上海市長寧區(qū)2025年高考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁上海市長寧區(qū)2025年高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知非零實數(shù)a>b，則下列命題中成立的是(

)A.a2>b2 B.ab>2.某書店為了分析書籍銷量與宣傳投入之間的關(guān)系，對宣傳投入x(千元)和書籍銷量y(百本)的情況進行了調(diào)研，并統(tǒng)計得到如表中幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，同時用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.2x3456y56.27.4mA.變量x、y之間呈正相關(guān)

B.預(yù)測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為400本

C.m=8.8

D.3.如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，點E是邊AC的中點，點D是邊BC上一點(不與C重合)，將三角形DCE沿DE逆時針翻折，點C的對應(yīng)點是C1連接A.存在點D和θ，使得DC1⊥AC B.存在點D和θ，使得BC1⊥AC

C.存在點D和θ4.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點，從點F1發(fā)出的光線在到達橢圓上的點P后，經(jīng)過到達點的切線反射后經(jīng)過點F2，有以下兩個命題：

①若A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知集合A=(?2,1)，B6.復(fù)數(shù)z1=2?3i，z27.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a6=178.某水果店的蘋果，60%來自A基地，40%來自B基地，A基地蘋果的新鮮率為90%，B基地蘋果的新鮮率為85%，從該水果店隨機選取一個蘋果，則選到新鮮蘋果的概率是9.為了研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，某疾病預(yù)防中心對相關(guān)調(diào)查數(shù)據(jù)進行了研究，假設(shè)H0：患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系，并通過計算得到統(tǒng)計量χ2≈3.468，則可推斷______原假設(shè)H0.10.已知隨機變量X的分布是?101141411.已知log189=a，18b=5，用a、12.頂角為36°的等腰三角形被稱為黃金三角形，其底邊和腰之比正好為黃金比φ，用黃金比φ表示cos36°13.一項過關(guān)游戲的規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要投擲骰子n次，如果這n次投擲所得的點數(shù)之和大于3n，則算過關(guān)，問一個人連過第一、二關(guān)的概率為______．14.已知點D、E分別是三角形ABC的邊AC、BC的中點，且AE=2，B15.現(xiàn)有一塊正四面體木料PABC，其邊長為3，現(xiàn)需要將木料進行切割，要求切割后底面ABC上任意一點Q到頂點P的距離不大于7，則切割好后，木料體積的最大值是16.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，其中f(x)=log2x，且y=g三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知向量m=(sinx+cosx,2sinx)，n=(s18.(本小題14分)

如圖，在直三棱柱ABC?A′B′C′中，AB⊥AC，AC=AB=2，AA′=219.(本小題14分)

為響應(yīng)國家促進消費的政策，某大型商場舉辦了“消費滿減樂翻天”的優(yōu)惠活動，顧客消費滿800元(含800元)可抽獎一次，抽獎方案有兩種(顧客只能選擇其中的一種)．

方案1：從裝有5個紅球，3個藍球(形狀、大小完全相同)的抽獎盒中，有放回地依次摸出3個球.每摸出1次紅球，立減150元，若3次都摸到紅球，則額外再減200元(即總共減650元)；

方案2：從裝有5個紅球，3個藍球(形狀、大小完全相同)的抽獎盒中，不放回地依次摸出3個球.中獎規(guī)則為：若摸出3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球，則打5折；其余情況無優(yōu)惠．

(1)顧客A選擇抽獎方案2，已知他第一次摸出紅球，求他能夠享受優(yōu)惠的概率；

(2)顧客B恰好消費了800元，

①若他選擇抽獎方案1，求他實付金額的分布列和期望(結(jié)果精確到0.01)；

②20.(本小題18分)

已知雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A是其左頂點，點P是雙曲線上一點，且位于第一象限，若雙曲線Γ的離心率e=2，b=23．

(1)求雙曲線Γ的方程；

(21.(本小題18分)

已知函數(shù)y=f(x)的定義域D?R，對任意實數(shù)a，定義集合Qf(a)={x|f(x)≤a,x∈D)}．

(1答案和解析1.【答案】D

【解析】解：對于A，令a=1，b=?1，滿足a>b，但a2=b2，ab<b2，ab無意義，故ABC錯誤，

y=2.【答案】C

【解析】解：對于A，由線性回歸方程為y=1.2x+1.6可知，變量x、y之間呈正相關(guān)，故A正確；

對于B，預(yù)測當宣傳投入2千元時，書籍銷量約為1.2×2+1.6=4(百本)，故B正確；

對于C，由題意可知，x?=3+4+5+64=4.5，y?=5+6.2+7.4+m4=18.6+3.【答案】B

【解析】解：對于AD，取D為BC中點，θ=π2，則ED//AB，而AB⊥AC，

故DE⊥AC，故在幾何體C1?ABDE中，DE⊥C1E，

而CE⊥DE，故∠CEC1為二面角C1?DE?C的平面角，故∠CEC1=90°，

故C?1E⊥AC，而C1E∩DE=E，C1E，DE?平面DEC1，

故AC⊥平面DEC1，而DC1?平面DEC1，故AC⊥DC1，故A成立；

因為DE⊥AC，DE⊥C1E，AC∩C1E=E，AC，C1E?平面ACC1，

故DE⊥平面ACC1，而CC1?平面ACC1，故DE⊥CC1，故D成立；

對于C，過E作DE⊥BC，D為垂足，取θ=π2，同理可證DE⊥4.【答案】A

【解析】解：對于命題①，由已知，PM為∠F1PF2的角平分線，則由角平分線定理知，PF1PF2=MF1MF2=t+cc?t，

所以PF1=t+cc?tPF2，由橢圓的定義，PF1+PF2=2a，

所以t+cc?tPF2+PF5.【答案】(0【解析】解：因為集合A=(?2,1)，B=(0,3]6.【答案】8+【解析】解：z1=2?3i，z2=1?2i，7.【答案】77

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

若a1=2，a6=17，則有d=a6?a15=3，

則8.【答案】0.88

【解析】解：根據(jù)題意，某水果店的蘋果，60%來自A基地，40%來自B基地，A基地蘋果的新鮮率為90%，B基地蘋果的新鮮率為85%，

從該水果店隨機選取一個蘋果，則選到新鮮蘋果的概率P=60%×909.【答案】拒絕

【解析】解：由題意可知，χ2≈3.468>2.707，

所以可推斷拒絕原假設(shè)H0．10.【答案】1116【解析】解：根據(jù)題意可得E(X)=?1×14+0×111.【答案】b+【解析】解：因為18b=5，所以log185=b，

所以由換底公式得：log3645=log1845log1836=l12.【答案】1?【解析】解：設(shè)等腰△ABC的腰AB=AC=x，底邊BC=y，則A=36°，φ=BCAB=yx，

由余弦定理知，BC2=AB213.【答案】724【解析】解：由題意，在第一關(guān)投1次骰子，點數(shù)大于3，即點數(shù)為4，5，6，

則過第一關(guān)的概率為12；

第二關(guān)投2次骰子，點數(shù)之和大于6，即點數(shù)分別為(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，

(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

14.【答案】(0【解析】解：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

在△ACE中，由余弦定理知，cosC=(a2)2+b2?222?a2?b，

在△BCD中，由余弦定理知，cosC=a2+(b2)2?322?a?b215.【答案】3【解析】解：

設(shè)正四面體頂點P在底面ABC的投影為O，則O為正三角形ABC的中心，

連接OA，所以AO=23×32×3=3，PO=PA2?AO2=6，

若底面ABC上任意一點Q到頂點P的距離不大于7，設(shè)PQ=7，

則OQ=PQ2?PO2=1，所以O(shè)為圓心，半徑為1的圓在底面△ABC內(nèi)的部分為底，

以P為頂點的幾何體即為符合要求的部分，

如圖以O(shè)為圓心，半徑為1的圓與底面△ABC的邊BC相交的交點為M，N，

延長OA交BC于E，連接OM，O16.【答案】[3【解析】解：∵對任意的x1∈[12,2]，存在x2∈[?1,1]，使得f(x1)=g(x2)，

∴f(x)的值域是g(x)值域的子集，

當x1∈[12,2]時，f(x)的值域為[?1,1]，

∵y=g(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，

∴g(x)是奇函數(shù)，且g(0)=0，

∵當x∈(0,1時，g(x)=x2?mx?m+5，

∴g(x)的對稱軸方程為x=m2，

當m≤0時，g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，

∴g(x)在x∈(0,1]時的范圍是(?m+5,6?2m]，?m+5>0，6?2m>0，

∴g(x)在[?1,1]上的值域為[2m?6,m?5)∪(?m+5,6?2m]∪{0}，

此時f(x)的值域不可能為g(x)值域的子集，舍去；

17.【答案】[kπ+π3,【解析】解：(1)f(x)=sin2x?cos2x+23sinxcosx=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，

令2kπ+π2≤2x?π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，則kπ+π318.【答案】證明見詳解；

2；42【解析】解；(1)證明：

連接BC′∩B′C=M，取BC的中點N，連接AN，MN，∵AB=AC，∴AN⊥BC，

∵在直三棱柱ABC?ABC中，平面ABC⊥平面CBBC，平面ABC∩平面CBB?=BC，AN?平面ABC，

∴AN⊥平面CBBC，∵M，N分別為BC，BC的中點，∴MN//BB，且MN=12BB′，

∵點D是棱AA的中點，∴AD//BB′，且AD=12BB′，∴AD/?/MN且AD=MN，∴四邊形AD19.【答案】67；

①分布列見解析，E(X)≈469.92【解析】解：(1)設(shè)事件M表示“第一次摸到紅球”，事件N表示“能夠享受優(yōu)惠”，

在第一次摸到紅球后，抽獎盒中還剩4個紅球和3個藍球，共7個球，享受優(yōu)惠包含摸出2個紅球和摸出3個紅球這兩種情況，

從7個球中不放回摸2個球，總情況有A72=7×6=42鐘，摸出兩個紅球的情況有A42=4×3=12種，

摸出1紅1藍的情況有C41C31A22=24種，所以P(N|M)=12+2442=67；

(X800650500150P27135225125實付金額的期望為：

E(X)=800×27512+650×135512+500×225512+150×125512=240600512≈469.92；

②設(shè)顧客B選擇抽獎方案2時實付金額為Y元，當摸出0個紅球或1個紅球時，

P(Y=800)=C33C83+C51C32C83=27，當摸出2個紅球時，P(Y=40020.【答案】x24?y212=1；

P【解析】解：(1)設(shè)半焦距為c，則ca=1即c=2a，而b=23，

故c2?a2=12故a=2，c=4，故雙曲線的方程為：x24?y212=1；

(2)由(1)得F2(4,0)，A(?2,0)，因為P在第一象限，

故設(shè)P(m,n)，其中m>2，n>0，因為三角形APF2是等腰三角形，

故|AP|=|PF2|或|AF2|=|PF2|或|AF2|=|P.若|AP|=|PF2|，則P在AF2的中垂線上，

則m=?2+42=1<2，舍；若|AF2|=|PF221.【答案】Qf(2)=(?∞,【解析】解：(1)函數(shù)f(x)=1+x1?x的定義域為(?∞,1)∪(1,+∞)，

由題意可知Qf(2)即不等式1+x1?x≤2的解集，1+x1?x≤2可化為1+x1?x?2≤0，

整理可得3x?1x?1≥0，即(3x?1)(