第5講 代數(shù)方程（二）學生版

第5講代數(shù)方程（二）知識精要一、無理方程1、方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程或根式方程。2、求解無理方程的一般步驟：利用兩邊平方把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；求解有理方程；檢驗；寫結(jié)論。二、二元二次方程組1、僅含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元二次方程；僅含有兩個未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，像這樣的方程組叫做二元二次方程組。2、解法：代入消元法和因式分解法【典型例題】類型一、無理方程概念 1．已知下列關(guān)于x的方程：其中無理方程是____________________(填序號).【思路點撥】判斷無理方程的唯一依據(jù)就是看看根式中是否還有未知數(shù).【答案與解析】（2），（3），（5）【總結(jié)升華】判斷無理方程的唯一依據(jù)是無理方程的定義：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程.舉一反三：【變式】下列方程哪些是無理方程？

(1)=0；(2)=0；(3).=0；（4）（是常數(shù)）．

【答案】（1）（2）（3）是無理方程．類型二、判斷無理方程解的情況2．不解方程，你能判斷出下列方程的根的情況嗎？①；②；③.【思路點撥】不解方程直接判斷它的解的情況，主要看該方程能否成立，依據(jù)是“對于二次根式，有.”【答案與解析】（1）因為，所以，所以方程無解（2）因為，所以，所以方程無解（3）因為，所以x≥5且x≤2，所以方程無解【總結(jié)升華】對于某些特殊的無理方程，可以不解方程直接判斷它的解的情況，主要依據(jù)是“對于二次根式，有.”類型三、解無理方程3．解方程【答案與解析】解：移項得： 兩邊平方得： 移項，合并同類項得： 解得：或 檢驗：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根． 把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是．【總結(jié)升華】解含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟：①移項，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；②兩邊同時平方，得到一個整式方程；③解整式方程；④驗根．舉一反三：【變式】方程的根是．【答案】解：方程兩邊同時平方得：x+1=4，解得：x=3．檢驗：x=3時，左邊==2，則左邊=右邊，故x=3是方程的解．故答案是：x=3．4、【答案與解析】x=23原方程變形為兩邊平方得x+2=81-+x-7整理得再兩邊平方得x-7=16解得x=23檢驗：把x=23代入原方程得，左邊=右邊所以，原方程的根是x=23【總結(jié)升華】由于在方程的一邊含有兩個根式，直接平方將很困難．這時通常采用把一個根式移到另一邊再平方的方法，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式.舉一反三：【變式】（2016春?靜安區(qū)期末）解方程：.【答案】解：經(jīng)檢驗是原方程的根，所以原方程的根為．類型四、“換元法”解無理方程5、（楊浦區(qū)校級期中）解方程：4x2﹣10x+=17．【思路點撥】利用換元法解方程：設=t，原方程轉(zhuǎn)化為2t2+t﹣21=0，解此一元二次方程得到t1=3，t2=﹣，再分別解=3和=﹣，然后把解得的結(jié)果進行檢驗即可得到原方程的解．【答案與解析】解：方程變形為2（2x2﹣5x+2）﹣﹣21=0設=t，則原方程轉(zhuǎn)化為2t2+t﹣21=0，（t﹣3）（2t+7）=0，解得t1=3，t2=﹣，當t=3時，=3，則2x2﹣5x+2=9，整理得2x2﹣5x﹣7=0，解得x1=，x2=﹣1；當t=﹣時，=﹣，則方程無解，經(jīng)檢驗原方程的解為x1=，x2=﹣1．【總結(jié)升華】本題考查了無理方程：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應注意驗根．舉一反三：【變式】解方程x2+3x－=1.【答案】解：設換元后，整理得方程是，解得，，，所以，，，解這兩個方程得，，，，，檢驗：把，，，代入原方程得，，是原方程的根，所以，原方程的根是，.類型五、二元二次方程（組）判斷 1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的請指出它的二次項、一次項和常數(shù)項.【思路點撥】該題主要依據(jù)二元二次方程的定義?！敬鸢概c解析】（1）是，二次項、一次項y，常數(shù)項-1.（2）不是，因為只含一個未知數(shù)。（3）不是，因為不是整式方程.（4）不是，因為不含二次項.【總結(jié)升華】對于二元二次方程的定義要加深全面的理解．舉一反三：【變式】下列方程組中，哪些是二元二次方程組？【答案】根據(jù)二元二次方程組的定義可得（2）是.類型六、二元二次方程組的解法2.（2016?松江區(qū)二模）解方程組：．【答案與解析】解：由（2）得：∴或．∴原方程組可以化為或，解這兩個方程組，得原方程組的解是，．【總結(jié)升華】本題考查了高次方程的知識，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個未知數(shù)再解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個較簡單的方程中即可．舉一反三：【變式】解方程組：【答案】將（1）代入（2），得.整理，得,解得.把代入（1），得把代入（1），得所以原方程組的解是3.解方程組：【思路點撥】當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時，可將分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個“二·一”型方程組，解得這兩個“二·一”型方程組，所得的解都是原方程組的解.【答案與解析】(用因式分解法)

方程(1)可化為(x-2y)2+(x-2y)-2=0

即(x-2y+2)(x-2y-1)=0

∴x-2y+2=0或x-2y-1=0

原方程組可化為:

分別解得：和

【總結(jié)升華】二元二次方程組,一般可用代入法求解,當求出一個未知數(shù)的值代入求另一個未知數(shù)的值時,一定要代入到二元一次方程中去求,若針對二元二次方程的特點,采用特殊解法,則較為簡便.舉一反三：【變式】（2015?徐匯區(qū)二模）解方程組：．【答案】解：原方程組變形為：，∴，，解得：，，，．類型七、方程組的應用4.某塊長方形田的面積是864平方米，長與寬的和是60米，則長與寬各是多少米？【答案與解析】解：設該塊田的長是x米，寬是y米.由題意得，，解得，，考慮到實際情況，長應該大于寬，所以符合實際.答：長是36米，寬是24米.【總結(jié)升華】此類題設出未知數(shù)以后，順次按照題目中含有等量關(guān)系的語句列方程即可.5、已知方程組有兩組不相等的實數(shù)解，求的取值范圍.【答案與解析】解：由②代入①并整理得：，∵方程組有兩組不相等的實數(shù)解，∴，即∴當＜1且≠0時，原方程組有兩個不相等的實數(shù)解.【總結(jié)升華】通過消元，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次方程來解是解決此類問題的一般方法.舉一反三：【變式】為何值時，方程組有兩組相同的實數(shù)解，并求出這時方程組的解.【答案】；當時，；當時，.熱身練習1、解無理方程，可以通過去根號把無理方程轉(zhuǎn)化為方程來解。2、方程的解是3、關(guān)于的方程的根為，則4、當時，方程無實數(shù)根。5、方程的解是6、方程的實數(shù)解有個7、下列方程中，無理方程的個數(shù)是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個B．2個C．3個D．4個8、下列哪個方程有實數(shù)解（）A、B、C、D、9、二元一次方程組()A.只有一解 B.有兩解 C.有無數(shù)個解 D.無解10、解方程：11、解無理方程12、解方程組鞏固練習一、填空題1、方程的解是2、方程的增根是，解無理方程時必須進行3、若關(guān)于x的方程，有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)P的取值范圍4、用換元法解無理方程，設，則原方程可化為5、如果關(guān)于的方程有且只一個實數(shù)解，那么的值是6、方程組可轉(zhuǎn)化為方程組和方程組，然后用來解。7、已知，則8、方程的解是二、選擇題1、下列方程中不屬于無理方程的是（）A．B．C．D．2、已知關(guān)于的方程有一個根是，那么方程另一個根是（）A．B．C．D．3、若方程和只有一個公共實數(shù)解，那么的值為（）A．1B．—1C．0或1D．1或—14、若方程組的解滿足則的值為()A.9B.0 C.－1D.－5三、解答題1、解無理方程（1）（2）；（3）；（4）2、已知有一個增根是，求的值。3、已知a、b是方程的兩個根，求下列各式的值：（1）；（2）4、解方程組（3）5、（1）方程有幾個解？其中、的值互為倒數(shù)的解是什么？（2）方程有幾個解？其中、的值互為相反數(shù)的解是什么？6、從方程組中消去，得到關(guān)于的二次方程，當這個關(guān)于的二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍。7、和是方程的兩個解，求，的值。自我測試方程的根是________2、若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是.3、無理方程的根為，則a的值為.、4、下列方程中既不是分式方程，也不是無理方程的有（）A.B.C.D.5、方