第5章 分式與分式方程（學(xué)生版）

第5章分式與分式方程知識點01：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.易錯指導(dǎo)：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)B≠0時，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子、分母中含有公因式，要進(jìn)行約分化簡.知識點02：分式的運算1．約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母中的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘以適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運算法則分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算QUOTE；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.（2）乘法運算，其中是整式，.兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算，其中是整式，.兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.知識點03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根---增根.易錯指導(dǎo)：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.知識點04：分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?九龍坡區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組有解且至多有5個整數(shù)解，且關(guān)于y的方程的解為整數(shù)，則符合條件的整數(shù)m的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2分）（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）若關(guān)于x的不等式的解集為x＞4，且關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)m的和為（）A．5 B．6 C．7 D．93．（2分）（2023春?九龍坡區(qū)校級月考）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，使關(guān)于y的不等式組有且僅有2個奇數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a之積為（）A．﹣12 B．0 C．72 D．1444．（2分）（2023?景縣校級模擬）已知a≠﹣1，b≠﹣1，設(shè)M＝，N＝，結(jié)論Ⅰ：當(dāng)ab＝1時，M＝N；結(jié)論Ⅱ：當(dāng)a+b＝0時，M?N≤0，對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對5．（2分）（2022秋?德州期末）如果關(guān)于x的不等式組的解集為x＜1，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)m的值之和是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．56．（2分）（2022秋?北碚區(qū)校級期末）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．11 B．14 C．16 D．97．（2分）（2022秋?石門縣期末）2021年是抗擊新冠肺炎不平凡的一年，某醫(yī)藥用品公司用10000元購進(jìn)一批醫(yī)用級防護(hù)服若干件，很快售完；該醫(yī)藥公司又用14700元購進(jìn)第二批這種醫(yī)用級防護(hù)服，所進(jìn)件數(shù)比第一批多40%，每件防護(hù)服的進(jìn)價比第一批每件防護(hù)服的進(jìn)價多10元．求第一批購進(jìn)多少件防護(hù)服？設(shè)第一批購進(jìn)x件防護(hù)服，所列方程為（）A． B． C． D．8．（2分）（2022秋?合肥期末）已知關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＞2，且關(guān)于y的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．2 B．5 C．6 D．99．（2分）（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，恰好有三個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．610．（2分）（2021?澧縣模擬）若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組至少有五個整數(shù)解，關(guān)于y的分式方程﹣＝2有非負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a之和是（）A．15 B．14 C．8 D．7二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?渝中區(qū)校級模擬）若m使得關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有兩個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為．12．（2分）（2023春?武侯區(qū)校級期中）關(guān)于x的不等式組恰有兩個整數(shù)解，且的值為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．13．（2分）（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關(guān)于y的不等式組的解集為y≤﹣4，且關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．14．（2分）（2023?順慶區(qū)校級二模）已知x2﹣3x+1＝0，則x3﹣2x+的值為．15．（2分）（2023春?銅梁區(qū)校級期中）若實數(shù)a使得關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，并且使關(guān)于y的一元一次不等式組有且僅有4個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的個數(shù)為個．16．（2分）（2023春?郫都區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組有且僅有五個整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為．17．（2分）（2022春?成都期末）關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是．18．（2分）（2021秋?桂平市期末）若關(guān)于x的分式方程﹣＝1無解，則m的值為．19．（2分）（2021秋?長沙期末）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，則的值為．20．（2分）（2020秋?北京期末）依據(jù)如圖流程圖計算﹣，需要經(jīng)歷的路徑是（只填寫序號），輸出的運算結(jié)果是．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）先化簡，再求值：（）÷，其中．22．（8分）（2023春?福田區(qū)校級期中）（1）解不等式x﹣5＞3（x﹣3），并寫出它的所有自然數(shù)解；（2）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來；解方程程；（4）解方程：．23．（6分）（2023春?泉港區(qū)期中）為了迎接五一黃金周的購物高峰，某品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運動鞋，其中甲、乙兩種運動鞋的進(jìn)價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進(jìn)價（元/雙）mm﹣30售價（元/雙）240160已知：用3000元購進(jìn)甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運動鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值．（2）若購進(jìn)乙種運動鞋x（雙），要使購進(jìn)的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤y（元）（利潤＝售價﹣進(jìn)價）不少于13000元且不超過13500元，問：購進(jìn)甲種運動鞋多少雙時總利潤最大，最大利潤是多少？24．（8分）（2023春?青羊區(qū)校級期中）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降，今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價為6萬元，公司預(yù)計用不多于105萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共15輛，且A款汽車的數(shù)量不少于6輛，有幾種進(jìn)貨方案？25．（8分）（2023春??？谄谥校熬諠櫝踅?jīng)雨，橙香獨占秋”，海南瓊中綠橙甘甜爽口，富含豐富的維生素C．某水果基地決定將一批綠橙運往外地銷售．現(xiàn)有甲、乙兩種貨車，已知甲種貨車比乙種貨車每輛車多裝20箱綠橙，且甲種貨車裝運1000箱綠橙所需車輛數(shù)與乙種貨車裝運800箱綠橙所需車輛數(shù)相等．求甲、乙兩種貨車每輛分別可裝多少箱綠橙？26．（8分）（2023春?安溪縣期中）某茶葉店計劃購進(jìn)甲、乙兩種茶葉進(jìn)行銷售，兩種茶葉的進(jìn)價和售價如下：茶葉品種進(jìn)價（元/斤）售價（元/斤）甲a200乙a+50300已知用4000元購進(jìn)甲種茶葉的數(shù)量與用6000元購進(jìn)乙種茶葉的數(shù)量相同．（1）求a的值；（2）茶葉店計劃購進(jìn)甲、乙兩種茶葉共300斤，其中甲種茶葉不少于80斤且不超過120斤．①求銷售完這兩種茶葉的最大利潤；②“五一”期間，茶葉店讓利銷售，將乙種茶葉的售價每斤降低m元（m＜50），甲種茶葉的售價不變，為保證銷售完這兩種茶葉的利潤的最小值不低于31800元，求m的最大值．27．（8分）（2022秋?青云譜區(qū)期末）一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍．（1）甲、乙公司單獨完成此項工程，各需多少天？（2）若已知甲乙合做完成此項工程共需費用102000元，并且乙公司每天費用比甲公司每天費用少1500元，分別計算甲、乙單獨完成此項工程各需多少費用并選擇合理的施工方案．28．（8分）（2022秋?德州期末）某社區(qū)去年購買了A、B兩種型號的共享單車，購買A種單車共花費15000元，購買B種單車共花費14000元，購買A種單車的數(shù)量是購買B種