第二單元：因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合應用“基礎版”-2023-2024學年五年級數(shù)學下冊典型例題系列（解析版）人教版

2023-2024學年五年級數(shù)學下冊典型例題系列第二單元：因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合應用“基礎版”一、填空題。1．20的因數(shù)有()，其中最大的是()，既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的是()?！敬鸢浮?、2、4、5、10、20202【分析】列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個因數(shù)就是這個數(shù)的因數(shù)。整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)。除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！驹斀狻?0＝1×20＝2×10＝4×520的因數(shù)有1、2、4、5、10、20，其中最大的是20，既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的是2?！军c睛】關(guān)鍵是會求一個數(shù)的因數(shù)，理解質(zhì)數(shù)和偶數(shù)的分類標準。2．能同時被3和5整除的最小三位數(shù)是()，既有因數(shù)2，又是3和5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是()?！敬鸢浮?05990【分析】個位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。根據(jù)2、5、3的倍數(shù)的特征解答即可。【詳解】因為能被5整除，所以這個最小三位數(shù)個位上是0或5；又因為這個三位數(shù)最小，所以百位上最小是1，十位上最小是0，1＋0＋5＝6，6是3的倍數(shù)，所以能同時被3和5整除的最小三位數(shù)是105。因為既有因數(shù)2，又是5的倍數(shù)，所以這個最大三位數(shù)個位上是0；又因為這個三位數(shù)最大，所以百位上是9，十位上也是9，9＋9＋0＝18，18是3的倍數(shù)，所以既有因數(shù)2，又是3和5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是990。【點睛】此題考查了2、5、3的倍數(shù)的特征。求同時是2、5、3的倍數(shù)的數(shù)，可以先確定同時是2、5的倍數(shù)的數(shù)，再考慮這個數(shù)是3的倍數(shù)。3．用4、3、0這三個數(shù)字組成的三位數(shù)中有()個是偶數(shù)，組成的三位數(shù)中最小的奇數(shù)是()。【答案】3403【分析】整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)的意義解答即可。【詳解】用4、3、0這三個數(shù)字組成的三位數(shù)有430、403、340、304。其中430、340、304是偶數(shù)，共3個；403是奇數(shù)。即用4、3、0這三個數(shù)字組成的三位數(shù)中有3個偶數(shù)，組成的三位數(shù)中最小的奇數(shù)是403?！军c睛】整數(shù)中，個位上是0，2，4，6，8的數(shù)是偶數(shù)，個位上是1，3，5，7，9的數(shù)是奇數(shù)。4．20的因數(shù)有()個，20的最小倍數(shù)是()，把20寫成兩個質(zhì)數(shù)相加的形式是()＋()或()＋()。【答案】620317713【分析】求一個數(shù)的因數(shù)時，就用這個數(shù)從1開始去整除，一直除到除數(shù)和商交換位置或除數(shù)和商相同為止，除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，重復的因數(shù)只寫一個；一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個數(shù)本身；一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，先寫出20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，再找出符合條件的質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?0÷1＝2020÷2＝1020÷4＝520的因數(shù)有：1，2，4，5，10，20，一共6個因數(shù)。20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19。所以，20的因數(shù)有6個，20的最小倍數(shù)是20，把20寫成兩個質(zhì)數(shù)相加的形式是3＋17或7＋13?！军c睛】掌握因數(shù)和倍數(shù)的求法以及質(zhì)數(shù)的意義是解答題目的關(guān)鍵。5．在□里填一個數(shù)字，使“9□”既是奇數(shù)又是5的倍數(shù)。這個數(shù)字是()。在□里填一個數(shù)字，使“5□2”既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)2，這個數(shù)字最小是()?！敬鸢浮?2【分析】根據(jù)5的倍數(shù)的特征，個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)，據(jù)此解答第一空。根據(jù)2、3的倍數(shù)的特征，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)；一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)。同時是2和3的倍數(shù)的數(shù)，個位上是偶數(shù)且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。據(jù)此解答第二空?！驹斀狻恳埂?□”既是奇數(shù)又是5的倍數(shù)，□里這個數(shù)字是5；5＋2＝79－7＝2所以，在□里填一個數(shù)字，使“5□2”既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)2，這個數(shù)字最小是2?！军c睛】此題考查的目的是理解掌握2、3、5的倍數(shù)的特征及綜合應用。6．一個商場某天的收入是一個六位數(shù)（單位：元）。十萬位上的數(shù)：既是偶數(shù)，又是質(zhì)數(shù)。萬位上的數(shù)：是最小的自然數(shù)。千位上的數(shù)：既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)。百位上的數(shù)：既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。十位上的數(shù)：既是奇數(shù)，又是合數(shù)。個位上的數(shù)：既是質(zhì)數(shù)，又是奇數(shù)，并且是12的因數(shù)。你知道這個商場該天的收入是()元？【答案】204693【分析】號碼的每個數(shù)都是比10小的整數(shù)，也就是說每個數(shù)肯定是0到9兩者以及兩者之間的某個整數(shù)，那么根據(jù)偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、自然數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)的概念確定各個數(shù)位，就能得到這個商場某天的收入是204693?！驹斀狻考仁桥紨?shù)，又是質(zhì)數(shù)的數(shù)只有2，即十萬位上的數(shù)是2；最小的自然數(shù)0，即萬位上的數(shù)是0；既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)的數(shù)是4，即千位上的數(shù)是4；既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)是6，即百位上的數(shù)是6；既是奇數(shù)，又是合數(shù)的數(shù)是9，即十位上的數(shù)是9；既是質(zhì)數(shù)，又是奇數(shù)，并且是12的因數(shù)的數(shù)是3，即個位上的數(shù)是3?！军c睛】理解和掌握自然數(shù)的概念，弄清因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、以及奇數(shù)和偶數(shù)之間的區(qū)別是解題關(guān)鍵。7．哥德巴赫猜想被稱為“數(shù)學皇冠上的明珠”，中國20世紀三十年代就開始著手這一研究。新中國成立后，我國數(shù)學家陳景潤在這一領域取得了舉世矚目的成果。這一猜想是：所有大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，如：，。照這樣想：18＝()?！敬鸢浮炕颉痉治觥恳粋€數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義，先寫出18以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，再從中找出哪兩個質(zhì)數(shù)的和是18。【詳解】18以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17。其中5＋13＝18，7＋11＝18。所以18＝5＋13或18＝7＋11。【點睛】明確質(zhì)數(shù)的意義是解決此題的關(guān)鍵。8．定義運算“△”：對于兩個自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為。例如：。根據(jù)上面定義的運算，則()?！敬鸢浮?31【分析】根據(jù)題意，求得57和12的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，然后把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相加即要。【詳解】57＝3×1912＝2×2×357和12的最大公因數(shù)是：357和12的最小公倍數(shù)是：3×19×2×2＝2283＋228＝231【點睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義的新運算，找出運算方法，列式解答即可。9．哥德巴赫提出了這樣一個猜想：所有大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和。請根據(jù)該猜想把下面的偶數(shù)寫成兩個質(zhì)數(shù)的和。18＝()＋()

30＝()＋()【答案】513723【分析】一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，列舉出30以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，再找出符合條件的質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，所以18＝5＋13＝7＋11，30＝7＋23＝11＋19＝13＋17?！军c睛】掌握質(zhì)數(shù)的意義并找出30以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。10．五（1）班進行體操表演。若每行10人，則少2人；若每行8人，則正好排整行。已知這個班的學生人數(shù)在40到50之間，這個班有學生()人?！敬鸢浮?8【分析】每行8人剛好排整行，總?cè)藬?shù)是8的倍數(shù)，每行10人，則少2人，總?cè)藬?shù)加上2應該是10的倍數(shù)；在40到50之間的8的倍數(shù)有40和48，40＋2＝42不是10的倍數(shù)排除，48＋2＝50，剛好是10的倍數(shù)，符合題意?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，這個班的人數(shù)有48人。【點睛】此題考查一個數(shù)的倍數(shù)的求法，解決問題的關(guān)鍵在于明確倍數(shù)的取值范圍。二、解答題。11．丁丁也不甘示弱：你們知道著名的“斐波那契”數(shù)列嗎？它是這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，……從第三個數(shù)開始，以后每個數(shù)都是它前兩個數(shù)的和，請問：前2016個數(shù)中共有多少個偶數(shù)？【答案】672個【分析】由奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)十奇數(shù)＝奇數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中數(shù)列是以“奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……”3個一周期排列的，所以2016÷3＝672（個）周期，每個周期里有1個偶數(shù)，672×1＝672（個），即有672個偶數(shù)?！驹斀狻?016÷3＝672（個）672×1＝672（個）答：前2016個數(shù)中共有672個偶數(shù)。【點睛】找到題干中的數(shù)列規(guī)律是解題的關(guān)鍵。12．五年級學生參加舞蹈隊隊員選拔。演出時需要兩次隊形變換，一次3人一組，一次5人一組，要求不能有剩余，已經(jīng)有26人選上，至少再選多少人剛好合適？【答案】4人【分析】只要舞蹈隊的人數(shù)既是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)即可，既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征：個位上的數(shù)字是0或5，各個數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)的數(shù)，據(jù)此找到比26大，又最小的3和5的倍數(shù)，減去已選上人數(shù)即可?！驹斀狻勘?6大，又是3和5的倍數(shù)，最小是30。30－26＝4（人）答：至少再選4人剛好合適?！军c睛】關(guān)鍵是掌握3和5的倍數(shù)的特征。13．一個長方形草坪的周長是38米，它的長和寬的長度都是質(zhì)數(shù)，這個草坪的面積是多少平方米？【答案】34平方米【分析】根據(jù)長方形周長公式：周長＝（長＋寬）×2，長＋寬＝周長÷2，代入數(shù)據(jù)，求出長與寬的和；再根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義：一個自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，求出長和寬；再根據(jù)長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】38÷2＝19；19＝17＋2長方形的長是17米，寬是2米。面積：17×2＝34（平方米）答：這個草坪的面積是34平方米?！军c睛】根據(jù)長方形周長公式、面積公式，以及質(zhì)數(shù)的意義進行解答。14．有95個蘋果，如果每5個裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個裝一袋，能正好裝完嗎？如果不能，至少還需要多少個蘋果才能正好裝完？【答案】如果每5個裝一袋，能正好裝完，如果每3個裝一袋，不能正好裝完，至少還需要1個蘋果才能正好裝完【分析】先計算一下95能不能被5和3整除，如果能，就能正好裝完，反之，則不能；求至少還需幾個，先求出余數(shù)，然后用除數(shù)減去余數(shù)，即至少買的個數(shù)。【詳解】95÷5＝19（袋）95÷3＝31（袋）……2（個）3－2＝1（個）答：如果每5個裝一袋，能正好裝完，如果每3個裝一袋，不能正好裝完，至少還需要1個蘋果才能正好裝完?！军c睛】此題考查3和5的倍數(shù)特征，明確它們的倍數(shù)特征是解題的關(guān)鍵。15．體育課上同學們做游戲，把全班60人平均分成相同的幾組，每組不少于12人，不多于20人，有幾種分法？【答案】3種【分析】根據(jù)找一個數(shù)的因數(shù)的方法，可以利用乘法算式，按因數(shù)從小到大的順序一組一組地找，首先找出60的因數(shù)，通過每組不少于12人，不多于20人的條件，然后再判斷即可。【詳解】60的因數(shù)：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；每組12人，可以分成5組；每組15人，可以分成4組；每組20人，可以分成3組；答：有3種分法?！军c睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握找一個數(shù)的因數(shù)的方法。16．42名同學去參觀水立方，老師要把同學們平均分成若干小組，而且每組人數(shù)都是偶數(shù)，可以分成幾組，每組幾人？（組數(shù)大于1）（寫出思考過程）【答案】①分成21組，每組2人；②分成3組，每組14人；③分成7組，每組6人?！痉治觥繉懗龀朔e是42的所有乘法算式，偶數(shù)因數(shù)作為每組人數(shù)，另一個因數(shù)作為組數(shù)，組數(shù)不能為1?！驹斀狻?2＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7；由于組數(shù)是大于1的數(shù)，所以分成2組，每組21人，不符合題意；分成21組，每組2人，符合題意；分成3組，每組14人，符合題意；分成14組，每組3人，不符合題意；分成6組，每組7人，不符合題意；分成7組，每組6人，符合題意。答：①分成21組，每組2人；②分成3組，每組14人；③分成7組，每組6人?！军c睛】此題的關(guān)鍵是找到42的所有因數(shù)，并判斷因數(shù)的奇偶性。17．果園里有幾行果樹，每行棵數(shù)相等。下面是幾名小朋友數(shù)出的總棵數(shù)，其中只有一名小朋友數(shù)對了，你知道他是誰嗎？說明理由?！敬鸢浮啃∶?；理由見詳解【分析】由題意可知，果園里有幾行果樹，且每行果樹的棵數(shù)相等，則果樹種植的行數(shù)是總棵數(shù)的因數(shù)，果樹的總棵數(shù)除了1和它本身至少還有一個因數(shù)，一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)，所以果園里果樹的總棵數(shù)是一個合數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻恳驗?3的因數(shù)只有1和73，所以73是質(zhì)數(shù)，不符合題意；因為75的因數(shù)有：1、3，5、15、25、75，所以75是合數(shù)，符合題意；因為79的因數(shù)只有1和79，所以79是質(zhì)數(shù)，不符合題意；所以，果園里果樹的總棵數(shù)是75棵。答：小明說對了?！军c睛】本題主要考查質(zhì)數(shù)、合數(shù)的應用，掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義是解答題目的關(guān)鍵。18．中國第一次參加奧運會的年份是一個四位數(shù)。千位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，百位上的數(shù)是一位數(shù)中最大的合數(shù)，十位上的數(shù)的最小倍數(shù)是3，個位上的數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)。中國第一次參加奧運會是哪一年？【答案】1932年【分析】質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。合數(shù)是指在大于1的整數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)。1既不屬于質(zhì)數(shù)也不屬于合數(shù)?！驹斀狻扛鶕?jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義可知，不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的是1，最大的一位數(shù)合數(shù)是9，最小的倍數(shù)是3的數(shù)是3，最小的質(zhì)數(shù)是2。答：中國第一次參加奧運會是1932年?！军c睛】本題考查質(zhì)數(shù)、合數(shù)、倍數(shù)的認識，根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、倍數(shù)的定義進行解答即可。19．小明家