2024年高考數(shù)學(xué)考點分析與突破性講練專題39二項分布與正態(tài)分布理

PAGEPAGE1專題39二項分布與正態(tài)分布一、考綱要求：1.了解條件概率的概念，了解兩個事務(wù)相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡潔問題.3.借助直觀直方圖相識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.獨立重復(fù)試驗的實質(zhì)及應(yīng)用,獨立重復(fù)試驗的實質(zhì)是相互獨立事務(wù)的特例，應(yīng)用獨立重復(fù)試驗公式可以簡化求概率的過程.2.推斷某概率模型是否聽從二項分布PnX＝k＝Ceq\o\al(k,n)pk1－pn－k的三個條件1在一次試驗中某事務(wù)A發(fā)生的概率是同一個常數(shù)p.2n次試驗不僅是在完全相同的狀況下進(jìn)行的重復(fù)試驗，而且每次試驗的結(jié)果是相互獨立的.3該公式表示n次試驗中事務(wù)A恰好發(fā)生了k次的概率.3.解決有關(guān)正態(tài)分布的求概率問題的關(guān)鍵是充分利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與x軸之間的面積為1，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解，要留意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運用.1應(yīng)熟記Pμ－σ<X≤μ＋σ，Pμ－2σ<X≤μ＋2σ，Pμ－3σ<X≤μ＋3σ的值；2常用的結(jié)論有：①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等.②PX≤a＝1－PX≥a，PX≤μ－a＝PX≥μ＋a.三、高考考題題例分析：例1.（2024全國卷I）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再依據(jù)檢驗結(jié)果確定是否對余下的全部產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗？【答案】見解析（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）假如對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所須要的檢驗費為400元，∵E（X）=490＞400，∴應(yīng)當(dāng)對余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗．例2.（2024全國卷III）某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中運用移動支付的人數(shù)，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），則p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】：某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p，看做是獨立重復(fù)事務(wù)，滿意X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．因為DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故選：B．5.盒中裝有10個乒乓球，其中6個新球，4個舊球，不放回地依次摸出2個球運用，在第一次摸出新球的條件下，其次次也摸出新球的概率為()A．eq\f(3,5) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,10)【答案】B6．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386 B．2718C．3413 D．4772【答案】C【解析】：由曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線可知題圖中陰影部分的面積為P(0<X≤1)＝eq\f(1,2)×0.6826＝0.3413，又題圖中正方形面積為1，故它們的比值為0.3413，故落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為0.3413×10000＝3413.故選C．7．兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)【答案】B8.某個電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃耀，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下其次次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】：設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事務(wù)A，“其次次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事務(wù)B，則由題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下其次次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故選C．9．設(shè)隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P(Y≥2)的值為()A．eq\f(32,81) B．eq\f(11,27)C．eq\f(65,81) D．eq\f(16,81)【答案】B【解析】：因為隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝eq\f(11,27).10．設(shè)隨機變量X聽從二項分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)【答案】C11.已知隨機變量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，則P(X>2)的值為()A．eq\f(1－a,2) B．eq\f(a,2)C．1－a D．eq\f(1＋a,2)【答案】A【解析】：依據(jù)正態(tài)分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝eq\f(1－a,2)，故選A．12.已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%.A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B【解析】：由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%，故選B．二、填空題13．設(shè)隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2，則P(－1<ξ<1)＝________.【答案】0.3【解析】：由P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2得P(ξ>－1)＝0.5，所以P(－1<ξ<1)＝0.5－0.2＝0.3.14．投擲一枚圖釘，設(shè)釘尖向上的概率為p，連續(xù)擲一枚圖釘3次，若出現(xiàn)2次釘尖向上的概率小于3次釘尖向上的概率，則p的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【解析】：設(shè)P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“連續(xù)投擲一枚圖釘，出現(xiàn)k次釘尖向上”的概率，由題意得P(B2)<P(B3)，即Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)<Ceq\o\al(3,3)p3.∴3p2(1－p)<p3.由于0<p<1，∴eq\f(3,4)<p<1.15．將一個大正方形平均分成9個小正方形，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為A，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為B，則P(A|B)＝________.【答案】eq\f(1,4)16．事務(wù)A，B，C相互獨立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，則P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.【答案】eq\f(1,2)eq\f(1,3)【解析】：由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·PB＝\f(1,6)，,P\x\to(B)·PC＝\f(1,8)，,PA·PB·P\x\to(C)＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，∴P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).三、解答題17．某商場實行有獎促銷活動，顧客購買肯定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案a：從裝有2個紅球、3個白球(僅顏色不同)的甲袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金30元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個紅球、2個白球(僅顏色不同)的乙袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金15元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．抽獎條件：顧客購買商品的金額滿100元，可依據(jù)方案a抽獎一次；滿150元，可依據(jù)方案b抽獎一次(例如某顧客購買商品的金額為260元，則該顧客可以依據(jù)方案a抽獎兩次或方案b抽獎一次或方案a、b各抽獎一次)．已知顧客A在該商場購買商品的金額為350元．(1)若顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎，求其所獲獎金的期望；(2)要使所獲獎金的期望值最大，顧客A應(yīng)如何抽獎？【答案】(1)9元；(2)見解析(2)按方案b抽獎一次，獲得獎金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，則由方案a中獎的次數(shù)聽從二項分布B1～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，由方案b中獎的次數(shù)聽從二項分布B2～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，設(shè)所得獎金為w2元，則Ew2＝2×eq