北京市房山區(qū)房山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期診斷檢測(cè)一 數(shù)學(xué)試題（含解析）

房山中學(xué)2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期診斷檢測(cè)一高二數(shù)學(xué)試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)間90分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.一、選擇題：（每小題5分，共50分）1.數(shù)列，3，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.8項(xiàng) B.7項(xiàng) C.6項(xiàng) D.5項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知中數(shù)列的前若干項(xiàng)，我們可以歸納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程得到答案．【詳解】解：數(shù)列，3，，，，可化為：數(shù)列，，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，則，解得：，故是這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng).故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中根據(jù)已知?dú)w納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，是解答的關(guān)鍵．2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由于數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，，所以.故選：A3.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)后，代入即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：.故選：B.4.若等比數(shù)列滿(mǎn)足，且公比，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：方法一：根據(jù)觀察，數(shù)列可以為，即，那么.方法二：對(duì)于，又，則.方法三：對(duì)于，解方程可得，，那么通項(xiàng)，可知，，則.故選C.考點(diǎn)：1等比數(shù)列的基本性質(zhì);2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，即可作出判定，即可求解.【詳解】由題意，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可得是正確的，所以A是正確的；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，可得，，，所以B、C、D是錯(cuò)誤的，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，已知，，則（）A.有最小值，有最小值 B.有最大值，有最大值C.有最小值，有最大值 D.有最大值，有最小值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得，結(jié)合數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)確定正確選項(xiàng).詳解】依題意，由解得，，所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：最小，無(wú)最大值.，……，……所以時(shí)：，且為遞減數(shù)列.故有最大值，沒(méi)有最小值.故選：C7.已知曲線在處的切線方程是，則與分別為A.5， B.，5 C.，0 D.0，【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f'（5）等于直線的斜率﹣1，由切點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，得到縱坐標(biāo)即f（5）．【詳解】由題意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)B，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)C，令即可檢驗(yàn)；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，則可得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不妨設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則有：則有：，故選項(xiàng)D正確故選：D9.設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.10.已知函數(shù)滿(mǎn)足，，則函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算法則，求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，在處的瞬時(shí)變化率為.故選：C.二、填空題（每小題5分，共30分）11.在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前5項(xiàng)和_______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合前項(xiàng)和的公式求解即可【詳解】∵，∴．故答案為：1512.已知函數(shù)，則______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)解析式和導(dǎo)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】，；.故答案為：；.13.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問(wèn)題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)次日織幾問(wèn)？其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請(qǐng)問(wèn)第二天織布的尺數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項(xiàng)即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故答案為：.14.已知是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.則該等比數(shù)列的公比為_(kāi)_____.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，因，，成等比數(shù)列，則，據(jù)此可得答案.【詳解】設(shè)，則，，又，，成等比數(shù)列，則，又，則，則公比為.故答案為：215.無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng)和記為．若是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為_(kāi)___．【答案】

（答案不唯一）.【解析】【分析】根據(jù)是遞減數(shù)列，可以考慮該數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，再根據(jù)是遞增數(shù)列，可以聯(lián)想到在上是遞增的函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造出數(shù)列.【詳解】因?yàn)槭沁f減數(shù)列，可以考慮，而是遞增數(shù)列，可以構(gòu)造.故答案為：（答案不唯一）.16.過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______，切線方程為_(kāi)_______.【答案】①.（e，1）②.x-ey=0【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：，求導(dǎo)，根據(jù)切線過(guò)原點(diǎn)，由切線的斜率求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以切線的斜率為：，解得，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為：，切線方程為：，即x-ey=0，故答案為：；x-ey=0.三、解答題（共70分.要求有必要的解題步驟）17.已知函數(shù).（1）求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)乘法公式可得答案；（2）由題可得切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式可得答案【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】由（1），，又，則切線方程滿(mǎn)足.18.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中任選擇兩個(gè)作為已知條件，求滿(mǎn)足的的最大值.條件①：；條件②：；條件③：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和通項(xiàng)公式直接推導(dǎo)求解即可；（2）若選①②，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和可求得公比；若選①③，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和單調(diào)性可求得公比；若選②③，根據(jù)和等比數(shù)列單調(diào)性可求得公比；根據(jù)和可得，結(jié)合單調(diào)性可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，設(shè)等比數(shù)列的公比為若選①②：，，，，，為遞增數(shù)列，，，滿(mǎn)足的的最大值為；若選①③：，，又，，，為遞增數(shù)列，，，滿(mǎn)足的的最大值為；若選②③：，或，又，，，為遞增數(shù)列，，，滿(mǎn)足的的最大值為.19.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，（1）計(jì)算，，，并推測(cè)的通項(xiàng)公式；（2）證明你所得到的結(jié)論.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由遞推公式計(jì)算，，，即可推測(cè)通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法可完成證明.【小問(wèn)1詳解】由題，；；.則推測(cè)；【小問(wèn)2詳解】證明：.當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)成立，則，則.即成立時(shí)，也成立，又時(shí)，結(jié)論成立，則結(jié)論對(duì)所有正整數(shù)均成立，則.20.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式和等比數(shù)列定義直接證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到；（3）采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，.小問(wèn)3詳解】由（2）得：.21.設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記（，2，3，…），其中表示，，…這s個(gè)數(shù)中最小的數(shù).（1）若，，求證：不是等差數(shù)列；（2）若，，證明：是等差數(shù)列；（3）證明：或者對(duì)任意實(shí)數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)m，使得，，，…是等差數(shù)列.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）把代入即可求得，即可證明不是等差數(shù)列；（2）在（1）的啟發(fā)下，證明當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于單調(diào)遞增.所以，從而得證；（3）首先求的通項(xiàng)公式，分三種情況討論證明.小問(wèn)1詳解】，，，所以不是等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)任意，因此，所以是等差數(shù)列；【小問(wèn)3詳解】設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以①當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因此.此時(shí)，是等差數(shù)列.②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，