重慶市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期2月階段測試試題含答案

2023-2024學(xué)年高一（下）2月階段測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定集合，再求交集.【詳解】由已知集合，所以.故選：B2.定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.6 B.10 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函數(shù)可得即可求解【詳解】定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則故選：D．3.是第一象限角或第二象限角，則是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題可得時(shí)的范圍，再根據(jù)充分必要條件的概念即得．【詳解】由，可得是第一象限角或第二象限角或終邊在軸非負(fù)半軸，所以由推不出，而由是第一象限角或第二象限角，可得，所以由可推出，所以是的必要不充分條件．故選：B．4.下列說法正確的是（）A.若，，則B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C.兩個(gè)單位向量的長度相等D.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等【答案】C【解析】【分析】A.由判斷；B.由平面向量的定義判斷；C.由單位向量的定義判斷；D.由共線向量判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，滿足，，而不一定平行，故錯(cuò)誤；B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，方向不一定相同，所以它們的終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤；C.由單位向量的定義知，兩個(gè)單位向量的長度相等，故正確；D.若兩個(gè)單位向量平行，則方向相同或相反，但大小不一定相同，則這兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；故選：C5.設(shè)是第二象限角，P（－4，y）為其終邊上的一點(diǎn)，且，則等于（）A.－ B.－ C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕獾?，又是第二象限角，所以，所以．故選：A．6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的正負(fù)，從而排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樗缘?，所以為奇函?shù)，排除C；在，設(shè)，，單調(diào)遞增，因此，故在上恒成立，排除A、D，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【詳解】令，由題意知在上為減函數(shù)，又為上的偶函數(shù)，所以為上的奇函數(shù)，又在上為減函數(shù)，，所以在上為減函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，解得；②當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，解得.所以或.故選：D.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的簡圖，由圖象分析得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.以此類推，當(dāng)時(shí)，都有.函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖可知，，解得，即對任意，都有，即的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵對的理解，并結(jié)合圖象，非常直觀的得出滿足條件的m的取值范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分．9.噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（）．A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD10.設(shè)函數(shù)（），已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.在上存在，，滿足B.在有且僅有1個(gè)最小值點(diǎn)C.在單調(diào)遞增D.的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】由題意根據(jù)在區(qū)間，有3個(gè)零點(diǎn)畫出大致圖象，可得區(qū)間長度介于周期，，再用表示周期，得的范圍．【詳解】畫出函數(shù)大致圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)；又，所以時(shí)在軸右側(cè)第一個(gè)最大值區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在，僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則的位置在之間（包括，不包括，令，則得，，軸右側(cè)第一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，周期，所以，即，解得，所以錯(cuò)誤；在區(qū)間，上，函數(shù)達(dá)到最大值和最小值，所以存在，，滿足，所以正確；由大致圖象得，在內(nèi)有且只有1個(gè)最小值，正確；因?yàn)樽钚≈禐?，所以時(shí)，，，所以時(shí)，函數(shù)不單調(diào)遞增，所以錯(cuò)誤．故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象及周期的計(jì)算問題，由題意求出的范圍，再判斷命題的真假性，是解題的關(guān)鍵．11.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且，則（）A.B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減D.任意，存在，使得【答案】ACD【解析】【分析】運(yùn)用賦值法，結(jié)合函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對A：令，，則有，又，故，即，故A正確；對B：由，則有，即，即有，又定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；對C：令，則有，，，由當(dāng)時(shí)，，故，，則，即時(shí)，有，故在上單調(diào)遞減，即C正確；對D：等價(jià)于，由為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則對任意，都有，故函數(shù)為奇函數(shù)，故對任意，存在，使，即任意，存在，使得，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于運(yùn)用賦值法，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)的定義解決函數(shù)的性質(zhì)問題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置．12.如圖，在正六邊形ABCDEF中，______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)與平面向量運(yùn)算即可得答案.【詳解】由題意，根據(jù)正六邊形的性質(zhì).故答案為：13.已知且為第四象限角，若，則值是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，且為第四象限角，所以，.，，，所以.故答案為：14.函數(shù)滿足，且均大于，且，則的最小值為____________【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的解析式，利用給定等式，結(jié)合基本不等式求解即得.【詳解】由，得，由，得，由均大于，知，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以故答案為：四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）求；（2）記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】由解得，所以.由得或，解得或，所以，，所以.【小問2詳解】由，解得，所以，要使，則需或，解得或.16.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，依次求得的值，從而求得的解析式.（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，根據(jù)在區(qū)間上的值域求得正確答案.【小問1詳解】由圖可知，，，，由于，所以，所以.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移，得到，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，由得，此時(shí)，所以要使函數(shù)在有零點(diǎn)，則.17.已知函數(shù)，．（1）解不等式；（2）方程在上有解，求a取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法可得，即可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，令（），，得（舍）或，故，所以解集為；【小問2詳解】，，故（）在上有解，等價(jià)于在上有解，令，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，當(dāng)，，故.18.隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖．（1）按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)耄瑸闃?biāo)明限高，請你根據(jù)該圖1所示數(shù)據(jù)計(jì)算限定高度CD的值．（精確到0.1m）（下列數(shù)據(jù)提供參考：，，）（2）在車庫內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖2所示，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的小汽車，在其水平截面圖為矩形ABCD，它的寬AD為1.8米，直線CD與直角車道的外壁相交于E、F．①若小汽車卡在直角車道內(nèi)（即A、B分別在PE、PF上，點(diǎn)O在CD上）（rad），求水平截面的長（即AB的長，用表示）②若小汽車水平截面的長為4.4米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？【答案】（1）2.8m；（2）①，；②小汽車能夠順利通過直角轉(zhuǎn)彎車道.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，在兩個(gè)直角三角形中，利用直角三角形邊角關(guān)系計(jì)算作答.（2）①利用給定圖形結(jié)合直角三角形銳角三角函數(shù)定義，用表示EF，BE，CF即可作答；②由①的結(jié)論，利用換元法并借助函數(shù)單調(diào)性，求出AB長的最小值作答.【小問1詳解】圖1中：在中，，，，又，則(m)，而m，有(m)，在中，，，，則(m)，結(jié)合實(shí)際意義，四舍五入會(huì)使車輛卡住，可以使用去尾法，則m，所以限定高度的值約為2.8m.【小問2詳解】①圖2中：依題意，則，，，，又，設(shè)，，；②由①知，設(shè)，則，，，則，而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上是減函數(shù)，于是得當(dāng)，即時(shí)，，所以小汽車能夠順利通過直角轉(zhuǎn)彎車道.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含有和的三角函數(shù)值域或最值問題，可以通過換元轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)或分式函數(shù)在某區(qū)間上的值域或最值問題解答.19已知函數(shù)．（1）求方程在上的解集；（2）設(shè)函數(shù)；（i）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）記函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：．【答案】（1）（2）（i）證明見詳解（ii）證明見詳解【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化