2022-2023學(xué)年河北省滄衡八校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題滄衡八校聯(lián)盟高二年級(jí)2022～2023學(xué)年下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)課試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.甲工廠有80名工人，乙工廠有60名工人，丙工廠有70名工人，現(xiàn)從中選取1人參加技術(shù)培訓(xùn)，則不同的選法有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.270種2.已知數(shù)列滿足，若，則（）A.6 B.5 C.4 D.33.已知，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.84.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.15 B.20 C.28 D.355.甲、乙、丙3人準(zhǔn)備前往A，B，C，D這4個(gè)景點(diǎn)游玩，其中甲和乙已經(jīng)去過A景點(diǎn)，本次不再前往A景點(diǎn)游玩，若每個(gè)人都至少選擇1個(gè)景點(diǎn)但不超過3個(gè)景點(diǎn)游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A.735種 B.686種 C.540種 D.465種6.已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則的最小值為（）A.8 B.10 C.12 D.167.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆國(guó)際足聯(lián)世界杯，于當(dāng)?shù)貢r(shí)間2022年11月20日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)5座城市中的8座球場(chǎng)舉行.本屆世界杯的賽制規(guī)定：從小組賽晉級(jí)的16支球隊(duì)將被自動(dòng)分成8組，每組的2支球隊(duì)比賽一場(chǎng)，獲勝的球隊(duì)晉級(jí)1/4決賽.若從小組賽晉級(jí)的16支球隊(duì)中選出4支球隊(duì)，且恰有2支球隊(duì)來自同一組，則不同的選擇方法有（）A.672種 B.728種 C.764種 D.800種8.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝杰出的研究成果之一．如圖，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，則在第12條斜線上，最大的數(shù)是（）A.35 B.36 C.56 D.70二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生的成績(jī)，則（）A. B.若越大，則越大C D.10.已知，則（）A.B.C.D.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為11.已知a為常數(shù)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則的值可能為（）A.4045 B.4046 C.4047 D.404812.已知，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.函數(shù)的圖象在處的切線方程為_________．14.某學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學(xué)生從中任選1道試題作答，學(xué)生甲答對(duì)這3類試題的概率分別為，，.若學(xué)生甲答對(duì)了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.15.一個(gè)裝有水圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內(nèi)放入一個(gè)圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6cm，鐵塊底面圓半徑為3cm，放入鐵塊后的水面高度為6cm，若從時(shí)刻開始，將鐵塊以1cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時(shí)刻，水面下降的速度為______cm/s．16.已知定義域?yàn)镽偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若將方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)記為，則_________．四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．證明：（1）是等差數(shù)列；（2）．18.從1，2，3，4，5，6中任取5個(gè)數(shù)字，隨機(jī)填入如圖所示的5個(gè)空格中.（1）若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問不同的填法有多少種？（2）若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3，且區(qū)域，，中有奇數(shù)，試問不同的填法有多少種？19.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列．（1）求通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和．20.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若恒成立，求的取值范圍.21.某單位組職員上進(jìn)行排球娛樂比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實(shí)行五局三勝制，任何一方率先贏下3局比賽時(shí)比賽結(jié)束，每一局比賽獲勝方得2分，失敗方得1分，甲，乙兩隊(duì)相互打比賽已知甲隊(duì)每一局獲勝的概率均為．（1）求甲、乙兩隊(duì)3局結(jié)束比賽的概率；（2）記比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)的得分為，求的分布列和期望．22.已知函數(shù)；（1）若無零點(diǎn)，求a取值范圍；（2）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，證明：．試題試題滄衡八校聯(lián)盟高二年級(jí)2022～2023學(xué)年下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)課試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.甲工廠有80名工人，乙工廠有60名工人，丙工廠有70名工人，現(xiàn)從中選取1人參加技術(shù)培訓(xùn)，則不同的選法有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.270種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】依題意可知，不同的選法有種.故選：B2.已知數(shù)列滿足，若，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】通過遞推公式逐個(gè)求解項(xiàng)，對(duì)照選項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，；因，所?故選：D.3.已知，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望、方差公式及已知列方程求即可.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：C4.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.15 B.20 C.28 D.35【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)所有項(xiàng)的系數(shù)之和求出，再利用通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈恼归_式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，所以，解得；的通項(xiàng)公式為，令得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.5.甲、乙、丙3人準(zhǔn)備前往A，B，C，D這4個(gè)景點(diǎn)游玩，其中甲和乙已經(jīng)去過A景點(diǎn)，本次不再前往A景點(diǎn)游玩，若每個(gè)人都至少選擇1個(gè)景點(diǎn)但不超過3個(gè)景點(diǎn)游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A.735種 B.686種 C.540種 D.465種【答案】B【解析】【分析】先確定甲乙的選擇，再確定丙的選擇利用分步計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)可求答案.【詳解】因?yàn)榧缀鸵乙呀?jīng)去過A景點(diǎn)，本次不再前往A景點(diǎn)游玩，所以兩人可以從B，C，D這3個(gè)景點(diǎn)中，選擇1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)去游玩，兩人的選擇方法均為：（種）；而丙的選擇方法有：（種）；所以3人可組成的不同的游玩組合有：（種）.故選：B.6.已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則的最小值為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，的最小值為.故選：C7.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆國(guó)際足聯(lián)世界杯，于當(dāng)?shù)貢r(shí)間2022年11月20日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)5座城市中的8座球場(chǎng)舉行.本屆世界杯的賽制規(guī)定：從小組賽晉級(jí)的16支球隊(duì)將被自動(dòng)分成8組，每組的2支球隊(duì)比賽一場(chǎng)，獲勝的球隊(duì)晉級(jí)1/4決賽.若從小組賽晉級(jí)的16支球隊(duì)中選出4支球隊(duì)，且恰有2支球隊(duì)來自同一組，則不同的選擇方法有（）A.672種 B.728種 C.764種 D.800種【答案】A【解析】【分析】首先考慮恰有2支球隊(duì)來自同一組的選法，再確定另外2支不同組的選法，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樾〗M賽晉級(jí)的16支球隊(duì)自動(dòng)分成8組，從中選4支，2支球隊(duì)來自同一組，所以要先從8組中選一組，有種選法，這組兩支球隊(duì)全選，保證2支球隊(duì)來自同一組；再?gòu)氖Ｓ?組中選2組，每一組選1支球隊(duì)，這2支球隊(duì)來自不同組，有種選法，所以不同的選擇方法有種.故選：A.8.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝杰出的研究成果之一．如圖，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，則在第12條斜線上，最大的數(shù)是（）A.35 B.36 C.56 D.70【答案】C【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角的規(guī)律再向下寫出4行，找出第12條斜線上的數(shù)，比較大小可得答案.【詳解】楊輝三角第8行的數(shù)據(jù)為：172135352171，第9行的數(shù)據(jù)為：18285670562881，第10行的數(shù)據(jù)為：193684126126843691，第11行的部分?jǐn)?shù)據(jù)為：11045……，第12條斜線上的數(shù)為：1103656356，所以最大的數(shù)是56.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生的成績(jī)，則（）A. B.若越大，則越大C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)分析可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B不正確；因?yàn)椋?，C正確；根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，D不正確.故選：AC.10.已知，則（）AB.C.D.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為【答案】ABD【解析】【分析】采用賦值法，分別令和可以判斷選項(xiàng)A、C；根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求得x的系數(shù)，可以判斷選項(xiàng)B；直接由展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和的知識(shí)就可以判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，得，所以A正確；展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以B正確；令，得，又，所以，所以C不正確；展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以D正確.故選：ABD.11.已知a為常數(shù)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則的值可能為（）A.4045 B.4046 C.4047 D.4048【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，將前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式代入，求得首項(xiàng)和公差即可.【詳解】解：因?yàn)閍為常數(shù)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，所以，則，解得或所以或所以或4045，故選：AB12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合作差法和不等式性質(zhì)逐一驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，則恒成立，則在單調(diào)遞減，可得，即.令，則，且，即，故；因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，所以，即.因?yàn)?，則，即，即.綜上所述：故選：BC.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)比較大小問題方法點(diǎn)睛：根據(jù)已知中式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來，合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.函數(shù)的圖象在處的切線方程為_________．【答案】【解析】【分析】求得切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線方程.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)椋?，所以切線的斜率，所以切線方程為：，即.故答案為：14.某學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學(xué)生從中任選1道試題作答，學(xué)生甲答對(duì)這3類試題的概率分別為，，.若學(xué)生甲答對(duì)了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.【答案】【解析】【分析】利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，學(xué)生選道類試題為事件，設(shè)學(xué)生答對(duì)試題為事件，則，，，，，，所以，所以.故答案為：15.一個(gè)裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內(nèi)放入一個(gè)圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6cm，鐵塊底面圓半徑為3cm，放入鐵塊后的水面高度為6cm，若從時(shí)刻開始，將鐵塊以1cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時(shí)刻，水面下降的速度為______cm/s．【答案】①.勻速②.【解析】【分析】由圓柱形鐵塊豎直向上勻速提起，可得水面勻速下降；根據(jù)已知得出水面高度H與時(shí)刻的函數(shù)關(guān)系，通過導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)速度.【詳解】設(shè)在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面高度為H，鐵塊離開水面的高度為h，則水和鐵塊的體積為，即①．鐵塊距離杯底的高度為②．由①②可得．令函數(shù)，則．故水面將勻速下降，下降的速度為．故答案為：勻速；.16.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若將方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)記為，則_________．【答案】【解析】【分析】由條件分析得函數(shù)的周期性，結(jié)合對(duì)稱性作出草圖，分析兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】由題意可得，方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)，即兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)也是偶函數(shù)，所以兩函數(shù)的交點(diǎn)是關(guān)于縱軸對(duì)稱的，這里只分析的情況.結(jié)合條件作出兩函數(shù)簡(jiǎn)要圖象如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有6個(gè)交點(diǎn)，即，以此類推，可知，故，即，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．證明：（1）是等差數(shù)列；（2）．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系得出的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的定義證明；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行證明.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；兩式相減可得，整理可得，又，故是以3為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】證明：由（1）可知，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，?18.從1，2，3，4，5，6中任取5個(gè)數(shù)字，隨機(jī)填入如圖所示的5個(gè)空格中.（1）若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問不同的填法有多少種？（2）若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3，且區(qū)域，，中有奇數(shù)，試問不同的填法有多少種？【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）應(yīng)用分步計(jì)數(shù)，從其余4個(gè)數(shù)選3個(gè)數(shù)全排，再把1和2插入其中求結(jié)果.（2）應(yīng)用間接法，先求出有1和3且區(qū)域，，中無奇數(shù)的填法數(shù)，再求出所有可能的填法數(shù)，然后作差即可得結(jié)果.【小問1詳解】首先從其它4個(gè)數(shù)中任選3個(gè)并作全排有種，3個(gè)數(shù)中共有4個(gè)空，將1和2插入其中兩個(gè)空有種，所以共有種填法.【小問2詳解】若區(qū)域，，中無奇數(shù)，則其它三個(gè)數(shù)只能為2、4、6且在區(qū)域，，上，所以，共有種，從2、4、5、6任選3個(gè)數(shù)有種，再把5個(gè)數(shù)全排有種，共有種，綜上，填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3且區(qū)域，，中有奇數(shù)，共有種.19.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)可得公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（2）先通過求出，再利用錯(cuò)位相減法求和，可得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，因，所以，即，所以.【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)椋裕?，即；，，兩式相減可得；所以20.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）極小值為1，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可求解極值，（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.【小問1詳解】由得，令，故在單調(diào)遞增，令，故在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值，且極小值為，故極大值，【小問2詳解】由恒成立可得恒成立，記，則，令，則，由（1）知：在處取極小值也是最小值，且最小值為1，故，因此在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，