湖北省2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含答案

本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1、答題前，請(qǐng)將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并

將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交。8540一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若角α的終邊在直線y=-x上,則角α的取值集合為()A.B.C.D.2.函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為()A.-1B.-C.D.03.函數(shù)y=sin在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖是()4.正六邊形ABCDEF中,用和表示,則=()共4頁(yè)，第1頁(yè)A.-B.-C.-D.-5.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為,那么|4a-b|=()A.2B.6C.2D.126.在△ABC中,||=3,||=2,,則直線AD通過(guò)△ABC的()A.重心B.外心C.垂心D.內(nèi)心7.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=()A.-B.C.-D.8.若復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)=2,a∈R,則a=()A.-1B.0C.1D.23618項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.(多選題)已知函數(shù)f(x)=3sinx-4cosx,若f(α),f(β)分別為f(x)的極大值與極小值,則()A.tanα=-tanβB.tanα=tanβC.sinα=-sinβD.cosα=-cosβ10.(多選題)已知點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi),則以下說(shuō)法正確的有()A.若=0,則點(diǎn)O為△ABC的重心B.若=0,則點(diǎn)O為△ABC的垂心C.若()·=()·=0,則點(diǎn)O為△ABC的外心D.若,則點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心11.(多選題)已知兩個(gè)復(fù)數(shù)z,z2滿足zz=i,且z=1-i,則下面說(shuō)法正確的是()A.z=B.|z|=C.|z+z|≥2D.=-i三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分共4頁(yè)，第2頁(yè)12.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acos(x=1,2,3,,12)來(lái)表示,已知6月份的月平均氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣溫最低為18℃,則10月份的平均氣溫為℃。13.已知點(diǎn)P,Q分別是四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn),=a,=b,且a,b是不共線的向量,則向量。14.在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i,若點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為B,則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為。四、解答題：本題共5小題，共77分15.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx。(1)求f的值;(2)若f,α∈,求cosα的值。16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=4sinωxsin-1(ω>0)的最小正周期為π。(1)求ω及f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f(x)圖象的對(duì)稱中心。17.（本小題滿分15分）經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA,OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè),(m>0,n>0)。(1)證明:為定值;(2)求m+n的最小值。18.（本小題滿分16分）共4頁(yè)，第3頁(yè)已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C。(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且·()=18,求c。19.（本小題滿分16分）在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosCsin(A-B)=cosBsin(C-A)。(1)求tanA的最小值;(2)若tanA=2,a=4,求c。共4頁(yè)，第4頁(yè)一、選擇題：1.D解析如圖可知,角α的取值集合為故選D。2.B解析由已知x∈,得2x-,所以sin,故函數(shù)f(x)=sin上的最小值為-。故選B。3.A解析令x=0,得y=sin,排除B,D項(xiàng),當(dāng)x∈時(shí),-,在此區(qū)間上函數(shù)不會(huì)出現(xiàn)最高點(diǎn),排除C項(xiàng)。故選A。4.B解析設(shè)邊長(zhǎng)為2,如圖,設(shè)AD,EC交于點(diǎn)O,則OD=1,AO=3,得()+()=-。故選B。5.C解析|4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos=12。所以|4a-b|=2。故選C。6.D解析因?yàn)閨|=3,||=2,所以,,則||,所以AD平分∠EAF,所以AD平分∠BAC,所以直線AD通過(guò)△ABC的內(nèi)心。故選D。7.A解析i,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以得a=-。故選A。共4頁(yè)，第1頁(yè)8.C解析因?yàn)?a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1。故選C。二、選擇題：9.BCD解析對(duì)于A,B,由題意,得f'(x)=3cosx+4sinx,因?yàn)閒(α),f(β)分別為f(x)的極大值與極小值,所以f'(α)=f'(β)=0,即3cosα+4sinα=0,3cosβ+4sinβ=0,所以tanα=tanβ=-,故A不正確,B正確;對(duì)于C,f(x)=3sinx-4cosx=5sin(x-φ),其中sinφ=,cosφ=,因?yàn)閠anα=tanβ,且α,β分別為f(x)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),所以由正弦函數(shù)的圖象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以sinβ=sin(α+π+2kπ)(k∈Z),cosβ=cos(α+π+2kπ)(k∈Z),即sinβ=-sinα,cosβ=-cosα,故C,D正確。綜上所述,選BCD。10.AC解析選項(xiàng)A,設(shè)D為BC的中點(diǎn),由于=-()=-2,所以O(shè)為BC邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D),同理可證O為AB,AC邊上中線的三等分點(diǎn),所以O(shè)為△ABC的重心,選項(xiàng)A正確;選項(xiàng)B,向量,分別表示在邊AC和AB上的單位向量,設(shè)為,和,則它們的差是向量,則當(dāng)·=0,即時(shí),點(diǎn)O在∠BAC的平分線上,同理由·=0,知點(diǎn)O在∠ABC的平分線上,故O為△ABC的內(nèi)心,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,由()·=0,得()·()=0,即,故||,同理有||,于是O為△ABC的外心,選項(xiàng)C正確;選項(xiàng)D,由··,得··=0,所以·()=0,即·=0,所以,同理可證,,所以O(shè)B⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即點(diǎn)O是△ABC的垂心,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選AC。11.ABD解析因?yàn)閦z=i,z=1-i,所以z=,故A正確;|z|=,|z|=,所以|z|=,故B正確;因?yàn)閨z+z|=<2,故C錯(cuò)誤;=(1+i)×=-i,故D正確。故選ABD。三、填空題：12.20.5解析因?yàn)楫?dāng)x=6時(shí),y=a+A=28;當(dāng)x=12時(shí),y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cos,所以當(dāng)x=10時(shí),f(10)=23+5cos=20.5。13.a-b共4頁(yè)，第2頁(yè)解析如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接PE,QE,由題意,得a,b,則a-b。14.-2+i解析因?yàn)辄c(diǎn)A(-1,2)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,1),所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i。四、解答題：15.解(1)因?yàn)閒(x)=2cos2x+2,所以f=1+1=2。(2)由f,α∈,得α+,sin,cos,所以cosα=cos。16.解(1)f(x)=4sinωx-1=2sin2ωx+2sinωxcosωx-1=1-cos2ωx+sin2ωx-1=sin2ωx-cos2ωx=2sin。因?yàn)樽钚≌芷跒棣?所以=π,所以ω=1,所以f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)。(2)令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以f(x)圖象的對(duì)稱中心為,k∈Z。17.解(1)證明:設(shè)=a,=b。由題意知()=(a+b),=nb-ma,a+b,由P,G,Q三點(diǎn)共線,得存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,從而消去λ,得=3。(2)由(1),知=3,于是m+n=(m+n)=(2+2)=。當(dāng)且僅當(dāng)共4頁(yè)，第3頁(yè)m=n=時(shí),m+n取得最小值,最小值為。18.解(1)m·n=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,所以sin(A+B)=sinC,所以m·n=sinCm·n=sin2C,所以sin2C=sinC,得cosC=C∈(0,π),故C=。(2)由sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,可得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理,得2c=a+b。因?yàn)椤?/p>

()=18,所以·=18,即abcosC=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2

+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。19.解(1)由已知得cosC(sinAcosB-cosAsinB)=cosB(sinCcosA-cosCsinA),又sin

(B+C)=sinA,所以整理得2cosCsinAcosB=cosAsinA,因?yàn)閟inA>0,所以2cosCcosB=cosA。

又cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC=3c