矩陣理論 課件 第5章第3節(jié)函數(shù)矩陣

函數(shù)矩陣5.3函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣的微分與積分定義5.14以變量的函數(shù)為元素的矩陣稱為函數(shù)矩陣.若每個

在上連續(xù)、可微、可積,則稱在上連續(xù)、可微、可積.當在上可微時,定義

當在上可積時,定義

可微的函數(shù)矩陣有以下簡單的運算性質(zhì).定理5.15設與是適當階的可微函數(shù)矩陣,與為可微的數(shù)量函數(shù),與為常數(shù),則有以下結(jié)論.(1)數(shù)字矩陣的導數(shù)為零矩陣.(2)

函數(shù)矩陣(3)

(4)(5)

(6)若可逆且可微,則證這里只證明性質(zhì)(6).由于可逆,因此兩端對求導,根據(jù)性質(zhì)(4)可得

從而

例5.15設證明證因為

函數(shù)矩陣所以

對任意都收斂,從而可以逐項求導,于是有

從而

同理可證注(1)本例說明與乘積可交換.(2)同理可得

函數(shù)矩陣例5.16設求和解容易計算因此注本例說明,一般地,但可以證明

因此,雖然微積分中關(guān)于微分和積分的許多運算性質(zhì)對函數(shù)矩陣仍然成立,但是,因為矩陣乘法一般不可交換,所以有些性質(zhì)不可照搬.函數(shù)矩陣例5.17設數(shù)字矩陣求二次型對變量的導數(shù).解

根據(jù)求導公式,有

因為為數(shù)字矩陣,所以又因為所以

因此,所求二次型的導數(shù)為

函數(shù)矩陣可積的函數(shù)矩陣有以下簡單的運算性質(zhì).定理5.16設與是上適當階的可積函數(shù)矩陣,與為數(shù)字矩陣,與為常數(shù),則有以下結(jié)論.(1)

(2)

(3)當在上連續(xù)時,有(4)當在上的導數(shù)連續(xù)時,有(5)當和在上的導數(shù)連續(xù)時,有

(6)

函數(shù)矩陣數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導數(shù)

5.3.1節(jié)討論的是函數(shù)矩陣對單變量的導數(shù),實質(zhì)上是把數(shù)量函數(shù)的求導運算推廣到了函數(shù)矩陣.在很多具體應用中,還需要數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導數(shù),以及函數(shù)矩陣對矩陣變量的導數(shù).下面來研究這兩個更一般的函數(shù)矩陣求導問題.在微積分的場論部分,數(shù)量函數(shù)的梯度定義為

可以理解為數(shù)量函數(shù)對向量變量的導數(shù).現(xiàn)將這一概念推廣到數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導數(shù).函數(shù)矩陣定義5.15設為向量變量,為可微的數(shù)量函數(shù),則稱以為元素的維向量為數(shù)量函數(shù)對向量變量的導數(shù),記為

即

而對向量變量的導數(shù)定義為

顯然

函數(shù)矩陣將定義5.15進行推廣,可得如下定義.定義5.16設為矩陣變量,為可微的數(shù)量函數(shù),則以為元素的階矩陣稱為數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導數(shù),記為即

函數(shù)矩陣例5.18設為數(shù)字向量,為向量變量,數(shù)量函數(shù)

計算解因為所以例5.19設求解

函數(shù)矩陣例5.20求二次型對的導數(shù),其中,與無關(guān).解因為所以

例5.21設是矩陣變量,且證明

證設的代數(shù)余子式為把按第行展開得

因此函數(shù)矩陣故

設為矩陣變量,與為數(shù)字矩陣,結(jié)合例5.17和例5.19,請讀者證明以下幾個有關(guān)矩陣的跡的導數(shù)公式.(1)

(2)

(3)

函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣對矩陣變量的導數(shù)定義5.17設函數(shù)矩陣的每個元素都是矩陣變量的元素的函數(shù),即

若為可微函數(shù),則定義對的導數(shù)為

其中,

函數(shù)矩陣顯然,是分塊矩陣,且每塊都是矩陣,因此是矩陣.為了表達方便,利用矩陣的Kronecker積定義算子矩陣：

則可簡單記為函數(shù)矩陣對矩陣變量的導數(shù)滿足如下運算法則.(1)(2)其中、分別為的行數(shù)和列數(shù).函數(shù)矩陣規(guī)則(1)可由定義,以及矩陣的運算規(guī)則證明.現(xiàn)在證明規(guī)則(2)：

顯然,當為數(shù)量函數(shù)時,便成為5.3.2節(jié)中的數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導數(shù).例5.22求函數(shù)向量對向量變量的導數(shù),其中

解記則根據(jù)定義5.17,有函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣其中,矩陣稱為Jacobi矩陣.特殊地,當時,Jacobi矩陣的行列式稱為Jacobi行列式,這是我們所熟知的多元函數(shù)微分學中的行列式.根據(jù)題目的已知條件,請讀者自行計算函數(shù)矩陣例5.23設求解

函數(shù)矩陣例5.24求對的導數(shù),其中,和是常向量.解

由此可得

事實上

由例5.20可知

又因為故因此有上述結(jié)果.函數(shù)矩陣例5.25設