2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章點直線平面之間的位置關(guān)系2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)課時作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE12.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．平面α∥平面β，直線a∥α，直線b⊥β，那么直線a與直線b的位置關(guān)系肯定是(C)A．平行 B．異面C．垂直 D．不相交[解析]∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.又∵a∥α，∴b⊥a．2．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面(C)A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β[解析]∵m∥n，m⊥α，則n⊥α，故選C．3．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么(C)A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC[解析]∵PM⊥平面ABC，MC?平面ABC，∴PM⊥MC，PM⊥AB．又∵M為AB中點，∠ACB＝90°，∴MA＝MB＝MC．∴PA＝PA＝PC．4．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G、H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是(B)A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH[解析]因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B．5．下列結(jié)論正確的是(A)①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α．A．①② B．①②③C．②③④ D．①②④[解析]由性質(zhì)定理可得(1)(2)正確．6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是(A)A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點與CC1中點連成的線段D．BC中點與B1C1中點連成的線段[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C．又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．而AP⊥BD1，∴AP?平面AB1C．又P∈平面BB1C1C，∴P點軌跡為平面AB1C與平面BB1C1C的交線B1C．故選A．二、填空題7．線段AB在平面α的同側(cè)，A、B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為4．[解析]如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A、M、B向α作垂線，垂足分別為A1、M1、B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4．8．正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積是eq\f(\r(2),3)．[解析]如圖，由已知得PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC．又PB⊥PC，PB＝PC，BC＝2，∴PB＝PC＝eq\r(2)．∴VP－ABC＝VA－PBC＝eq\f(1,3)PA·S△PBC＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3)．三、解答題9．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2)．證明：A1C⊥平面BB1D1D．[解析]∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又OA1是AC的中垂線，∴A1A＝A1C＝eq\r(2)，且AC＝2，∴AC2＝AAeq\o\al(2,1)＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．[證明](1)在四棱錐P－ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故AP⊥CD．因為AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．AE?平面PAC，所以CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．因為E是PC的中點，所以AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，所以AE⊥PD．因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB．又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，所以AB⊥PD．又因為AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(C)A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不肯定存在直線與m平行，不肯定存在直線與m垂直C．β內(nèi)不肯定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不肯定存在直線與m垂直2．如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為H，則以下結(jié)論中，錯誤的結(jié)論是(D)A．點H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延長線經(jīng)過點C1 D．直線AH和BB1所成角為45°[解析]A中，△A1BD為等邊三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各頂點的距離相等，∴A正確；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正確；連接AC1，則AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三點共線，∴C正確，利用解除法選D．3．如圖所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC．其中正確的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC．∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴AC∩PA＝A，BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF，∴③正確．又AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，∴①正確．又AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，∴②正確．若AE⊥BC，則由AE⊥PB，得AE⊥平面PBC，此時E、F重合，與已知沖突，∴④錯誤．故選C．二、填空題4．已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為eq\r(6)π．[解析]如圖所示取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．∴OA＝eq\f(1,2)PB，OC＝eq\f(1,2)PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝eq\r(2)，PB＝eq\r(6)，∴外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)．∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π．5．(2024·全國卷Ⅰ文，16)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為eq\r(2)．[解析]如圖，過點P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離．再過O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC．又PE＝PF＝eq\r(3)，所以O(shè)E＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以O(shè)E＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\r(3)2－12)＝eq\r(2)．三、解答題6．如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G．求證：AE⊥SB．[解析]因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE．因為SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE．又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．而SB?平面SBC，所以AE⊥SB．7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°.G為線段PC上的點．(1)證明：BD⊥平面APC；(2)若G為PC的中點，求DG與平面APC所成角的正切值；(3)若G滿意PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．[解析](1)設(shè)點O為AC、BD的交點．由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分線段AC．所以O(shè)為AC的中點，BD⊥AC．又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC．(2)連接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面PAC所成的角．由題意得OG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(3),2)．在△ABC中，因為AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，所以∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝60°，所以AO＝OC＝AB·sin60°＝eq\r(3)．在Rt△OCD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝2．在Rt△OGD中，tan∠OG