人教版九年級數(shù)學：數(shù)學活動-旋轉與坐標（導學案）

數(shù)學活動

——旋轉與坐標

一、活動導入

1.導入課題:我們能用坐標表示軸對稱變換、平移變換，也能用坐標表示中心對稱，那么

能不能用坐標表示旋轉變換呢？這節(jié)課我們探索用坐標表示旋轉角為90°的旋轉變換（.板書

課題）

2.學習目標:

(1)運用坐標探索中心對稱與軸對稱的關系.

(2)探索點繞原點旋轉90°的倍數(shù)角度的坐標變化規(guī)律.

(3)通過活動，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合和動手操作實踐能力.

3.學習重、難點:

重點：運用坐標探索中心對稱與軸對稱的關系，探索點繞原點旋轉90°的倍數(shù)角度的坐

標變化規(guī)律.

難點：探索點繞原點旋轉90°的倍數(shù)角度的坐標變化規(guī)律.

二、活動過程

活動1

1.活動指導：

（1）自學內容：教材第74頁活動1.

（2）自學時間：6分鐘.

（3）自學要求：完成活動參考提綱.

（4）自學參考提綱：

①在下圖中完成課本中的活動1.

a.如果A(-3,2)，則B點坐標為(-3,-2)，C點坐標為(3,-2).A，

C兩點的坐標關系是坐標互為相反數(shù)，位置關系是關于原點中心

對稱.

b.猜想：對于任意點A(x,y)，則B點坐標為(x,-y)，C點坐標為

(-x,-y).A，C兩點的坐標關系是坐標互為相反數(shù)，位置關系是關

于原點中心對稱.

c.對于任意點A(x,y)，先作A關于y軸的對稱點B，再作B點關于x軸的對稱點C，則

A，C兩點的坐標關系是坐標互為相反數(shù)，位置關系是關于原點中心對稱.

②對于任意點A(x,y)，先以x軸為對稱軸作點A關于x軸的對稱軸點A1，再以y軸為

對稱軸作A1于y軸的對稱點A2，然后再以x軸為對稱軸作A2關于x軸的對稱點A3，以y

軸為對稱軸作A3關于y軸的對稱點A4，…，如此繼續(xù)，得到一系列點A1，A2，…，An，

若An與A重合，則n的最小值是多少？能從坐標的角度給予解釋嗎？

n的最小值為4.

因為A1與A關于x軸對稱，A2與A1關于y軸對稱，所以A2與A關于原點對稱，

同理A4與A2關于原點對稱，所以A4與A重合，

同理，A8與A重合，A12與A重合，…，

所以，當n=4k(k為正整數(shù))時，An與A重合，所以n的最小值為4.

③如圖，直線l1與l2相交，∠α=60°，點P在∠α內（不在l1、l2上）.小明用下面的方法

作P的對稱點：先以l1為對稱軸作點P關于l1的對稱軸點P1，再以l2為對稱軸作P1關于l2

的對稱點P2，然后再以l1為對稱軸作P2關于l1的對稱點P3，以l2為對稱軸作P3關于l2的對

稱點P4，…，如此繼續(xù)，得到一系列點P1，P2，…，Pn，若Pn與P重合，則n的最小值是

多少？能運用旋轉的知識給予解釋嗎？

如圖，若Pn與P重合，n的最小值為6，因為P1是由P繞O點逆時針旋轉2β得到，P2

是由P1繞O點順時針旋轉120°+2β得到，P3是由P2繞O點順時針旋轉120°-2β得到，P4是

由P3繞O點順時針旋轉2β得到，P5是由P4繞O點逆時針旋轉120°+2β得到，P6是由P5繞

O點逆時針旋轉120°-2β得到，所以P6最終回到P，n的最小值為6.

2.自學：學生參考活動指導進行活動性學習.

3.助學：

（1）師助生：

①明了學情：明了學生是否會根據(jù)點與點的坐標的關系解釋點與點的位置關系.

②差異指導：對困難學生在用點與點的坐標的關系解釋點與點的位置關系方面進行指

導.

（2）生助生：學生同桌之間互相交流.

4.強化：作任意點P關于x軸(y軸)的對稱點P1，再作所得對稱點P1關于y軸(x軸)的對

稱點P2，則P與P2關于原點對稱.活動2

1.活動指導:

（1）自學范圍：教材第74頁活動2.

（2）自學時間：10分鐘.

（3）自學要求：完成活動參考提綱.

（4）自學參考提綱：

①探索把點P(x，y)繞原點分別順時針旋轉90°，180°，270°，360°后的對應點的坐標.

a.把點P(5，0)繞原點分別順時針旋轉90°，180°，270°，360°后的對應點的坐標依次是(0，

-5)，(-5，0)，(0，5)，(5，0).

b.把點P(0，5)繞原點分別順時針旋轉90°，180°，270°，360°后的對應點的坐標依次是

(5，0)，(0，-5)，(-5，0)，(0，5).

c.把點P(4，5)繞原點分別順時針旋轉90°，180°，270°，360°后的對應點的坐標依次是(5，

-4)，(-4，-5)，(-5，4)，(4，5).

d.猜想：把點P(x，y)繞原點分別順時針旋轉90°，180°，270°，360°后的對應點的坐標

依次是(y，-x)，(-x，-y)，(-y，x)，(x，y).

②仿照上述過程探索把點P(x，y)繞原點分別逆時針旋轉90°，180°，270°，360°后的對

應點的坐標依次是(-y，x)，(-x，-y)，(y，-x)，(x，y).

③已知△ABC中，A(1，2),B(3，1),C(2,5)，請畫出把△ABC繞原點分別順時針旋轉90°，

180°，270°后的圖形.

2.自學:學生參考活動指導進行活動性學習.

3.助學：

（1）師助生：

①明了學情：明了學生是否會畫旋轉圖形.

②差異指導：對困難學生在畫旋轉圖形方面進行指導.

（2）生助生：學生同桌之間互相交流.

4.強化：對旋轉圖形的三要素的認識，會畫旋轉圖形.

三、評價

1.學生的自我評價(圍繞三維目標)：這節(jié)課你有什么收獲？有哪些不足？

2.教師對學生的評價：

（1）表現(xiàn)性評價：從學生回答問題，課堂的注意力等方面進行評價.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）：通過讓學生自主探究這兩個活動，可開拓學生的思維，

加深對本章知識的理解和運用，教學時，可根據(jù)實際情況對學生給予適當?shù)闹笇?，重點是培

養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力.

(時間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎鞏固（60分）

1.（20分）在平面直角坐標系中，A點坐標為（3，4），將OA繞原點O逆時針旋轉90°

得到OA′，則點A′的坐標是（A）

A.（-4，3）B.（-3，4）C.（3，-4）D.（4，-3）

2.（20分）如圖，將放置于平面直角坐標系中的三角板AOB繞O

點順時針旋轉90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，則B′

點的坐標為(A)

33331331

A.,B.,C.,D.,

22222222

3.（20分）如圖，已知△ABC的頂點坐標分別是A(-1，-1)，B(-4，-3),C(-4，-1)．

（1）作出△ABC關于原點O中心對稱的圖形；

（2）將△ABC繞原點O按順時針方向旋轉90°后得到△A1B1C1，

畫出△A1B1C1，并寫出點A1的坐標．

解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求作的圖形.

（2）如圖，A1(-1，1).

二、綜合應用（20分）

4.（20分）△ABC在方格中的位置如圖所示.

(1)請在方格紙上建立平面直角坐標系，使得A、B兩點的坐標

分別為A(2，-1)、B(1，-4),并求出C點的坐標；

(2)作出△ABC關于橫軸對稱的△A1B1C1，再作出△ABC以坐

標原點為旋轉中心、旋轉180°后的△A2B2C2，并寫出C1，C2兩點

的坐標．

解：（1）如圖，C（3，-3）.

（2）如圖，C1(3，3)，C2(-3，3).

三、拓展延伸（20分）

5.（20分）如圖，直線l1與l2相交，α=40°，點P在∠α內（不在l1、l2上）.小明用下面

的方法作P的對稱點：先以l1為對稱軸作點P關于l1的對稱軸點P1，再以l2為對稱軸作P1

于l2的對稱點P2，然后再以l1為對稱軸作P2關于l1的對稱點P3，以l2為對稱軸作P3關于l2

的對稱點P4，…,如此繼續(xù)，得到一系列點P1,P2，…，Pn，若Pn與P重合，則n的最小值是

多少？能運用旋轉的知識給予解釋嗎？

解：根據(jù)題意，可作出示意圖如圖所示：設兩直線交點為O，根據(jù)旋轉的知識可得，作

出的一系列點P1，P2，P3，…，Pn都在以O為圓心，OP為半徑的圓上.點P1可看成點P繞

圓心O逆時針旋轉2β得到的.P2可看成P1繞圓心O順時針旋轉2（α+β）即80°+2β得到，此

時，點共繞O順時針旋轉80°，P3可看成P2繞圓心O順時針旋轉2（2α+β）即160°+2β得到，

此時，點共繞O逆時針旋轉8