浙江省寧波市金蘭教育合作組織2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

浙江省金蘭教育合作組織2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題學(xué)校：寧波二中審題學(xué)校：姜山中學(xué)；滸山中學(xué)考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，即可得，解得.故選：D2.若，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B.i C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，再由虛部定義可得結(jié)果.【詳解】易知，因此可得復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3.下列說(shuō)法正確的是（）A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱B.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐C.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)D.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)棱柱定義可知A錯(cuò)誤，再由六棱錐性質(zhì)可判斷B錯(cuò)誤，棱臺(tái)是由棱錐截得的，可知C正確，直角梯形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，即D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，如下圖所示：顯然該幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知正六邊形的中心與相鄰兩頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形即為正三角形，如下圖，顯然正六棱錐的側(cè)棱比底邊長(zhǎng)，因此其側(cè)面不可能是正三角形，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)棱臺(tái)定義即可判斷C正確；對(duì)于D，直角梯形中，如下圖所示：以直角梯形的直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，若以直角梯形的腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，即D錯(cuò)誤.故選：C4.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.【詳解】因?yàn)?，令，，，則.故選：A.5.在三角形中，，，向量在向量上的投影向量為，為上一點(diǎn)，且，則（）A.4 B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，接著由求得，再結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律和模長(zhǎng)公式即可計(jì)算得解.【詳解】由題得向量在向量上的投影向量為，所以，又，故，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：B.6.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形.已知是斜邊的中點(diǎn)，且，則邊的高為（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】先求得，由直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法可求邊的高.【詳解】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且，所以可得，又因?yàn)檩S，則在原圖形中，軸，所以，由直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法可得.故邊的高為.故選：A.7.已知，且與夾角為，動(dòng)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N，則的最小值為（）A.-8 B.-4 C.-2 D.2【答案】B【解析】【分析】由題意可得，可求得，當(dāng)過(guò)時(shí)，可取得最小值，利用基本不等式可求得，可求的最小值.【詳解】由平面向量的平行四邊形法則可得，所以，所以，所以，所以，當(dāng)過(guò)時(shí)，可取得最小值，又，又，可得，取等號(hào)，此時(shí)，此時(shí)與共線反向，此時(shí)最小，最小值為.故選：B.8.在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，I為的內(nèi)心，若，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和兩角和正弦公式，化簡(jiǎn)得到，求得，得到的值，再由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和向量的線性運(yùn)算，求得，結(jié)合題意，得到，即,進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，解得，因?yàn)椋?；如圖所示，設(shè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，所以，同理可得，過(guò)點(diǎn)作，則又由，所以,所以，可得，即，因?yàn)闉榈耐庑模O(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，可得，可得，即，又因?yàn)?，即，可得，由正弦定理?又因?yàn)?，可得，因?yàn)榍?，所以，可得，所以，可得?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本小題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得部分分）9.有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義可判斷A、B；根據(jù)平行向量的定義結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C、D.【詳解】對(duì)于A，，但與方向未必相同，所以不一定有，故A不正確；對(duì)于B，由知與方向相同、模長(zhǎng)相等，故B正確；對(duì)于C，若，由知，若與同向，；若與反向，，故C不正確；對(duì)于D，由得，若，則中至少有一個(gè)零向量，得到；若，則，因?yàn)椋?，故，所以D正確；故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出、，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個(gè)計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)、；對(duì)A：設(shè)，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，又，即有，故B正確；對(duì)C：，則，，，則，即有，故C正確；對(duì)D：，，故，故D正確.故選：BCD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中一個(gè)，所謂等腰四面體就是指三組對(duì)棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”下列說(shuō)法正確的（）A.“等腰四面體”各個(gè)面都是全等的銳角三角形B.若“等腰四面體”三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為5，6，7，則四面體的體積是C.若“等腰四面體”三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為5，6，7，則四面體的內(nèi)切球半徑為D.若“等腰四面體”三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為a，b，c，則四面體的外接球半徑為【答案】ACD【解析】【分析】將等腰四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)等腰四面體的對(duì)棱棱長(zhǎng)分別為,與之對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，然后結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】將等腰四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)等腰四面體的對(duì)棱棱長(zhǎng)分別為，與之對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，解得，所以，不妨設(shè)構(gòu)成的三角形為，由余弦定理可得，同理可得，從而可得均為銳角，故A正確；當(dāng)三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為5，6，7，則，因?yàn)榈妊拿骟w的體積是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體體積減去四個(gè)小三棱錐的體積，所以等腰四面體的體積，故B錯(cuò)誤；設(shè)在四面體的一個(gè)面中7所對(duì)的角為，可得，所以一個(gè)面的面積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則可得，解得，故C正確；等腰四面體的外接球即為對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球的半徑為，故D正確.故選：ACD..非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，小明剛學(xué)習(xí)完三角形中的相關(guān)定理后自主推導(dǎo)出了三角形面積公式，則■處應(yīng)該填寫(xiě)______.（用三角形已知邊角表示）【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合正弦定理可得，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，所以，故答案為?13.已知，復(fù)數(shù)，，且，若，則的最小值______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減法則運(yùn)算可得，再由二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算可得當(dāng)時(shí)取得最小值.【詳解】由可得，即可得；因此；當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：14.正六邊形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)依次為，若存在點(diǎn)滿足，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由題意可得在為直徑的圓上的點(diǎn)，記線段，，的中點(diǎn)為，由題意可得，進(jìn)而可求模的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以在為直徑的圓上的點(diǎn)，記線段，，的中點(diǎn)為，由題意，可得，，，則，當(dāng)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，可使的模最大，同時(shí)共線同向，可使最大，由平面幾何知識(shí)可求得，所以，所以.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（1）求實(shí)數(shù)及；（2）若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，結(jié)合純虛數(shù)的定義求出，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可；（2）將代入一二次方程中，再利用復(fù)數(shù)相等的概念列出方程組即可求出【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，則因是純虛數(shù)，則且，得則，得.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，則，則且，得，，故.16.圓錐的底面直徑是2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)頂角為120°的扇形.（1）一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A，求爬行的最短路程；（2）過(guò)的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面在圓錐中挖去一個(gè)圓柱（如圖所示），求剩下幾何體的表面積和體積.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）作出側(cè)面的展開(kāi)圖，最短路程即為的長(zhǎng)，由余弦定理可求解；（2）求得圓錐的高，進(jìn)而計(jì)算剩下幾何體的表面積和體積.【小問(wèn)1詳解】由題意，側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，最短路程即為的長(zhǎng)，設(shè)為圓錐的母線長(zhǎng)，由，可得，即母線，在中，由余弦定理可得所以爬行的最短路程為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的高為，從而挖去的圓柱的高為，從而挖去的圓柱的側(cè)面積為，又圓錐的表面積為，所以剩下幾何體的表面積，剩下幾何體的體積為.17.如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn).（1）設(shè)，求實(shí)數(shù)值；（2）設(shè)是上一點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，得到，，計(jì)算得到答案.（2），代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.①設(shè)，，故，整理得，又，即，所以.②聯(lián)立①②，據(jù)平面向量其本定理，得解得，，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）因?yàn)?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生對(duì)于向量知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，.（1）求；（2）若，，，求的面積；（3）若N是的平分線與的交點(diǎn)，且，則求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由得，利用正弦定理和兩角和的正弦公式即可求解；（2）由得，利用向量求，最后由三角形的面積公式即可求解；（3）由已知有得，利用基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由由正弦定理有，∵，，∴，整理得.又∵，，，∴.【小問(wèn)2詳解】由∵，，，即∴，解得（舍）或.∴；【小問(wèn)3詳解】由已知有：，得，整理得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，即取等號(hào).19.將復(fù)數(shù)，表示成三角形式，其中，，，是復(fù)數(shù)的模，是復(fù)數(shù)的輻角.（1）求方程的復(fù)數(shù)根，并用復(fù)數(shù)的三角形式表示虛部大于零的根；（2）已知，，試推導(dǎo)復(fù)數(shù)的三角形式；（3）在單位圓的內(nèi)接六邊形中，，P，Q，R分別為，，的中點(diǎn)，判斷的形狀并證明.【答案】（1），，，（2）（3）為正三角形，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用立方和公式因式