第六章 平行四邊形B卷壓軸題模擬訓練（解析版）

第六章平行四邊形B卷壓軸題模擬訓練一、填空題1．如圖所示，直線繞平行四邊形頂點轉(zhuǎn)動，分別過點，，作的垂線段，垂足分別為，，．已知，，，則的最大值為．【答案】【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，梯形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，連接，交于點，過點作直線于，在的延長線上截取，連接，，過點作于，先證四邊形為直角梯形，再證為梯形的中位線，則，然后證和全等得，進而得，據(jù)此可證得四邊形為平行四邊形，則，，要求的最大值，只需求出的最大值即可，根據(jù)“垂線段最短”可知：，故得的最大值為線段的長，最后在中可求出，，，進而得，在中由勾股定理得，據(jù)此可得出的最大值，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，梯形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解垂線段最短，靈活運用勾股定理進行計算是解題的關鍵．【詳解】解：連接，交于點，過點作直線于，在的延長線上截取，連接，，過點作于，如圖所示：∵直線，直線，∴四邊形為直角梯形，∵四邊形為平行四邊形，∴點為，的中點，∵直線，∴，∴為梯形的中位線，∴，∵，∴，∵直線，在中，點為斜邊的中點，∴，∴為等腰三角形，又∵，∴，在△OAT和△RNT中，，∴，，∴，即，∵直線，直線，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，要求的最大值，只需求出的最大值即可，根據(jù)“垂線段最短”可知：，∴的最大值為線段的長，∵，，，在中，，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，∴的最大值為，∴的最大值為．故答案為：．2．如圖，在平面直角坐標系中，，為軸上一動點，連接并延長至點，使，取軸負半軸上一點，使得，以，為邊作．（）點的坐標為．（）設點坐標為，則點的坐標為（用含的代數(shù)式表示），連接，則長度的取值范圍為．【答案】【分析】（）由點的坐標得到的長，再根據(jù)即可求解；（）過點作軸的平行線交軸于點，過點作軸的平行線交于點，易證明，得到，，即可求得點的坐標；由四邊形為平行四邊形可證明到，得到，，根據(jù)點始終在平行于軸的直線上運動，并且這條直線與軸的距離為，即可得到的取值范圍；本題考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，判斷出點始終在平行于軸的直線上運動是解題的關鍵．【詳解】（）∵，∴，又∵，∴，∴，故答案為；（）如圖，過點作軸的平行線交軸于點，過點作軸的平行線交于點，則，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴點的坐標為，故答案為：；∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵軸，∴，∴，在和中，，∴,∴，∴，∵，軸，∴點始終在平行于軸的直線上運動，并且這條直線與軸的距離為，∴點到這條直線的距離為，∴長度的取值范圍為，故答案為：．3．如圖，在中，，取對角線上兩點，使，，點在上，若，則．【答案】/【分析】作于，于，由于，，可判斷四邊形為菱形，再由菱形的性質(zhì)可得，利用等腰三角形對角對等邊的性質(zhì)可得，設，在中，則，，因為，可解得，從而得到的值，再利用三角形內(nèi)角和定理，得到，可得的長，在中和在中，分別利用勾股定理得到的長，即可得到答案．【詳解】解：作于，于，如圖所示：∵在中，，∴四邊形為菱形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)：對角線平分一組對角；平行線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵．4．如圖，等邊三角形中，，、分別是邊、上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】取中點，中點，，在的外側(cè)作，的長度即為所求，本題考查了求線段和最小值問題，勾股定理解三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線，角的直角三角形，解題的關鍵是通過構(gòu)造中位線和全等三角形，將進行轉(zhuǎn)化．【詳解】解：取中點，中點，作，使，作，交延長線于點，點是中點，點是中點，，，，，又等邊三角形，，，又，，，，當點在線段上時取最小值，長度為線段的長，，，，，，，故答案為：．5．如圖，在中，，點是的中點，延長到點，點是上一點，連接，過點作垂足為點，延長交于點，則的長為．【答案】【分析】分別取的中點P、Q，連接，作垂足為M．先根據(jù)中位線的性質(zhì)和平行線的知識求出，再求出，進而求出，根據(jù)勾股定理求出，最后證明四邊形為平行四邊形，即可求出．【詳解】解：如圖，分別取的中點P、Q，連接，作垂足為M．∵點、F分別為、的中點，∴分別是的中位線，∴，∴，，∵，∴．∵P、Q分別為的中點，∴，∴，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．故答案為：【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)與判定，直角三角形角問題，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大，熟知相關知識，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造直角三角形和平行四邊形是解題關鍵．6．如圖，點是的邊上的中點，連接，點為中點，若，，，則的長為．

【答案】【分析】過點作交于點，首先根據(jù)梯形的中位線得出的值，再證明為直角三角形、和為等腰三角形，進而解得，易得，根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】解：過點作交于點，如下圖，

∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∵為中點，且，∴為中點，，∴，∵，∴，∵點是的邊上的中點，∴，∴，∴，∴，，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線，熟練掌握相關知識點并靈活運用．7．如圖，在中，，，，D為邊上一動點（不與點A重合），為等邊三角形，過點D作的垂線，F(xiàn)為垂線上任意一點，連接，G為的中點，連接，則的最小值是．【答案】【分析】取的中點，連接，推出三點共線，進而得到點在直線上運動，作點關于的對稱點，連接，得到，進而得到三點共線時，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，取的中點，連接，∵，為的中點，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴三點共線，∴點在直線上運動，作點關于的對稱點，連接交于點，連接，作，∴，垂直平分，∴當三點共線時，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．∴的最小值是；故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的中位線，勾股定理，利用軸對稱解決線段和最小的問題．綜合性強，難度大，屬于填空題中的壓軸題，解題的關鍵是確定點的運動軌跡．8．如圖，在等邊三角形中，，，點E是線段上一動點，連接，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則長的最小值為．【答案】/【分析】取的中點K，連接、，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到，，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，有，故當最小時，最小，此時，由是的中位線，可得EKAD，從而DP長的最小值為．【詳解】解：如圖，取的中點K，連接、，是等邊三角形，，，，，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，在和中，，，，當最小時，最小，此時，，，是的中位線，長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．9．如圖，在平行四邊形中，點E、F分別是邊的中點，連接，G、H分別是的中點，連接，若，，，則．

【答案】【分析】連接并延長交于P，連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接并延長交于P，連接，過點E作交的延長線于點K，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E、F分別是邊的中點，，，∴，，∵，∴，在與中，，∴，∴，，

∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點G是的中點，，

∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．10．如圖，在平行四邊形中，，，，點、點分別為、的中點，點在邊上運動，將沿折疊，使得點落在處，連接，點為中點，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，可知當取得最小值時，取得最小值，根據(jù)折疊可知在以點為圓心，的長為半徑的半圓弧上運動，當點運動到線段上時，此時取得最小值，最小值為，過點作于點，根據(jù)的直角三角形的性質(zhì)可得的長，根據(jù)勾股定理求出的長，再在中，根據(jù)勾股定理求出的長，進一步可得的最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：連接，點為的中點，點為的中點，為的中位線，，當取得最小值時，取得最小值，在平行四邊形中，，，，，，，，，點為線段的中點，，根據(jù)折疊可知，點在以點為圓心，的長為半徑的半圓弧上運動，當點運動到線段上時，此時取得最小值，最小值為，過點作于點，如圖所示：則，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，的最小值為，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，線段最小值問題，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，找出線段最小時點的位置是解題的關鍵．二、解答題11．在四邊形中，，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若點為線段上的動點點不與點重合，連接，過點作交直線于點．①如圖2，當點為線段的中點時，請直接寫出，的數(shù)量關系；②如圖3，當點在線段上時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，再由平行四邊形的判定即可得證；（2）①連接，可知是等腰直角三角形，再證明，利用全等三角形性質(zhì)即可得到；②過點作交于點，首先證明，得，進而再證明是等腰直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：①，理由如下：連接，如圖所示：由（1）知是等腰直角三角形，當點為線段的中點時，，，，，，，，，，，；②證明：過點作交于點，如圖所示：，，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，，，，，在中，，則，，．【點睛】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．12．已知點是任意一點，連接并延長到點，使得，以為鄰邊作平行四邊形，連接，與交于點，連接．問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，若為等邊三角形，由三角形中位線定理可知，線段與線段的位置關系是______．數(shù)量關系為______．線段與的位置關系是______．數(shù)量關系為______(2)拓展研究：如圖2，若為等腰直角三角形（為斜邊），（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出正確的結(jié)論再給予證明．(3)解決問題：如圖3，若是等腰三角形，，請你直接寫出線段的長．【答案】(1)，，，(2)，，成立，不成立，正確的是(3)【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由等邊三角形的性質(zhì)可得，由三角形中位線定理可得，，可得結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由三角形中位線定理可得，，可得結(jié)論；（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長，由三角形中位線定理可得．【詳解】（1）解：如圖1，連接，四邊形是平行四邊形，，，又是等邊三角形，，，，，，∴，，∵，，，，，，，故答案為：，，，；（2）解：，，成立，；如圖2，連接，四邊形是平行四邊形，，，又是等腰直角三角形，，，，，，∴，，∵，，，，，，，；（3）解：如圖3，連接，四邊形是平行四邊形，，，又，，根據(jù)勾股定理得，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，判斷出，是解本題的關鍵．13．已知在平行四邊形中，點F在邊上，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點A作于點G，交于點E，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，若G為的中點，，平行四邊形的面積為144，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)8【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，由平行線的性質(zhì)可得，從而得到，推出，即可得結(jié)論；（2）過點作交于點，交于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由同角的余角相等可得，從而即可得結(jié)論；（3）連接，過點作于點，于點，證明，推出，證明，推出，設，，則，在中，，即，再由，求出的值，最后由進行計算即可得到答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，；（2）證明：過點作交于點，交于點，

，由（1）可得：，，，，，，，，；（3）解：如圖，連接，過點作于點，于點，

，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，由（1）可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設，，則，在中，，即，，由解得：，，．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)、同角的余角相等、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用的輔助線，構(gòu)造全等三角形，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于壓軸題．14．如圖1，在平面直角坐標系中，點，點，且滿足，平移至（點與點對應，點與點對應），連接．

(1)填空：______，______，點的坐標為______；(2)點分別是邊上的動點，連接分別為的中點，連接，當分別在邊上運動時，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接為線段上一點．試猜想三者之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)6，4，(2)存在最小值，最小值是(3)，證明見解析【分析】（1）利用絕對值、算術平方根的非負性求出a，b，根據(jù)平移性質(zhì)求點的坐標；（2）由是的中位線，得出，當時，取最小值，取最小值，因此利用面積法求出最小值即可；（3）以為直角邊作等腰直角三角形，其中，連接，先證，得出，，再證明，利用勾股定理得出，再由，即可證明．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴，，∴，，∵，點O與點C對應，∴平移方向為先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度由平移得，，即，故答案為：6，4，；（2）解：如圖，連接，過點C作于點H，

∵，分別為，的中點，∴是的中位線，∴，∴要使得最小，則最小．∴當時，取最小值，取最小值．由（1）知，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為：，即存在最小值，最小值是；（3）解：，證明如下：如圖所示，以為直角邊作等腰直角三角形，其中，連接，

∵是等腰直角三角形，，∴，由旋轉(zhuǎn)得，，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，，∴，又∵,∴．

【點睛】本題考查絕對值、算術平方根的非負性，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，綜合性較強，牢固掌握上述知識點，并熟練運用等量轉(zhuǎn)化的思想是解題的關鍵．15．如圖，平面直角坐標系中，，，，，直線過A點，且與y軸交于D點．(1)求點A、點B的坐標；(2)試說明：；(3)若點M是直線上的一個動點，在x軸上是否存在另一個點N，使以O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)見解析(3)存在，或或【分析】（1）根據(jù)題意利用矩形性質(zhì)及判定可得點坐標，令即可得到的值，即為點坐標；（2）根據(jù)直線解析式求出點坐標，得到的值，根據(jù)矩形對邊相等，，然后證明，再利用全等性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等可得，，令求出點坐標，從而得到長度，再分情況討論求出點坐標．【詳解】（1）解：當時，，解得：，∴點坐標為，∵，，，∴過點作于，則四邊形是矩形，∴，，∴點的坐標為；（2）解：當時，，∴點坐標為，∴，根據(jù)（1）中結(jié)論，四邊形是矩形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：存在∵點在軸上，O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴軸且，根據(jù)（1），點，∴，解得：，∴點，∴，①點在點的左邊時，，∴點的坐標為，②點在點的右邊時，，∴點的坐標為，③作關于的對稱點，則也符合，點的坐標為，綜上所述：或或．【點睛】本題考查坐標與圖形，一次函數(shù)與坐標軸交點，矩形性質(zhì)及判定，平行四邊形性質(zhì)，全等三角形判定及性質(zhì)．16．如圖，在中，，，，E是上一點，連接，.(1)如圖1，若分別平分和，求證：；(2)如圖2，連接交于O，若，，求的長；(3)在（1）的條件下，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，直線交于F，當時，求的面積.【答案】(1)見解析(2)AB＝4+(3)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線的性質(zhì)可得，即可得，進而可證明結(jié)論．（2）過點E作于點M，證明為等邊三角形，可得，，再利用平行四邊形的性質(zhì)可，即可求解，的長，再通過證明，可得，可求解的長，進而可求解．（3）過點作交的延長線于點，連接，易求，的長，再利用勾股定理求解的長，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)利用含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解，，的長，再利用三角形的面積公式根據(jù)即可求解．【詳解】（