《矩陣理論》全套教學課件

MATRIXTHEORY矩陣理論山東科技大學張子葉1矩陣理論基礎2線性空間與線性變換3范數(shù)理論4矩陣的Jordan標準型5矩陣分析6矩陣分解全套可編輯PPT課件

矩陣理論基礎第1章

目錄1.1矩陣的初等變換1.2分塊矩陣1.3矩陣的特殊乘積1.4矩陣的特征值與特征向量1.5矩陣可對角化的條件矩陣的初等變換1.1定義1.2一個矩陣經(jīng)過有限次初等變換后變?yōu)榫仃?稱矩陣與等價.記為

等價關系具有以下性質(zhì)：

矩陣的初等變換矩陣的初等變換的概念

定義1.1

如下3種變換稱為矩陣的初等變換.(1)將第

行(列)與第

行(列)交換位置,用

表示．(2)用非零數(shù)

乘以矩陣第

行(列)的所有元素,用

表示．(3)將第

行(列)的所有元素乘以數(shù)

后加到第

行(列)的對應元素上,

用

表示．(1)反身性：

．(2)對稱性：若,則.(3)傳遞性：若,

,則

．本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的初等變換定義1.3若矩陣的每一行從左邊開始,第一個非零元素下方的元素全為零,則稱這樣的矩陣為行階梯形矩陣;若矩陣的每一行從左邊開始,第一個非零元素為1,并且其所在列

的其他元素全為零,則稱這樣的矩陣為行最簡形矩陣.

顯然,矩陣都是行階梯形矩陣,其中第3個是行最簡形矩陣.定理1.1任何一個矩陣經(jīng)過有限初等行變換可化為行階梯形矩陣或行最簡形矩陣.例1.1將如下矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣：本課件是可編輯的正常PPT課件解對矩陣進行一系列初等行變換可得：矩陣的初等變換行階梯行矩陣和行最簡形矩陣分別為本課件是可編輯的正常PPT課件定義1.4

單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.3種初等變換對應3種初等矩陣.矩陣的初等變換初等矩陣

交換單位矩陣的第

行(列)與第

行(列)得到的初等矩陣記為第行第行本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的初等變換(2)用非零數(shù)

乘以單位矩陣

的第

行(列)得到的初等矩陣記為(3)將單位矩陣的第

行的

倍加到第行素(的第列的倍加到第列)上得到的初等矩陣記為

第行第行第行本課件是可編輯的正常PPT課件例1.2

設是一個矩陣,交換的第1行和第3行得到矩陣,將矩陣的第3列的2倍加

到第1列上得到矩陣,若記

則

定理1.2

設是一個矩陣,則對矩陣進行一次初等行變換相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對矩陣進行一次初等列變換相當于在的右邊乘以相應的

階初等矩陣.矩陣的初等變換注初等矩陣皆為逆矩陣,且本課件是可編輯的正常PPT課件對可逆矩陣進行次初等行變換得到單位矩陣,相當于依次左乘初等矩陣

得到,記,則即從而表明對實施前述一系列初等行變換就得到將求可逆矩陣逆的步驟總結如下：第一步：把和放在一起排成一個的矩陣,即第二步：對矩陣實施初等行變換,使其變?yōu)?即矩陣的初等變換利用初等變換求矩陣逆的方法本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的初等變換注若將排在上部、排在下部,對其進行初等列變換，則將上部變?yōu)?、下部變?yōu)槔?.3

用初等變換求如下矩陣的逆矩陣：解

對矩陣做如下一系列初等行變換：則本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的初等變換于是本課件是可編輯的正常PPT課件例1.4

求矩陣,使得其中解

對矩陣做如下一系列初等行變換：矩陣的初等變換于是相似地,可以利用初等變換求解矩陣方程本課件是可編輯的正常PPT課件THANKYOU感謝觀看分塊矩陣1.2定義1.5用水平和垂直的直線對矩陣進行分割得到的“以矩陣為元素的矩陣”稱為分塊矩陣.

稱這些作為元素的矩陣為矩陣的子塊.例如,設矩陣若令則矩陣可表示為分塊矩陣分塊矩陣的概念

本課件是可編輯的正常PPT課件分塊矩陣通常,可將一個矩陣分塊成有個塊行和個快列的分塊矩陣：簡記為,稱為分塊矩陣.注常用的分塊矩陣有如下兩種形式：(1)按行分塊：其中為矩陣的第行,,為矩陣的個行向量.本課件是可編輯的正常PPT課件分塊矩陣(2)按列分塊：其中為矩陣的第列,,為矩陣的個列向量.本課件是可編輯的正常PPT課件(1)分塊矩陣的加(減)法

設矩陣和是同型矩陣,且采用相同的分塊方法,即則有分塊矩陣分塊矩陣的運算

本課件是可編輯的正常PPT課件(2)分塊矩陣的數(shù)乘

設矩陣

是數(shù),則有(3)分塊矩陣的乘法

設為矩陣,為矩陣,且兩者的分塊形式分別為其中的列數(shù)分別等于的行數(shù),則分塊矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件分塊矩陣

其中(4)分塊矩陣的轉置設則有注分塊矩陣不但形式上進行轉置,而且每個子塊也進行轉置.本課件是可編輯的正常PPT課件分塊矩陣定義1.6當階矩陣的分塊矩陣只有主對角線上有非零子塊,而其余子塊均為零矩陣,且非零子塊都為方陣時,即

則稱矩陣為分塊對角矩陣,也稱準對角矩陣,記為其中是階方陣,且常用的性質(zhì)：(1)若且和為同階方陣,則分塊對角矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件分塊矩陣(2)

(3)若則即可逆,且

本課件是可編輯的正常PPT課件分塊矩陣例1.5設,求

解設則因此,由分塊對角矩陣的性質(zhì)可得

本課件是可編輯的正常PPT課件THANKYOU感謝觀看矩陣的特殊乘積1.3定義1.7當稱分塊矩陣

為和的Kronecker積,也稱直積或張量積,記為注

一般來說,即矩陣的Kronecker積不滿足交換律,但對于單位矩陣和

有例1.6設求與矩陣的特殊乘積Kronecker積本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積解

定理1.3矩陣的Kronecker積具有下列基本性質(zhì).(1)設為常數(shù),則(2)矩陣的Kronecker積滿足結合律,即(3)設與為同階矩陣,則(4)(5)設則

本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積(6)設與都是可逆矩陣,則也可逆,且有(7)設與都是酉矩陣(本章第5節(jié)會介紹酉矩陣),則也是酉矩陣.

證由定義1.7可直接證明性質(zhì)(1)~(4),下面僅證明性質(zhì)(5)~(7).性質(zhì)(5)證明：本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積性質(zhì)(6)證明：由性質(zhì)(5)可知故可逆,且有性質(zhì)(7)證明：由性質(zhì)(4)和(5)可知

故為酉矩陣.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積Hadamard積定義1.8設稱矩陣

為和的Hadamard積,也稱Schur積,記為注

矩陣的Hadamard積遠比通常的矩陣乘法簡單,且可乘條件是兩個矩陣同型.定理1.4矩陣的Hadamard積具有下列一些性質(zhì).(1)(2)(3)本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積(4)若與都是對稱矩陣,則也對稱矩陣；若與都是反對稱矩陣,則是對稱矩陣；若是對稱矩陣,是反對稱矩陣,則是反對稱矩陣.

(5)設,又設是階對角矩陣,而是階對角矩陣,則(6)設,又記則其中,等式左邊是矩陣的第個對角元素,等式右邊是向量的第個分量.(7)設,則三重混合積與對應的對角線元素相同,即

證由定義1.8可直接證明以上性質(zhì).例如,性質(zhì)(6)的證明如下：設則

本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積定理1.5設,則證設則存在階可逆矩陣和階可逆矩陣使得

記其中.由上式得表明矩陣可以寫成個秩為1的矩陣之和,其每個秩為1的矩陣可表示成列向量乘行向量的形式.同理,對于矩陣,存在和,使得.于是,利用Hadamard積的性質(zhì)(2)和(3)可得表明至多是

個秩為1的矩陣之和,因此,本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的特殊乘積Hadamard積和Kronecker積有如下關系：定理1.6設,則

其中,表示取矩陣的第

行和第列構成的子矩陣,即是的一個子矩陣.特別地,當時,是的一個主子矩陣.證檢驗的相應子矩陣的元素即得此結論.本課件是可編輯的正常PPT課件THANKYOU感謝觀看矩陣的特征值與特征向量1.4定義1.9設若和非零向量使得

(1.5)成立,則稱為的特征值,為的屬于(或?qū)?特征值的特征向量.將式(1.5)改寫為這是含有個未知數(shù)的個方程的齊次線性方程組,它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式

即

這是以為未知數(shù)的一元次方程,其最高次項的系數(shù)為1(稱為首一的).矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件定義1.10設稱為的特征矩陣,為的特征多項式,

為

的特征方程.注的特征值就是特征方程的根.由代數(shù)學的知識知,特征方程在復數(shù)范圍內(nèi)恒有解,其個數(shù)為方程的次數(shù)(重根按重數(shù)計算),因此階方陣在復數(shù)范圍內(nèi)有個特征值.計算階方陣的特征值與特征向量可按如下步驟進行：第一步：求特征方程的個根,即為的全部特征值;第二步：求解齊次方程組,其非零解即為

的屬于特征值的特征向量.例1.7求下列矩陣的特征值與特征向量：(1)(2)矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件解(1)

的特征多項式為

因此的特征值為

當時,解方程組.由得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).

當時,解方程組.由矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).

(2)

的特征多項式為所以的特征值為

當時,解方程組.由矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).當時,解方程組.由得基礎解系因此屬于特征值的全部特征向量為

(不同時為零).矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件定義1.11設(互不相同,且),稱為的代數(shù)重數(shù),對應的線性無關的特征向量個數(shù)為的幾何重數(shù).例如,例1.7中的第一個矩陣,特征值1的代數(shù)重數(shù)是2,幾何重數(shù)是1；第二個矩陣,特征是2的代數(shù)重數(shù)是2,幾何重數(shù)是2.定理1.7設是的特征值,則其代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)滿足證設屬于特征值的線性無關的特征向量為,顯然,由基的擴充定理可找到個向量,使線性無關.

令,則是可逆矩陣,且矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件即

從而,,故矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件定義1.12設是的多項式：

對于

規(guī)定

稱

為矩陣的多項式.定理1.8設的個特征值為

對應的特征向量為；又設為一多項式,則的特征值為,對應的特征向量仍為如果,則的任意一個特征值滿足證因為所以對于正整數(shù),有故矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件當時,

.由可知定理1.9設是方陣的互不相同的個特征值,是分別與之對應的特征向量,則線性無關.證利用數(shù)學歸納法來證明.當,由于,因此線性無關,即定理成立.

假設對于個互不相同的特征值定理成立,下面證明對于個互不相同的特征值定理也成立.為此,設有常數(shù)使用左乘上式,得即從上面兩個等式中消去,得由假設可知線性無關,故矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件而互不相同,故

進而可得因此線性無關.注定理1.9還可以推廣到如下的定理1.10,其證明類似,故略去.定理1.10設是方陣的互不相同的個特征值,是對應特征值

的線性無關的特征向量,那么向量組也線性無關.定理1.11

設

階方陣的特征值為,則有以下結論：(1)(稱為矩陣的跡,簡記為).(2).(3)

的特征值是的特征值是(4)方陣可逆當且僅當它的特征值全不為0.矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件定理1.12設則證

設則的對角線元素為而的對角線元素為

于是

矩陣的特征值與特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件THANKYOU感謝觀看矩陣可對角化

的條件1.5定義1.13設若有可逆矩陣,使得,則稱矩陣和相似,記為

矩陣變換稱為相似變換,稱為把變成的相似變換矩陣.特別地,若矩陣和對角矩陣相似,則稱是可(相似)對角化的,也稱是單純矩陣.注相似是矩陣之間的一種重要的關系．相似矩陣具有下列定理中陳述的性質(zhì).定理1.13設是一個多項式.(1)自反性：(2)對稱性：若,則(3)傳遞性：若,,則.(4)若,則(5)若,則(6)若,則即與的特征多項式相同,從而特征值相同.矩陣可對角化的條件相似對角化本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件(7)若,則證僅證明性質(zhì)(5)和(6).設.因為,所以存在可逆矩陣,使得.于是從而,又有

注方陣能否相似于一個對角矩陣?定理1.14設,則可對角化的充要條件是有個線性無關的特征向量.證設存在可逆矩陣和階對角矩陣使得

本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件則有.將矩陣按列分塊為則可寫為即于是說明有個線性無關的特征向量,即的個列向量.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件

反之,若有個線性無關的特征向量,對應的特征值分別為,則記可逆,并且即有故矩陣可對角化.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件推論1.1

如果階方陣的個特征值互不相同,則可以對角化.

定理1.15

階方陣

可對角化的充要條件是的每個互不相同的特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)相等.證設的所有不同的特征值為,其代數(shù)重數(shù)分別是,且.充分性：假設的代數(shù)重數(shù)等于它的幾何重數(shù).由定理1.10可知,把屬于的線性無關的的特征向量合并后仍是線性無關的,共有

個,又由定理1.14可知,可以對角化.必要性：設可對角化,即存在可逆矩陣,使得從而有

上面的對角矩陣的后個對角線元素非零,因此.故.

同理可證

本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件例1.8判斷下列矩陣可否對角化,若可以對角化,求其相似變換矩陣和對角矩陣.(1)(2)(3)解(1)矩陣

的特征多項式為

因此

有3個互異特征值,可對角化.可求得對應特征值的特征向量分別為本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件故相似變換矩陣對角矩陣使得

(2)矩陣

的特征多項式為

可求得對應特征值的兩個線性無關的特征向量和,以及對應特征值

的特征向量分別為故可對角化.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件相似變換矩陣對角矩陣使得

(3)矩陣

的特征多項式為

因此特征值是對于二重特征值由可知其幾何重數(shù)為1,顯然與代數(shù)重數(shù)不相等,故不可對角化.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件例1.9設求解

由例1.8已求得

其中于是

本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件例1.10求解以下一階線性常系數(shù)微分方程組：解將微分方程組改寫成以下向量形式：

其中

對于矩陣,由例1.8可知本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件其中令其中于是

從而,原方程組化為其一般解分別為本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件又由求得原微分方程組的一般解為其中.本課件是可編輯的正常PPT課件定義1.14設若滿足等式

則稱為正規(guī)矩陣.

特別地,如果滿足則稱為酉矩陣,其等價條件是的列向量組(行向量組)為向量空間中的標準正交基.正交矩陣是酉矩陣的特例.注容驗證實對稱矩陣()、實反對稱矩陣()、Hermite矩陣()、反Hermite矩陣()以及對角矩陣等也都是正規(guī)矩陣.雖然不能保證所有矩陣都相似于對角矩陣,但是下面的Schur定理告訴我們,每個矩陣都相似于一個上三角矩陣,且相似矩陣為酉矩陣.定理1.16設則存在酉矩陣,使得其中,為上三角矩陣,其主對角線元素為的特征值,即任何復方陣都與上三角矩陣酉相似.矩陣可對角化的條件酉相似對角化本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件證對矩陣的階數(shù)用數(shù)學歸納法.當時定理顯然成立.設階數(shù)為時定理成立,下面證明階數(shù)為時定理也成立.設是的一個特征值,對應的單位特征向量為.把擴充為向量空間的標準正交基，即滿足令則為酉矩陣.的第一列元素為其中,是階復方陣.根據(jù)歸納假設,存在階酉矩陣和上三角矩陣使得并且的主對角線元素是的特征值,也是的特征值.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件

令則是階酉矩陣,且顯然,為上三角矩陣,其主對角線元素為的特征值.注雖然并不是所有矩陣都可相似于對角矩陣,但是正規(guī)矩陣可以酉相似于對角矩陣.定理1.17設則酉相似于對角矩陣的充分必要條件是為正規(guī)矩陣.證必要性：設存在酉矩陣,使得則本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件充分性：設是正規(guī)矩陣,由Schur定理可知,存在酉矩陣,使得其中是上三角矩陣.于是從而,是正規(guī)上三角矩陣.設則本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件由和的主對角線元素相等可得因此,為對角矩陣.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件推論1.2

Hermite矩陣的特征值均為實數(shù),反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù).證設是Hermite矩陣,則是正規(guī)矩陣,于是存在階酉矩陣,使得而從而故特征值均為實數(shù).如果是反Hermite矩陣,則同上可推得可見為零或純虛數(shù).本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件下面將線性代數(shù)中有關正定矩陣的概念進行相應的推廣.定義1.15

設是Hermite矩陣,則稱是Hermite二次型.如果對任意非零向量,都有

則稱是Hermite正定矩陣(半正定矩陣).定理1.18設是Hermite矩陣,則下列條件等價.(1)是Hermite正定矩陣.(2)的特征值全為正實數(shù).(3)存在可逆矩陣,使得證因為所以存在階酉矩陣,使得(1.6)(1)(2)：設的特征值對應的單位特征向量為,即且,從而

本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件

(2)(3)：由式(1.6)和可得

令顯然可逆,且(3)(1)：因為是可逆矩陣,所以對任意非零向量,也是非零向量,于是

即是正定矩陣.推論1.3

Hermite正定矩陣的行列式大于零.相應地,有Hermite半正定矩陣的如下結論(定理1.19).定理1.19設是Hermite矩陣,則下列條件等價.(1)是Hermite半正定矩陣.(2)的特征值全為非負實數(shù).本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件(3)存在矩陣使得定理1.20設

則有以下結論.(1)和的特征值全為非負實數(shù).(2)和的非零特征值相同.(3).證

(1)因為

所以是Hermite矩陣.對任意非零向量,都有

從而,是Hermite半正定矩陣,故其特征值全為非負實數(shù).同理可證的特征值全為非負實數(shù).(2)設

其中為非零向量,則也是非零向量,且有表明是的非零特征值.同理可證的非零特征值也是的特征值.本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣可對角化的條件(3)若則有；反之,若則有

于是.這表明方程組與同解,從而其基礎解系所含解向量的個數(shù)相等,即

故又有

因此本課件是可編輯的正常PPT課件THANKYOU感謝觀看MATRIXTHEORY矩陣理論山東科技大學張子葉線性空間與線性變換第2章

目錄2.1線性空間2.2線性子空間2.3線性變換2.4線性變換的值域、核及不變子空間2.5線性空間的同構2.6內(nèi)積空間線性空間2.1線性空間線性空間的概念與性質(zhì)

定義2.1設是一個非空集合,

是一個數(shù)域,對中的元素定義以下兩種代數(shù)運算(其中

).(1)加法：使得有

(2)數(shù)乘：使得和有也就是說,對于加法和數(shù)乘運算封閉,且這兩種運算滿足以下8條運算規(guī)律.(1)加法交換律：(2)加法結合律：(3)存在零元使(4)存在負元,即對任意存在使稱為

的負元,記為

(5)(6)數(shù)乘結合律：本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間(7)分配律：(8)數(shù)因子分配律：此時,稱為數(shù)域上的線性空間或向量空間.

線性空間的元素也稱向量.當然,這里所謂的向量比的向量的含義要廣泛得多.實數(shù)域上的線性空間簡稱實線性空間,復數(shù)域上的線性空間簡稱復線性空間.例2.1維實(復)向量的全體()按通常的向量加法和數(shù)乘運算構成線性空間.例2.2維實(復)矩陣的全體()按通常的矩陣加法和數(shù)乘運算構成線性空間,稱為矩陣空間.例2.3實數(shù)域上所有次數(shù)不超過的多項式全體按通常多項式的加法和數(shù)乘運算構成線性空間,稱為多項式空間.記為例2.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘運算構成線性空間,記為

本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間例2.5二階齊次線性微分方程解的全體按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘運算構成線性空間..例2.6齊次線性方程組解的全體

在向量的加法和數(shù)乘運算下構成線性空間,稱為齊次線性方程組的解空間或矩陣的核空間.例2.7設是所有正實數(shù)的集合,在其中定義加法與數(shù)乘運算分別為

驗證對上述加法與數(shù)乘運算構成實數(shù)域上的線性空間.證

對任意

,有;對任意和,有,即對所定義的加法與數(shù)乘運算封閉.對任意有以下結論.(1)(2)本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間(3)稱1是零元.(4)故是的負元.

(5)(6)(7)(8)因此,對這兩種運算構成實線性空間.線性空間具有如下一些基本性質(zhì).性質(zhì)1零元是唯一的.證設和是線性空間的兩個零元,則由是零元得,又由是零元得,故.

本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間性質(zhì)2任一元素的負元是唯一的.證設和都是的負元,即于是

性質(zhì)3

證

因為

所以.又因為

所以.由此可得性質(zhì)4若,則或.證若,由性質(zhì)3可得;若,則由性質(zhì)3可得本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間向量組的線性相關性

定義2.2設是數(shù)域

上的線性空間,是的一個向量組,稱向量

為向量組的一個線性組合.若向量是向量組的一個線性組合,即存在于中一組數(shù)使得(2.1)則稱可由線性表示.如果向量組中的每個向量都可由向量組線性表示,即存在

,使得

(2.2)本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間則稱向量組可由向量組線性表示.如果向量組與向量組可以相互線性表示,則稱向量組與向量組等價.

式(2.1)和式(2.2)可分別記為本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間定義2.3設是數(shù)域上的線性空間,是的一個向量組,若存在不全為零的數(shù),使得

則稱向量組線性相關,否則稱該向量組線性無關.注由定義2.3可知,向量組線性無關的充要條件是,如果有一組數(shù)

使得,則例2.8在線性空間中,向量組是線性無關的.解設中有一組數(shù)

使得

對上式依次求階導數(shù)得本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間與前一式聯(lián)立求解得唯一零解故是線性無關的.例2.9在線性空間中,設是第行第列元素為1、其余元素全為0的矩陣,則向量組線性無關.解以為例：

設,即故是中線性無關的向量組.本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間類似地,向量空間中成立的一些結論可以照搬到一般的線性空間,并得出相同的結論.這里不再重復這些論證,只敘述如下.

定理2.1向量組線性相關的充要條件是該向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.定理2.2設向量組線性無關,而向量組線性相關,則向量可由向量組線性表示,且表示法是唯一的.

定理2.3若向量組有部分向量線性相關,則該向量組一定線性相關(部分相關,整體必相關)；等價地,若一個向量組線性無關,則該向量組的任意部分向量一定線性無關(整體無關,部分必無關).定理2.4設向量組線性無關,并可由向量組線性表示,則本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間基、維數(shù)與坐標

線性空間中一般都有無窮多個元素,為了把這無窮多個元素表示出來,引入下面的定義(定義2.4)定義2.4設是線性空間的一個向量組,如果該向量組滿足以下條件：①線性無關；②中任一向量都可由線性表示.那么稱向量組是的一組基,稱為線性空間的維數(shù),記為.維數(shù)為的線性空間稱為維線性空間,記為

,此時也稱是有限維線性空間.規(guī)定零空間(只含零向量的線性空間)的維數(shù)為0.若在中可以找到任意多個線性無關的向量,則稱是無限維線性空間.例如,由所有實系數(shù)多項式構成的實線性空間是無限維線性空間.無限維線性空間是一個專門研究的對象,本書只涉及有限維線性空間.

本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間例2.10是維線性空間.證由例2.8可知,向量組是線性空間的一組線性無關的向量,并且任一次數(shù)不超過的多項式可表示為

因此,是的一組基,且例2.11線性空間是維線性空間證由例2.9可知,向量組是該線性空間的一組基,從而

注根據(jù)基的定義,可以證明線性空間中任意個線性無關的元素都可以作為它的基.因此,線性空間中的基不是唯一的.例如,4維線性空間的基可取為(2.3)本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間或

(2.4)定義2.5設是數(shù)域上的維線性空間,是的一個基,中任意向量可由基唯一線性表示為

則稱為在基下的坐標,記為例2.12在維線性空間中,如果取基為維單位坐標向量,即

則向量在該基下的坐標為如果取基為本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間

則有

從而,在該基下的坐標為例2.13在維線性空間中,取基,則中的多項式

在該基下的坐標為若取基則多項式按泰勒公式展開為

因此,在該基下的坐標為本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間