四川成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

四川成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．等于（

）A．1 B． C． D．2．已知向量，則與向量同向的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知，則z的虛部為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．14．已知函數(shù)，則“是偶函數(shù)”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向量，為單位向量，且與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B．C． D．7．如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．8．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．5二、多選題（本大題共4小題）9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．若，為單位向量，則C．若,，則D．對(duì)于兩個(gè)非零向量，，若，則10．已知曲線，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．把上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線B．把上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列命題是真命題的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，，，則只有一解C．若，則D．若為銳角三角形，則12．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則三、填空題（本大題共4小題）13．設(shè)i為虛數(shù)單位，計(jì)算．14．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，，則.15．已知，，，則．16．如圖，在扇形OAB中，半徑，圓心角，F(xiàn)是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形CDEF內(nèi)接于扇形，設(shè)，則矩形CDEF的面積的最大值為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知．(1)求的值．(2)求的值；18．已知平面向量．(1)若，求；(2)若，求向量與的夾角．19．某海域的東西方向上分別有A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（如圖），它們相距海里．現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測(cè)得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)北偏西，這時(shí)位于B點(diǎn)南偏西且與B相距80海里的C點(diǎn)有一救援船，其航行速度為35海里/小時(shí)．

(1)求B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離BD；(2)若命令C處的救援船立即前往D點(diǎn)營(yíng)救，求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間．20．函數(shù)（，，）的一段圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．已知平面向量，，．(1)設(shè)函數(shù)，求的對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)設(shè)函數(shù)，求的最大值．22．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，已知S為的面積且滿足．(1)若為銳角三角形，求的取值范圍；(2)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣．很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)命名，如柯西不等式、柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．若P是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P作AB，BC，AC垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，借助于三維分式型柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．求的最小值．

參考答案1．【答案】C【詳解】.故選C.2．【答案】B【詳解】向量，，所以與向量同向的單位向量為.故選B.3．【答案】A【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，∴，∴z的虛部為-2.故選A.4．【答案】B【詳解】是偶函數(shù)等價(jià)于，解得，在這里令，得，所以“是偶函數(shù)”是“”的必要而不充分條件.故選B.5．【答案】D【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑸閱挝幌蛄?，且與的夾角為，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選D.6．【答案】A【詳解】由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是.故選A.7．【答案】D【詳解】為的中點(diǎn)，，．故選D.8．【答案】B【詳解】由正弦定理邊角互化，可知，，且,則，，則，則，①由余弦定理，②由①②得，，即.故選B.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于A：根據(jù)相反向量，知，故A正確；對(duì)于B：由，為單位向量，即，而，方向不一定相同.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：規(guī)定零向量與任意向量共線，即當(dāng)時(shí)，則，且均成立，而，為任意向量，它們不一定共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由得，，則，整理得，又已知，是兩個(gè)非零向量，故.故D正確.故選AD.10．【答案】BD【詳解】先平移變換后伸縮變換：先把上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，又因?yàn)?，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線，故B正確.先伸縮變換后平移變換：因?yàn)椋韵葘⑸细鼽c(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，得到，又因?yàn)椋?，則再把所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到，故D正確.【方法總結(jié)】三角函數(shù)圖象變換主要包括平移變換、周期變換、振幅變換．平移變換（左右）：將圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到（）；周期變換：若，則將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到；若，則將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到；振幅變換：若，則將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變），得到；若，則將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，，即，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，為等腰三角形，故A正確；對(duì)于B：,而，所以有兩解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)正弦定理邊角互化，變形為，即，又，所以，，所以，，則，故C正確；對(duì)于D：若為銳角三角形，則，，則，所以，即，故D正確.故選ACD.12．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)，則，所以，故，，三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，所以為的重心，故A正確；

對(duì)于B：若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，故B正確；對(duì)于C：若，，為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，，故，，，所以，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若為的垂心，，則，如圖，，，，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)椋?，即，，則，故D正確；故選ABD.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】向量與三角形四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.13．【答案】【詳解】14．【答案】5【詳解】因?yàn)?，，，又由余弦定理有：，即且，解得?15．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，則，所以，.16．【答案】【詳解】連結(jié)，設(shè)，則，，，，矩形的面積，，，.因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式；（2）原式．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，即，即，所以，所以；?）由題意可得，又因，所以，解得，所以，所以，即，又因?yàn)?，所?19．【答案】(1)50海里(2)小時(shí)【詳解】（1）由題意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以(海里)；（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的時(shí)間為(小時(shí)).20．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖象知，，，，將圖象上的點(diǎn)代入中，得，結(jié)合圖象可知，，則，，又，所以，故．（2）因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，取最大值3．又不等式在上恒成立，.21．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意知，,由，，得，，即的對(duì)稱(chēng)軸為，；（2）由題意知，,設(shè)，則，由，所以，得，又函數(shù)是一條開(kāi)口向下、對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．【方法總結(jié)】對(duì)于同時(shí)含有形如和的函數(shù)，可設(shè)，則，對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而求解.22．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，即，．，，，，，，為銳角三角形，，，，，設(shè)，則，時(shí)，.（2）．又，，，，．由三維分式型柯西不等式有．當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．由余弦定理得，即