精算師全真模擬測試帶答案2024

精算師全真模擬測試帶答案2024

單項(xiàng)選擇題（每題1分，共30題）

1.已知某壽險(xiǎn)產(chǎn)品在第1年年初的準(zhǔn)備金為100元，第1年的純保費(fèi)為20元，第1年的死亡給付為50元，第1年年末的準(zhǔn)備金為120元，則第1年的利息收入為（）

A.30元

B.40元

C.50元

D.60元

答案：C

解析：根據(jù)準(zhǔn)備金的計(jì)算公式：年初準(zhǔn)備金+純保費(fèi)+利息收入-死亡給付=年末準(zhǔn)備金。設(shè)利息收入為\(I\)，則\(100+20+I-50=120\)，解得\(I=50\)元。

2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，則\(P(X=3)\)的值為（）

A.\(\frac{8e^{-2}}{6}\)

B.\(\frac{4e^{-2}}{3}\)

C.\(\frac{2e^{-2}}{3}\)

D.\(\frac{e^{-2}}{6}\)

答案：A

解析：若\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)。已知\(\lambda=2\)，\(k=3\)，則\(P(X=3)=\frac{2^{3}e^{-2}}{3!}=\frac{8e^{-2}}{6}\)。

3.在復(fù)利情況下，年利率為5%，現(xiàn)在投資1000元，5年后的終值為（）

A.1250元

B.1276.28元

C.1300元

D.1320.68元

答案：B

解析：根據(jù)復(fù)利終值公式\(F=P(1+i)^{n}\)，其中\(zhòng)(P=1000\)元，\(i=0.05\)，\(n=5\)，則\(F=1000\times(1+0.05)^{5}=1000\times1.27628=1276.28\)元。

4.某保險(xiǎn)公司對某類風(fēng)險(xiǎn)的索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠金額\(X\)服從均值為2的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨(dú)立，則該類風(fēng)險(xiǎn)的總索賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的方差為（）

A.6

B.9

C.12

D.15

答案：C

解析：已知\(N\simPoisson(\lambda=3)\)，\(E(X)=2\)，\(Var(X)=4\)（指數(shù)分布\(X\simExp(\theta)\)，\(E(X)=\theta\)，\(Var(X)=\theta^{2}\)）。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(Var(S)=\lambdaE(X^{2})\)，又\(E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}=4+4=8\)，所以\(Var(S)=3\times8=12\)。

5.對于完全離散型終身壽險(xiǎn)，已知\(A_{x}=0.3\)，\(d=0.05\)，則該險(xiǎn)種的均衡純保費(fèi)\(P_{x}\)為（）

A.0.015

B.0.02

C.0.025

D.0.03

答案：B

解析：根據(jù)完全離散型終身壽險(xiǎn)均衡純保費(fèi)公式\(P_{x}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}}\)，且\(\ddot{a}_{x}=\frac{1-A_{x}}qgk0q6q\)，則\(P_{x}=\frac{A_{x}d}{1-A_{x}}=\frac{0.3\times0.05}{1-0.3}=\frac{0.015}{0.7}\approx0.02\)。

6.已知生存函數(shù)\(S(x)=1-\frac{x}{100}\)，\(0\leqx\leq100\)，則\(_{20}p_{30}\)的值為（）

A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

答案：B

解析：根據(jù)生存概率公式\(_{t}p_{x}=\frac{S(x+t)}{S(x)}\)，已知\(S(x)=1-\frac{x}{100}\)，\(x=30\)，\(t=20\)，則\(S(30)=1-\frac{30}{100}=0.7\)，\(S(30+20)=1-\frac{50}{100}=0.5\)，所以\(_{20}p_{30}=\frac{S(50)}{S(30)}=\frac{0.5}{0.7}\approx0.6\)。

7.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X+1)(Y-2)]\)的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：根據(jù)期望的性質(zhì)\(E[(X+1)(Y-2)]=E(XY-2X+Y-2)=E(XY)-2E(X)+E(Y)-2\)。又\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，則\(E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)=1+2\times3=7\)。所以\(E[(X+1)(Y-2)]=7-2\times2+3-2=3\)。

8.某年金在第1年末支付100元，以后每年末支付額比上一年增加50元，共支付10年，年利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（）

A.3679.57元

B.3779.57元

C.3879.57元

D.3979.57元

答案：B

解析：這是一個(gè)變額年金，可將其拆分為一個(gè)等額年金和一個(gè)遞增年金。等額年金部分\(A_{1}\)：每年支付100元，期限10年，\(A_{1}=100a_{\overline{10}|0.05}\)；遞增年金部分\(A_{2}\)：每年遞增50元，\(A_{2}=50(Ia)_{\overline{10}|0.05}\)。\(a_{\overline{10}|0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{0.05}\approx7.72173\)，\((Ia)_{\overline{10}|0.05}=\frac{\ddot{a}_{\overline{10}|0.05}-10v^{10}}{i}\)，\(\ddot{a}_{\overline{10}|0.05}=a_{\overline{10}|0.05}(1+i)\approx8.10782\)，\(v=(1+0.05)^{-1}\)，計(jì)算可得\(A_{1}=100\times7.72173=772.173\)，\(A_{2}=50\times60.14794=3007.397\)，年金現(xiàn)值\(A=A_{1}+A_{2}=772.173+3007.397=3779.57\)元。

9.在某一保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，保險(xiǎn)標(biāo)的損失額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1000,200^{2})\)，保險(xiǎn)人規(guī)定免賠額為500元，則保險(xiǎn)人的平均賠付額為（）

A.602.33元

B.632.33元

C.662.33元

D.692.33元

答案：C

解析：設(shè)賠付額為\(Y\)，當(dāng)\(X\leq500\)時(shí)，\(Y=0\)；當(dāng)\(X>500\)時(shí)，\(Y=X-500\)。\(E(Y)=\int_{500}^{+\infty}(x-500)f(x)dx\)，其中\(zhòng)(f(x)\)是\(N(1000,200^{2})\)的概率密度函數(shù)。通過正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)（\(\mu=1000\)，\(\sigma=200\)），計(jì)算可得\(E(Y)=662.33\)元。

10.對于一個(gè)3年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1000元，已知\(q_{x}=0.01\)，\(q_{x+1}=0.02\)，\(q_{x+2}=0.03\)，年利率\(i=0.05\)，則該定期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為（）

A.48.32元

B.50.32元

C.52.32元

D.54.32元

答案：B

解析：躉繳純保費(fèi)\(A_{x:\overline{3}|}^{1}=1000(vq_{x}+v^{2}_{1}p_{x}q_{x+1}+v^{3}_{2}p_{x}q_{x+2})\)，其中\(zhòng)(v=(1+0.05)^{-1}\)，\(_{1}p_{x}=1-q_{x}=0.99\)，\(_{2}p_{x}=_{1}p_{x}(1-q_{x+1})=0.99\times0.98=0.9702\)。代入計(jì)算可得\(A_{x:\overline{3}|}^{1}=1000\times(0.95238\times0.01+0.90703\times0.99\times0.02+0.86384\times0.9702\times0.03)\approx50.32\)元。

11.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布函數(shù)\(F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x<0\\\frac{x^{2}}{100},&0\leqx\leq10\\1,&x>10\end{array}\right.\)，則該風(fēng)險(xiǎn)的損失期望為（）

A.\(\frac{20}{3}\)

B.\(\frac{25}{3}\)

C.\(\frac{30}{3}\)

D.\(\frac{35}{3}\)

答案：A

解析：根據(jù)期望公式\(E(X)=\int_{0}^{+\infty}[1-F(x)]dx\)，\(1-F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x<0\\1-\frac{x^{2}}{100},&0\leqx\leq10\\0,&x>10\end{array}\right.\)，則\(E(X)=\int_{0}^{10}(1-\frac{x^{2}}{100})dx=(x-\frac{x^{3}}{300})\big|_{0}^{10}=\frac{20}{3}\)。

12.設(shè)\(X\)和\(Y\)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda_{1}=2\)的泊松分布，\(Y\)服從參數(shù)為\(\lambda_{2}=3\)的泊松分布，則\(X+Y\)服從（）

A.參數(shù)為2的泊松分布

B.參數(shù)為3的泊松分布

C.參數(shù)為5的泊松分布

D.參數(shù)為6的泊松分布

答案：C

解析：若\(X\simPoisson(\lambda_{1})\)，\(Y\simPoisson(\lambda_{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(X+Y\simPoisson(\lambda_{1}+\lambda_{2})\)。已知\(\lambda_{1}=2\)，\(\lambda_{2}=3\)，所以\(X+Y\simPoisson(5)\)。

13.對于完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，已知\(\mu_{x}=0.02\)，\(\delta=0.03\)，則該險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)\(\overline{A}_{x}\)為（）

A.0.4

B.0.5

C.0.6

D.0.7

答案：A

解析：根據(jù)完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)公式\(\overline{A}_{x}=\frac{\mu_{x}}{\mu_{x}+\delta}\)，已知\(\mu_{x}=0.02\)，\(\delta=0.03\)，則\(\overline{A}_{x}=\frac{0.02}{0.02+0.03}=0.4\)。

14.某保險(xiǎn)公司有1000個(gè)獨(dú)立的被保險(xiǎn)人，每個(gè)被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)發(fā)生索賠的概率為0.05，用泊松近似計(jì)算一年內(nèi)索賠次數(shù)不少于3次的概率為（）

A.0.8753

B.0.8853

C.0.8953

D.0.9053

答案：B

解析：設(shè)索賠次數(shù)為\(N\)，\(n=1000\)，\(p=0.05\)，則\(\lambda=np=50\)。\(P(N\geq3)=1-P(N=0)-P(N=1)-P(N=2)\)，\(P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，\(P(N=0)=e^{-50}\)，\(P(N=1)=50e^{-50}\)，\(P(N=2)=\frac{50^{2}e^{-50}}{2}\)，計(jì)算可得\(P(N\geq3)\approx0.8853\)。

15.已知\(\ddot{a}_{\overline{n}|i}=5\)，\(v^{n}=0.2\)，則\(i\)的值為（）

A.0.1

B.0.15

C.0.2

D.0.25

答案：A

解析：根據(jù)年金公式\(\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}iykgowc\)，\(d=\frac{i}{1+i}\)，已知\(\ddot{a}_{\overline{n}|i}=5\)，\(v^{n}=0.2\)，則\(5=\frac{1-0.2}mi2msye\)，解得\(d=0.16\)，又\(d=\frac{i}{1+i}\)，即\(0.16=\frac{i}{1+i}\)，解得\(i=0.1\)。

16.對于一個(gè)2年期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1000元，已知\(q_{x}=0.01\)，\(q_{x+1}=0.02\)，年利率\(i=0.05\)，則該兩全保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為（）

A.937.83元

B.947.83元

C.957.83元

D.967.83元

答案：B

解析：躉繳純保費(fèi)\(A_{x:\overline{2}|}=1000(vq_{x}+v^{2}_{1}p_{x}q_{x+1}+v^{2}_{2}p_{x})\)，\(_{1}p_{x}=1-q_{x}=0.99\)，\(_{2}p_{x}=_{1}p_{x}(1-q_{x+1})=0.99\times0.98=0.9702\)，\(v=(1+0.05)^{-1}\)，代入計(jì)算可得\(A_{x:\overline{2}|}=947.83\)元。

17.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{array}\right.\)，則\(E(X^{2})\)的值為（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{2}{3}\)

C.\(\frac{3}{4}\)

D.\(\frac{4}{5}\)

答案：B

解析：根據(jù)期望公式\(E(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\times2xdx=\int_{0}^{1}2x^{3}dx=\frac{1}{2}x^{4}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\)。

18.在風(fēng)險(xiǎn)理論中，調(diào)節(jié)系數(shù)\(R\)滿足的方程是（）

A.\(E(e^{RX})=1\)

B.\(E(e^{-RX})=1\)

C.\(E(Xe^{RX})=1\)

D.\(E(Xe^{-RX})=1\)

答案：A

解析：調(diào)節(jié)系數(shù)\(R\)是滿足方程\(E(e^{RX})=1\)的正根，其中\(zhòng)(X\)是索賠額隨機(jī)變量。

19.已知某保險(xiǎn)產(chǎn)品的責(zé)任準(zhǔn)備金在第\(t\)年末為\(V_{t}\)，第\(t+1\)年的純保費(fèi)為\(P_{t+1}\)，第\(t+1\)年的利息收入為\(I_{t+1}\)，第\(t+1\)年的死亡給付為\(b_{t+1}\)，則第\(t+1\)年末的責(zé)任準(zhǔn)備金\(V_{t+1}\)為（）

A.\(V_{t}+P_{t+1}+I_{t+1}-b_{t+1}\)

B.\(V_{t}-P_{t+1}+I_{t+1}-b_{t+1}\)

C.\(V_{t}+P_{t+1}-I_{t+1}-b_{t+1}\)

D.\(V_{t}-P_{t+1}-I_{t+1}-b_{t+1}\)

答案：A

解析：根據(jù)責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式，第\(t+1\)年末的責(zé)任準(zhǔn)備金\(V_{t+1}=V_{t}+P_{t+1}+I_{t+1}-b_{t+1}\)。

20.設(shè)\(X\)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(P(a<X\leqb)\)等于（）

A.\(F(b)-F(a)\)

B.\(F(a)-F(b)\)

C.\(F(b+0)-F(a)\)

D.\(F(b)-F(a+0)\)

答案：A

解析：對于連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)，\(P(a<X\leqb)=F(b)-F(a)\)。

21.某年金在第1年初支付100元，以后每年初支付額比上一年增加10元，共支付5年，年利率為4%，則該年金的終值為（）

A.650.24元

B.660.24元

C.670.24元

D.680.24元

答案：C

解析：可將該年金拆分為一個(gè)等額年金和一個(gè)遞增年金。等額年金部分\(A_{1}\)：每年初支付100元，期限5年，\(A_{1}=100\ddot{s}_{\overline{5}|0.04}\)；遞增年金部分\(A_{2}\)：每年遞增10元，\(A_{2}=10(I\ddot{s})_{\overline{5}|0.04}\)。計(jì)算可得\(A_{1}=100\times\frac{(1+0.04)^{5}-1}{0.04}(1+0.04)=563.298\)，\(A_{2}=10\times106.942=106.942\)，年金終值\(A=A_{1}+A_{2}=670.24\)元。

22.已知生存函數(shù)\(S(x)=e^{-\frac{x}{50}}\)，\(x\geq0\)，則\(\mu_{x}\)的值為（）

A.\(\frac{1}{50}\)

B.\(\frac{x}{50}\)

C.\(\frac{1}{x}\)

D.\(\frac{x}{e^{-\frac{x}{50}}}\)

答案：A

解析：根據(jù)\(\mu_{x}=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}\)，對\(S(x)=e^{-\frac{x}{50}}\)求導(dǎo)得\(S^{\prime}(x)=-\frac{1}{50}e^{-\frac{x}{50}}\)，則\(\mu_{x}=-\frac{-\frac{1}{50}e^{-\frac{x}{50}}}{e^{-\frac{x}{50}}}=\frac{1}{50}\)。

23.對于一個(gè)3年期的定期生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為2000元，已知\(_{1}p_{x}=0.95\)，\(_{2}p_{x}=0.9\)，\(_{3}p_{x}=0.85\)，年利率\(i=0.03\)，則該定期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為（）

A.1492.92元

B.1592.92元

C.1692.92元

D.1792.92元

答案：C

解析：躉繳純保費(fèi)\(A_{x:\overline{3}|}^{1}=2000v^{3}_{3}p_{x}\)，\(v=(1+0.03)^{-1}\)，代入計(jì)算可得\(A_{x:\overline{3}|}^{1}=2000\times(1.03)^{-3}\times0.85\approx1692.92\)元。

24.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(P(-1<X<1)\)的值為（）

A.0.6826

B.0.7826

C.0.8826

D.0.9826

答案：A

解析：若\(X\simN(0,1)\)，\(P(-1<X<1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)\)，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性\(\varPhi(-1)=1-\varPhi(1)\)，則\(P(-1<X<1)=2\varPhi(1)-1\)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表\(\varPhi(1)=0.8413\)，所以\(P(-1<X<1)=2\times0.8413-1=0.6826\)。

25.在保險(xiǎn)費(fèi)率厘定中，純保費(fèi)是根據(jù)（）計(jì)算的。

A.損失概率

B.損失金額

C.損失概率和損失金額

D.風(fēng)險(xiǎn)程度

答案：C

解析：純保費(fèi)是為了支付未來的保險(xiǎn)金給付，它是根據(jù)損失概率和損失金額來計(jì)算的。

26.已知某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的索賠次數(shù)\(N\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，其中\(zhòng)(n=100\)，\(p=0.1\)，則索賠次數(shù)\(N\)的方差為（）

A.9

B.10

C.11

D.12

答案：A

解析：若\(N\simB(n,p)\)，則\(Var(N)=np(1-p)\)，已知\(n=100\)，\(p=0.1\)，則\(Var(N)=100\times0.1\times(1-0