七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義

第1講與有理數(shù)有關(guān)的概念

考點(diǎn)?方法?破譯

1.了解負(fù)數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，能夠用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

2.會(huì)進(jìn)行有理的分類，體會(huì)并運(yùn)用數(shù)學(xué)中的分類思想.

3.理解數(shù)軸、相反數(shù)、肯定值、倒數(shù)的意義.會(huì)用數(shù)軸比較兩個(gè)有理

數(shù)的大小，會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、肯定值、倒數(shù).

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】寫出下列各語(yǔ)句的實(shí)際意義

(1)向前一7米⑵收入一50元⑶體重增加一3千克

【解法指導(dǎo)】用正、負(fù)數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題中具有相反意義的量.而相反意

義的量包合兩個(gè)要素：一是它們的意義相反.二是它們具有數(shù)量.而且必

需是同類兩，如“向前與自后、收入與支出、增加與削減等等”

解：⑴向前一7米表示向后7米⑵收入一50元表示支出50元⑶體重增

加一3千克表示體重減小3千克.

【變式題組】

01.假如+10%表示增加10樂(lè)則削減8%可以記作()

A.-18%B.-8%C.+2%D.+8%

02.(金華)假如+3噸表示運(yùn)入倉(cāng)庫(kù)的大米噸數(shù)，則運(yùn)出5噸大米表示為

()

A.-5噸B.+5噸C.—3噸D.+3噸

03.(山西)北京與紐約的時(shí)差一13(負(fù)號(hào)表示同一時(shí)刻紐約時(shí)間比北京

晚).如現(xiàn)在是北京時(shí)間，5：00,紐約時(shí)問(wèn)是

22

【例2】在一萬(wàn)，〃，0.0333這四個(gè)數(shù)中有理數(shù)的個(gè)數(shù)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

'正整數(shù)

正有理數(shù)!

正分?jǐn)?shù)

【解法指導(dǎo)】有理數(shù)的分類：⑴按正負(fù)性分類，有理數(shù)0

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)份數(shù)

'正整數(shù)

整數(shù)0

按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類，有理數(shù).負(fù)整數(shù)；其中分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限

'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)《

負(fù)分?jǐn)?shù)

循環(huán)小數(shù)，因?yàn)椤?3.1415926…是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它不能寫成分?jǐn)?shù)的

22

形式，所以萬(wàn)不是有理數(shù)，一不是分?jǐn)?shù)QO333是無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化成

分?jǐn)?shù)形式，0是整數(shù)，所以都是有理數(shù),故選C.

【變式題組】

1

-

01.在7,0.15,-301.31.25,8100.1,-3001中，負(fù)分

數(shù)為，整數(shù)為，正整數(shù)

02.（河北秦皇島）請(qǐng)把下列各數(shù)填入圖中適當(dāng)位置

1213

15,-yr,——,0.1.—5.32,123,2.333

9158

【例3】（寧夏）有一列數(shù)為一1,一；,1《，…，找規(guī)律到

23456

第2007個(gè)數(shù)是

【解法指導(dǎo)】從一系列的數(shù)中發(fā)覺(jué)規(guī)律，首先找出不變量和變量，再依

變量去發(fā)覺(jué)規(guī)律.擊歸納去猜想，然后進(jìn)行驗(yàn)證.解本題會(huì)有這樣的規(guī)律:

⑴各數(shù)的分子部是1;⑵各數(shù)的分母依次為1,2,3,4,5,6,…⑶處于

奇數(shù)位置的數(shù)是負(fù)數(shù)，處于偶數(shù)位置的數(shù)是正數(shù)，所以第2007個(gè)數(shù)的分

子也是1.分母是2007,并且是一個(gè)負(fù)數(shù)，故答案為一劇.

【變式題組】

01.（湖北宜賓）數(shù)學(xué)解密：第一個(gè)數(shù)是3=2+1,其次個(gè)數(shù)是

5=3+2,第三個(gè)數(shù)是9=5+4,第四十?dāng)?shù)是17=9+8…視

察并精想第六個(gè)數(shù)是.

02.（畢節(jié)）畢選哥拉斯學(xué)派獨(dú)創(chuàng)了一種“馨折形”填數(shù)法，如圖則？填

03.（茂名）有一組數(shù)2,5,10,17,26…請(qǐng)視察規(guī)律，則第8個(gè)數(shù)為

【例4】（2008年河北張家口）若1+多的相反數(shù)是一3,則勿的相反數(shù)

是—.

【解法指導(dǎo)】理解相反數(shù)的代數(shù)意義和幾何意義，代數(shù)意義只有符號(hào)不

同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù).幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁且離原點(diǎn)的距

離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫互為相反數(shù)，本題胃=—4,勿=—8

【變式題組】

01.（四川宜賓）一5的相反數(shù)是（）A

11B

45EC5

5--5-

-2

02.已知a與人互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，則a+8+ck

03.如圖為一個(gè)正方體紙盒的綻開(kāi)圖，若在其中的三個(gè)正方形/、反。內(nèi)

分別填人適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得它們折成正方體.若相對(duì)的面上的兩個(gè)數(shù)互為

相反數(shù)，則填人正方形/、B、。內(nèi)的三個(gè)數(shù)依次為（）

A.-1,2,0B.0,-2,1C.-2,0,1D.2,

1,0

【例5】（湖北）a、b為有理數(shù)，且a>0,b<0,\b\>a,則a"、一

a,一Z?的大小依次是（）

A.b<—a<a<—bB.-a<b<a<—bC.-b<a<~a<b

D.-a<a<—b<b

【解法指導(dǎo)】理解肯定值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的肯定值就是數(shù)軸上表示

aka>0）

a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即|a|,用式子表示為|a|=O（a=O）.本題留意數(shù)形

-a（a<0）

結(jié)合思想，畫一條數(shù)軸

~h―二~0—"a―-br標(biāo)出a、b,依相反數(shù)的意義標(biāo)出一b,—a,故選A.

【變式題組】

01.推理①若a=8,則|a|=|8|；②若|a|=|引，則a=b；③若aWb,

則|a|W|b|；④若則其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

02.a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則=oa

abc

03.a、b、c為不等于。的有理散，則亍+彳+自的值可能是—.

【例6】（江西課改）已知|a—4|+%—8|=0,則上7的值.

ab

【解法指導(dǎo)】本題主要考查肯定值概念的運(yùn)用，因?yàn)槿魏斡欣頂?shù)a的肯

定值都是非負(fù)數(shù)，即|a|20.所以|a—4|20,|力一8120.而兩個(gè)非負(fù)數(shù)

之和為0,則兩數(shù)均為0.

解：因?yàn)閨a—41^0,|b—8|20,又.a—41+|Z?—8=0,/.|a—41

,.,,a+Z?123

=0,|力-81=0即nrla-4=0,Z?—8=0,a=4,力=8.故一?

ab32o

【變式題組】

01.已知|a|=l,|8|=2,|c|=3,且a>6>c,求a+6+C.

02.（畢節(jié)）若|加一3|+|〃+2|=0,則勿+2〃的值為（）

A.-4B.-1C.0D.4

03.已知|a|=8,|b\=2,且|a—引=。-a,求a和。的值

【例7】（第78屆迎春杯）已知（加+〃尸+1m\—m,且12m—n—2\=0.求

mn的值.

【解法指導(dǎo)】本例關(guān)鍵是通過(guò)分析（加+力2+|同的符號(hào)，挖掘出力的符

號(hào)特征，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（勿+力2=0,12勿一〃一21=0,找到解題途徑.

解：,（加+/?）220,I力|>。

|勿|20,而（勿+/7尸+I加I=加

/.勿20,，（%+/?尸+勿=加，即（加+/7/=0

%+n—0①

又2m—n—21=0

，2加一〃一2=0②

4

22

由①②得/〃=鼻,〃=一耳,-91

OO

【變式題組】

01.已知己+6）?+|6+51=6+5且12a-=0,求a一8.

02.（第16屆迎春杯）已知y=|x—a|+|x+191+|x—a—961,假如19

Va<96.aWxW96,求y的最大值.

演練鞏固?反饋提高

01.視察下列有規(guī)律的數(shù)）：,』,《,一，士…依據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是

zbIz203042

（）

1111

A'56B'72C'90D'HO

02.（蕪湖）一6的肯定值是（）

11

11

46氏6C--

6

03.在一下，再8.0.3四個(gè)數(shù)中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

04.若一個(gè)數(shù)的相反數(shù)為a+b,則這個(gè)數(shù)是（）

A.a-bB.b—aC.a-\-bD?-a—b

05.數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩點(diǎn)之間距離是6,這兩個(gè)數(shù)是（）

A.0和6B.0和一6C.3和一3D.0和3

06.若一a不是負(fù)數(shù)，則a（）

A.是正數(shù)B.不是負(fù)數(shù)C.是負(fù)數(shù)D.不是正數(shù)

07.下列結(jié)論中，正確的是（)

①若a=b,則|a|=|6|②若&=一8,貝!J|a|=|b\

③若|a|=|引，則a——b④若|a|=|6|,則a=b

A.①②B.③④C.①④D.②③

08.有理數(shù)a、力在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a、b,~a,\b\

的大小關(guān)系正確

的是（）

A.b\>a>—a>bB.b\>b>彳---------—:?a>

—a

C.a>|b\>b>—aD.a>\b\>—a>b

09.一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位

—?---1■?_?__?

c0ab

后，得到它的相反數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則這個(gè)數(shù)是

10.已知|x+21+|y+21=0,則盯=__.

11.a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，求上+4+乎"+口

ababcc

b

12.若三個(gè)不相等的有理數(shù)可以表示為1、a、a+6也可以表示成0、6、-

a

的形式，試求a、8的值.

13.已知|a|=4,|引=5,|c\=6,且a>6>c,求a+6—C.

14.|a|具有非負(fù)性，也有最小值為0,試探討：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，|^-7|

+■—31有沒(méi)有最小值，假如有，求出最小值；假如沒(méi)有，說(shuō)明理由.

15.點(diǎn)48在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)&、8/、8兩點(diǎn)之間的距離表示為|/引.當(dāng)

A.8兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)/在原點(diǎn)，如圖1,|/而=|仍|

=\b\=\a-b\當(dāng)力、夕兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)有以下三種狀況：

①如圖2,點(diǎn)力、8都在原點(diǎn)的右邊|/引=|仍|—0|=|引一|a|=Z?—

a=|a-b\；

②如圖3,點(diǎn)48都在原點(diǎn)的左邊，|仍=|如一|的|=|引一|a|=

—b~（―a）=|a-b\；

③如圖4,點(diǎn)/、5在原點(diǎn)的兩邊，|仍=|如一|以|=|加一|a|=一8

—（—a）=|a—b\；

綜上，數(shù)軸上48兩點(diǎn)之間的距離］/面=|a—引.

回答下列問(wèn)題：

⑴數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和一

5的兩點(diǎn)之間的距離是,,數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的

距離是⑵數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)/和氏則/、夕之間

的距離是假如1/引=2,則x=；

⑶當(dāng)代數(shù)式|x+l|+|x—2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是

培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè)

01.（重慶市競(jìng)賽題）在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為199年的線段，則此線段在

這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.1998B.1999C.2000D.2001

02.（第18屆希望杯邀請(qǐng)賽試題）在數(shù)軸上和有理數(shù)a、b、c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的

位置如圖所示,有下列四個(gè)結(jié)論:①abcVO;②|a一加+|6—c|=|a—

;(§)(a-Z?)(b—c)(c—a)>0；?\a\<\~bc.其中正確的結(jié)論有()

A.4個(gè)83個(gè)C2個(gè)〃.1個(gè)

03.假如a、b、c是非零有理數(shù)，且a+b+c=0.則自+卷+十+盛2

的全部可能的值為（）

A.-1B.1或一1C.2或一2D.0或

-2

04.已知|S|=―勿,化簡(jiǎn)|加一，|一|加一21所得結(jié)果（）

A.-1B.1C.2m—3D.3—2m

05.假如0V°<15,則代數(shù)式|x—ol+|才一151+|X一/?一⑸在15

的最小值（）

A.30B.0C.15D.一個(gè)與o有關(guān)的代數(shù)式

06.|x+l|+|x—2|+|x—3|的最小值為.

07.若a>0"V0,使|x-a\+|x—引=a—6成立的x取值范圍.

08.（武漢市選拔賽試題）非零整數(shù)〃、〃滿意|必|+㈤-5=0全部這樣的

整數(shù)組（例〃）共有一組

09.若非零有理數(shù)m、n、0滿意國(guó)+應(yīng)+國(guó)=1.則產(chǎn)勺=.

mnpI6mnp\---------

10.（19屆希望杯試題）試求|x—11+|A"—21+|A"—3|+…+|x—1997

的最小值.

11.已知（|x+/|+|x—21）（|y—21+|y+11）（|z—3|+己+（）=36,

求x+2y+3的最大值和最小值.

12.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)第一步從左。向左跳1個(gè)單位得％,其

次步由左向右跳2個(gè)單位到k2,第三步由左向左跳3個(gè)單位到左，第

四步由左向右跳4個(gè)單位到左…按以上規(guī)律跳100步時(shí)，電子跳蚤落

在數(shù)軸上的點(diǎn)A。。新表示的數(shù)恰好19.94,試求女。所表示的數(shù).

13.某城鎮(zhèn)，沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué)，它們順?lè)鲇须娔X15臺(tái)、7

臺(tái)、1/臺(tái)、3臺(tái)，14臺(tái)，為使各學(xué)校里電腦數(shù)相同，允許一些小學(xué)向

相鄰小學(xué)調(diào)出電腦，問(wèn)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺(tái)數(shù)最?。坎⑶蟪?/p>

調(diào)出電腦的最少總臺(tái)數(shù).

第02講有理數(shù)的加減法

考點(diǎn)?方法?破譯

1.理解有理數(shù)加法法則，了解有理數(shù)加法的實(shí)際意義.

2.精確運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算，能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的

加法運(yùn)算.

3.理解有理數(shù)減法與加法的轉(zhuǎn)換關(guān)系，會(huì)用有理數(shù)減法解決生活中的

實(shí)際問(wèn)題.

4.會(huì)把加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算，并能精確求和.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】(河北唐山)某天股票月開(kāi)盤價(jià)18元，上午11:30跌了L5

元，下午收盤時(shí)又漲了0.3元，則股票/這天的收盤價(jià)為()

A.0.3元B,16.2元C16.8元D.18元

【解法指導(dǎo)】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法運(yùn)算時(shí)，首先將具有相

反意義的量確定一個(gè)為正，另一個(gè)為負(fù)，其次在計(jì)算時(shí)正確選擇加法法則，

是同號(hào)相加，取相同符號(hào)并用肯定值相加，是異號(hào)相加，取肯定值較大符

號(hào)，并用較大肯定值減去較小肯定值.解：18+(-1.5)+(0.3)=16.8,

故選c.

【變式題組】

01.今年陜西省元月份某一天的天氣預(yù)報(bào)中，延安市最低氣溫為一6°c,

西安市最低氣溫2℃,這一天延安市的最低氣溫比西安低()

A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃

02.(河南)飛機(jī)的高度為2400米，上升250米，又下降了327米，這是

飛機(jī)的高度為

03.(浙江)珠穆朗瑪峰海拔8848勿，吐魯番海拔高度為-155m,則它們

的平均海拔高度為

【例2】計(jì)算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)

【解法指導(dǎo)】應(yīng)用加法運(yùn)算簡(jiǎn)化運(yùn)算，-83與-17相加可得整百的數(shù),

+26與-26互為相反數(shù)，相加為0,有理數(shù)加法常見(jiàn)技巧有：⑴互為相反

數(shù)結(jié)合一起；⑵相加得整數(shù)結(jié)合一起；⑶同分母的分?jǐn)?shù)或簡(jiǎn)潔通分的分?jǐn)?shù)

結(jié)合一起；⑷相同符號(hào)的數(shù)結(jié)合一起.

解：(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)

+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+15=-85

【變式題組】

13I

01.(-2.5)+(-3-)+(-1-)+(-1-)

244

02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)

1??

03.0.125+3-+(-3-)+11-+(-0.25)

483

[例3]計(jì)算—L+」-+-L++——1——

1x22x33x42008x2009

【解法指導(dǎo)】依‘一=4-一匚進(jìn)行裂項(xiàng)，然后鄰項(xiàng)相消進(jìn)行化簡(jiǎn)求

+nn+\

和.

【變式題組】

01.計(jì)算1+(-2)+3+(-4)+…+99+(-100)

02.如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為

泊長(zhǎng)方形，接著把面積“的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面\_

2

積嗎的正方形,再把面積為加正方形等分成兩個(gè)

1

面積為工的長(zhǎng)方形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形揭示J8

1

4

8132

1111111161

的規(guī)律計(jì)算—+—+—+一+一+——+---

2481632128256

【例4】假如aVO,b>0,a+b（O,則下列關(guān)系中正確的是（）

A.3>b>~b>—aB.a>~a>b>~b

C.b>a>—b>—aD.—a>6>—b>a

【解法指導(dǎo)】緊扣有理數(shù)加法法則，由兩加數(shù)與其和的符號(hào)，確定兩

加數(shù)的肯定值的大小，然后依據(jù)相反數(shù)的關(guān)系將它們?cè)谕粩?shù)軸上表示出

來(lái)，即可得出結(jié)論.

解：?.,aV。，b>0,是異號(hào)兩數(shù)之和

又a+b<0,：.a、8中負(fù)數(shù)的肯定值較大，|a|>|b\

將a、b、—a、—6表示在同一數(shù)軸上，如圖，則它們的大小關(guān)系

―i??___?___?___>.

ab0-b-a

是一a>b>—b>a

【變式題組】

01.若m>0,n<0,且|zz?|>|n\,則/0,（填>、V

號(hào))

02.若m<0,n>0,且|/z?j>|n\,則m+n0.(填>、V

號(hào))

03.已知aVO,b>0,c<0,且|c|>|b|>|a,試比較a、b、c、

a+b、a■/的大小

【例5】4—一(一33—)一(一1.6)一(一21—)

51111

【解法指導(dǎo)】有理數(shù)減法的運(yùn)算步驟：⑴依有理數(shù)的減法法則，把減

號(hào)變?yōu)榧犹?hào)，并把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)；⑵利用有理數(shù)的加法法則進(jìn)行運(yùn)

算.

解：4--(-33—)-(-1.6)-(-21—)=4-+33—+1.6+

51111511

21—

11

=4.4+1.6+(33—+21—)=6+55=61

1111

【變式題組】

01.(―1)-(+^)-(-2)~(+^)-(+1

32632

3I

02.4--(+3.85)-(-3-)+(-3.15)

44

2IQ

03.178-87.21-(-43—)+153—-12.79

2121

【例6】試看下面一列數(shù)：25、23>21、19…

⑴視察這列數(shù)，猜想第10個(gè)數(shù)是多少？第〃個(gè)數(shù)是多少？

⑵這列數(shù)中有多少個(gè)數(shù)是正數(shù)？從第幾個(gè)數(shù)起先是負(fù)數(shù)？

⑶求這列數(shù)中全部正數(shù)的和.

【解法指導(dǎo)】找尋一系列數(shù)的規(guī)律，應(yīng)當(dāng)從特殊到一般，找到前面幾

個(gè)數(shù)的規(guī)律，通過(guò)視察推理、猜想出第〃個(gè)數(shù)的規(guī)律，再用其它的數(shù)來(lái)驗(yàn)

證.

解：⑴第10個(gè)數(shù)為7,第〃個(gè)數(shù)為25—2(77—1)

⑵?.2=13時(shí),25-2(13-1)=1,〃=14時(shí)，25—2(14—1)=—1

故這列數(shù)有13個(gè)數(shù)為正數(shù)，從第14個(gè)數(shù)起先就是負(fù)數(shù).

⑶這列數(shù)中的正數(shù)為25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,b其和=

(25+1)+(23+3)+…+(15+11)+13=26X6+13=169

【變式題組】

01.(杭州)視察下列等式

1—,2——=-,3————,4—巴=的…依你發(fā)覺(jué)的規(guī)律,

225510101717

解答下列問(wèn)題.

⑴寫出第5個(gè)等式；

⑵第10個(gè)等式右邊的分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是多少？

02.視察下列等式的規(guī)律

9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20

⑴用關(guān)于〃("21的自然數(shù))的等式表示這個(gè)規(guī)律；

⑵當(dāng)這個(gè)等式的右邊等于2008時(shí)求n.

【例7】(第十屆希望杯競(jìng)賽試題)求1+(-+-)+(1+^+2)

233444

+d+2+—)+-+J+2+...+竺+竺)

555550505050

【解法指導(dǎo)】視察式中數(shù)的特點(diǎn)發(fā)覺(jué)：若括號(hào)內(nèi)在加上相同的數(shù)均可

合并成1,由此我們實(shí)行將原式倒序后與原式相加，這樣極大簡(jiǎn)化計(jì)算了.

解：設(shè)S=」+(1+-)+(-+-+-)+…+(—+—+-

2334445050

+史+竺)

5050

rn.i01I/2I1、I/3I2I1、?Iz49I48??2

則有S=-+(—+—)+(—+—+—)+…+(—+—H---1--

233444505050

+5)

將原式和倒序再相加得

123321

,+1+(1+1++巳+自+上）+

2S二-+-)+

223333444444

2,48.4948±)

+(―+-|---1---1---+竺++??

50505050505050:50

49(49+1)

即2s=l+2+3+4H---F49=-=1225

2

2

【變式題組】

01.計(jì)算2-22-23-2-'-25-26-27-28-29+2'0

。2.（第8屆希望杯試題）計(jì)算（Lg

3盛）234

1

)—(1—I—1—)(1+1+1+...+—^)

+短+募2320042342003

演練鞏固?反饋提高

01.力是有理數(shù)，則勿+〔為|（)

A.可能是負(fù)數(shù)B.不行能是負(fù)數(shù)

C.比是正數(shù)D.可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)

02.假如|a|=3,|6|=2,則如+引為()

A.5B.1U1或5D.±1或±5

03.在1,-1,—2這三個(gè)數(shù)中，隨意兩數(shù)之和的最大值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

04.兩個(gè)有理數(shù)的和是正數(shù)，下面說(shuō)法中正確的是（）

A.兩數(shù)肯定都是正數(shù)B.兩數(shù)都不為0

C.至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)D.至少有一個(gè)為正數(shù)

05.下列等式肯定成立的是（）

A.|x|-x=0B.—x—x=0C.,x|+—x\=0

D.|x|—|x|=0

06.一天早晨的氣溫是一6℃,中午又上升了10℃,午間又下降了8℃,

則午夜氣溫是（）

A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃

07.若a<。，則—等于（）

A.—aB.0C,2<3D.12H

。8.設(shè),是不等于。的有理數(shù)'則號(hào)值為（）

40或180或2C.0或一1D.0或一2

09.（濟(jì)南）2+（—2）的值為一

10.用含肯定值的式子表示下列各式：

⑴若a<0,Z?>0,貝（Jb-a=,a-b=

⑵若a>Z?>0,則【打一引=_

(3)若a<b<0,貝I]a—b=

11.計(jì)算下列各題:

⑴23+(-27)+9+5⑵-5.4+0.2—0.6+0.35—

0.25

(3)-0.5-3-+2,75-7-(4)33.1-10.7-(-22.9)-|

42

--I

10

12.計(jì)算1—3+5—7+9—11H---F-97-99

13.某檢修小組乘汽車沿馬路檢修線路，規(guī)定前進(jìn)為正，后退為負(fù)，某天

從/地動(dòng)身到收工時(shí)所走的路途（單位：千米）為：

+10,-3,+4,—2,—8,+13,-7,+12,+7,+5

⑴問(wèn)收工時(shí)距離力地多遠(yuǎn)？

⑵若每千米耗油0.2千克，問(wèn)從1地動(dòng)身到收工時(shí)共耗油多少千克？

14.將1997減去它的,，再減去余下的'，再減去余下的,，再減去余下

234

的」……以此類推，直到最終減去余下的一匚，最終的得數(shù)是多少？

51997

15.獨(dú)特的埃與分?jǐn)?shù)：埃與同中國(guó)一樣，也是世界聞名的文明古國(guó)，古代

埃與人處理分?jǐn)?shù)別出心裁，他們一般只運(yùn)用分子為1的分?jǐn)?shù)，例如,+

3

L來(lái)表示2,用L+'+表示3等等.現(xiàn)有90個(gè)埃與分?jǐn)?shù)：

1554728723

你能從中挑出10個(gè)，加上正、負(fù)號(hào)，使它們的和

459091

等于一1嗎？

培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè)

02.自然數(shù)a、b、c、d滿意《+,+J+,=l,則5++,

等于（）

13715

A.-B.—C.—D.—

8163264

03.（第17屆希望杯邀請(qǐng)賽試題）a、b、c、d是互不相等的正整數(shù)，且

abcd=441,貝（Ja+Z?+c+d值是（）

A.30B.32C.34D.36

04.（第7屆希望杯試題）若片口汐要1996199619971997

1996199619971997119981998

則a、b、。大小關(guān)系是（

A.b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

111

05.(1+白)(1+￡)(1+)(1+)(1+）的值得整數(shù)部

3x51998x20001999x2001

分為（）

A.1B.2C.3D.4

06.(—2)20°4+3X(—2)須3的值為()

_22004

A.-22003B22003C.D.22004

07.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）若|勿|=加+1,則(4/+1產(chǎn)=

1,/1,2..z*i213...z1.2,,59.

0n8o.—+(一+―)+(—+-+—)++(一+-H---F—)=

233444606060

1919197676

0nn9------------------=

7676761919

10.1+2-22-23-24-25-26—27—28-29+210=

2002

11.求3^X7X13?頤所得數(shù)的末位數(shù)字為

12.已知(a+6)2+|6+51=6+5,且|2a—b—1|=0,求.aB.

13.計(jì)算（康一1）（高一1）（康一口…（焉一D（看一1）

14.請(qǐng)你從下表歸納出「+23+33+43+…+//的公式并計(jì)算出13+23+33

12345

+下+…+10()3的值.

23246810

333691215

第03講有理數(shù)的乘除、乘方4348121620

53510152025

考點(diǎn)?方法?破譯

1.理解有理數(shù)的乘法法則以與運(yùn)算律，能運(yùn)用乘法法則精確地進(jìn)行有

理數(shù)的乘法運(yùn)算，會(huì)利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化乘法運(yùn)算.

2.駕馭倒數(shù)的概念，會(huì)運(yùn)用倒數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3.了解有理數(shù)除法的意義，駕馭有理數(shù)的除法法則，嫻熟進(jìn)行有理數(shù)

的除法運(yùn)算.

4.駕馭有理數(shù)乘除法混合運(yùn)算的依次，以與四則混合運(yùn)算的步驟，嫻

熟進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算.

5.理解有理數(shù)乘方的意義，駕馭有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則，進(jìn)一步

駕馭有理數(shù)的混合運(yùn)算.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1J計(jì)算

【解法指導(dǎo)】駕馭有理數(shù)乘法法則，正確運(yùn)用法則，一是要體會(huì)并駕

馭乘法的符號(hào)規(guī)律，二是細(xì)心、穩(wěn)妥、層次清晰，即先確定積的符號(hào)，后

計(jì)算肯定值的積.

解：(1)—X(--)=—(—X—)=——

24248

【變式題組】

01.(1)(-5)x(-6)⑵(―1)x1：⑶

(-8)x(3.76)x(-0.125)

94

02.(-9—)x50

25

3.(2x3x4x5)x(i----!—!-)

2345

04.(―5)x3g+2x3；+(-6)x31

【例2】已知兩個(gè)有理數(shù)a、b,假如aSVO,且a/bVO,則()

A.a>0,力<0B.a<0,Z?>0

C.a、力異號(hào)D.a、力異號(hào)且負(fù)數(shù)

的肯定值較大

【解法指導(dǎo)】依有理數(shù)乘法法則，異號(hào)為負(fù)，故a、8異號(hào)，又依加法

法則，異號(hào)相加取肯定值較大數(shù)的符號(hào)，可得出推斷.

解：由劭<。知a、b異號(hào)，又由a*力VO,可知異號(hào)兩數(shù)之和為負(fù)，

依加法法則得負(fù)數(shù)的肯定值較大，選〃.

【變式題組】

01.若a+b+c=O,且b<c〈O,則下列各式中，錯(cuò)誤的是（）

A.a+Z?>0B.b+cVOC.ab+ac>0D.a

+歷>0

02.已矢口a+b>0,a-b<0,ab<0,貝！Ja0,b0,

/a//b/.

03.（山東煙臺(tái)）假如a/6<0,->0,則下列結(jié)論成立的是（）

A.a>0,b>0B.aVO,b<0C.a>0"<0

<0,b>0

04.（廣州）下列命題正確的是（

A.若ab>0,貝ija>0,b>0B.若ab<0,貝?。輆

<0,b<0

C.若a6=0,則a=0或b=0D.若a6=0,則

a=0且b=G

［例3］計(jì)算

【解法指導(dǎo)】進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，若不能整除，應(yīng)用法則1,先把

除法轉(zhuǎn)化成乘法，再確定符號(hào)，然后把肯定值相乘，要留意除法與乘法互

為逆運(yùn)算.若能整除，應(yīng)用法則2,可干脆確定符號(hào)，再把肯定值相除.

解：(1)(—72)+(—18)=72+18=4

【變式題組】

01.(1)(—32)+(—8)(2)2-^(-1-)(3)0^(-2-)(4)

1311

02.(l)29+3x—(2)(——)x(—3—)+(—1—)+3(3)

3524

O4-(--)X-

35

113

。3?—^(---)+(1-0.2^-―)x(-3)

245

【例4】(茂名)若實(shí)數(shù)a、6滿意;+3=0,則咎=___________.

間向\ab\

【解法指導(dǎo)】依肯定值意義進(jìn)行分類探討，得出a、6的取值范圍，進(jìn)

一步代入結(jié)論得出結(jié)果.

ab(2(。>0力>0)

解:當(dāng)ab>0,--1--=V

\a\\b\[―2(a<0力<0)

當(dāng)abVO,工+與=0-V。從而獸=—1.

同網(wǎng)畫

【變式題組】

01.若A是有理數(shù)，則（依/子陽(yáng)彳A的結(jié)果是（）

A.正數(shù)B.0C.負(fù)數(shù)D.非負(fù)

數(shù)

02.若4，都是非零有理數(shù)，則；+M+囤的值是多少？

\a\\b\ab

03.假如兇+BLo,試比較-土與外的大小.

xy）'

【例5】已矢口f=（—2）2,9=T

⑴求孫2頤的值；⑵求上的值.

【解法指導(dǎo)】就表示〃個(gè)a相乘，依據(jù)乘方的符號(hào)法則，假如a為正

數(shù)，正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)，假如a是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)

數(shù)的偶次嘉是正數(shù).

解：:x2=（-2）2,y3=-1

⑴當(dāng)x=2,y=-1時(shí),孫2008=2（—1）2。。8=2

當(dāng)X=_2,y=-1時(shí)，孫2008=（一2”（一1泮8=一2

丫3,3

⑵當(dāng)x=2,y=T時(shí)，產(chǎn)=（_產(chǎn)=8

當(dāng)x=_2,y=_l時(shí)，聲=占患=-8

【變式題組】

01.（北京）若|加-〃|+（m-2>=0,則*的值是.

02.已知x、y互為倒數(shù)，且肯定值相等，求（-a-y"的值，這里〃是正

整數(shù).

【例6】（安徽）2007年我省為135萬(wàn)名農(nóng)村中小學(xué)生免費(fèi)供應(yīng)教科書，

減輕了農(nóng)夫的負(fù)擔(dān)，135萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.135X106B.1.35X106C.0.135X107

D.1.35X107

【解法指導(dǎo)】將一個(gè)數(shù)表示為科學(xué)記數(shù)法的aX10'的形式，其中a的

整數(shù)位數(shù)是1位.故答案選H

【變式題組】

01.（武漢）武漢市今年約有103000名學(xué)生參與中考，103000用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.1.03X105B.0.103X105C.10.3XIO1

D.103X103

02.（沈陽(yáng)）沈陽(yáng)市支配從2008年到2012年新增林地面積253萬(wàn)畝，253

萬(wàn)畝用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.25.3義IO,畝B.2.53義IO,畝，253X10,畝

D.2.53X10,畝

【例7】（上海競(jìng)賽）

【解法指導(dǎo)】找出后2_100后+5000的通項(xiàng)公式=伙-50)2+502

原式=

22k22

------------I---------------12+?..P...99

(1-50)2+502(2-50)2+5()2-----(左-50尸+5()2-----(99-50)2+502

=99

【變式題組】

A.—C.—

1003334

D.—

1000

02.（第10屆希望杯試題）已知=1.

2581120411101640

求」——+L_L__L+-L+-L的值.

2581120411101640

演練鞏固-反饋提高

01.三個(gè)有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，則負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)6.2個(gè)C.3個(gè)

D.1個(gè)或3個(gè)

02.兩個(gè)有理數(shù)的和是負(fù)數(shù)，積也是負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)（）

A.互為相反數(shù)B.其中肯定值大的數(shù)是正數(shù),

另一個(gè)是負(fù)數(shù)

C都是負(fù)數(shù)D.其中肯定值大的數(shù)是負(fù)數(shù)，

另一個(gè)是正數(shù)

03.已知abc>0,a>0,ac<0,則下列結(jié)論正確的是()

A.b<0,c>0B.b>0,cVOC.b<0,c<0D.b>

0,c>0

04.若|aZ?|=aZ?,則()

A.ab>0B.ab?QC.a<0,b<0D.abVG

05.若a、b互為相反數(shù)，。、d互為倒數(shù)，m的肯定值為2,則代數(shù)式

機(jī)-cd+空出的值為（）

m

A.-3B.1C.±3