2024年小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯

此前收藏著的，看看目前喵喵上的資源很少，貼一種給需要的MMBB。小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯1．和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾種數(shù)的和與差幾種數(shù)的和與倍數(shù)幾種數(shù)的差與倍數(shù)公式合用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式①(和－差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)＋差=較大數(shù)和－較小數(shù)=較大數(shù)②(和＋差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)－差=較小數(shù)和－較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)＋差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2．年齡問題的三個(gè)基本特性：①兩個(gè)人的年齡差是不變的；②兩個(gè)人的年齡是同步增長或者同步減少的；③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3．歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一種不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表達(dá)。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4．植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公式棵數(shù)=段數(shù)＋1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)－1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5．雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思緒：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙同樣或者乙和甲同樣）：

②假設(shè)後，發(fā)生了和題目條件不一樣的差，找出這個(gè)差是多少；③每個(gè)事物導(dǎo)致的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；④再根據(jù)這兩個(gè)差作合適的調(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑?/p>

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6．盈虧問題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種原則分組，產(chǎn)生一種成果：按照另一種原則分組，又產(chǎn)生一種成果，由于

分組的原則不一樣，導(dǎo)致成果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚舅季w：先將兩種分派方案進(jìn)行比較，分析由于原則的差異導(dǎo)致成果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參與分派的總份數(shù)，然後根據(jù)題意求出對(duì)象的總量．基本題型：①一次有余數(shù)，另一次局限性；基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋局限性數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差②當(dāng)兩次均有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差③當(dāng)兩次都局限性；基本公式：總份數(shù)＝（較大局限性數(shù)一較小局限性數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7．牛吃草問題基本思緒：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不一樣的吃法，求出其中的總草量的差；再找出導(dǎo)致這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量=（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間-短時(shí)間）；總草量=較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間×生長量；8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特性有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把持續(xù)兩次出現(xiàn)所通過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏

年：一年有366天；①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平

年：一年有365天。①年份不能被4整除；②假如年份能被100整除，但不能被400整除；9．平均數(shù)基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一種數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，運(yùn)用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一種基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較靠近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為原則，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最終求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，詳細(xì)關(guān)系見基本公式②10．抽屜原理抽屜原則一：假如把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜裏，那么必有一種抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜裏，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有如下四種狀況：①4=4+0+0

②4=3+1+0

③4=2+2+0

④4=2+1+1觀測上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一種共同特點(diǎn)：總有那么一種抽屜裏有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一種抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：假如把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜裏，其中n>m，那么必有一種抽屜至少有:①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表達(dá)不超過X的最大整數(shù)。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而後根據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11．定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包具有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅季w：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然後按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：對(duì)的理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，尤其注意運(yùn)算次序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12．?dāng)?shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一種數(shù)，一般用a1表達(dá)；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表達(dá)；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表達(dá)；

通項(xiàng)：表達(dá)數(shù)列中每一種數(shù)的公式，一般用an表達(dá)；

數(shù)列的和：這一數(shù)列所有數(shù)字的和，一般用Sn表達(dá)．基本思緒：等差數(shù)列中波及五個(gè)量：a1,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中波及四個(gè)量，假如已知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中波及四個(gè)量，假如已知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式：an=a1+（n－1）d；通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1)×公差；數(shù)列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+a1)÷d＋1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13．二進(jìn)制及其應(yīng)用拾進(jìn)制：用0～9拾個(gè)數(shù)字表達(dá)，逢10進(jìn)1；不一樣數(shù)位上的數(shù)字表達(dá)不一樣的含義，拾位上的2表達(dá)20，百位上的2表達(dá)200。因此234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數(shù)字表達(dá)，逢2進(jìn)1；不一樣數(shù)位上的數(shù)字表達(dá)不一樣的含義。（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。拾進(jìn)制化成二進(jìn)制：①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2持續(xù)清除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然後把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。②先找出不不小于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不不小于這個(gè)差的2的n次方，依此措施一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：假如完畢一件任務(wù)有n類措施，在第一類措施中有m1種不一樣措施，在第二類措施中有m2種不一樣措施……，在第n類措施中有mn種不一樣措施，那么完畢這件任務(wù)共有：m1+m2.......+mn種不一樣的措施。關(guān)鍵問題：確定工作的分類措施?；咎匦裕好恳环N措施都可完畢任務(wù)。乘法原理：假如完畢一件任務(wù)需要提成n個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，做第1步有m1種措施，不管第1步用哪一種措施，第2步總有m2種措施……不管前面n-1步用哪種措施，第n步總有mn種措施，那么完畢這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不一樣的措施。關(guān)鍵問題：確定工作的完畢環(huán)節(jié)?；咎匦裕好恳徊街荒芡戤吶蝿?wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一種端點(diǎn)；沒有長度。①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）；②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)15．質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一種數(shù)除了1和它自身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一種數(shù)除了1和它自身之外，尚有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：假如某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一種數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表達(dá)出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。一般用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一種合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的成果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的原則表達(dá)形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<……<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)互質(zhì)數(shù)：假如兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16．約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a可以被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾種數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一種，叫做這幾種數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾種數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾種商是互質(zhì)數(shù)。2、幾種數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾種數(shù)的約數(shù)。3、幾種數(shù)的公約數(shù)，都是這幾種數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾種數(shù)都乘以一種自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾種數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；求最大公約數(shù)基本措施：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然後把相似的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然後相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，可以整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾種數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一種，叫做這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本措施：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的措施17．余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，假如使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：①余數(shù)不不小于除數(shù)。②若a、b除以c的余數(shù)相似，則c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。18．余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相似，則稱a、b對(duì)于模m同余。②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，假如m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod

m)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：①自身性：a≡a(mod

m)；②對(duì)稱性：若a≡b(mod

m)，則b≡a(mod

m)；③傳遞性：若a≡b(mod

m)，b≡c(mod

m)，則a≡c(mod

m)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(mod

m)，c≡d(mod

m)，則a×c≡b×d(mod

m)；⑥乘方性：若a≡b(mod

m)，則an≡bn(mod

m)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整數(shù)c，則a×c≡b×c(mod

m×c)；三、有關(guān)乘方的預(yù)備知識(shí)：①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除後的余數(shù)特性：①一種自然數(shù)M，n表達(dá)M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod9)或（mod3）；②一種自然數(shù)M，X表達(dá)M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表達(dá)M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、費(fèi)爾馬小定理：假如p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(modp)。19．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均提成幾份，表達(dá)這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同步乘以或除以相似的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均提成幾份，表達(dá)這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)百分之幾的數(shù)。常用措施：①逆向思維措施：從題目提供條件的反方向（或成果）進(jìn)行思索。②對(duì)應(yīng)思維措施：找出題目中詳細(xì)的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。③轉(zhuǎn)化思維措施：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不一樣的原則（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理措施是確定不一樣的原則為一倍量。④假設(shè)思維措施：為理解題的以便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種狀況成立，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的成果，然後再進(jìn)行調(diào)整，求出最終成果。⑤量不變思維措施：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一種量是不變的，不管其他量怎樣變化，而這個(gè)量是一直固定不變的。有如下三種狀況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。⑥替代思維措施：用一種量替代另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。20．分?jǐn)?shù)大小的比較基本措施：①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相似，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相似，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一種原則，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定期，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同步變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上措施外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（詳細(xì)運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）⑥轉(zhuǎn)化比較措施：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）後進(jìn)行比較。⑦倍數(shù)比較法：用一種數(shù)除以另一種數(shù)，成果得數(shù)和1進(jìn)行比較。⑧大小比較法：用一種分?jǐn)?shù)減去另一種分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。⑨倒數(shù)比較法：運(yùn)用倒數(shù)比較大小，然後確定原數(shù)的大小。⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一種基準(zhǔn)數(shù)，每一種數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。21．分?jǐn)?shù)拆分一、

將一種分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：22．完全平方數(shù)完全平方數(shù)特性：1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5.奇數(shù)的平方的拾位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不也許再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y223．比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)背面的數(shù)叫比的後項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除後來項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和後項(xiàng)同步乘以或除以相似的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表達(dá)兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分派：把幾種數(shù)按一定比例提成幾份，叫按比例分派。24．綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、旅程三者之間的關(guān)系.基本公式：旅程=速度×?xí)r間；旅程÷時(shí)間=速度；旅程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時(shí)間=相遇旅程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問題：追及時(shí)間＝旅程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）×順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水

速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的旅程，參照以上公式。重要措施：畫線段圖法基本題型：已知旅程（相遇旅程、追及旅程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。25．工程問題基本公式：①工作總量=工作效率×工作時(shí)間②工作效率=工作總量÷工作時(shí)間③工作時(shí)間=工作總量÷工作效率基本思緒：①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；②假設(shè)一種以便的數(shù)為工作總量（一般是它們完畢工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），運(yùn)用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡樸地表達(dá)出工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。26．邏輯推理基本措施簡介：①條件分析—假設(shè)法：假設(shè)也許狀況中的一種成立，然後按照這個(gè)假設(shè)去判斷，假如有與題設(shè)條件矛盾的狀況，闡明該假設(shè)狀況是不成立的，那么與他的相反狀況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。②條件分析—列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完畢時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件所有表達(dá)在一種長方形表格中，表格的行、列分別表達(dá)不一樣的對(duì)象與狀況，觀測表格內(nèi)的題設(shè)狀況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。③條件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表達(dá)兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表達(dá)“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表達(dá)否認(rèn)的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表達(dá)認(rèn)識(shí)，沒有表達(dá)不認(rèn)識(shí)。④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行對(duì)應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的成果為推理提供一種新的判斷篩選條件。⑤簡樸歸納與推理：根據(jù)題目提供的特性和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和措施，并從特殊狀況推廣到一般狀況，并遞推出有關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的處理。27．幾何面積基本思緒：在某些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的狀況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；此外需要掌握和記憶某些常規(guī)的面積規(guī)律。常用措施：1.連輔助線措施2.運(yùn)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4.運(yùn)用特殊規(guī)律①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）②梯形對(duì)角線連線後，兩腰部分面積相等。③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。28．立體圖形名稱圖形特性表面積體積長方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對(duì)的面相等；12條棱；相對(duì)的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12條棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開後是長方形；S=S側(cè)+2S底S側(cè)=ChV=Sh圓錐體下底是圓；只有一種頂點(diǎn)；l:母線，頂點(diǎn)究竟圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S側(cè)+S底S側(cè)=rlV=Sh球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。S=4r2V=r329．時(shí)鐘問題—快慢表問題基本思緒：1、按照行程問題中的思維措施解題；2、不一樣的表當(dāng)成速度不一樣的運(yùn)動(dòng)物體；3、旅程的單位是分格（表一周為60分格）；4、時(shí)間是原則表所通過的時(shí)間；5、合理運(yùn)用行程問題中的比例關(guān)系；30．時(shí)鐘問題—鐘面追及基本思緒：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：①確定分針與時(shí)針的初始位置；②確定分針與時(shí)針的旅程差；基本措施：①分格措施：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻提成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。②度數(shù)措施：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)度，即度。31．濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一種反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其他物質(zhì)裏的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其他物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；濃度=×100%=×100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其他公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一種反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。32．經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）÷成本×100%；賣價(jià)=成本×（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定；定價(jià)=成本×（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×（1+增值稅稅率）；33．簡樸方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：具有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾種相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不一樣代數(shù)式表達(dá)同一種數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同步加上或減去一種數(shù)，等式不變；等式兩邊同步乘以或除以一種數(shù)（除0），等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或式子變化符號(hào)後從方程等號(hào)的一邊移到另一邊；移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，後變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最終去小括號(hào)。加去括號(hào)規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式裏，假如括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)裏面的運(yùn)算符號(hào)都不變；假如括號(hào)前面是“－”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)裏面的運(yùn)算符號(hào)都要變化；括號(hào)裏面的數(shù)前沒有“+”或“－”的，都按有“+”處理。移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。乘法分派率：a(b+c)=ab+ac解方程環(huán)節(jié)：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤求解；方程組：幾種二元一次方程構(gòu)成的一組方程。解方程組的環(huán)節(jié)：①消元；②按一元一次方程環(huán)節(jié)。消元的措施：①加減消元；②代入消元。34．不定方程一次不定方程：具有兩個(gè)未知數(shù)的一種方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，因此也叫做二元一次不定方程；常規(guī)措施：觀測法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：具有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一種未知數(shù)的值，或者消去一種未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，