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2022-2023學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列之第三單元:等積變形問題專項(xiàng)練習(xí)(解析版)一、填空題。1.把一塊棱長6cm的正方體鋼塊,鍛造成一根長方體鋼材。鋼材的橫截面是邊長1.5cm的正方形,這根長方體鋼材的長是()cm。【答案】96【分析】根據(jù)正方體的體積公式:,長方體的體積公式:,那么,把數(shù)據(jù)代入公式解答?!驹斀狻?×6×6÷(1.5×1.5)=216÷2.25=96(cm)這根長方體鋼材的長是96cm?!军c(diǎn)睛】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運(yùn)用,關(guān)鍵是熟記公式。2.一段鐵塊可以鑄成一個(gè)長8cm、寬4cm、高6cm的長方體,如果用它鑄成一個(gè)正方體,這個(gè)正方體的體積()cm3?!敬鸢浮?92【分析】根據(jù)長方體的體積公式:V=abh,代入數(shù)據(jù)求出長方體的體積,鑄成正方體后,體積不變,所以正方體的體積等于長方體的體積,即可得解?!驹斀狻?×4×6=192(cm3)即這個(gè)正方體的體積是192cm3?!军c(diǎn)睛】此題主要考查等積變形,雖然形狀改變,但體積不變。3.把一塊棱長10cm的正方體鐵塊,鍛造成寬5cm,高10cm的長方體鐵條,這個(gè)鐵條的長是()cm。【答案】20【分析】根據(jù)題意,把正方體的鐵塊鍛造成長方體,只是形狀改變了,體積沒有變,根據(jù)正方體的體積=棱長×棱長×棱長,求出鐵塊的體積,再用鐵塊的體積除以長方體的寬和高的乘積,即可求出長方體的長,由此解答。【詳解】10×10×10÷(5×10)=1000÷50=20(cm)【點(diǎn)睛】此題主要考查長方體和正方體的體積計(jì)算,利用長方體和正方體的體積計(jì)算方法解決有關(guān)的實(shí)際問題。4.把一塊棱長為10cm的正方體橡皮泥,捏成長25cm,寬8cm的長方體,捏成的長方體的高是()cm?!敬鸢浮?【分析】根據(jù)正方體體積公式:體積=棱長×棱長×棱長;代入數(shù)據(jù),求出正方體的體積;由于體積不變,長方體體積等于正方體體積;根據(jù)長方體體積公式:體積=長×寬×高;高=體積÷長÷寬;代入數(shù)據(jù),即可解答?!驹斀狻?0×10×10÷25÷8=100×10÷25÷8=1000÷25÷8=40÷8=5(cm)【點(diǎn)睛】根據(jù)正方體體積公式和長方體體積公式進(jìn)行解答,關(guān)鍵是熟記公式,靈活運(yùn)用。5.一塊棱長為6分米的正方體鋼坯,重新鍛造成橫截面為9平方分米的長方體鋼材,這個(gè)長方體的長是()分米。【答案】24【分析】根據(jù)正方體體積=棱長×棱長×棱長,求出鋼坯體積,再根據(jù)長方體的長=體積÷橫截面,列式計(jì)算即可?!驹斀狻?×6×6=216(立方分米)216÷9=24(分米)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長方體和正方體體積公式。6.有一個(gè)長是50厘米,寬是10厘米,高是10厘米的全封閉的容器,里面裝有8厘米高的水,如果將這容器豎放,水面的高是()厘米?!敬鸢浮?0【分析】由題意可知,無論容器橫放還是豎放,容器內(nèi)水的體積不變。首先根據(jù)長方體的體積公式:V=abh求出水的體積,這里需要注意,求水的體積時(shí)高的數(shù)據(jù)應(yīng)該代入水面的真實(shí)高度,而不是容器的高,然后用水的體積除以豎著放置時(shí)容器的底面積即可。【詳解】水的體積為:50×10×8=500×8=4000(立方厘米)豎著放時(shí)底面積為:10×10=100(平方厘米)豎著放時(shí),水面高度為:4000÷100=40(厘米)【點(diǎn)睛】本題主要考查了長方體的容積(體積)公式的靈活運(yùn)用,理解無論容器怎么放置,里面水的體積不變是解題的關(guān)鍵。7.一個(gè)正方體的表面積是216dm2,它的體積是()dm3。把28L水倒入一個(gè)長40cm、寬25cm、高40cm的長方體玻璃水槽內(nèi),這個(gè)水槽水深()cm。【答案】
216
28【分析】根據(jù)正方體的表面積公式:S=6a2,據(jù)此求出棱長,再根據(jù)正方體的體積公式:V=a3,把數(shù)據(jù)代入公式即可解答;把28L水倒入長方體玻璃水槽內(nèi),水的體積不變,水槽的底面積等于長×寬,根據(jù)長方體的體積公式:V=Sh,用水的體積除以水槽的底面積即可求出水的深度?!驹斀狻?16÷6=36(dm2),因?yàn)?的平方是36,所以正方體的棱長是6dm,6×6×6=216(dm3)28L=28dm3=28000cm328000÷(40×25)=28000÷1000=28(cm)【點(diǎn)睛】此題主要考查正方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用,同時(shí)利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,通過等積變形,解決實(shí)際問題。二、解答題。8.因?yàn)樾枰S把一個(gè)棱長為6分米的正方體鋼坯鍛造成了一個(gè)長18分米、寬4分米的長方體鋼坯,這個(gè)新鋼坯的高是多少分米?【答案】3分米【分析】先根據(jù)正方體的體積計(jì)算公式計(jì)算出這個(gè)正方體鋼坯的體積,再用它的體積先除以18、再除以4,即可求出這個(gè)新鋼坯的高是多少分米?!驹斀狻?×6×6÷18÷4=216÷18÷4=3(分米)答:這個(gè)新鋼坯的高是3分米?!军c(diǎn)睛】熟記:長方體體積=長×寬×高、正方體體積=棱長×棱長×棱長,是解答此題的關(guān)鍵。9.把一個(gè)棱長是10厘米的正方體橡皮泥捏成一個(gè)長20厘米,寬10厘米的長方體。這個(gè)長方體橡皮泥高是多少厘米?【答案】5厘米【分析】根據(jù)體積的意義,物體所占空間的大小叫做物體的體積。由此可知,把一個(gè)正方體的橡皮泥無論捏成什么形狀,體積不變。根據(jù)正方體的體積公式:V=a3,長方體的體積公式:V=abh,那么h=V÷(ab),把數(shù)據(jù)代入公式解答?!驹斀狻?0×10×10÷(20×10)=1000÷200=5(厘米)答:這個(gè)長方體橡皮泥的高是5厘米?!军c(diǎn)睛】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運(yùn)用,關(guān)鍵是熟記公式。10.把一塊棱長是0.8分米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)高是5厘米,寬是4厘米的長方體鐵塊,熔鑄后鐵塊的長是多少厘米?【答案】25.6厘米【分析】由題意可知,長方體和正方體的體積相等,利用“正方體的體積=棱長×棱長×棱長”表示出正方體的體積,再根據(jù)“長=長方體的體積÷寬÷高”求出熔鑄后鐵塊的長,據(jù)此解答?!驹斀狻?.8分米=8厘米8×8×8÷5÷4=512÷5÷4=102.4÷4=25.6(厘米)答:熔鑄后鐵塊的長是25.6厘米?!军c(diǎn)睛】本題主要考查正方體、長方體體積公式的運(yùn)用,理解把正方體鐵塊熔鑄成長方體鐵塊體積不變是解答題目的關(guān)鍵。11.有一個(gè)棱長是9分米的正方體鋼錠,要把它熔鑄成一個(gè)底面是正方形,底面周長是12分米的長方體鋼材,鋼材長是多少米?【答案】81分米【分析】根據(jù)正方體的體積公式:體積=棱長×棱長×棱長,代入數(shù)據(jù),求出這個(gè)正方體鋼錠的體積;再根據(jù)正方形周長公式:周長=邊長×4,邊長=周長÷4;代入數(shù)據(jù),求出熔鑄后長方體鋼材的寬和高;再根據(jù)長方體體積公式:體積=長×寬×高;長=體積÷(寬×高),代入數(shù)據(jù),即可解答?!驹斀狻?2÷4=3(分米)9×9×9÷(3×3)=81×9÷9=729÷9=81(分米)答:鋼材長是81分米。【點(diǎn)睛】本題考查正方體體積公式、長方體體積公式以及正方形周長公式的應(yīng)用,關(guān)鍵是熟記公式,靈活運(yùn)用。12.把一塊棱長為10厘米的正方體鋼塊鍛造成橫截面是邊長為5厘米的正方形的長方體鋼條。這根鋼條的長是多少分米?【答案】4分米【分析】將正方體鋼塊鍛造成長方體鋼塊,體積不變,可根據(jù)正方體的體積公式求出鋼塊的體積,然后根據(jù)長方體的長=長方體的體積÷寬÷高即可得長方體的長,再進(jìn)行單位換算即可?!驹斀狻?0×10×10÷5÷5=1000÷5÷5=40(厘米)40厘米=4分米答:這根鋼條的長是4分米?!军c(diǎn)睛】本題考查了正方體體積公式和長方體體積公式的靈活應(yīng)用。13.往一個(gè)從里面量長4分米,寬3分米,高8分米的長方體玻璃容器中倒入48升水,這時(shí)水與玻璃容器的接觸面積是多少平方分米?【答案】68平方分米【分析】根據(jù)長方體的體積公式先求出水的高度,水與玻璃容器的接觸面積是5個(gè)面,即前、后、左、右和下面的面積和,據(jù)此解答即可?!驹斀狻?8升=48立方分米48÷4÷3=12÷3=4(分米)4×3+4×4×2+3×4×2=12+32+24=68(平方分米)答:這時(shí)水與玻璃容器的接觸面積是68平方分米?!军c(diǎn)睛】本題考查了長方體體積公式和表面積公式的靈活應(yīng)用,注意高是水的高度不是容器的高度。14.在一個(gè)長20厘米,寬8厘米,高10厘米的密封玻璃缸中,測(cè)得水深6厘米。然后將它的左側(cè)面朝上,這時(shí)水深多少厘米?【答案】12厘米【分析】先利用“長方體的體積=長×寬×高”求出水的體積,翻轉(zhuǎn)后,體積不變,底面積變成長為10厘米,寬為8厘米,再根據(jù)“高=長方體的體積÷底面積”求出水的深度,據(jù)此解答?!驹斀狻?0×8×6÷(10×8)=160×6÷80=960÷80=12(厘米)答:這時(shí)水深12厘米。【點(diǎn)睛】理解水的體積不變并熟練掌握長方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。15.一個(gè)正方體玻璃缸,棱長6分米,用它裝滿水,再把水全部倒入一個(gè)底面積為30平方分米,高為10分米的長方體水槽中,水深多少?【答案】7.2分米【分析】可先求出正方體的體積,再除以長方體水槽的底面積,可得到此時(shí)的水深?!驹斀狻?×6×6÷30=216÷30=7.2(分米)答:水深7.2分米?!军c(diǎn)睛】本題中綜合應(yīng)用了正方體的體積、長方體的體積,把握倒水前后水的體積不變這個(gè)條件來解答。16.有一個(gè)長方體容器,長40厘米,寬20厘米,高15厘米,里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊,再朝左豎起來放置,這時(shí)水深是多少厘米?【答案】16厘米【分析】根據(jù)長方體的體積公式,算出水的體積,容器豎起來后,底面變?yōu)殚L20厘米,寬15厘米,用體積除以豎起來后底面的長和寬,可得水的深度是多少。【詳解】40×20×6=800×6=4800(立方厘米)4800÷20÷15=240÷15=16(厘米)答:豎起來后水深是16厘米?!军c(diǎn)睛】本題主要考查了長方體的體積公式,注意水的深度是多少。17.晶晶家的廚房里有一個(gè)長方體容器,從里面量,長20厘米、寬16厘米、高10厘米,平放時(shí)水面高8厘米,如圖(1)。如果把這個(gè)容器封閉并豎起來放,如圖(2),請(qǐng)你算一算,水面的高度會(huì)是多少厘米?【答案】16厘米【分析】根據(jù)“長方體的體積=長×寬×高”求出圖(1)長方體容器中水的體積,再利用“高=長方體的體積÷(長×寬)”求出圖(2)長方體容器中水面的高度。【詳解】20×16×8÷(16×10)=20×16×8÷160=320×8÷160=2560÷160=16(厘米)答:水面高度是16厘米?!军c(diǎn)睛】熟練運(yùn)用長方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。18.一個(gè)密封的長方體容器(如圖),長4dm,寬1dm,高2dm,里面水深6cm?,F(xiàn)在把這個(gè)容器的左側(cè)面放在桌面上。①這時(shí)水深多少厘米?②此時(shí),水與容器的接觸面積是多少平方厘米?【答案】①12厘米;②920平方厘米【分析】①根據(jù)長方體的體積公式V=abh,求出長方體容器內(nèi)水的體積,由于容器內(nèi)水的體積不變,把容器的左面作為底面,所以用水的體積除以左面那個(gè)面的底面積就是水面的高度;②水與容器的接觸面的面積就是長2分米,寬1分米,高為此時(shí)水深的長方體5個(gè)面的面積,缺少上面,根據(jù)長方體的表面積解答即可?!驹斀狻?厘米=0.6分米①4×1×0.6=2.4(立方分米)2.4÷(2×1)=2.4÷2=1.2(分米)1.2分米=12厘米答:這時(shí)水深12厘米。②2×1+2×1.2×2+1×1.2×2=2+4.8+2.4=9.2(平方分米)=920(平方厘米)答:水與容器的接觸面的面積是920平方厘米?!军c(diǎn)睛】解答此題應(yīng)抓住水的體積不變,用水的體積除以長方體容器的底面積(左面那個(gè)面的面積),就是水面的高度。19.一個(gè)正方體的水槽,從里面量棱長4分米,裝滿水后倒入另一個(gè)(從里面量)長8分米,寬5分米的長方體水槽內(nèi),水深多少分米?【答案】1.6分米【分析】根據(jù)題意,正方體的水槽裝滿水,那么水的體積等于正方體的體積,根據(jù)正方體體積=棱長×棱長×棱長,求出水的體積;再倒入長方體水槽內(nèi),水的體積不變,根據(jù)長方體的高=體積÷長÷寬,即可求出水的高度?!驹斀狻空襟w的體積(水的體積):4×4×4=16×4=64(立方分米)水深:64÷8÷5=8÷5=1.6(分米)答:水深1.6分米?!军c(diǎn)睛】本題考查正方體積、長方體體積公式的靈活運(yùn)用,抓住“水的體積不變”是解題的關(guān)鍵。20.一個(gè)長方體的容器(如圖),里面的水深5厘米。把這個(gè)容器蓋緊,豎放后使長10厘米、寬8厘米的面
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