物理競賽微積分初步求導(dǎo)積分

物理競賽微積分初步求導(dǎo)積分物理競賽微積分初步求導(dǎo)積分物理競賽微積分初步求導(dǎo)積分§1函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分一、變量、常量與函數(shù)變量：在某一過程中取值會不斷變化的量。常量：在某一過程中取值始終不變的量。函數(shù)：變量y按某種確定的關(guān)系隨變量x的變化而變化，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量，寫作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x復(fù)合函數(shù)：假設(shè)y是z的函數(shù)y=f(z)，而z又是x的函數(shù)z=g(x)，則稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記作：y=(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)§1函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分一、變量、常量與函數(shù)變量：在某一過程中取值會不斷變化的量。常量：在某一過程中取值始終不變的量。函數(shù)：變量y按某種確定的關(guān)系隨變量x的變化而變化，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量，寫作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x復(fù)合函數(shù)：假設(shè)y是z的函數(shù)y=f(z)，而z又是x的函數(shù)z=g(x)，則稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記作：y=(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)△x△yxyy=f(x)xx+△x

設(shè)函數(shù)

y=f(x)在x處有一增量△x，相應(yīng)地函數(shù)有增量△y，則比值叫函數(shù)y=f(x)在x到x+△x之間的平均變化率。函數(shù)y=f(x)在x

處的導(dǎo)數(shù)定義為：例：求函數(shù)y=x2

在x=1和x=3時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。解：由有所以當(dāng)x=1

時(shí)，y’=2，當(dāng)x=3

時(shí)，y’=6△x△yxyy=f(x)xx+△xPQ導(dǎo)數(shù)的幾何意義：從圖中知道，

△y/△x是過P、Q兩點(diǎn)的割線的斜率，而當(dāng)△x

0時(shí)，割線成為過P點(diǎn)的切線，因而導(dǎo)數(shù)y’=f’(x)表示曲線在x處切線的斜率。函數(shù)y=f(x)在某處的導(dǎo)數(shù)值，就表示了該處切線的斜率，也就是在該點(diǎn)處函數(shù)y=f(x)隨x的變化率。基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的根本運(yùn)算法則：〔設(shè)u=u(x),v=v(x)〕例1：求y=x3lnx

的導(dǎo)數(shù)解例2求y=sinx/x的導(dǎo)數(shù)解二階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)前述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是y對x的一階導(dǎo)數(shù)，若將一階導(dǎo)數(shù)y’再次對x

求導(dǎo)，則為二階導(dǎo)數(shù)：同理，將二階導(dǎo)再對x求導(dǎo)則為三階導(dǎo)，三階導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)則為四階導(dǎo)等。例求y=x3+3x2的二階導(dǎo)數(shù)三、函數(shù)的極值x1x2x3xy若函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)

x1

的函數(shù)值f(x1)比鄰近各點(diǎn)的函數(shù)值都大或都小，則稱x1

為一個(gè)極值點(diǎn)，f(x1)為函數(shù)的一個(gè)極值。圖中x1

和x3為極大值點(diǎn)，x2為極小值點(diǎn)，f(x1)和f(x3)為極大值，f(x2)為極小值。極值點(diǎn)處的切線一定是水平的，因而極值點(diǎn)的判定條件是：f’(x)=0極大值點(diǎn)的條件是：f’(x)=0，f’’(x)＜0極小值點(diǎn)的條件是：f’(x)=0，f’’(x)＞0例求函數(shù)y=4x3-3x2+5

的極值點(diǎn)和極值解：因y’=12x2-6x

令y’=0得x1=0,x2=1/2

此為其兩個(gè)極值點(diǎn)。又y’’=24x-6，有y’’(x1)=-6＜0，y’’(x2)=6＞0因而x1=0

是極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為y1=5x2=1/2是極小值點(diǎn)，對應(yīng)的極小值為y2=19/4四、函數(shù)的微分例求函數(shù)y=5x+sinx的微分函數(shù)y對自變量

x的導(dǎo)數(shù)可將

dx看成是自變量x的一個(gè)趨于零的微小增量，稱為自變量的微分；而相應(yīng)的將

dy看成是函數(shù)y的微小增量，稱為函數(shù)的微分。有：§2不定積分一、原函數(shù)前一節(jié)學(xué)了求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f’(x)，現(xiàn)假設(shè)一函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，要求原函數(shù)F(x)例因(x3)’=3x2，所以x3為3x2的原函數(shù)〔sinx)’=cosx，sinx是cosx的原函數(shù)∵F’(x)=[F(x)+c]’，c為任意常數(shù)，∴函數(shù)f(x)的原函數(shù)有任意多個(gè)：F(x)+c二、不定積分定義：函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+c

叫f(x)的不定積分，記為：不定積分的性質(zhì)：這說明不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。不定積分公式：不定積分運(yùn)算法則：3.若能找到函數(shù)u=u(x)，使且積分較易求出，則：例1求解：令u=1+x,微分得：du=dx，有：例2求解：令u=ax+b,微分得：du=adx，有：例3求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：例4求解：令u=e3x,微分得：du=3e3xdx，有：§3定積分

設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]作n等分，各小區(qū)間的寬度為△x，又在各小區(qū)間內(nèi)選取一點(diǎn)xi得出函數(shù)在這些點(diǎn)處的值f(xi)(i=1,2,3,…,n)abxyxiy=f(x)f(xi)△x定義：為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。f(x)為被積函數(shù)，a,b分別為積分下限和上限。定積分的幾何意義：abxyy=f(x)f(xi)△x由圖可知f(xi)△x為圖中一個(gè)小區(qū)間的面積，因而定積分：表示了區(qū)間[a,b]上，曲線y=f(x)下方的面積。注意：定積分的值有正也有負(fù)，因而這并非通常意義下的面積。定積分的主要性質(zhì)：定積分的計(jì)算〔牛頓－萊布尼茨公式〕若不定積分則定積分由此可知：求函數(shù)的定積分，通常是先求出其不定積分（原函數(shù)F(x)），再求F(b)-F(a)例1求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：例2求解：令u=cosx,微分得：du=-sinxdxyxy=x2y=4-x2AB例3求由曲線y=x2和曲線y=4-x2

所包圍的面積。解：先求出兩曲線交點(diǎn)A,B的x坐標(biāo)為:由定積分的幾何意義知有