可知，平面，故直線與平面所成的角為，所以，則與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，以為原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由平面，可得平面的法向量為，而，，，設(shè)（），則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，故，所以平面與平面夾角的余弦值為，解得或0（舍去），所以存在一點(diǎn)使得平面與平面夾角的余弦值為，此時(shí)的長(zhǎng)為1..19.閱讀材料并解決如下問(wèn)題：Bézier曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線之一.法國(guó)數(shù)學(xué)家DeCasteljau對(duì)Bézier曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的一定比例，使用遞推畫(huà)法，可以畫(huà)出拋物線.反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)邊成比例的結(jié)論.已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為.（1）求的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）如圖，是上的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出，即可得的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，拋物線上過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)求出，進(jìn)而可求得拋物線上過(guò)點(diǎn)的切線方程，同理可求得拋物線上過(guò)點(diǎn)的切線方程，兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再分別求出，再根據(jù)即可得