復(fù)變函數(shù)的映射VIP

從第二章開始，利用分析方法，即經(jīng)過微分、積分和級數(shù)分別探討了解析函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用.在這一章中，我們將從幾何角度對解析函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行討論.第七章共形映射

在第一章中已經(jīng)介紹過，一個復(fù)變函數(shù)在幾何上能夠看作把z

平面上一個點集變到w平面上一個點集映射(或變換).對解析函數(shù)來說，由它所組成變換（簡稱解析變換）還需作深入研究.第1頁

共形映射之所以主要，原因在于它能把在比較復(fù)雜區(qū)域上所討論問題轉(zhuǎn)到比較簡單區(qū)域上進(jìn)行討論.所以，在處理諸如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)等實際問題中，發(fā)揮了主要作用.在這一章中，我們先分析解析函數(shù)所組成映射特征，引出共形映射這一主要概念.然后深入研究分式線性函數(shù)和幾個初等函數(shù)所組成共形映射.第2頁1、解析變換保域性2、解析變換保角性—導(dǎo)數(shù)幾何意義3、單葉解析變換共形性§1解析變換特征第3頁1、解析變換保域性

要探討解析變換幾何特征，首先要搞清楚復(fù)平面上一個點集(曲線或區(qū)域)與它像集之間對應(yīng)關(guān)系.第4頁第5頁其次，要證實中任意兩點均能夠用一條完全含于折線聯(lián)結(jié)起來.因為是區(qū)域，可在內(nèi)取一條聯(lián)結(jié)折線于是，第6頁因f(z)不為常數(shù)就是聯(lián)結(jié)而且完全含于一條曲線.從而，仿照柯西積分定理古薩證實第三步，能夠找到一條聯(lián)結(jié)內(nèi)接于且完全含于折線,于是是連通.第7頁

—符合定理條件解析函數(shù)w=f(z)將z0一個充分小鄰域變成w0=f(z0)一個曲邊鄰域.第8頁假如要求:yxC..正向:t增大方向;2、解析變換保角性—導(dǎo)數(shù)幾何意義在數(shù)學(xué)分析中我們知道，導(dǎo)數(shù)用來刻畫因變量相對于自變量改變情況，且含有相當(dāng)顯著幾何意義.那么，一個復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)將會刻畫怎樣關(guān)系呢？又有什么樣幾何意義呢？第9頁當(dāng)p方向與C一致.C..yxC.yx第10頁之間夾角..第11頁C.yxvu.第12頁或vu.——導(dǎo)數(shù)輻角幾何意義.第13頁第14頁說明:轉(zhuǎn)動角大小與方向跟曲線C形狀無關(guān).映射w=f(z)含有轉(zhuǎn)動角不變性...第15頁則有結(jié)論:夾角方向不變性質(zhì),

此性質(zhì)稱為保角性.在其大小和方向上都等同于經(jīng)過第16頁Cvuyx....第17頁Cvuyx....第18頁所以:

方向無關(guān).所以這種映射又含有伸縮率不變性.第19頁解第20頁反之放大.第21頁經(jīng)過以上分析,有第22頁解對于復(fù)平面上任意一點D，有（極限存在）

定義7.1'

對于定義在D內(nèi)變換w=f(z),假如它在D內(nèi)任意一點含有保角性和伸縮率不變性，則稱w=f(z)是第一類保角變換；假如它在D內(nèi)任意一點保持曲線交角大小不變但方向相反和伸縮率不變，則稱w=f(z)是第二類保角變換.第23頁需要尤其指出是，是必要，不然保角性將不成立.

解第24