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第5章分式與分式方程知識(shí)點(diǎn)01:分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1.分式一般地,如果A、B表示兩個(gè)整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.易錯(cuò)指導(dǎo):分式中的分母表示除數(shù),由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母不能為0,即當(dāng)B≠0時(shí),分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)
(M為不等于0的整式).
3.最簡(jiǎn)分式分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子、分母中含有公因式,要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).知識(shí)點(diǎn)02:分式的運(yùn)算1.約分利用分式的基本性質(zhì),把一個(gè)分式的分子和分母中的公因式約去,不改變分式的值,這樣的分式變形叫做分式的約分.2.通分利用分式的基本性質(zhì),使分子和分母同乘以適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹?,把異分母的分式化為同分母的分式,這樣的分式變形叫做分式的通分.3.基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:(1)加減運(yùn)算QUOTE;同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.;異分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?,再加減.(2)乘法運(yùn)算,其中是整式,.兩個(gè)分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.(3)除法運(yùn)算,其中是整式,.兩個(gè)分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后,與被除式相乘.(4)乘方運(yùn)算分式的乘方,把分子、分母分別乘方.
4.分式的混合運(yùn)算順序先算乘方,再算乘除,最后加減,有括號(hào)先算括號(hào)里面的.知識(shí)點(diǎn)03:分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.3.分式方程的增根問(wèn)題增根的產(chǎn)生:分式方程本身隱含著分母不為0的條件,當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后,方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了,如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0,那么就會(huì)出現(xiàn)不適合原方程的根---增根.易錯(cuò)指導(dǎo):因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根,所以解分式方程必須驗(yàn)根.驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中,看它是否為0,如果為0,即為增根,不為0,就是原方程的解.知識(shí)點(diǎn)04:分式方程的應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似,但要稍復(fù)雜一些.解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié),從而正確列出方程,并進(jìn)行求解.一.選擇題(共10小題,滿分20分,每小題2分)1.(2分)(2023春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中)若關(guān)于x的不等式組有解且至多有5個(gè)整數(shù)解,且關(guān)于y的方程的解為整數(shù),則符合條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.32.(2分)(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)若關(guān)于x的不等式的解集為x>4,且關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解,則滿足條件的所有整數(shù)m的和為()A.5 B.6 C.7 D.93.(2分)(2023春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考)若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解,使關(guān)于y的不等式組有且僅有2個(gè)奇數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)a之積為()A.﹣12 B.0 C.72 D.1444.(2分)(2023?景縣校級(jí)模擬)已知a≠﹣1,b≠﹣1,設(shè)M=,N=,結(jié)論Ⅰ:當(dāng)ab=1時(shí),M=N;結(jié)論Ⅱ:當(dāng)a+b=0時(shí),M?N≤0,對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是()A.Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B.Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C.Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D.Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)5.(2分)(2022秋?德州期末)如果關(guān)于x的不等式組的解集為x<1,且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)數(shù)解,則所有符合條件的整數(shù)m的值之和是()A.﹣2 B.0 C.3 D.56.(2分)(2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末)若關(guān)于x的不等式組無(wú)解,且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解,則滿足條件的所有整數(shù)a的和為()A.11 B.14 C.16 D.97.(2分)(2022秋?石門(mén)縣期末)2021年是抗擊新冠肺炎不平凡的一年,某醫(yī)藥用品公司用10000元購(gòu)進(jìn)一批醫(yī)用級(jí)防護(hù)服若干件,很快售完;該醫(yī)藥公司又用14700元購(gòu)進(jìn)第二批這種醫(yī)用級(jí)防護(hù)服,所進(jìn)件數(shù)比第一批多40%,每件防護(hù)服的進(jìn)價(jià)比第一批每件防護(hù)服的進(jìn)價(jià)多10元.求第一批購(gòu)進(jìn)多少件防護(hù)服?設(shè)第一批購(gòu)進(jìn)x件防護(hù)服,所列方程為()A. B. C. D.8.(2分)(2022秋?合肥期末)已知關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x>2,且關(guān)于y的分式方程的解為正整數(shù),則所有滿足條件的所有整數(shù)a的和為()A.2 B.5 C.6 D.99.(2分)(2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末)已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù),關(guān)于y的不等式組,恰好有三個(gè)整數(shù)解,則所有滿足條件的整數(shù)a的和是()A.1 B.3 C.4 D.610.(2分)(2021?澧縣模擬)若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組至少有五個(gè)整數(shù)解,關(guān)于y的分式方程﹣=2有非負(fù)整數(shù)解,則滿足條件的所有整數(shù)a之和是()A.15 B.14 C.8 D.7二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)11.(2分)(2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬)若m使得關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有兩個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于y的分式方程的解為正數(shù),則符合條件的所有整數(shù)m的和為.12.(2分)(2023春?武侯區(qū)校級(jí)期中)關(guān)于x的不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解,且的值為正整數(shù),則整數(shù)m的值為.13.(2分)(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)若關(guān)于y的不等式組的解集為y≤﹣4,且關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是.14.(2分)(2023?順慶區(qū)校級(jí)二模)已知x2﹣3x+1=0,則x3﹣2x+的值為.15.(2分)(2023春?銅梁區(qū)校級(jí)期中)若實(shí)數(shù)a使得關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解,并且使關(guān)于y的一元一次不等式組有且僅有4個(gè)整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為個(gè).16.(2分)(2023春?郫都區(qū)校級(jí)期中)若關(guān)于x的不等式組有且僅有五個(gè)整數(shù)解,且關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解,求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為.17.(2分)(2022春?成都期末)關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù),則a的取值范圍是.18.(2分)(2021秋?桂平市期末)若關(guān)于x的分式方程﹣=1無(wú)解,則m的值為.19.(2分)(2021秋?長(zhǎng)沙期末)若3x﹣4y﹣z=0,2x+y﹣8z=0,則的值為.20.(2分)(2020秋?北京期末)依據(jù)如圖流程圖計(jì)算﹣,需要經(jīng)歷的路徑是(只填寫(xiě)序號(hào)),輸出的運(yùn)算結(jié)果是.三.解答題(共8小題,滿分60分)21.(6分)(2023?新?lián)釁^(qū)模擬)先化簡(jiǎn),再求值:()÷,其中.22.(8分)(2023春?福田區(qū)校級(jí)期中)(1)解不等式x﹣5>3(x﹣3),并寫(xiě)出它的所有自然數(shù)解;(2)解不等式組,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái);解方程程;(4)解方程:.23.(6分)(2023春?泉港區(qū)期中)為了迎接五一黃金周的購(gòu)物高峰,某品牌專賣(mài)店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋,其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格甲乙進(jìn)價(jià)(元/雙)mm﹣30售價(jià)(元/雙)240160已知:用3000元購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同.(1)求m的值.(2)若購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋x(雙),要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤(rùn)y(元)(利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))不少于13000元且不超過(guò)13500元,問(wèn):購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋多少雙時(shí)總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?24.(8分)(2023春?青羊區(qū)校級(jí)期中)某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車,隨著汽車的普及,其價(jià)格也在不斷下降,今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元,如果賣(mài)出相同數(shù)量的A款汽車,去年銷售額為100萬(wàn)元,今年銷售額只有90萬(wàn)元.(1)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元?(2)為了增加收入,汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車,已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元,B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元,公司預(yù)計(jì)用不多于105萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款汽車共15輛,且A款汽車的數(shù)量不少于6輛,有幾種進(jìn)貨方案?25.(8分)(2023春?海口期中)“菊潤(rùn)初經(jīng)雨,橙香獨(dú)占秋”,海南瓊中綠橙甘甜爽口,富含豐富的維生素C.某水果基地決定將一批綠橙運(yùn)往外地銷售.現(xiàn)有甲、乙兩種貨車,已知甲種貨車比乙種貨車每輛車多裝20箱綠橙,且甲種貨車裝運(yùn)1000箱綠橙所需車輛數(shù)與乙種貨車裝運(yùn)800箱綠橙所需車輛數(shù)相等.求甲、乙兩種貨車每輛分別可裝多少箱綠橙?26.(8分)(2023春?安溪縣期中)某茶葉店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種茶葉進(jìn)行銷售,兩種茶葉的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下:茶葉品種進(jìn)價(jià)(元/斤)售價(jià)(元/斤)甲a200乙a+50300已知用4000元購(gòu)進(jìn)甲種茶葉的數(shù)量與用6000元購(gòu)進(jìn)乙種茶葉的數(shù)量相同.(1)求a的值;(2)茶葉店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種茶葉共300斤,其中甲種茶葉不少于80斤且不超過(guò)120斤.①求銷售完這兩種茶葉的最大利潤(rùn);②“五一”期間,茶葉店讓利銷售,將乙種茶葉的售價(jià)每斤降低m元(m<50),甲種茶葉的售價(jià)不變,為保證銷售完這兩種茶葉的利潤(rùn)的最小值不低于31800元,求m的最大值.27.(8分)(2022秋?青云譜區(qū)期末)一項(xiàng)工程,甲、乙兩公司合做,12天可以完成,如果甲乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍.(1)甲、乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,各需多少天?(2)若已知甲乙合做完成此項(xiàng)工程共需費(fèi)用102000元,并且乙公司每天費(fèi)用比甲公司每天費(fèi)用少1500元,分別計(jì)算甲、乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少費(fèi)用并選擇合理的施工方案.28.(8分)(2022秋?德州期末)某社區(qū)去年購(gòu)買(mǎi)了A、B兩種型號(hào)的共享單車,購(gòu)買(mǎi)A種單車共花費(fèi)15000元,購(gòu)買(mǎi)B種單車共花費(fèi)14000元,購(gòu)買(mǎi)A種單車的數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)B種
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