8.1 平方根 2024-2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)下冊

第八章實數(shù)8.1平方根人教版數(shù)學(xué)（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025（第一課時）1.了解平方根的概念，并理解平方與開平方的關(guān)系.2.知道平方根的性質(zhì)，會用符號表示平方根，會求非負(fù)數(shù)的平方根.問題

當(dāng)“天問一號”火星探測器的速度大于第二宇宙速度v(單位:m/s)時，就會克服地球引力，永遠(yuǎn)離開地球，飛向火星.v的大小滿足v2=2gR，其中g(shù)是地球表面的重力加速度，g≈9.8(單位:m/s)，R是地球半徑，R≈6.4×106(單位:m)，怎樣求v呢?這就要用到平方根的概念思考

如果一個數(shù)的平方等于9，這個數(shù)是多少?32=9，所以這個數(shù)可以是3；(-3)2=9，所以這個數(shù)也可以是-3.除3，-3以外，任何一個數(shù)的平方都不等于9.因此，如果一個數(shù)的平方等于9，那么這個數(shù)是3或-3.知識點1平方根填寫下表:知識點1平方根x21163649x1或-14或-46或-67或-7

一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x叫作a的平方根或二次方根.

例如：3和-3是9的平方根，簡記為±3是9的平方根.知識點1平方根求一個數(shù)a的平方根的運算，叫作開平方.+1-1+2-2+3-3平方149+1-1+2-2+3-3149開平方觀察下圖，你發(fā)現(xiàn)了什么?平方與開平方互為逆運算知識點1平方根想求一個數(shù)的平方根，就想誰的平方等于它

知識點1平方根

求一個正數(shù)的平方根主要分兩步:(1)找出平方等于這個正數(shù)的數(shù)，這樣的數(shù)有兩個；(2)根據(jù)平方根的定義寫出這個正數(shù)的平方根.知識點1平方根思考正數(shù)的平方根有什么特點?從例1可以看出，正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).知識點2平方根的性質(zhì)思考0的平方根是多少?因為02=0，并且任何一個不為0的數(shù)的平方都不等于0，所以0的平方根是0.知識點2

平方根的性質(zhì)思考負(fù)數(shù)有平方根嗎?正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，0的平方是0，即在我們所認(rèn)識的數(shù)中，任何一個數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根.知識點2

平方根的性質(zhì)平方根的性質(zhì)：1.正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；2.0的平方根是0；3.負(fù)數(shù)沒有平方根.知識點2

平方根的性質(zhì)知識點2

平方根的性質(zhì)例2判斷題.(1)1的平方根是1;(2)-1的平方根是-1;(3)0.5是0.25的一個平方根;(4)0的平方根是0.a的平方根表示為：根號被開方數(shù)（a是非負(fù)數(shù)）讀作“正、負(fù)根號

a”知識點3平方根的表示正平方根：負(fù)平方根：知識點3平方根的表示讀作“根號

a”讀作“負(fù)根號

a”

知識點3平方根的表示

知識點3平方根的表示

D2.判斷下列說法是否正確，如果錯誤，請說明理由.(1)1的平方根是1.(2)2是4的一個平方根.(3)-5是25的平方根.(4)64的平方根是±8.(5)-16的平方根是-4(6)0的平方根是0.1的平方根是±1負(fù)數(shù)沒有平方根

解：因為一個正數(shù)的兩個平方根是2a-1和a-5，則有(2a-1)+(a-5)=0，解得a=2.所以2a-1=3，所以這個正數(shù)為32=9.4.已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a-1和a-5，求這個正數(shù).互為相反數(shù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).5.求下列各式中x的值:(1)4x2-1=0；(2)(x+1)2=81；

(2)因為(±9)2=81，所以x+1=9或x+1=-9，解方程，得x=8或x=-10.所以x=8或x=-10.

平方根一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x叫作a的平方根或二次方根.

表示(1)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；

(2)0的平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒有平方根.開平方與平方互為逆運算運算概念性質(zhì)第八章實數(shù)8.1平方根人教版數(shù)學(xué)（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025（第二課時）1.了解算術(shù)平方根的概念，會表示正數(shù)的算術(shù)平方根；2.了解算術(shù)平方根的非負(fù)性；3.掌握算術(shù)平方根的估算，初步體會無限不循環(huán)小數(shù).問題

學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少?解：因為52=25所以這個正方形畫布的邊長應(yīng)取5dm.5是25的正的平方根知識點1算術(shù)平方根

a的算術(shù)平方根記作：根號被開方數(shù)a的算術(shù)平方根讀作:“根號a”

知識點1算術(shù)平方根

知識點1算術(shù)平方根

求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的方法:先找出哪一個正數(shù)的平方等于所給的數(shù)，再用數(shù)學(xué)式子表示即可.知識點1算術(shù)平方根

知識點1算術(shù)平方根觀察被開方數(shù)的大小和其算術(shù)平方根的大小有什么關(guān)系？

知識點1算術(shù)平方根可以看出:被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根就越大，這個結(jié)論對所有正數(shù)都成立.

1.一個正數(shù)的算術(shù)平方根有幾個？0的算術(shù)平方根有一個，是0.2.0的算術(shù)平方有幾個？負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.3.負(fù)數(shù)有沒有算術(shù)平方根?一個正數(shù)的算術(shù)平方根有1個算術(shù)平方根的性質(zhì)知識點2算術(shù)平方根的性質(zhì)知識點2算術(shù)平方根的性質(zhì)

a≥0，被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性知識點2算術(shù)平方根的性質(zhì)

知識點2算術(shù)平方根的性質(zhì)

知識點2算術(shù)平方根的性質(zhì)

若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個數(shù)均為0.探究怎樣用兩個面積為1dm2的小正方形拼成一個面積為2dm2的大正方形?知識點3算術(shù)平方根的估算探究這個大正方形的邊長是多少?知識點3

算術(shù)平方根的估算面積為2dm2

小正方形的對角線的長是多少呢?

知識點3

算術(shù)平方根的估算

被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根就越大知識點3

算術(shù)平方根的估算

知識點3

算術(shù)平方根的估算

無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù).知識點3

算術(shù)平方根的估算

對算術(shù)平方根進(jìn)行估算時，通常利用與被開方數(shù)比較接近的兩個完全平方數(shù)的算術(shù)平方根來估計這個被開方數(shù)的算術(shù)平方根的大小.知識點3

算術(shù)平方根的估算知識點3

算術(shù)平方根的估算

知識點3

算術(shù)平方根的估算

C知識點3

算術(shù)平方根的估算平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別平方根算術(shù)平方根區(qū)別定義個數(shù)表示方法結(jié)果一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a那么這個數(shù)x叫作a的平方根或二次方根.

一個正數(shù)的平方根有兩個.一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個.

正數(shù)的平方根一正一負(fù)，它們互為相反數(shù).正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù).平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系平方根算術(shù)平方根聯(lián)系具有包含關(guān)系存在條件相同特殊值0平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的正的平方根.只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.0的平方根和算術(shù)平方根都是0.

34

9

-1

5.排球比賽場地呈長方形，長是寬的2倍，面積為162m2，它的長與寬分別是多少？

算術(shù)平方根性質(zhì)及雙重非負(fù)性估算定義

利用與被開方數(shù)比較接近的兩個完全平方數(shù)的算術(shù)平方根來估計這個被開方數(shù)的算術(shù)平方根的大小.第八章實數(shù)8.1平方根人教版數(shù)學(xué)（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025（第三課時）1.會用計算器求算術(shù)平方根.2.能用計算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律.3.能利用算術(shù)平方根解決實際問題.問題

在本章引言的問題中，已知v2=2gR，g≈9.8，R≈6.4×106.如何較為簡便地求出v呢?

知識點1用計算器求算術(shù)平方根3136

2知識點1用計算器求算術(shù)平方根

現(xiàn)在你能解決本章引言提出的問題嗎？當(dāng)“天問一號”火星探測器的速度大于第二宇宙速度v(單位:m/s)時，它就會克服地球引力，永遠(yuǎn)離開地球，飛向火星.v的大小滿足v2=2gR，其中g(shù)是地球表面的重力加速度，g≈9.8(單位:m/s2)，R是地球半徑，R≈6.4×106(單位:m).怎樣求v呢?知識點1用計算器求算術(shù)平方根

知識點1用計算器求算術(shù)平方根探究(1)用計算器計算下表中的算術(shù)平方根，并將計算結(jié)果填在表中，…………你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?知識點2用計算器探索規(guī)律0.250.7912.57.912579.1250…………0.250.7912.57.912579.1250知識點2用計算器探索規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右每移動

位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向右移動

位；被開方數(shù)的小數(shù)點向左每移動

位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向左移動

位.2121知識點2用計算器探索規(guī)律你能用數(shù)學(xué)知識解釋發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或向左移動1位.被開方數(shù)小數(shù)點向右或向左移動2位，相當(dāng)于被開方數(shù)乘以或除以100，所以開方后算術(shù)平方根就相應(yīng)的乘以或除以10，故算術(shù)平方根的小數(shù)點向右或向左移動1位.知識點2用計算器探索規(guī)律

知識點2用計算器探索規(guī)律

知識點2用計算器探索規(guī)律例3

小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長與寬的比為3:2.但她不知道能否裁得出來，正在發(fā)愁，小明見了說:“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片!”你同意小明的說法嗎?小麗能用這塊紙片裁出想要的紙片嗎?知識點3算術(shù)平方根的實際應(yīng)用正方形的邊長是否比長方形的各邊都長在日常生活中，我們經(jīng)常遇到估計一個數(shù)的大小的問題.

知識點3算術(shù)平方根的實際應(yīng)用

知識點3算術(shù)平方根的實際應(yīng)用

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387.30.15解題策略：被開方數(shù)的小數(shù)點向左(或向右)移動2n(n為正整數(shù))位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點相應(yīng)地向左