高考-高考數(shù)學(xué)沖剌精講教案

?基礎(chǔ)知識(shí)梳理

第一章建合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合.

(④理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充分條

件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分：

二、知識(shí)回顧：

(-)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為/=Z;

②空集是任何集合的子集，記為。1N；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果/仁8,同時(shí)8a4,那么工=8

如果4=8,5cC,那么Z=

注］:①拄整數(shù)｝(M)Z=全體整數(shù)｝(x)

②已知集合S中/的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.（X）（例：卻氏袒+,

則g⑺

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合榛合4則04=0,QB=0G（第=。（注：0=0）.

3.①{（￥3悶=0,正4及區(qū)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②{（考3la<Q&R火滅}二、四象限的點(diǎn)集.

③{（蒼31的>0,展《犬A一、三象限的點(diǎn)集.

注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：I："：'解的集合{Q1）}.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.（例：A={&j）|yfH}B={y|7=^+1}則418=0）

4.①外元素的子集有Z'個(gè).②〃個(gè)元素的真子集有7-1個(gè).③〃個(gè)元素的非空真子

集有2"-2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題■定為真.否命題=逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若。+6#5,貝必片2或6工3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且8=3,則2乃=5,成立，所以此命題為真.

②x*1且yH2,Ar+尸3.

解：逆否：x+y=3#x=1或y=2

x*1且y#2A*+歹*3,故》+了片3是；1；二1且yH2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若XA5,=x>5或XY2.

4集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：PI5<x>{%|xeA,ULXeB}

并：/U8={x|xeN或xeB}

補(bǔ)：及/={xeU,且xe/}

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系：

/=4①=/,4=。,髭/=0,

（2）等價(jià)關(guān)系：A^B=A^AUB=B<^ffb,AUB=U

（3）集合的運(yùn)算律：

交換律：ZD6=8n4/U8=8U4

結(jié)合律：（zn8）nc=/n（8nc）；（/U8）uc=/u（8uc）

分配律:./n(8uc)=(zri8)u(/nc)；NU(8nc)=(/U8)n(/uc)

o-i律：①n/=<i>，①u4=aunz=4uuz=u

等得律：AC\A=A,A\JA=A.

求補(bǔ)律：AnqT?AJq,7HJqi將Q?我J

反演律：C婚6=C@uGBG如6=canCE

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集AI的元素的個(gè)數(shù)叫做集合Afi勺基數(shù)，記為card(@規(guī)定cardf)=0.

基本公式：

(l)card(AUB)-card{A}+card(B)-card{AAB)

(2)carc/(A(JB\JC)=card(A)+card(B)+card(C)

-card(AA5)-card(SAC)-card(CC\A)

+card{A[\BC\C)

③card(1A=card《J—card⑥

仁）含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1?整式不等式的解法

根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為4W伊為…&F）X）G））形式，并將各因式x的系數(shù)化“不；為

了統(tǒng)一方便）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化"4后）是“XT，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<cr,則找“線”在X軸下方的區(qū)間.

++X

XXxx

1Xx、-3-m-2m-l-m

乙3

（自右向左正負(fù)相間）

則不等式。0/+。3"-1+。2%"2+3+勺>0（<0）（&>0）的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)

確定.

特例①一元一次不等式aQb解的討論；

②一元二次不等式ax+bo）e>0（ia>Q）解的討論.

A〉0]△=0A<0

uu

二次函數(shù)

y-ax~+hx+c

(?！?)的圖象甘---------X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=0b

X,x(X|<x)寸々二一五無實(shí)根

(a>0酌根{22

2

ax+bx+c>0卜,<項(xiàng)或%>々}fb1

(a>0)的解集I2aJR

2

ax++c<0卜上<x<x)

20

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(D標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為42>0或型對(duì)；42>0或4^^0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

>0o/(x)g(x)>0;^^20of/(x)g(x)>0

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)[g(x)*0

g(x)J/g(X)

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：|辦+可<c，與麻+.>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用"零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx-k=0吐。

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二.次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題:

“或“、“且"、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題;

由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q記作"pV<f)；P且q記作“Md)；非P記

作-4)o

3>"或"、“且"、“非”的真值判斷

原命題互逆逆命題

(1)“非P形式復(fù)合命題的真假與F的真假相若p則q

互若q則p

反;為逆否

互互

否否

互召

否命題逆令命題

若1p則1q互逆若iq則［P

()“p且q形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；

(3)“p或q形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真.

4四種命題的形式：

原命題：若P則q逆命題：若q則R

否命題：若」P則」q逆否命題：若1q則」R

(D交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

②同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5.四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：原命題O逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6如果已知目q那么我們說，P是q的充分條件，q是P的必要條件。

若pnq且gR則稱P是q的充要條件，記為

又反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出自已知、公理、定理…)矛盾，從

而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

第二章圈數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(④了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

(④理解分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念，掌握有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

(5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(⑥能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.

§02函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):

定義F:ArB

-反函數(shù)

映射般研究圖保

性質(zhì)

函數(shù)L

二次函數(shù)

—具體函數(shù)指數(shù)TH數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

二、知識(shí)回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)V=/(%)(%e4)的值域是C根據(jù)這個(gè)函數(shù)中％y的關(guān)系，用y把x表

示出，得到丑(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過厘(y),x在A中都有唯一

的值和它對(duì)應(yīng)，那么，N@就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)

N⑨go叫做函數(shù)歹=/(%)(%e力)的反函數(shù)，記作X=/T(>),習(xí)慣上改

寫成>=

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f⑨的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值埠迄

⑴若當(dāng)飛q時(shí)，都有則說f3在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)X1y時(shí)，都有f8)>f《)，則說f?在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)尸f3在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)尸f區(qū)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)尸f⑨的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函

數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

―x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

/(X)是偶函數(shù)O/(T)=/(.X)O/(-.x)-/(.x)=0O祟=l(/(.x)H0)

/(X)

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

(x)H(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

/(X)是奇函數(shù)O/(r)=-/(X)o/(r)+/(X)=0o=T4(x)w°)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(-x)=/(x)或

/(-X)=-/(x)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果/(X)是偶函數(shù)，則/(X)=/(|X|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在X=0時(shí)有意義，則"0)=0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：/(-x)=/(x)

設(shè)3)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于N軸對(duì)稱，例如：卜=父+1在口,-1)上不是偶函數(shù).

②滿足/(-》)="X),或/(-x)-/(x)=0,若f(x)wO時(shí),02=1.

f(~x)

⑵奇函數(shù)：=

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(-&-/>)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：y=》3在口,-1)上不是奇函數(shù).

②滿足/(-x)=②(X),或〃T)+f(x)=0,若/(X)r0時(shí),=-1.

/(-X)

&對(duì)稱變換：①了二f(力=

②y=f(力型絲“=_/②

原點(diǎn)對(duì)稱

③y=〃力^y=-fOx)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

/但)-/⑸)=斤7-而7=告±)(-;工

收+b2+收+b2

在進(jìn)行討論.’,

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

X

例如：已知函數(shù)9=1+-一的定義域?yàn)?函數(shù)力]的定義域是R則集合“

1-X

與集合庭間的關(guān)系是.

解：/(X)的值域是/(/(x))的定義域B,/(X)的值域eR,故而4{x|xwl},故

11.常用變換：

①f(x+y)=/(x)/(y)of(x-y)=.

f(y)

證：/(x-y)==/(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f{x)

②/(-)=/?-/(J)=f(x-y)=f(x)+f(y)

y

證：/U)=/(-y)=/(-)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例：尸2同一閉關(guān)于y軸對(duì)稱.

⑵熟悉分式圖象：'、J

例：y=*?=2+-^n定義域{x|xw3,xeR},

值域{y|y值域。X前的系數(shù)之比.!

I

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二一二

指數(shù)函數(shù)V=a'(a>0且aw1)的圖象和性質(zhì)

對(duì)數(shù)函數(shù)尸/。名汨勺圖象和性質(zhì)：

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

logq(M-N)=log“M+logqN⑴

M

log?！?log”M-log。N

lOgq叱="10gq(±A/尸

log。痂7」log”M

n

Jog"N=N

換底公式：10gqN=gQ

log/

推論：logqb-log/,c■logca=1

nlogq%.log。？內(nèi).…?log%一4=l°g可即

(以上MA0,N80,aA(),aHl,bA0,bHl,c>-0,cHl,a1,a2...ana0且H1)

（3過點(diǎn)（1,。，即當(dāng)Al時(shí)，K

(④X￡(0,l)時(shí)歹<0工￡(0,1)時(shí)y>0

XG(1,+00)時(shí)以xw(1,+8)時(shí)V<0

（》在（0,卡O）上是增函數(shù)在（0,H?0）上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)4,6Y0時(shí)，log(<7-b)=log(-cr)+log(-/>).

(2):當(dāng)MMO時(shí)，取當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M">0,而A/Y0,故取

例如：log“—h210g“X：(210gM中a0而log］中忘R.

(2)y=ax(?>-O,a*l)與y=log。x互為反函數(shù).

當(dāng)時(shí)，y=log“x的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0YOY1時(shí)，則相反.

(四)方法總結(jié)

⑴.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

logfl(M-N)=log“M+logaN("

log“2=logaM-log“N

log,,A/"="log”(士M⑵

log.=-log”M

n

a*N=N

換底公式:log“N=嶼叱

1陶a

推論：log”b-log；,c-logca=1

=>10g%。2°I，%a3????%,-%，=皿為?！?/p>

(以上M>0,NA0,aA0,awl,bA0,bHl,c>0,cwl,a”a2...ana。且豐1)

注⑴：當(dāng)4,6YO時(shí),log(a-b)=log(-a)+log(-Z>).

(2)：當(dāng)時(shí)，取當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且〃Y0時(shí)，用”>0,而"Y0,故取“”.

例如：log“x2；t210g“x;(21og“x中A0而log/2中東R.

⑵y(a>O,"l)與y=k)g“x互為反函數(shù).

當(dāng)a>l時(shí)，y=log“x的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYOY1時(shí)，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解方互換xy,注明反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為a②偶次根式中被開方數(shù)不小于a③對(duì)數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)毒的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義

等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法仁次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法:①設(shè)百,X2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且X1<X2；②判定f(X,)

與f&2)的大??；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算fT與f⑨之間的關(guān)

系：①f6*=f⑨為偶函數(shù)；fTn-f因?yàn)槠婧瘮?shù)；②fFT3=0為偶；f⑨+f㈠)=0

為奇；③fT)/f⑨=1是偶；f⑨+f1為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(與理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)

際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡單的實(shí)

際問題.

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

1.⑴等差、等比數(shù)歹U：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義aad

n+\-n=—=^^0)

遞推公

a,,=a,,_+d;a?=a,?_?+md二〃一闖；

式xa,Q

通項(xiàng)公a=%+(〃-l)d

nan=5q"T(a/W0)

式

中項(xiàng)/_?！ㄒ?+

&n+kG=^a_a(a?_aA0)

2nkn+kkn+k

(n,kEN*,〃A左>0)(n、kwN*k>G)

前〃項(xiàng)

S”=Q(%+〃〃)叫(q=D

和

S"='二ai-anq

w(w-l)>

\-q\-q~

$"=〃%+2d

重要性

質(zhì)

%+%=%+%O,〃，p,qeN",am-an=ap-aq(m,nyp,qEN\m+n=p+q)

m+n=p+q)

I等差數(shù)列I等比數(shù)列

定義

{%}為4?尸o4”+]-％=d(常數(shù))

{%}為G?PO=式常數(shù))

an

通項(xiàng)公

a=a+(rr-1)d=。*+(n-dk)a”=qq"'=4，'"

式n]

dpdn4t71-d

求和公

〃(%+%)心—1)叫(q=1)

s?=----------=na+--------a

式n2x12

s“=,

=g〃2+(q-乳q(l-4")=a「a"q①豐1

\-q\-q

中項(xiàng)公

推廣：2o?=a_+aG~=aho推廣：a-a_xa

式.nmn+mnnmn+m

任

質(zhì)1

若nHn=r+<l則am+an=ap+aq若mhTF5yk],則aman=apaq。

2

若｛尤｝成AP（其中左“eN）則｛4｝若依“｝成等比數(shù)列（其中左,,eN）,

也為AB

則｛4“｝成等比數(shù)列。

3

,Sn，$2〃-Sn，$3〃一$2〃成等差數(shù)列。Sn，$2〃—Sn9$3〃—$2〃成等比數(shù)列。

4

,an-a〕ant-anz、q”-i=葭,g"-"'=4.

d=-----=-----(wwn)

n-1m-n

(mwn)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①％-a“_i=或〃22,1為常數(shù)）

②%=冊+|+冊-1|22）

③a”=kn+bS,左為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:

①=%_漢（〃22均為常數(shù),且*0）

②播122,??an+|a?_i*0）］

注①：i.b=Ji,是ahc成等比的雙非條件，即人4=ab.c等比數(shù)列.

ii.b=&(wo。-為ahc等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=土&一為ahc等比數(shù)列的必要不充分.

iv.6=且C/CMO—為ahc等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)ac不一定有等比中項(xiàng)，除非有以40,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③a“=cq"6,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列比｝成等比的充要條件是數(shù)列l(wèi)og,?”｝(XA1)成等比數(shù)列.

S|=%(〃=1)

⑷數(shù)列a｝的前〃項(xiàng)和S.與通項(xiàng)。”的關(guān)系：冊

sn~Sn-\\n-6

注］:①%=%+(〃-+=〃d+(a「d)(4可為零也可不為零f為等差數(shù)列充要條件(即常

數(shù)列也是等差數(shù)列)―若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件).

②等差也”｝前〃項(xiàng)和s“==可以為零也可不為零一為等差

的充要條件-若4為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若〃不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的發(fā)倍

Sk,Slk-Sk&k-S2k…；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(?e^+),則S偶一$奇=""，=~;

。偶a〃+i

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2"1(〃0+),則S2“_I=(2〃-1瓦，且s奇-S偶=%,,且=工

s做"-1

=代入”到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2書…+力叢丁)

②『+22+32+…〃2=巫士幽刊

6

2

③13+23+33…/=駕1)

注］:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999,???=>??=10"-1;5,55,555,…=g(10"-1).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為。，年增長率為r,則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為1+-其中第〃年產(chǎn)量為a(l+r)"T,且過〃年后總產(chǎn)量為:

a+a(l+r)+a(l+r)2+…+a(l+r)"T="+')1

l-(l+O

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存"元，利息為廠，每月利息按

復(fù)利計(jì)算，則每月的。元過〃個(gè)月后便成為“(1+廠)"元.因此，第二年年初可存款：

〃(1+廠嚴(yán)+〃(]+「)”+”(1+廠嚴(yán)+.+〃(1+/)」(1+，)"(1+”2]

1-(1+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：。為分期付款方式貸款為a元；以為R個(gè)月將款全部付清；廠為年利率.

<1(1+r),n=x(l+r)m-1+x(l+r)m-2+x(l+r)+x=a(l+r)m=)----=>x=—

5.數(shù)列常見的幾種形式：

Wan+2=pan+l+qan("協(xié)二階常數(shù))f用特證根方法求解.

具體步驟:①寫出特征方程+4(x2對(duì)應(yīng)a“+2,為(寸應(yīng)a〃+i)，并設(shè)二根X1,》2②若X]HX2

可設(shè)a“=ClX；+C2X；,若X1=X2可設(shè)?！?(<j+C2")X：；③由初始值確定。1，。2.

(2)an=Pa?_i+r(Rr為常數(shù))f用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n

轉(zhuǎn)化為?！?2=尸。"+1+期"的形式,再用特征根方法求“"；④。"=。1+。2尸"一'(公式法)，cl>c2

由％,。2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：a?+l+x=P(a?+x)=>a?+l=Pan+Px-x=>x=-^―.

p-I

n

②選代法：a?=Pan_\+r=P(Pan_2+〃)+/?=???=>%=(%+=(%+x)P~'-x

r-Lr-I

=pi%+尸"2中+…+pr+r.

a-Pa+尸I

③用特征方程求解："U-g^,=>a?+l-an=Pan-Pan_}^>a?+l=(P+i)a,-Pan_x.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：。=丁)，。2=%+￡，。”=，277+/=(%+白)6一+、?

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S.,在4YO時(shí)，有最大值.如何確定使S“取最大值時(shí)的〃值，有

兩種方法：

一是求使冊20,冊MY0,成立的〃值；二是由S“=gM+(q_g)〃利用二次函數(shù)的性質(zhì)求”

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依

照等比數(shù)列前力項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：卜；,3(,...(2〃-1)/,...

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,4的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(D定義法:對(duì)于g2的任意自然數(shù),

驗(yàn)證%為同一常數(shù)。②通項(xiàng)公式法。6)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

an-\

2%+1=%+4-2=%%+2)〃€N都成立。

fa>0

3.在等差數(shù)列｛an｝中，有關(guān)S,的最值問題：(1)當(dāng)生河do時(shí)，滿足《人的項(xiàng)數(shù)

口,用40

m使得取最大值.②當(dāng)/<0,4)時(shí)，滿足〈八的項(xiàng)數(shù)m使得必取最小值。在解

4+I20

含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2裂項(xiàng)相消法:適用于二一:其中1%｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部

aa

[?n+\\

分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛“/“｝其中｛%｝是等差數(shù)列，物,｝是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1):l+2-m..+n=-...二

2

2)1仔計(jì)..+QnT)=n2

「1I2

3)I3+23+---+n3=-H(?+1)

4I2+22+32+---+n2=-/7(?+1)(2W+1)

6

c11111/1、

n(n4-1)n〃+1n(n+2)2n〃+2

0--=---(―--)(p<q)

pqq-ppq

第四章三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)fin&x中)的圖像.正切函數(shù)的

圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(公能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)LXsingx4p)的簡圖，理解A3、中的物理意義.

(。會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(炒"同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sini+cos2c=1,siite/fcosc=tarac,tanzcose=1".

§04三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與a(0°《a<360。)終邊相同的角的集合(角a與角￡的終邊重合)：

▲

\p\B=kx360°+a,kGZ}\32

sinxsinx

②終邊在刷上的角的集合：,m=Axl80°,Aez}，

③終邊在跑上的角的集合：加m=%xi8(r+9(r,&€z}":":

sinxsinx

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：加R=?x90Fez}23

SIN\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

1、2、3、4表示第一、：、三、

四象限一半所在區(qū)域

⑤終邊在尸諭上的角的集合：加R=/xl80°+45°,"ez}

⑥終邊在產(chǎn)-x軸上的角的集合：{￡m=%xl800-45°,?ez}

⑦若角a與角力的終邊關(guān)于斕3對(duì)稱，則角。與角〃的關(guān)系：a=360?！?/p>

⑧若角a與角6的終邊關(guān)于7tt對(duì)稱，則角。與角〃的關(guān)系：￡=360。4+180。-萬

⑨若角a與角夕的終邊在一條直線上，則角。與角尸的關(guān)系：a=18(TX+￡

⑩角a與角力的終邊互相垂直，則角a與角6的關(guān)系：a=360"+￡±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360=2118。10=0.017451=57.30=571g

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad="2°=57.30=5718.1°=/_2().01745

7T180

(rad)

扇形面積公式：S扇形=；＞

人弧長公式：I=\a\-r.綱?,

6三角函數(shù)線

16.兒個(gè)重要結(jié)論:

正弦線：余弦線：CM正切線:

AT

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

{xIXG7?}

/(x)=sinx

{x|xe7?}

/(x)=cosx

xGR且x豐k冗+三兀,ksZ

/(x)=tanxX

x\xe火月/0k小keZ}

/(x)=cotx

xGH1Lxw〃乃十；江,〃wZ

/(x)=secxx

x|xGH且x*k兀、kez}

/(x)=esex

&同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包色=tana^=cota

cosasina

tana-cota=1cscasina=1seca-cosa=1

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2a-cot2a=1

Q誘導(dǎo)公式：

把長土洲三角函數(shù)化為a的三角函數(shù)，概括沏

"奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三

sinx

sinx-CSQY=1tanx=-----si?n2x+.cos2x=i1sin(2^+x)=sinxsin(-x)=-sinx

cosxcos(2Z乃+x)=cosxcos(-x)=cosX

cosx

cosx?secr=lcotx=-----1+tan2x=sec2rtan(2左乃+x)=tanxtan(-x)=-tanx

sinx

cot(2Z1+x)=cotxcot(-x)=-cotX

tanx?cotr=l1+cot2x=csc2r

公式組四公式組五公式組六

sin(4+x)=-sinxsin(24-x)=-sin.xsin(乃一x)=sinx

cos("+x)=-cosXcos(271-x)=cosXcos(4-x)=-cosX

tan("+x)=tanxtan(2〃-x)=-tanxtan(1-x)=-tanx

cot(^+x)=cotxcot(2乃-x)=-cotxcot(^--x)=-cotx

(二)角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(<z+夕)=cosacos夕一sinasinpsin2a=2sinacosa

cos(cr-p)=cosacos夕+sinasin(3cos26z=cos2cr-sin2a=2cos2cr-1=l-2sin2a

r2tana

sin(a+4)=sinacos(3+cosasinptanla=------------

1