高三年級上冊期中數(shù)學(xué)真題分類匯編（新高考）專題15圓錐曲線壓軸大題（十大題型）

專題15圓錐曲線壓軸大題

|題型

01I相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程

1.（江蘇省淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、姜堰中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知雙曲線C的方程

為2?一「=2.

（1）直線夕=》+加截雙曲線C所得的弦長為48，求實(shí)數(shù)他的值；

（2）過點(diǎn)（2,7）作直線交雙曲線C于尸、0兩點(diǎn)，求線段尸。的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】（1）"7=±1

（2）2x2-y2-4x-y=0

【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，利用弦長公式即可求出加值；

（2）設(shè)網(wǎng)弓,“）,。區(qū),外）,“（羽了），/（2,-1）,利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)公式即可得到；=二，化簡

即可.

…，、fV=x+m,

【詳解】（1）聯(lián)立（22。，得--2加%-加2-2=0，

\2x-y=2

???直線>=%+冽被雙曲線。截得的弦長為4VL.，.A=4/+4/+8>o,

設(shè)直線與雙曲線交于4（再,M）乃（乙,力）,

2

貝!!西+/-2m,xlx2=-m-2,

由弦長公式得4A/2=V2-不4m2+4（士+2）,

解得m=±l.

（2）設(shè)尸（王,必）,0（X2，%）,"（X/）,力（2,-1）,則

xr+x2=2x,必+%=2〉，

2x；--2,-y\~2,

上式作差得4x（%i-％2）-2歹（必-%）=0,

當(dāng)直線尸。的斜率不存在時(shí)，根據(jù)雙曲線對稱性知"（2,0）,

當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，但必+%=。時(shí)，此時(shí)直線尸。為直線。兒根據(jù)雙曲線對稱性知M（0,0）,

當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，且必+%*0時(shí)，⑥72=江Vi-^Vo=一2x，

國一馬y

'?'kAM=＞-'?—=，化簡得2x2-/一4x-y=0,其中》片2,k0,

x—2yx—2

而點(diǎn)（2,0）,（0,0）適合上述方程，

則線段尸。的中點(diǎn)M的軌跡方程是2x2-y2-4x-y=Q.

2.（2022秋?河北唐山?高三開灤第一中學(xué)?？计谥校┮阎狽是圓。：/+產(chǎn)=4上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)/作

ABLx軸，垂足為2,動(dòng)點(diǎn)。滿足麗=也焉.

2

（1）求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡C的方程；

（2）垂直于x軸的直線M交軌跡C于初、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（3,0）,直線與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)

為。.問：直線N0是否過一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

【答案】（1）；+：=1；（2）直線N。恒過定點(diǎn)［*（）］

【分析】（1）設(shè)。（無，＞）,用尤/表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓。方程化簡即可得。的軌跡方程；

（2）設(shè)直線9斜率為后,“（石,耳）,。（%,%）,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出河,。的坐標(biāo)關(guān)系，利用兩

點(diǎn)式表示出直線N。的方程，化簡即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴設(shè)小，歷,

代入圓O的方程可得：/+夕==4,即《+廣=1.

343

動(dòng)點(diǎn)。的軌跡C的方程是：—+^=1.

43

⑵設(shè)直線尸用■的方程為＞=植-3）,

y=k（x-3'）

聯(lián)立方程組｛一/,消元得：（3+4R）N-24產(chǎn)x+361-12=0,

---1---=1

I43

3

???△=576父-4（3+4左2）（36左2-12）>0,解得：k2<~.

設(shè)Mx/，。（%2，⑶，則M］/,-?/），

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：X/+X2=*；36k2-n

X1X2=

3+4/3+4〃

了+必X-Xy

直線NQ的方程為:

x2-%1

即（X2-xi）y-（yi+y2）x+x2yi+xiy2=0,

***yi+y2=k(xi-3)+左(%2-3)=k(x/+%2)~6k=--6k=，

7/?j,c、__.ci,、_^736左2—12c724k2—24左

X2yi~^~xiy2X2K[X]~3)~^XIK(X2~3)2kxiX2~3k(x/+%2)2k*———4k?----3k?q—4k2~~—4k29

?士心、工口乂一18左24k、18左(4、

??直線N。萬程為：(%2-X/)y+22=0，BnnPz(X2-X/)y+pX--=0,

DI/VJIIrvJII\JJ

4

.?.直線N0恒過定點(diǎn)(^，0).

【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

3.（湖南省衡陽市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系為。了中，線段

|MN|=4,且兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸和〉軸上滑動(dòng).

（1）求線段MN的中點(diǎn)。的軌跡方程；

（2）若直線/:（2m+l）x+（m+l）_y-3m-2=0.

①證明直線/與曲線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

②求直線/被曲線C截得的最短弦長.

【答案】（1）/+/=4

⑵①證明見解析；②2行

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離為定值2,得出點(diǎn)C在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，寫出

圓的方程即為點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）①先求解直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)可得出結(jié)論；

②根據(jù)動(dòng)直線與圓相交得最短弦長的條件（直線所過定點(diǎn)與圓心的連線和直線垂直）確定弦心距的

長，再計(jì)算弦長即可.

【詳解】（1）設(shè)線段跖V的中點(diǎn)C（xj）,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，它到原點(diǎn)。的距離為定長，

即Rt^MON的斜邊上的中線長，

因?yàn)閨兒困=4,所以|OC|=2,

所以點(diǎn)C的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓，

所以點(diǎn)C的軌跡方程是V+產(chǎn)=4.

(2)①直線/:(2加+1)》+(加+1)了一3加一2=0可整理為

m(lx+y-3)+x+y-2=Q,

2x+y—3—0(x=1

方程組的解為，

x+y-2=0Lv=i

所以直線/恒過定點(diǎn)。(1,1),

將點(diǎn)(1,1)代入圓C的方程有仔+F=2<4，所以點(diǎn)。(1,1)在圓C的內(nèi)部，

所以直線/與曲線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn).

②由①知，當(dāng)直線/垂直于OD時(shí)被截得的弦長最短，

又|?；?0所以此時(shí)弦長為=2后，

所以直線/被曲線C截得的最短弦長為20.

4.(福建省泉州市晉江二中、鵬峰中學(xué)、廣海中學(xué)、泉港五中2023屆高三上學(xué)期10月期中)已知

圓。：》2+/=4,點(diǎn)尸(2,2).

(1)直線/過點(diǎn)p且與圓c相交于3兩點(diǎn)，若E5.在=0，求直線/的方程；

(2)若動(dòng)圓。經(jīng)過點(diǎn)尸且與圓C外切，求動(dòng)圓的圓心D的軌跡方程；

(3)是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)0,使得對于圓C上任意一點(diǎn)均端=彳有為常數(shù)？若存在，求出

\MQ\

點(diǎn)。坐標(biāo)和常數(shù)2的值；若不存在，也請說明理由.

【答案】(1)(2+6口一了一2-2道=0或(2-百)無一了一2+2道=0

(2)2x+2y-2xy-1=0

⑶存在。(1,1),4=/

【分析】(1)設(shè)直線/方程為了-2="。-2),由B?方=0,結(jié)合C/=C3可得圓心到直線的距離

為行，從而可求的左，即可得解；

(2)設(shè)動(dòng)圓的圓心。的坐標(biāo)為(xj),由動(dòng)圓D經(jīng)過點(diǎn)P且與圓C外切，可得CD=2+PD,從而

可得出所求；

(3)設(shè)由點(diǎn)。異于點(diǎn)尸，得根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式及已知化簡整理

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意知，直線/的斜率必存在，設(shè)為左，

貝IJ直線/方程為>_2=左(無-2)n質(zhì)_y_24+2=0,

---------?兀

"CACB^O,：.ZACB=-,

又CA=CB,則圓心到直線的距離為血，

貝1]L/2.+2?=血=>左=2±百，

貝U直線/的方程為(2+?c-y-2-2G=0或(2-揚(yáng)》->-2+26=0；

(2)設(shè)動(dòng)圓的圓心。的坐標(biāo)為(x,y),

由題意知CD=2+P。，/.^x2+y2=2+7(x-2)2+(y-2)2，

2r-1

化簡得：2x+2y-2xy-l=0,即

2x-2

2x-1

由于CQ>尸。，所以y>—%+2,所以->—X+2,解得%>1,

2x-2

所以動(dòng)圓的圓心D的軌跡方程為2x+2y-2肛-1=0(x>1)；

(3)設(shè)M(W),0(XQJ,貝Ij￡2+y2=4,

因?yàn)辄c(diǎn)0異于點(diǎn)尸，則

_-4￡—4了+12

-2x'X]-+X：+y；+4

-4-412o

???力為常數(shù)且M為任意一點(diǎn)，則丁=丁=2,2：=外,.?.士=%=苗,

2

-2%!-2yiX]+必+42

則當(dāng)。的坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，為常數(shù)幾=萬.

5.(江蘇省徐州市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)已知在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為。，點(diǎn)

_.1__

/(-30,0)(。＞0),B、C兩點(diǎn)分別在V軸和X軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足/4。=0,BC=-CQ,動(dòng)點(diǎn)。

的軌跡為曲線

(1)求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程；

(2)作曲線M的任意一條切線(不含y軸)I,直線x=-2p與切線/相交于￡點(diǎn)，直線X=2p與切

線/、x軸分別相交于下點(diǎn)與。點(diǎn)，試探究一?一的值是否為定值,若為定值請求出該定值；

OD2

若不為定值請說明理由.

【答案】(1)y2-4px(p＞Q)(2)2

【分析】⑴先設(shè)O(xj),2(0,%),c(x0,o),求出配，函的坐標(biāo)，根據(jù)就=5函，得到

y0="1＞再根據(jù)海?苑=0,即可求出結(jié)果；

（2）先由題意設(shè)切線/的方程為＞=履+6,與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式為0,得到祐=。，再

根據(jù)題設(shè)及直線/方程易得￡（-2°,6-2切），F(xiàn)（2p,b+2kp）,D（2p,0）,進(jìn)而可得出以非的

結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)0（x/）,3（0,%）,C（xo,O）,

則8C=（/,一%），C0=（x-%,y）,

,：BC=^CQ,

（毛，一%）=；（彳一//）,

又海?苑=0,

y2=4px（p>0）,

J。點(diǎn)的軌跡方程為歹2=4px（p〉0）.

（2）DE。一，尸的值為定值2.

OD2

求解如下：由題可知切線/的斜率存在，

設(shè)切線/的方程為了=區(qū)+6,代入/=4.可得

k2x2+^2kb-4p^x+b2=0,

由△=（）可得泌=p.

由題設(shè)及直線/方程易得￡（-2°力-2粒），F(xiàn)（2p,b+2kp）,。（2”0）,

DE2-DF2=（4p）2+（b-2kp）2-（b+2kp^=16p2-Skpb.

又kb=p,

：.DE2-DF2=16/-802=8P2,

DE?-DF?8P2T

~Ob1=逝=2為定值.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物的方程，以及拋物線中的定值問題，熟記拋物線的性質(zhì)即可，屬于常考

題型.

題型02交軌法求軌跡方程

6.(2022秋?云南?高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?如圖，已知點(diǎn)4(1,0)與點(diǎn)8(1,0),C是

圓7+產(chǎn)=1上異于/,2兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接3c并延長至。，使得|C0=|3C|,求線段/C與OD的

交點(diǎn)P的軌跡方程.

【答案】［x+g)+'=《("0)

【分析】首先判斷點(diǎn)P是△力助的重心，代入重心坐標(biāo)公式，利用代入法，即可求點(diǎn)尸的軌跡方程.

【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),由題意可知尸是△48。的重心，由4(1,0),5(1,0),

令動(dòng)點(diǎn)C(xo,yd)9則￡)(2%0L2yo)f

—1+1+2XQ—1

x-

3

由重心坐標(biāo)公式得、，

則.代入/+「=1,

Jo=y(>,0*°)

整理得［x+g］+y2=#yW0)

故所求軌跡方程為卜+￡［+/=jywO).

22

7.(安徽省卓越縣中聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中)已知昂巴為雙曲線C:1-%=l(a>0,b>0)

的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于立，點(diǎn)”和N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱非重合的兩個(gè)動(dòng)

2

點(diǎn)，4，/2為雙曲線左右頂點(diǎn)，|阿|—眼引=4，|阿|+|次|〉2+正恒成立.

(1)求該雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線N4］和加次的交點(diǎn)為P,求點(diǎn)P的軌跡方程.

【答案】

22

(2)：+g=l(0<x<2)

【分析】（1）利用雙曲線的定義可得。=2,然后利用兩邊之和大于第三邊以及|九必|+|咋|〉2+行

可得c=V7,即可求得方程；

22

（2）設(shè)〃（乙,%）（%>2）,則得到直線〃4的方程，兩條方程與半-￡=1可

22

得至|］上+匕=1,然后算出X的范圍即可

43

【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的焦距為2c,

由|龍名|-|〃工|=4及雙曲線的定義，得2。=4,解得。=2,

由巴可得+座|>|4周=a+c=2+c,

又|阿|+|加用〉2+將恒成立，所以2+近42+C，解得C>J7.

因?yàn)樵撾p曲線離心率小于等于立，所以即解得c《a,

2a222

所以c=J7,則6=J（，）2—2?=G，

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=

（2）因?yàn)閨阿|-|〃6|=4,所以點(diǎn)“只能在雙曲線的右支上，

設(shè)>2）,則N（x（）,,

22

因?yàn)镸在雙曲線上，所以血-顯=1,

43

易得4（-2,0）,4（2,0）,所以直線勺斜率為=一上，

直線村的方程為了=-；，（丫+2）①，

同理可求得直線加4的方程為了=一%（龍-2）②，

%一幺

2

由①x②得j?=—（x+2）（x-2）③,

%-4

223（%—4）22

將血-瓜=1代入③得2—4—/2亦，化簡得土+匕=1，

令①=②即-。（X+2）=士（X-2）,化簡得x°x=4,

4

因?yàn)槌浴?,所以x=一￡（0,2）,

工0

即點(diǎn)p的軌跡方程為:+g=1（0<x<2）.

22

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處是得到直線四一朋4的方程，與且-近=1相結(jié)合，通

43

過消元的方法得到軌跡方程

8.（海南省?？诩蝿赘呒壷袑W(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考）已知過點(diǎn)〃（8,0）的直線交拋物線

=8x于4B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明：GMLOB；

（2）設(shè)尸為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線x=-4交于點(diǎn)直線九少交拋物線與C,。兩點(diǎn)（4C在

x軸的同側(cè)），求直線/C與直線交點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】（1）證明見解析

（2/=-4（尸0）

【分析】⑴設(shè)利用4里8三點(diǎn)共線小原"，解得心力=-64,再利

用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解；

（2）設(shè)。（生，%），。（乙,,力），根據(jù)題意可得上a,=2砥B，由此解出義■與”，力與如

的關(guān)系，進(jìn)而得到直線/C與直線50的方程，聯(lián)立即可求解.

【詳解】（1）設(shè)

因?yàn)?三點(diǎn)共線，所以3

yB

所以"整理可得心為=-64,

88

22

所以。3?礪=達(dá)包+>心B=0,所以CM_LO8.

（2）設(shè)M（-4,加），C[xc,D（xD,yD）,

由題意尸（2,0）,H（8,0）,

因?yàn)檗痰?色呼=一/，k=k.所以左C?=23B，

OABMH12

幾_8為y8.

又因?yàn)?c

%-8一月一64'8一％-2-￡-16

所以;"，整理得(紜-2vc)(yAyc+32)=0.

先T0紜_04

因?yàn)?c在X軸同側(cè)，所以”=2打，同理可得%=2%,

161161

所以直線/C的方程為^=「工+?”,同理8。的方程為》=「工+￡%，

3”33%3

兩式聯(lián)立代入刈力=-64,可得x=-4

由題意可知交點(diǎn)不能在x軸上,

所以交點(diǎn)的軌跡方程為無=-4（了/0）.

9.（2022秋?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),

焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過/（-4,0）、2（4,0）。（2,3）三點(diǎn).

（1）求橢圓￡的方程;

（2）若過右焦點(diǎn)巴的直線/（斜率不為0）與橢圓E交于W、N兩點(diǎn)，求直線■與直線5N的交點(diǎn)的

軌跡方程.

【答案】⑴片+片=1

1612

(2)x=8(尸0)

【分析】（1）首先設(shè)橢圓方程，代入橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解;

（2）首先設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo),

即可求解交點(diǎn)的軌跡方程.

22

【詳解】（1）設(shè)橢圓方程及土+2=1

/b2

4a=1

由NC兩點(diǎn)可知：＜,解得/=16,b2=12,

b4v9=_1

22

所以橢圓方程為土+匕=1;

1612

（2）設(shè)了=町+2,M（玉，必）N（4，%）

x=my+2

聯(lián)立V2n（3m2+4）j2+12wj36=0

---二1

U612

直線/“：了=^^（工+4）

直線BN：>=^7（X—4）

x2-4

、w,、，、一4加必必—4%+12%-12m

消去y：%------------------------,―7一%

3%+為3m+4

因斜率不為0,該直線方程：x=8(yw0).

22

。⑵22秋?山東煙臺?高三統(tǒng)考期中)已知雙曲線。?等=叱。力＞。)的左、右頂點(diǎn)分別為

^(-1,0),5(1,0),動(dòng)直線/過點(diǎn)”(2,0),當(dāng)直線/與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)3到直線/

的距離為1

2

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)直線/與雙曲線C交于異于42的兩點(diǎn)尸,。時(shí)，記直線4P的斜率為勺，直線8。的斜率為

(i)是否存在實(shí)數(shù)2,使得e=2%成立，若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由；

(ii)求直線/尸和8。交點(diǎn)￡的軌跡方程.

【答案】⑴f-/=]

(2)(i)存在，2=-3；(ii)x=g

【分析】(1)注意到直線/與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，/平行于漸近線可解;

(2)利用韋達(dá)定理結(jié)合《=函即可求得2,再根據(jù)AP和BQ的直線方程消去斜率即可得交點(diǎn)E的

軌跡方程.

2

【詳解】(1)?.?0=1,；.尤2-方=1

故當(dāng)直線/過(2,0)與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，/應(yīng)與C的漸近線平行

設(shè)直線/：y=±6(x-2),即樂土了-26=0,則點(diǎn)B到直線/的距離為萬J=

717^2

即雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-y2=l.

(2)(i)由題可知，直線/斜率不為0

設(shè)直線/：尤=叼+2,尸(X”必),。(無2，%)

由]'，1得：（/一1）,2+4沖+3=0?2_1W0）

[x=my+2、、

A=4加?+12>0成立

?二即必=一?(%+%)?

所以存在實(shí)數(shù)2=-3,使得左2=4勺成立.

(ii)直線4尸:丁=占(％+1),直線3。：丁=左2(%—1)

1

聯(lián)立得::.x=—

x-12

所以直線L交點(diǎn)E的軌跡方程為…=；

參數(shù)法求軌跡方程

11.(福建省龍巖市永定區(qū)坎市中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中)

如圖，過拋物線/=2px(。>0)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB.

⑴設(shè)OA的斜率為左，試用左表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)

⑵求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程

【答案】⑴A(名，孕)，B(2pE,~~2pk).②y'px-Zp1,即為M點(diǎn)軌跡的普通方程.

【詳解】試題分析：⑴.?依題意可知直線OA的斜率存在且不為0

，設(shè)直線OA的方程為y=(上片0).?.聯(lián)立方程｛2、

y=2px

解得孕；以-;代上式中的左，解方程組｛'=一工”

kkk2c

y=2px

解得尤B=2p/%=-2p斤；.A(穹，學(xué))，B(2pk2,-2pk).6分

x=p(~jj+k2)

⑵.設(shè)AB中點(diǎn)M(x,y),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得｛；

y=p(--k)

k

消去參數(shù)k,得了2=8_2°2,即為M點(diǎn)軌跡的普通方程.12

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，“參數(shù)法”求軌跡方程.

點(diǎn)評：中檔題，研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往通過建立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡化解題

過程.“參數(shù)法”是求曲線方程的常見方法，通過引入適當(dāng)?shù)摹爸虚g變量”，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)相互聯(lián)系起

來.

12.（2022秋?吉林長春?高三長春市第十七中學(xué)上學(xué)期期中）已知拋物線/=x+l,定點(diǎn)4（3,1）,B

為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且有AP:P/=1:2,當(dāng)點(diǎn)3在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)尸

的軌跡方程，并指出這個(gè)軌跡為那種曲線.

【答案】詳見解析

【分析】設(shè)尸（可）］（毛盟），根據(jù)BP：P/=1：2,利用分點(diǎn)公式得到°,再根據(jù)點(diǎn)2在

%=5（3yT）

拋物線上求解.

【詳解】解：設(shè)尸（可）］（玉,,％）,

因?yàn)?尸:尸/=1:2,

.+尸

產(chǎn)L

x（）="|（無T）

1+i

所以:,解得＜

為+尸%=g（3yT）

2

因?yàn)辄c(diǎn)8在拋物線上，

「1、T3

所以—（3j^-l）=—（x-1）+L

3->1

所以軌跡是拋物線.

13.（海南省?？诩蝿赘呒壷袑W(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考）在平面直角坐標(biāo)系x帆中，橢圓。的中

心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)尸（2,-1）和點(diǎn)。瓜彳為橢圓C上兩點(diǎn).

I2）

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）A,3為橢圓C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，若直線尸/與P3的斜率之和為0,求線段N3中點(diǎn)W的

軌跡方程.

22

【答案】（I）上+匕=1；（II）x-2v=0（-2<x<2）

82

【分析】（I）設(shè)橢圓。的方程為冽-+盯2=i（冽冽?！ǎM(jìn)而待定系數(shù)求解即可得答案;

(II)設(shè)直線尸”的斜率為左，進(jìn)而得直線尸/的方程，與橢圓聯(lián)立得點(diǎn)A的坐標(biāo)，同理，用-左替換

點(diǎn)A的坐標(biāo)得點(diǎn)3的坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)M的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得點(diǎn)/的軌跡方程.

【詳解】解：(I)根據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為加/+，沙2=1(加>0/>0,機(jī)H"),

因?yàn)辄c(diǎn)尸(2,-1)和點(diǎn)。瓜彳為橢圓C上兩點(diǎn)，

\11

所以〈2，解得加=三,九二彳，

41o2

4m+及=I

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程上+匕=1

82

(II)設(shè)直線上4的斜率為左，所以直線P4的方程為>+1=左卜-2),即y=k[x-2)-\,

y=k(x-l)-\

所以與橢圓聯(lián)立方程得x?+4左2(X-2)2—8左(x—2)+4—8=0,

X2+4V2-8=0

即(x—2)[(1+4k°)x—8左2—84+2]=0,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為貓=.2+'2,縱坐標(biāo)為刈=止一”一1,

1+1I

,,,./8K+8左一24左2—4左一11

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為—'———~—7—.,

(1+4產(chǎn)1+4〃)

因?yàn)橹本€PA與PB的斜率之和為0,所以直線PB的斜率為-k,

8—24左2+4左一1

同理，用-左替換點(diǎn)A的坐標(biāo)得點(diǎn)8的坐標(biāo)8

1+4左二'1+4F

’38-24左2-11

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為1+4/」+4rJ

8尸-2

x=

1+4/

所以點(diǎn)”的參數(shù)方程為:(左為參數(shù))

4k2-1

了=1+4人2

消去參數(shù)得點(diǎn)”的軌跡方程x-2y=0,

%=2_y「,

由《22°n解得x=±2f所以-2<x<2,

[x+Ay-8=0

所以點(diǎn)M的軌跡方程％-2y=0(-2<x<2).

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中

檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)直線尸/的斜率為左，進(jìn)而結(jié)合題意，與橢圓聯(lián)立方程求得45點(diǎn)坐標(biāo),

進(jìn)而消參數(shù)即可得答案.

14.（江蘇省淮安市淮安區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）己知/（國,%），3卜,力）是拋物線

C:j?=4x上兩個(gè)不同的點(diǎn)，C的焦點(diǎn)為尸.

（1）若直線過焦點(diǎn)廠，且了；+尺=32,求目的值；

（2）已知點(diǎn)尸（-2,2）,記直線尸/,的斜率分別為％,kPB,且%+磯=-1,當(dāng)直線過定

點(diǎn)，且定點(diǎn)在x軸上時(shí)，點(diǎn)。在直線48上，滿足麗.方=0，求點(diǎn)。的軌跡方程.

【答案】⑴網(wǎng)=10；（2）/*（y-l）2=5（除掉點(diǎn)（一2,0））.

【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式可直接求得結(jié)果；

（2）設(shè)/3：x="+加，與拋物線方程聯(lián)立后得到韋達(dá)定理的形式，代入心么+怎B=T中整理可求得

加，驗(yàn)證加取值后得到所過定點(diǎn)￡；由歷.通=0知而_L瓦，知點(diǎn)。的軌跡是以尸￡為直徑的圓，

確定圓心和半徑后即可得到軌跡方程，驗(yàn)證可知軌跡中的（-2,0）不符合題意，由此得到最終結(jié)果.

【詳解】（1）由拋物線方程知：尸（1刀），準(zhǔn)線方程為：x=-l.

22

???|/尸|=&+1=牛+1,忸用=%+1=年+1,

:.\AB\=\AF\+\BF\+2=10.

（2）依題意可設(shè)直線/3:x=）+加，

由<得：y2—4ty—4m=0,則/=16產(chǎn)+16加>0,

[x=ty+m

??.L丁…①

=-4m

,,必一2,2—2%一2了2—2i

???kPA+kPB=———+———=----H~--------=4,

玉+2x2+2tyi+m+2ty2+m+2

,2伙為+（加+2）（弘+%）-2"%+%）-4（加+2）=t②

歹2+%（冽+2）（歹1+%）+（加+2）2

由①②化簡整理可得：8―4冽+冽2—4=0,

則有（加+2-4。（加-2）=0,解得：冽=2或加=4,-2.

當(dāng)=-2時(shí)，A=16/2+64z-32=16（Z+2）2-96>0,

解得：/>-2+指或/<-2-n，

此時(shí)/8:x=）+4-2=/（y+4）-2過定點(diǎn)（-2,-4）,不符合題意；

當(dāng)加=2時(shí)，A=16〃+32>0對于VteR恒成立，

直線/B:x=W+2過定點(diǎn)￡（2,0）,.?.加=2.

■：~PDAB=0>:.~PDLAB'且四點(diǎn)共線，二9_L萬后,

則點(diǎn)D的軌跡是以PE為直徑的圓.

設(shè)。（尤））,PE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0」），|尸耳=2右,

則。點(diǎn)的軌跡方程為/+（y-以=5.

當(dāng)。的坐標(biāo)為（-2,0）時(shí)，的方程為y=0,不符合題意,

的軌跡方程為#+3-仔=5（除掉點(diǎn)（-2,0））.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)

kPA+kPB=-1,利用韋達(dá)定理構(gòu)造出關(guān)于變量用的方程，確定直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

垂直關(guān)系確定軌跡為圓.

求參數(shù)范圍及最值問題

,爐2

15.（江蘇省南京東山外國語學(xué)校20222023學(xué)年周三上學(xué)期期中）已知橢圓C：不+方=1（。>&>0）

的離心率為:，點(diǎn)A,B,。分別是橢圓C的左、右、上頂點(diǎn)，尸是C的左焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)。到直

線。廠的距離為RL

3

⑴求C的方程；

⑵過產(chǎn)的直線/交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)，求而?匝的取值范圍.

22

【答案】⑴土+匕=1

95

⑵1-5u,一2丁s

【分析】（1）由離心率、等面積法及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求橢圓參數(shù)，即可得方程；

（2）討論直線/的斜率，設(shè)/的方程并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到

麗?也關(guān)于所設(shè)參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求范圍.

【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0）,

c2

「3'

Q=3,

如=乎，解得<

根據(jù)題意b=M,

a5

c=2,

a2=b1+c2,

故。的方程為二+2=1.

95

（2）由（1）知：F（-2,0）.

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，點(diǎn)尸，。為橢圓的左、右頂點(diǎn)，

不妨取尸（-3,0）,0（3,0）,此時(shí)而=（-1,0）,河=（5,0）,則麗.畫=一5.

當(dāng)直線I的斜率不為0或/與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為x=my-2,

代入橢圓C并消去尤得（5/+9）必一20叩-25=0,

設(shè)尸（再,必）,。（超,%）,貝=J?"%%=＜要

5m+95m+9

而FP=（X]+2,%）,F0=（x2+2,y2）,

所以FPF0=(±+2)(尤2+2)+乂%=m%.my?+乂％

2020

因?yàn)橹?929,所以

20_25

所以-5<-5+<

5m2+9~~~9

綜上，而?匝的取值范圍為-5--

16.（福建省泉州市安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三期中）已知耳，F(xiàn)2

為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且拋物線V=4氐的焦點(diǎn)為與，M為橢圓的上頂點(diǎn)，旦的面積為2石.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)（0,1）的直線/與橢圓C交于/,2兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且歷=4礪（彳＞0）,若橢圓C上

存在一點(diǎn)E,使得四邊形04班為平行四邊形，求2的取值范圍.

22

【答案】⑴土+匕=1

94

⑵「，2）

【分析】（1）根據(jù)題意可得入，再結(jié)合△町耳的面積為2石，可建立關(guān)于。，b,c的方程組，解

出即可;

（2）設(shè)4為，乂），8（%,%）,則。（2尤2,九%），結(jié)合四邊形。4E。為平行四邊形，可得￡（再+2尤2,

乂+4%）,設(shè)直線/:了=丘+1,聯(lián)立直線和橢圓方程，得到兩根之和與兩根之積，進(jìn)而可得

4

4=2-，從而得解.

9左2+4

【詳解】（1）拋物線必=4氐的焦點(diǎn)為工（百0）,

22

設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+1=1（〃〉6>0）,

a2b1

Q=3

92cx6=2氐解得,6=2,

則

a2=b2+c2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為旦+片=1；

94

顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/：＞=履+1,

設(shè)次為，%），5（x2,y2）,則2）（尢）"%）,

1?,四邊形。為平行四邊形，

■-OD=AE，￡（占+也，%+幾%）,

???點(diǎn)A,B,E均在橢圓C上，

?y）_—]_]（石+）?（必+4%）_]

,~9T-，~9T-'9一

Z>0,

/.4項(xiàng)超+9必％+184=0,

（4+9左2）西入2+9左（再+X2）+9+182=0.,

y=kx+l

由”2,消去〉得，（9左2+4）/+18米—27=0,

—+—=1

I94

顯然A=432（3〃+1）>0,

-18左-27

一網(wǎng)+%=爐盲'*2=福喜’

—271Kk

：.——x（4+9左2）———x9左+182+9=0,

9左2+49左2+4

A=2-------,

9k2+4

17.（2022秋?重慶渝北?高三重慶市渝北中學(xué)校期中）已知M（-3,0）,N（3,0）,尸為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，

且直線PM與直線PN的斜率之積為-.

（1）求尸點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線C,過點(diǎn)。（2,0）斜率為左的直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)4伉中點(diǎn)為R,

直線OR（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為左2,求證左為定值;

⑶在（2）的條件下，設(shè)班=2而，且?guī)譭[2,3],求直線/在了軸上的截距的變化范圍.

22

【答案】（l）/+《=l（xw±3）

（2）證明見解析

⑶卜艮明/率26

【分析】（1）設(shè)尸（x/）,根據(jù)斜率的坐標(biāo)運(yùn)算即可得軌跡方程；

（2）法一：設(shè)/的方程為：x=ty+2,設(shè)）,8（%,外）,聯(lián)立直線與橢圓根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系

及斜率坐標(biāo)運(yùn)算即可得結(jié)論；法二：設(shè)/的方程為：y=kSx-2）,

設(shè)/（七,弘）,鞏與％），尺（%，%），利用點(diǎn)差法將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，整理可得斜率關(guān)系;

（3）根據(jù)平面向量共線向量的坐標(biāo)關(guān)系得%=-九乂代入（2）中法一的坐標(biāo)關(guān)系中可得

&

--2+A,從而轉(zhuǎn)化求解直線/在y軸上的截距的取值范圍.

25產(chǎn)+9

y=一■|(xw±3),

［詳解】（1）設(shè)尸（X,y）,由題意知：k-k=

PMPNx+3x-3

法1：設(shè)/的方程為:x=ty+2,設(shè)N（x”乃）,3卜2，%），

聯(lián)立曲線C方程得：（5〃+9）/+20夕-25=0,A>0恒成立

-20/-25-20t236

貝5+為=①，y^2=4-4=

5t2+95/+9+95t2+9

-10/

18-10t所以"是1-5t5

則中點(diǎn)為五

5產(chǎn)+9'5/+9"99

5r+9

法2：設(shè)/的方程為：…G-2）,

+旦=1

設(shè)/(士,%),3(卷,%),尺(%,%),則-

+2二1

必一歹2_5X]+-

相減整理得:

再一%29%

又%+%2=2%,%+必=2%,.,.左—

9%

因?yàn)樽?=%■，「?"2二-京；

/9

（3）由函=期得%=T凹,

-20?25

代入①②得：（1-2）必=③，=④,

5/+95/+9

③式平方除以④式得：--2+2=

25r+9'

而根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性知y=g-2+2在力e［2,3］上單調(diào)遞增,

A

11c,435戶+9591―1

—<----2+2<——<------；-=----1----x—<2，貝!3

2A3416/1616t2t2?，

4「281

又/在y軸上的截距為6,z/=尸［5勺，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵可以采用點(diǎn)差法證明斜率乘積為定值，也可以利用設(shè)線法結(jié)

合韋達(dá)定理證明，第三問變形得到4-2+2=」"，再利用對勾函數(shù)單調(diào)性求出當(dāng)?shù)姆秶?，最?/p>

再利用截距與戶的關(guān)系即可.

18.（2022秋?福建泉州?高三泉州五中校考期中）設(shè)片內(nèi)分別是橢圓?+/=1的左、右焦點(diǎn)，B