第三單元：等積變形問題專項(xiàng)練習(xí)-2022-2023學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

2022-2023學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列之第三單元：等積變形問題專項(xiàng)練習(xí)（解析版）一、填空題。1．把一塊棱長6cm的正方體鋼塊，鍛造成一根長方體鋼材。鋼材的橫截面是邊長1.5cm的正方形，這根長方體鋼材的長是()cm。【答案】96【分析】根據(jù)正方體的體積公式：，長方體的體積公式：，那么，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?×6×6÷（1.5×1.5）＝216÷2.25＝96（cm）這根長方體鋼材的長是96cm?！军c(diǎn)睛】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。2．一段鐵塊可以鑄成一個(gè)長8cm、寬4cm、高6cm的長方體，如果用它鑄成一個(gè)正方體，這個(gè)正方體的體積()cm3?！敬鸢浮?92【分析】根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)求出長方體的體積，鑄成正方體后，體積不變，所以正方體的體積等于長方體的體積，即可得解?！驹斀狻?×4×6＝192（cm3）即這個(gè)正方體的體積是192cm3?！军c(diǎn)睛】此題主要考查等積變形，雖然形狀改變，但體積不變。3．把一塊棱長10cm的正方體鐵塊，鍛造成寬5cm，高10cm的長方體鐵條，這個(gè)鐵條的長是()cm。【答案】20【分析】根據(jù)題意，把正方體的鐵塊鍛造成長方體，只是形狀改變了，體積沒有變，根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求出鐵塊的體積，再用鐵塊的體積除以長方體的寬和高的乘積，即可求出長方體的長，由此解答。【詳解】10×10×10÷（5×10）＝1000÷50＝20（cm）【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體和正方體的體積計(jì)算，利用長方體和正方體的體積計(jì)算方法解決有關(guān)的實(shí)際問題。4．把一塊棱長為10cm的正方體橡皮泥，捏成長25cm，寬8cm的長方體，捏成的長方體的高是()cm?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長；代入數(shù)據(jù)，求出正方體的體積；由于體積不變，長方體體積等于正方體體積；根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高；高＝體積÷長÷寬；代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?0×10×10÷25÷8＝100×10÷25÷8＝1000÷25÷8＝40÷8＝5（cm）【點(diǎn)睛】根據(jù)正方體體積公式和長方體體積公式進(jìn)行解答，關(guān)鍵是熟記公式，靈活運(yùn)用。5．一塊棱長為6分米的正方體鋼坯，重新鍛造成橫截面為9平方分米的長方體鋼材，這個(gè)長方體的長是()分米。【答案】24【分析】根據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出鋼坯體積，再根據(jù)長方體的長＝體積÷橫截面，列式計(jì)算即可?！驹斀狻?×6×6＝216（立方分米）216÷9＝24（分米）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長方體和正方體體積公式。6．有一個(gè)長是50厘米，寬是10厘米，高是10厘米的全封閉的容器，里面裝有8厘米高的水，如果將這容器豎放，水面的高是()厘米?！敬鸢浮?0【分析】由題意可知，無論容器橫放還是豎放，容器內(nèi)水的體積不變。首先根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh求出水的體積，這里需要注意，求水的體積時(shí)高的數(shù)據(jù)應(yīng)該代入水面的真實(shí)高度，而不是容器的高，然后用水的體積除以豎著放置時(shí)容器的底面積即可。【詳解】水的體積為：50×10×8＝500×8＝4000（立方厘米）豎著放時(shí)底面積為：10×10＝100（平方厘米）豎著放時(shí)，水面高度為：4000÷100＝40（厘米）【點(diǎn)睛】本題主要考查了長方體的容積（體積）公式的靈活運(yùn)用，理解無論容器怎么放置，里面水的體積不變是解題的關(guān)鍵。7．一個(gè)正方體的表面積是216dm2，它的體積是()dm3。把28L水倒入一個(gè)長40cm、寬25cm、高40cm的長方體玻璃水槽內(nèi)，這個(gè)水槽水深()cm。【答案】

216

28【分析】根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，據(jù)此求出棱長，再根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式即可解答；把28L水倒入長方體玻璃水槽內(nèi)，水的體積不變，水槽的底面積等于長×寬，根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，用水的體積除以水槽的底面積即可求出水的深度?！驹斀狻?16÷6＝36（dm2），因?yàn)?的平方是36，所以正方體的棱長是6dm，6×6×6＝216（dm3）28L＝28dm3＝28000cm328000÷（40×25）＝28000÷1000＝28（cm）【點(diǎn)睛】此題主要考查正方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，同時(shí)利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，通過等積變形，解決實(shí)際問題。二、解答題。8．因?yàn)樾枰S把一個(gè)棱長為6分米的正方體鋼坯鍛造成了一個(gè)長18分米、寬4分米的長方體鋼坯，這個(gè)新鋼坯的高是多少分米？【答案】3分米【分析】先根據(jù)正方體的體積計(jì)算公式計(jì)算出這個(gè)正方體鋼坯的體積，再用它的體積先除以18、再除以4，即可求出這個(gè)新鋼坯的高是多少分米?！驹斀狻?×6×6÷18÷4＝216÷18÷4＝3（分米）答：這個(gè)新鋼坯的高是3分米?！军c(diǎn)睛】熟記：長方體體積＝長×寬×高、正方體體積＝棱長×棱長×棱長，是解答此題的關(guān)鍵。9．把一個(gè)棱長是10厘米的正方體橡皮泥捏成一個(gè)長20厘米，寬10厘米的長方體。這個(gè)長方體橡皮泥高是多少厘米？【答案】5厘米【分析】根據(jù)體積的意義，物體所占空間的大小叫做物體的體積。由此可知，把一個(gè)正方體的橡皮泥無論捏成什么形狀，體積不變。根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?0×10×10÷（20×10）＝1000÷200＝5（厘米）答：這個(gè)長方體橡皮泥的高是5厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。10．把一塊棱長是0.8分米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)高是5厘米，寬是4厘米的長方體鐵塊，熔鑄后鐵塊的長是多少厘米？【答案】25.6厘米【分析】由題意可知，長方體和正方體的體積相等，利用“正方體的體積＝棱長×棱長×棱長”表示出正方體的體積，再根據(jù)“長＝長方體的體積÷寬÷高”求出熔鑄后鐵塊的長，據(jù)此解答?！驹斀狻?.8分米＝8厘米8×8×8÷5÷4＝512÷5÷4＝102.4÷4＝25.6（厘米）答：熔鑄后鐵塊的長是25.6厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正方體、長方體體積公式的運(yùn)用，理解把正方體鐵塊熔鑄成長方體鐵塊體積不變是解答題目的關(guān)鍵。11．有一個(gè)棱長是9分米的正方體鋼錠，要把它熔鑄成一個(gè)底面是正方形，底面周長是12分米的長方體鋼材，鋼材長是多少米？【答案】81分米【分析】根據(jù)正方體的體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出這個(gè)正方體鋼錠的體積；再根據(jù)正方形周長公式：周長＝邊長×4，邊長＝周長÷4；代入數(shù)據(jù)，求出熔鑄后長方體鋼材的寬和高；再根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高；長＝體積÷（寬×高），代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?2÷4＝3（分米）9×9×9÷（3×3）＝81×9÷9＝729÷9＝81（分米）答：鋼材長是81分米。【點(diǎn)睛】本題考查正方體體積公式、長方體體積公式以及正方形周長公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式，靈活運(yùn)用。12．把一塊棱長為10厘米的正方體鋼塊鍛造成橫截面是邊長為5厘米的正方形的長方體鋼條。這根鋼條的長是多少分米？【答案】4分米【分析】將正方體鋼塊鍛造成長方體鋼塊，體積不變，可根據(jù)正方體的體積公式求出鋼塊的體積，然后根據(jù)長方體的長＝長方體的體積÷寬÷高即可得長方體的長，再進(jìn)行單位換算即可?！驹斀狻?0×10×10÷5÷5＝1000÷5÷5＝40（厘米）40厘米＝4分米答：這根鋼條的長是4分米?！军c(diǎn)睛】本題考查了正方體體積公式和長方體體積公式的靈活應(yīng)用。13．往一個(gè)從里面量長4分米，寬3分米，高8分米的長方體玻璃容器中倒入48升水，這時(shí)水與玻璃容器的接觸面積是多少平方分米？【答案】68平方分米【分析】根據(jù)長方體的體積公式先求出水的高度，水與玻璃容器的接觸面積是5個(gè)面，即前、后、左、右和下面的面積和，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?8升＝48立方分米48÷4÷3＝12÷3＝4（分米）4×3＋4×4×2＋3×4×2＝12＋32＋24＝68（平方分米）答：這時(shí)水與玻璃容器的接觸面積是68平方分米?！军c(diǎn)睛】本題考查了長方體體積公式和表面積公式的靈活應(yīng)用，注意高是水的高度不是容器的高度。14．在一個(gè)長20厘米，寬8厘米，高10厘米的密封玻璃缸中，測(cè)得水深6厘米。然后將它的左側(cè)面朝上，這時(shí)水深多少厘米？【答案】12厘米【分析】先利用“長方體的體積＝長×寬×高”求出水的體積，翻轉(zhuǎn)后，體積不變，底面積變成長為10厘米，寬為8厘米，再根據(jù)“高＝長方體的體積÷底面積”求出水的深度，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×8×6÷（10×8）＝160×6÷80＝960÷80＝12（厘米）答：這時(shí)水深12厘米。【點(diǎn)睛】理解水的體積不變并熟練掌握長方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。15．一個(gè)正方體玻璃缸，棱長6分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個(gè)底面積為30平方分米，高為10分米的長方體水槽中，水深多少？【答案】7.2分米【分析】可先求出正方體的體積，再除以長方體水槽的底面積，可得到此時(shí)的水深?！驹斀狻?×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米?！军c(diǎn)睛】本題中綜合應(yīng)用了正方體的體積、長方體的體積，把握倒水前后水的體積不變這個(gè)條件來解答。16．有一個(gè)長方體容器，長40厘米，寬20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來放置，這時(shí)水深是多少厘米？【答案】16厘米【分析】根據(jù)長方體的體積公式，算出水的體積，容器豎起來后，底面變?yōu)殚L20厘米，寬15厘米，用體積除以豎起來后底面的長和寬，可得水的深度是多少。【詳解】40×20×6＝800×6＝4800（立方厘米）4800÷20÷15＝240÷15＝16（厘米）答：豎起來后水深是16厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了長方體的體積公式，注意水的深度是多少。17．晶晶家的廚房里有一個(gè)長方體容器，從里面量，長20厘米、寬16厘米、高10厘米，平放時(shí)水面高8厘米，如圖（1）。如果把這個(gè)容器封閉并豎起來放，如圖（2），請(qǐng)你算一算，水面的高度會(huì)是多少厘米？【答案】16厘米【分析】根據(jù)“長方體的體積＝長×寬×高”求出圖（1）長方體容器中水的體積，再利用“高＝長方體的體積÷（長×寬）”求出圖（2）長方體容器中水面的高度。【詳解】20×16×8÷（16×10）＝20×16×8÷160＝320×8÷160＝2560÷160＝16（厘米）答：水面高度是16厘米?！军c(diǎn)睛】熟練運(yùn)用長方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。18．一個(gè)密封的長方體容器（如圖），長4dm，寬1dm，高2dm，里面水深6cm?，F(xiàn)在把這個(gè)容器的左側(cè)面放在桌面上。①這時(shí)水深多少厘米？②此時(shí)，水與容器的接觸面積是多少平方厘米？【答案】①12厘米；②920平方厘米【分析】①根據(jù)長方體的體積公式V＝abh，求出長方體容器內(nèi)水的體積，由于容器內(nèi)水的體積不變，把容器的左面作為底面，所以用水的體積除以左面那個(gè)面的底面積就是水面的高度；②水與容器的接觸面的面積就是長2分米，寬1分米，高為此時(shí)水深的長方體5個(gè)面的面積，缺少上面，根據(jù)長方體的表面積解答即可?！驹斀狻?厘米＝0.6分米①4×1×0.6＝2.4（立方分米）2.4÷（2×1）＝2.4÷2＝1.2（分米）1.2分米＝12厘米答：這時(shí)水深12厘米。②2×1＋2×1.2×2＋1×1.2×2＝2＋4.8＋2.4＝9.2（平方分米）＝920（平方厘米）答：水與容器的接觸面的面積是920平方厘米?！军c(diǎn)睛】解答此題應(yīng)抓住水的體積不變，用水的體積除以長方體容器的底面積（左面那個(gè)面的面積），就是水面的高度。19．一個(gè)正方體的水槽，從里面量棱長4分米，裝滿水后倒入另一個(gè)（從里面量）長8分米，寬5分米的長方體水槽內(nèi)，水深多少分米？【答案】1.6分米【分析】根據(jù)題意，正方體的水槽裝滿水，那么水的體積等于正方體的體積，根據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出水的體積；再倒入長方體水槽內(nèi)，水的體積不變，根據(jù)長方體的高＝體積÷長÷寬，即可求出水的高度?！驹斀狻空襟w的體積（水的體積）：4×4×4＝16×4＝64（立方分米）水深：64÷8÷5＝8÷5＝1.6（分米）答：水深1.6分米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體積、長方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住“水的體積不變”是解題的關(guān)鍵。20．一個(gè)長方體的容器（如圖），里面的水深5厘米。把這個(gè)容器蓋緊，豎放后使長10厘米、寬8厘米的面