福建省廈門松柏中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025松柏中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期月考試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若向量，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算．解答：選項(xiàng)A、．選項(xiàng)B、選項(xiàng)C、，正確．選項(xiàng)D、因?yàn)樗詢上蛄坎黄叫校?.已知向量滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【詳解】由，得，兩邊平方得，而，所以.故選：A3.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則A.3 B. C. D.12【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)余弦定理列方程解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?因此，選C.【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.4.已知在矩形中，，線段交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì)，從出發(fā)進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)行合理的“插點(diǎn)”，使其能被表示即可.【詳解】依題意得，結(jié)合圖形有：.故選：D5.已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將=1兩邊平方得到向量的數(shù)量積，再根據(jù)在方向上的投影向量公式得出結(jié)果.【詳解】由已知，因?yàn)?，所?所以在方向上的投影向量為.故選：B．6.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為BC邊上一點(diǎn)，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，可求，可求的面積.【詳解】因?yàn)樵谥?，，又為邊上一點(diǎn)，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選:D.7.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，再由和角公式化簡(jiǎn)可得或，最后分類討論即可.【詳解】由正弦定理，得，所以，故，所以或，即或，故為直角三角形或等腰三角形．選：D．8.如圖所示，半圓直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算得，取數(shù)量積運(yùn)算得到，且，方向相反，設(shè)，將所求式子化為，用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由平行四邊形法則得，故，，且，方向相反，設(shè)，則．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，．則b可以為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理可得，由得，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】在△ABC中，，，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)椋?，所以b可以為7，8，故選：AB.10.如圖，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用向量相等的定義即可求解，兩個(gè)向量相等必須是大小相等且方向相同.【詳解】由題知，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，所以，，，對(duì)于A：且方向相同，所以，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：且方向相同，所以，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11.在中，，周長(zhǎng)為10，面積為，則（）A.為鈍角三角形 B.C. D.邊上的高為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理求出的值，判斷各項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則，①，即，②再根據(jù)余弦定理，得，③由①②③解得，故C正確；，故B正確；設(shè)邊上的高為，則，得，故D正確；由，得或，可知4為最長(zhǎng)邊，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角最大，設(shè)為，，所以，則為銳角，所以為銳角三角形，故A錯(cuò)誤．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則______．【答案】##0.8【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)代入題設(shè)方程求得的值，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即得.【詳解】因，，則，解得，則，故．故答案為：.13.如圖，作用于同一點(diǎn)三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，所以，則，所以.故答案為：.14.已知在中，角所對(duì)的邊分別為，，是的中點(diǎn)，若，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理及兩角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由，根據(jù)正弦定理得，，即，所以．又因?yàn)?，，所以，所以．在中，，①在中，，②因?yàn)?，所以，①②可得，又因?yàn)?，所以，即，所以，令，則，即，解得，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與夾角.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）由向量的共線定理求解；（2）由向量垂直的坐標(biāo)公式及數(shù)量積應(yīng)用求解．【小問1詳解】∵；∴設(shè)，且，；∴；∴；∴，或；【小問2詳解】∵與垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴與的夾角.16.已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若的面積為3，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，利用正弦定理求a；（2）分別利用面積和余弦定理列方程組，即可求出的值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，B為內(nèi)角，所以，由正弦定理得，即，解得；（2）由的面積得：，得由余弦定理得，得，即，所以即，所以.17.某市發(fā)生水災(zāi).國(guó)家抗震救災(zāi)指揮部緊急從處調(diào)飛機(jī)去某地運(yùn)救災(zāi)物資到受災(zāi)的處.現(xiàn)有以下兩個(gè)方案供選擇:方案一：飛到位于處正東方向上的市調(diào)運(yùn)救災(zāi)物資，再飛到處；方案二：飛到位于處正南方向上的市調(diào)運(yùn)救災(zāi)物資，再飛到處.已知數(shù)據(jù)如圖所示：,,.問：選擇哪種方案，能使得飛行距離最短？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】見解析【解析】【分析】抽象到平面圖形中，方案一為求AC+BC的長(zhǎng)度，方案二為求AD+BD的長(zhǎng)度,然后比較大小，長(zhǎng)度小的即為飛行的距離短．【詳解】方案一：在中,依題意得,由，且為等腰三角形所以．（利用等腰三角形的性質(zhì)，幾何法求解的長(zhǎng)亦可）．方案二：在中,．即，所以．因?yàn)椋蔬x擇方案一,能使飛行距離最短.【點(diǎn)睛】利用正弦定理、余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用的一般思路：實(shí)際問題抽象概括后，若已知量和未知量集中在一個(gè)三角形中，則直接用正弦定理或余弦定理求解；若涉及兩個(gè)及以上的三角形，需要先解夠條件的三角形，或設(shè)未知量，根據(jù)條件列出方程（組），解方程求未知量．18.如圖，圓的半徑為3，其中為圓上兩點(diǎn)．（1）若，當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？（2）若為的重心，直線過點(diǎn)交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，且，，求最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的長(zhǎng)，利用平面向量數(shù)量積的定義可求出的值，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2）由重心性質(zhì)推導(dǎo)得出，由、、三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，從而可得最小值．【小問1詳解】因?yàn)?，，所以由余弦定理得，即，所以．若與垂直，則，所以，所以，解得，即時(shí)，與垂直；【小問2詳解】因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又因?yàn)?，，所以，由于三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以化簡(jiǎn)為，所以，所以．顯然，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最值．則的最小值為2．19.在中，角所對(duì)邊分別為．（1）已知，，．①求；②若的平分線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）若是銳角三角形，為（1）中所求，為的垂心，且，求的取值范圍；【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系和正弦定理以及余弦定理即可得到答案；②根據(jù)余弦定理得，再利用三角形面積公式即可得到答案；（2）設(shè)，將表示為角的