人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)活動(dòng)-建立二次函數(shù)模型探究和解釋（導(dǎo)學(xué)案）

數(shù)學(xué)活動(dòng)

——建立二次函數(shù)模型探究和解釋

一、活動(dòng)導(dǎo)入

1.活動(dòng)導(dǎo)入:

猜一猜下面的積中哪一個(gè)最大：91×99,92×98，…，98×92,99×91.

這節(jié)課我們運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)探究和說(shuō)明兩數(shù)的積的最大值.（板書課題）

2.活動(dòng)目標(biāo)：

（1）探究具有某種特點(diǎn)的兩數(shù)的積中存在的某種規(guī)律.

（2）建立二次函數(shù)模型說(shuō)明猜想的正確.

（3）通過(guò)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納和概括能力.

3.活動(dòng)重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探究具有某種特點(diǎn)的兩數(shù)的積中存在的某種規(guī)律，建立二次函數(shù)模型說(shuō)明猜想的

正確.

難點(diǎn)：建模.

二、活動(dòng)過(guò)程

活動(dòng)1關(guān)于兩數(shù)積的猜想與證明

1.活動(dòng)指導(dǎo):

（1）活動(dòng)內(nèi)容：教材第54頁(yè)活動(dòng)1.

（2）活動(dòng)時(shí)間：10分鐘.

（3）活動(dòng)方法：完成活動(dòng)參考提綱.

（4）活動(dòng)參考提綱：

①91×99=9009,92×98=9016,93×97=9021,94×96=9024,95×95=9025.

②猜想：901×999，902×998，…，998×902,999×901中，哪個(gè)最大？

950×950最大

③證明：設(shè)第一個(gè)數(shù)是900+x，則第二個(gè)數(shù)是（1000-x）,設(shè)兩數(shù)積為y.

a.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000

b.求y的最大值；

y=-(x-50)2+902500

∴y的最大值為902500，此時(shí)x=50.

c.你的猜想正確嗎？

2.自學(xué)：學(xué)生參考活動(dòng)指導(dǎo)進(jìn)行活動(dòng)性學(xué)習(xí).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：明了學(xué)生是否會(huì)建立二次函數(shù)模型.

②差異指導(dǎo)：對(duì)在建立二次函數(shù)模型方面有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).

（2）生助生：同桌之間互相交流.

4.強(qiáng)化：建立二次函數(shù)模型要點(diǎn).

活動(dòng)2曲線L的形狀

1.活動(dòng)指導(dǎo)：

（1）活動(dòng)內(nèi)容：教材第54頁(yè)活動(dòng)2.

（2）活動(dòng)時(shí)間：10分鐘.

（3）活動(dòng)方法：完成活動(dòng)參考提綱.

（4）活動(dòng)參考提綱：

①按照課本的作圖步驟在圖中描點(diǎn)、連線：

②觀察你畫出的曲線L，猜想它是我們學(xué)過(guò)的哪種曲線？

③對(duì)于曲線L上任意一點(diǎn)P，連接PM、PA，則線段PA與線段PM的關(guān)系為：PA=PM,

2

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則PA=x2y2，PM=|y|，由PA與PM的關(guān)系列等式

x2x2

x2（y2）2y，化簡(jiǎn)得y1.由此，點(diǎn)P在函數(shù)y1的圖象上，即曲線L

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的形狀是拋物線.

2.自學(xué)：學(xué)生參考活動(dòng)指導(dǎo)進(jìn)行活動(dòng)性學(xué)習(xí).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：明了學(xué)生是否會(huì)建立二次函數(shù)模型.

②差異指導(dǎo)：對(duì)在建立二次函數(shù)模型方面有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).

（2）生助生：同桌之間互相交流.

4.強(qiáng)化：建立二次函數(shù)模型要點(diǎn).

三、評(píng)價(jià)

1.學(xué)生的自我評(píng)價(jià)（圍繞三維目標(biāo)）：這節(jié)課你有什么收獲？有哪些不足？

2.教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)：

（1）表現(xiàn)性評(píng)價(jià)：從學(xué)生回答問(wèn)題，課堂的注意力等方面進(jìn)行評(píng)價(jià).

（2）紙筆評(píng)價(jià)：課堂評(píng)價(jià)檢測(cè).3.教師的自我評(píng)價(jià)（教學(xué)反思)：數(shù)學(xué)活動(dòng)屬于開放性課

時(shí)，教學(xué)過(guò)程應(yīng)以學(xué)生為主體，確立學(xué)生的主導(dǎo)地位，注重讓學(xué)生自己分析、探究并建立二

次函數(shù)模型，通過(guò)解二次函數(shù)問(wèn)題驗(yàn)證猜想的正確性.

(時(shí)間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎(chǔ)鞏固（50分）

1.（25分）如圖是某段河床橫斷面的示意圖．查閱該河段的水文資料，得到下表中的數(shù)

據(jù)：

(1)請(qǐng)你以上表中的各對(duì)數(shù)據(jù)(x，y)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，嘗試在坐標(biāo)系中畫出y關(guān)于x的函數(shù)圖

象;

(2)當(dāng)水面寬度為36米時(shí)，一艘吃水深度(船底部到水面的距離)為1.8米的貨船能否在

這個(gè)河段安全通過(guò)?為什么?

解：（1）如圖.

（2）設(shè)y關(guān)于x的解析式為y=ax2，∵拋物線過(guò)點(diǎn)（20，2），

∴2=a×202，解得a=0.005，

∴y=0.005x2.

當(dāng)x=18時(shí)，y=1.62<1.8.∴該貨船在這個(gè)河段不能安全通過(guò).

2.（25分）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問(wèn)題：

1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．

（1）猜一猜：所有的積中，哪兩個(gè)數(shù)的積最大？

（2）運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)說(shuō)明你的猜想是正確的.

解：（1）200×200的積最大.

（2）設(shè)第一個(gè)乘數(shù)為x，第二個(gè)乘數(shù)為（400-x），乘積為y.∴y=x(400-x)=-x2+400x.

b400

200.當(dāng)x=200時(shí),y有最大值.猜想正確.

2a2（1）

二、綜合應(yīng)用（25分）

3.（25分）九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，進(jìn)行了如下的課題研究：用一定

長(zhǎng)度的鋁合金材料,將它設(shè)計(jì)成外觀為長(zhǎng)方形的三種框架，使長(zhǎng)方形框架面積最大.

小組討論后,同學(xué)們做了以下三種試驗(yàn):

請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題:

(1)在圖案①中,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)為6m,當(dāng)AB為1m,長(zhǎng)方

4

形框架ABCD的面積是m2;

3

(2)在圖案②中,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為6m,設(shè)AB為xm,長(zhǎng)方形框架ABCD的面積為

Ｓ＝x(2-x)(用含x的代數(shù)式表示)；當(dāng)AB＝1m時(shí),長(zhǎng)方形框架ABCD的面積Ｓ最大;在圖

l

案③中,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為lm,設(shè)AB為xm,當(dāng)AB=m時(shí),長(zhǎng)方形框架ABCD的

8

面積Ｓ最大.

(3)經(jīng)過(guò)這三種情形的試驗(yàn),他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于圖案④這樣的情形也存在著一定的規(guī)律．

探究:如圖案④,如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為lm共有ｎ條豎檔時(shí),那么當(dāng)豎檔AB為多少

時(shí),長(zhǎng)方形框架ABCD的面積最大.

lnx

解：設(shè)AB=xm.則AD=m.

3

lnxnl

∵長(zhǎng)方形框架ABCD的面積Sxx2x，

333

l

bl

∴3.

2an2n

2

3

l

當(dāng)豎檔AB為m時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積最大.

2n

三、拓展延伸（25分）

4.（25分）如圖①是棱長(zhǎng)為a的小正方體，圖②、圖③由這樣的小正方體擺放而成．按

照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別把第一層、第二層、第三層…第n層的小正方體的個(gè)

數(shù)記為S．解答下列問(wèn)題：

（1）填表：

(2)寫出n＝6時(shí)，S=21;

(3)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把S作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，n作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中

描出相應(yīng)的點(diǎn)；

(4)請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)的圖象上，求出該函數(shù)

的解析式．

解：（3）如圖

（4）它們?cè)谕缓瘮?shù)圖象上.設(shè)函數(shù)解析式為y=an2+bn+c,圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），（2，3），

（3，6）.

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