線性代數(shù)課件：行列式的概念、性質(zhì)(概念)

線性代數(shù)——行列式的概念和性質(zhì)排列把1,2,3，…，n按某種次序排成一列,稱為這n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列,簡稱排列．所有排列的種數(shù)用Pn表示，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=

n!如1,2,3三個(gè)數(shù)的排列總數(shù)P3=3!=3·2·1=6分別是：123，231，312，132，321，213逆序規(guī)定n個(gè)不同的自然數(shù)由小到大依次排列的順序稱為標(biāo)準(zhǔn)次序.并稱這個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列．如：12345．逆序在n個(gè)元素的一個(gè)排列中，若較大的數(shù)排在了較小的數(shù)字之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序．如：

21345．逆序數(shù)規(guī)定一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)的叫做奇（偶）排列．逆序數(shù)的計(jì)算方法設(shè)p1p2…pn是1，2，…，n的一個(gè)排列，用τi表示元素

pi的（i=1，2，…，n）逆序數(shù)，即排在pi前面并比pi大的元素有τi個(gè)，則該排列的逆序數(shù)為：例求排列32514的逆序數(shù)解：3

2

514對(duì)換對(duì)換在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，而其余元素不動(dòng)，得到一個(gè)新排列，則稱這種變換為對(duì)換．相鄰相鄰兩個(gè)元素的對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換．對(duì)換如將排列4321中的元素2,4對(duì)換，得到新排列2341．τ(4321)=6

τ(2341)=3定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，改變排列的奇偶性．推論：奇（偶）排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇（偶）數(shù)．01二階行列式用消元法解二元線性方程組方程組的四個(gè)系數(shù)所確定交叉相乘再相減二階行列式定義數(shù)表把四個(gè)系數(shù)a11

，a12，a21，a22按在方程組中的位置排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列)的數(shù)表數(shù)aij（i=1，2；j=1，2）稱為行列式的元素或元．（1）aij

的第一個(gè)下標(biāo)i

稱行標(biāo)，表示該元素在第

i

行；aij

的第二個(gè)下標(biāo)j

稱列標(biāo)，表示該元素在第j

列．如：a12

表示行列式中位于的第1行第2列的元素．計(jì)算-----對(duì)角線法則（2）注：二元線方程組的解系數(shù)行列式二元線性方程組的解為則當(dāng)系數(shù)行列式三階行列式定義：設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表是數(shù)表（4）所確定的三階行列式.記計(jì)算—對(duì)角線法則注(1)紅線上三元素乘積前為正號(hào)（列標(biāo)的逆序數(shù)為偶數(shù)）；(2)藍(lán)線上三元素乘積前為負(fù)號(hào)（列標(biāo)的逆序數(shù)為奇數(shù)）；(3)對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．解按對(duì)角線法則，有觀察三階行列式規(guī)律：（1）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積；（2）每項(xiàng)行指標(biāo)都是標(biāo)準(zhǔn)排列123，列指標(biāo)的排列是1,2,3的某個(gè)排列，記p1p2p3，這樣的排列共有3！=6種；（3）每項(xiàng)前的正負(fù)號(hào)由τ(P1P2P3)的奇偶性確定．如列標(biāo)排列的τ(312)=1+1=2列標(biāo)排列的τ(132)=1+0=1所以，三階行列式可以寫成其中表示對(duì)1、2、3的所有排列p1p2p3求和.n階行列式的定義的項(xiàng)共有n!項(xiàng)．所有這n!項(xiàng)的代數(shù)和由于p1p2…pn的排列共有n!個(gè)，因而形如稱為n階行列式，記作：從而有下面等式成立：注(1)n階行列式是n！項(xiàng)的代數(shù)和;(2)每個(gè)乘積都取自位于不同行不同列的n個(gè)元素；(3)

p1p2…pn為自然數(shù)1,2,3