河北省卓恒教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2026屆卓恒教育集團(tuán)高二年級(jí)3月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商的導(dǎo)數(shù)來求切線斜率即可.【詳解】求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，切線斜率，故選：A.2.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用累乘法求解.【詳解】依題意，.故選：A.3.已知函數(shù)，則（

）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，再由賦值法代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，令可得，解得.故選：C4.用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.652 B.648 C.504 D.562【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用乘法原理計(jì)算求解.【詳解】用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，先取百位數(shù)有9種情況，因?yàn)闊o重復(fù)數(shù)字再取十位數(shù)有9種情況，最后個(gè)位數(shù)字有8種情況。所以可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，所以，故的最大值為，故選：D6.將4個(gè)相同的商品放在，，，4個(gè)空貨架上，則有且僅有2個(gè)貨架上有商品的放法有（）A.18種 B.20種 C.24種 D.120種【答案】A【解析】【分析】先將4個(gè)相同的商品分成兩個(gè)組，再從4個(gè)貨架上選兩個(gè)放入這兩組商品，利用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】將4個(gè)相同的商品分成兩個(gè)組有兩種不同的分法，即1，3分組或2，2分組，當(dāng)1，3分組時(shí)，因?yàn)?個(gè)商品相同，只有一種分法，再從4個(gè)貨架上選兩個(gè)放入這兩組商品有，當(dāng)2，2分組時(shí)，因4個(gè)商品相同，只有一種分法，再從4個(gè)貨架上選兩個(gè)放入這兩組商品有，故有且僅有2個(gè)貨架上有商品的放法有.故選：A.7.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合求和公式，可得答案.【詳解】由，則，解得或，由，顯然，解得.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若的圖象與（為常數(shù)）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得，即可求解.【詳解】將指數(shù)函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位可得到的圖象，再將的圖象在軸下方的部分翻折到軸上方可得到函數(shù)的圖象，所以作出函數(shù)的圖象如下，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與（為常數(shù)）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，即，故選:A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在某次物理試驗(yàn)課堂上，某同學(xué)利用位移跟蹤儀記錄了一玩具車在靜止?fàn)顟B(tài)下釋放，其運(yùn)動(dòng)的位移方程滿足，則（

）A.該玩具車位移的最大值為110B.該玩具車在內(nèi)的平均速度為12.5C.該玩具車在時(shí)的瞬時(shí)速度為30D.該玩具車的速度和時(shí)間的關(guān)系式是【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷A正確，再由平均速度計(jì)算公式可得B錯(cuò)誤，根據(jù)瞬時(shí)速度概念以及導(dǎo)數(shù)定義可得CD正確.【詳解】根據(jù)題意，由可得其導(dǎo)數(shù)，對于A，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，位移取得最大值，其最大值為，即A正確；對于B，該玩具車在內(nèi)的平均速度為，因此該玩具車在內(nèi)的平均速度為，可得B錯(cuò)誤；對于C，由可知當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為，即C正確；對于D，由于，所以該玩具車的速度和時(shí)間的關(guān)系式是，所以D正確.故選：ACD10.已知n是正整數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式可得AC的對錯(cuò)，利用組合數(shù)的性質(zhì)可得BD的對錯(cuò).【詳解】，故A正確；，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，已知，則（）A. B.可能為常數(shù)列C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A由是正項(xiàng)數(shù)列，即即可判斷，對于B當(dāng)時(shí)即可判斷，對于C利用基本不等式即可判斷，對于D即可判斷.【詳解】因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，，所以，故A正確；若，滿足，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；，即，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則________.【答案】3【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)可得或，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，不符合組合數(shù)的定義，舍去，故.故答案為3.13.已知某高中信息學(xué)競賽班的甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加了本校自主舉辦的信息學(xué)競賽的初賽，若最終成績排名情況為：丙同學(xué)不是第1名，甲，乙兩名同學(xué)的成績排名相鄰，則這4名同學(xué)的名次排列情況種數(shù)為______.【答案】8【解析】【分析】應(yīng)用已知條件應(yīng)用分類加法原理計(jì)算求解.【詳解】由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時(shí)，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；丙是第3名時(shí)，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時(shí)共2種情況；丙是第4名時(shí)，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當(dāng)甲，乙是第1，2名時(shí)，丁為第3名，此時(shí)共2種情況；當(dāng)甲，乙是第2，3名時(shí)，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；所以一共有種情況.故答案為：8.14.設(shè)函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，和一個(gè)極大值點(diǎn)，且，則______.【答案】4【解析】【分析】由題意確定是的極小值點(diǎn)，得到，是方程的，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.【詳解】因函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，則該函數(shù)必有一個(gè)極小值點(diǎn)，且極小值點(diǎn)大于，又僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，因此是的極小值點(diǎn)，易得，即，是方程的二根，有，即，顯然，，則，整理得，兩邊平方得：，因，于是得，即，而，有，所以.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.2025新學(xué)期，新氣象，光明中學(xué)高二某班班主任計(jì)劃從上學(xué)學(xué)期期末考試成績排名靠前的5名男同學(xué)和4名女同學(xué)中選出5名同學(xué)去擔(dān)任語文、英語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的課代表，按照要求回答下列兩個(gè)問題.（1）求女生不少于男生的安排方法種數(shù)；（2）求女生甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表的安排方法種數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分有3個(gè)女生2個(gè)男生或有4個(gè)女生1個(gè)男生，兩類情況求解即可；（2）先從剩下8人中安排一人擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，剩下8人選4人全排列即可.【小問1詳解】由女生人數(shù)不少于男生可知，有3個(gè)女生2個(gè)男生或有4個(gè)女生1個(gè)男生，①有4個(gè)女生的選法有：種；②有3個(gè)女生的選法有：種；不同的安排方法種數(shù)有種.【小問2詳解】因?yàn)榕撞粨?dān)任數(shù)學(xué)課代表，從除女生甲外的其他8人中選取1人擔(dān)任除數(shù)學(xué)課代表，再從剩下的8個(gè)人中選其余4科課代表，所以不同的安排種數(shù)有種.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，為公差不為0的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，由遞推關(guān)系，即可求解；（2）由已知可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式成立，所以；【小問2詳解】，，得證.17.已知曲線與曲線交于，兩點(diǎn)．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)列式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算計(jì)算求值；（2）先根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)，參數(shù)分離再構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性即可求出最小值.【小問1詳解】因?yàn)榍€與曲線交于兩點(diǎn)，所以，化簡得，即，所以，因?yàn)榻稽c(diǎn)為，，所以或，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，所以，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，確定若干個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均取自集合，這樣的點(diǎn)共有n個(gè).（1）求以這n個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)；（2）求這n個(gè)點(diǎn)能確定的直線的條數(shù)；（3）若從這n個(gè)點(diǎn)中選出3個(gè)點(diǎn)分別為三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，求這樣的三角形的個(gè)數(shù).【答案】（1）120（2）63（3）518【解析】【分析】利用分步相乘計(jì)數(shù)原理和分類相乘計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合的知識(shí)計(jì)算方法每一小問的方法種類數(shù).小問1詳解】點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均有4種可能，則，所以所求線段的條數(shù)為.【小問2詳解】如圖，在這個(gè)點(diǎn)中，僅有4點(diǎn)共線的直線有9條，僅有3點(diǎn)共線的直線有6條，所以這個(gè)點(diǎn)能確定的直線的條數(shù)為【小問3詳解】從這個(gè)點(diǎn)中選出3個(gè)點(diǎn)，共有種選法.在同一條直線上的3個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以所求的三角形的個(gè)數(shù)為.19.已知函數(shù)，.（1）求的最小值；（2）已知曲線和直線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O.（?。┳C明：；（ⅱ）若，討論與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）答案見解析，理由見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得出最小值；（2）（?。┓诸愑懻搼?yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)計(jì)算得證；（ⅱ）應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)得出，再構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論證明即可.【小問1詳解】單調(diào)遞增，且，單調(diào)遞減；x∈0,+∞所以.【小