用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題壓軸訓(xùn)練（原卷版）-2024-2025學(xué)年蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題6類壓軸訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

目錄

壓軸題型一解直角三角形應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題......................................................1

壓軸題型二解直角三角形應(yīng)用方位角問(wèn)題........................................................9

壓軸題型三解直角三角形應(yīng)用坡度坡比問(wèn)題.....................................................15

壓軸題型四解直角三角形應(yīng)用與三角形的綜合..................................................22

壓軸題型五解直角三角形應(yīng)用與四邊形的綜合..................................................27

壓軸題型六解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合................................................34

02壓軸題型

壓軸題型一解直角三角形應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題

例題：(24-25九年級(jí)上?山東聊城?期中)某數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓的高度，如圖所示，塔樓剖面圖

與斜坡剖面圖在同一平面內(nèi)，在斜坡底部C處測(cè)得塔頂2的仰角為54.5。，沿斜坡走13米到達(dá)斜坡

。處，測(cè)得塔頂8的仰角為26.7。，且斜坡CD的坡度i=1:2.4,其中點(diǎn)/,C,G,尸在同一條水平直線

上.求：

(1)點(diǎn)。到地面/C的距離;

(2)塔48的高.(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù)：tan54.5°?1.40,sin54.5°?0.81,cos54.5°?0.58,

tan26.7°?0.50,sin26.7°q0.45,cos26.7°?0.89)

1.（24-25九年級(jí)上?山東淄博?期中）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD.如圖所

示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸。處的俯角為無(wú)人機(jī)沿水平線4尸方向繼續(xù)飛

行50米至8處，測(cè)得正前方河流右岸。處的俯角為30。.線段的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)

C、。在同一條直線上.其中tana=2,MC=50百米.

ABF

\、、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

MC-------------『D-

（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度NM;（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）求河流的寬度CD.（結(jié)果保留根號(hào)）

2.（24-25九年級(jí)上?上海閔行?階段練習(xí)）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示.嘉嘉發(fā)觀，當(dāng)書架與桌面的夾角

乙4。3=150。時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度/C的長(zhǎng)為15cm,此時(shí)舒適度不太理想.嘉嘉調(diào)整書架與桌

面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角乙4'08=120。時(shí)（點(diǎn)4是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想.

（圖1）（圖2）

（1）書架在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求頂部邊緣A點(diǎn)到?走過(guò)的路徑長(zhǎng).

（2）如圖2這個(gè)平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處，書上有一點(diǎn)尸，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)。到點(diǎn)尸的距離為20cm,嘉嘉

看點(diǎn)尸的俯角為18。，眼睛到桌面高度為防,點(diǎn)。到點(diǎn)5的距離為25cm,求此時(shí)眼睛到尸點(diǎn)的距離，即E尸

的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sinl8°?0.31,cosl8°?0.95,tanl8°?0.32）

3.(24-25九年級(jí)上?山東泰安?階段練習(xí))某中學(xué)鳳棲堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小剛站在雕像

前，自C處測(cè)得雕像頂/的仰角為53。，小強(qiáng)站鳳棲堂門前的臺(tái)階上，自。處測(cè)得雕像頂4的仰角為45。,

此時(shí)，兩人的水平距離EC為0.45m,已知鳳棲堂門前臺(tái)階斜坡8的坡比為，=1:3.(參考數(shù)據(jù):

孔

子

雕

像

(1)計(jì)算臺(tái)階?！甑母叨?

(2)求孔子雕像的高度.

4.（23-24九年級(jí)下?江西宜春?期中）風(fēng)能是一種清潔無(wú)公害的可再生能源，利用風(fēng)力發(fā)電非常環(huán)保.如圖1

所示，是一種風(fēng)力發(fā)電裝置；如圖2為簡(jiǎn)化圖，塔座。。建在山坡。尸上（坡比，=3:4,￡）￡垂直于水平地

面EF,O,D,E三點(diǎn)共線），坡面。尸長(zhǎng)10m,三個(gè)相同長(zhǎng)度的風(fēng)輪葉片CM,OB,OC可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng),

每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角為120。；當(dāng)葉片靜止，CM與。。重合時(shí)，在坡底尸處向前走25米至點(diǎn)M處，測(cè)得

點(diǎn)。處的仰角為53。，又向前走23.5米至點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A處的仰角為30°（點(diǎn)E,F,M,N在同一水

平線上）.

圖1圖2圖3

⑴求葉片CM的長(zhǎng)；

⑵在圖2狀態(tài)下，當(dāng)葉片繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90。時(shí)（如圖3）,求葉片OC頂端C離水平地面E尸的距離.（參

434

考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-,6^1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

壓軸題型二解直角三角形應(yīng)用方位角問(wèn)題

例題：（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）某市要在東西方向M,N兩地之間修建一條道路.如圖，C點(diǎn)周圍180m

范圍內(nèi)為文物保護(hù)區(qū)，在肱V上點(diǎn)/處測(cè)得C在/的北偏東60。方向上，從/向東走500m到達(dá)2處，測(cè)得

C在3的北偏西45。方向上，則是否穿過(guò)文物保護(hù)區(qū)？為什么？

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?重慶九龍坡?開學(xué)考試）小明和小玲游覽一處景點(diǎn)，如圖，兩人同時(shí)從景區(qū)大門A出發(fā),

小明沿正東方向步行60米到一處小山B處，再沿著BC前往寺廟C處，在8處測(cè)得亭臺(tái)D在北偏東15。方向

上，而寺廟C在8的北偏東30。方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時(shí)間到達(dá)亭臺(tái)。處，再步行至正

東方向的寺廟C處.

北

東

（1）求小山8與亭臺(tái)。之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若兩人步行速度一樣，則誰(shuí)先到達(dá)寺廟C處.（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：收21.41，6。1.73,指它2.45）

2.(23-24九年級(jí)上?重慶榮昌?期末)今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心力的

正北方向的2處，其中48=2km,明明位于游客中心/的西北方向的C處.烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的

太陽(yáng)帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60。方向緩慢前進(jìn).15分鐘

后，他們?cè)儆慰椭行?的北偏西37。方向的點(diǎn)。處相遇.

A

(1)求媽媽步行的速度;

(2)求明明從C處到。處的距離.

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）螞蟻是一種靠嗅覺(jué)尋找食物的生物，它們的嗅覺(jué)比較發(fā)達(dá)，最遠(yuǎn)能聞出距離

幾十米處遠(yuǎn)的食物的味道某天李華同學(xué)在戶外觀察螞蟻覓食時(shí)，發(fā)現(xiàn)他所在位置/點(diǎn)的北偏西66。方向距/

點(diǎn)60cm的2點(diǎn)有一只正在覓食的螞蟻（如圖），/點(diǎn)北偏東45。方向距/點(diǎn)20月cm的C點(diǎn)有一塊糖，螞蟻

（1）請(qǐng)求出螞蟻所在位置3點(diǎn)與糖所在位置C點(diǎn)之間的距離；

（2）若在N點(diǎn)北偏東75。方向距/點(diǎn)40cm的。點(diǎn)處剛好有一只蜘蛛，求螞蟻在找到糖時(shí)與蜘蛛的距離.（結(jié)

果取整數(shù)，參數(shù)數(shù)據(jù)：sin45°?0.707,cos45°?0.707,sin66。士0.914,cos66°?0.407,tan660?2.246,

Ga1.732)

壓軸題型三解直角三角形應(yīng)用坡度坡比問(wèn)題

例題：（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行

觀光橋.如圖，該河旁有一座小山，山高8C=80m,坡面AB的坡度i=1:0.7（注：坡度i是指坡面的鉛直

高度與水平寬度的比），點(diǎn)C、A與河岸E、廠在同一水平線上，從山頂8處測(cè)得河岸E和對(duì)岸廠的俯角分

別為ND2E=45°,/DBF=31°.（參考數(shù)據(jù)：sin31°^0.52,cos31°^0.86,tan31°?0.60）

⑴求山腳A到河岸E的距離；

（2）若在此處建橋，試求河寬E廠的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1m）

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè))“暢游山西，逛代縣邊靖樓”成為今年山西旅游新特色，某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)

人機(jī)測(cè)量邊靖樓的高度,測(cè)量方案如圖：在坡底D處測(cè)得塔頂/的仰角為45°,沿坡比為5:12的斜坡CD

前行26米到達(dá)平臺(tái)C處,在C處測(cè)得塔頂/的仰角為60。.

A

(1)求坡頂C到地面的距離;

(2)計(jì)算邊靖樓48的高度.

2.(2024九年級(jí)下?遼寧?專題練習(xí))圖1所示是屹立在于都縣紀(jì)念廣場(chǎng)的中央紅軍長(zhǎng)征出發(fā)紀(jì)念碑，它是由

呈雙帆造型的碑身與方形底座兩部分組成的，底座下方是臺(tái)階，臺(tái)階的橫截面如圖2所示.已知臺(tái)階的坡

面DE的坡度i=坡面DE的長(zhǎng)為2.4m.

(1)計(jì)算坡面DE的鉛直身度；

(2)如圖3,為了測(cè)量紀(jì)念碑的高度，亮亮站在紀(jì)念碑正前方廣場(chǎng)上的點(diǎn)G處用高1.64m的測(cè)角儀GH,測(cè)得

紀(jì)念碑碑身頂端/的仰角是35。，繼續(xù)向紀(jì)念碑前進(jìn)8.1m到達(dá)點(diǎn)K處，此時(shí)測(cè)得紀(jì)念碑頂端45。，求紀(jì)念

碑的實(shí)際高度NC.(結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.574,cos35°?0.819,tan35°?0.700)

3.（22-23九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）圖（1）為某大型商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯、圖（2）中的為從三樓到五樓

的扶梯的側(cè)面示意圖.小明站在扶梯起點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得天花板上日光燈C的仰角為37。，此時(shí)他的眼睛。與

地面的距離4D=L7m,之后他沿三樓扶梯到達(dá)頂端3后又沿瓦：（〃：〃MV）向正前方走了1.6m,發(fā)現(xiàn)日光燈

C剛好在他的正上方.

圖⑴圖⑵

已知自動(dòng)扶梯48的坡度為1:2.4,48長(zhǎng)度是13m.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75）

（1）求圖中B到三樓地面的高度.

（2）求日光燈C到三樓地面的高度.（結(jié)果精確到整數(shù)）

壓軸題型四解直角三角形應(yīng)用與三角形的綜合

例題：中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋頂設(shè)計(jì)是中國(guó)古代建筑之瑰寶.常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、

懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)?如圖1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側(cè)視圖呈軸對(duì)稱圖形,

如圖2所示，已知屋檐口=6米，屋頂￡到支點(diǎn)C的距離EC=5.4米，墻體高CF=3.5米，屋面坡角

/￡CD=28。.(參考數(shù)值:sm28°?0.47,cos28°?0.88,tan280?0.53)

(

俯J3

視

方

向G

圖2

(1)求房屋內(nèi)部寬度尸G的長(zhǎng);

(2)求點(diǎn)A與屋面FG的距離.

鞏固訓(xùn)練

1.露營(yíng)愛好者在露營(yíng)時(shí)為遮陽(yáng)和防雨會(huì)借助垂直于地面的樹干42搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)

稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支撐桿8,用繩子拉直CE后系在樹干N8上的點(diǎn)/處，使得C,E在

一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)/的高度可控制“天幕”的開合，若C￡=CF=3米，CDLEF于點(diǎn)、O

（參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.966,cos75。它0.259,tan75°?3.732）

圖1圖2

⑴天晴時(shí)打開“天幕”，若乙4。斤=150。，求遮陽(yáng)寬度ER（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）下雨時(shí)收攏“天幕”，/ZC5由150。減小到120。，求點(diǎn)。下降的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

2.油紙傘有著逾千年的歷史，被列入國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄；在一次活動(dòng)中，小文了解了油紙傘文化的

內(nèi)涵，決定進(jìn)行設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng).小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)

DH

構(gòu)（其中772。618）：傘柄/〃始終平分/3ZC,AB=AC=20cm,當(dāng)N8/C=120。時(shí)，傘完全打開，

AH

此時(shí)/8DC=90。.

(1)NB4D=,ZADB=

（2）求線段的長(zhǎng)；（結(jié)果保留整根號(hào)）

（3）請(qǐng)問(wèn)最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1,732）

壓軸題型五解直角三角形應(yīng)用與四邊形的綜合

例題：圖1是某長(zhǎng)征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知尸G,A,D,H,

G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得/五EC=44=72.9。,/。=1.6m,￡尸=6.2m.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形；

(2)求雕塑的高(即點(diǎn)G到N3的距離).

(參考數(shù)據(jù)：sin72.9°?0.96,cos72.9°?0.29,tan72.9°?3.25)

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?河北衡水?期中)某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘.道閘關(guān)閉時(shí)，如圖1,四邊形

為矩形，長(zhǎng)3米，/D長(zhǎng)1米，點(diǎn)。距地面為0.2米.道閘打開的過(guò)程中，邊ND固定，連桿NB,CD

分別繞點(diǎn)N,D轉(zhuǎn)動(dòng),且邊3c始終與邊4。平行.

圖1圖2

⑴如圖2,當(dāng)?shù)篱l打開至ZADC=45°時(shí)，邊CD上一點(diǎn)P到地面的距離PE為1.2米,求點(diǎn)尸到MN的距離PF

的長(zhǎng).

(2)一輛轎車過(guò)道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米.當(dāng)?shù)篱l打開至/MX：=35。時(shí)，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請(qǐng)說(shuō)

明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.5736,cos35°?0.8192,tan35°?0.7002）

2.如圖⑴是一個(gè)晾衣架的實(shí)物圖，支架的基本圖形是菱形，是晾衣架的一個(gè)滑槽，點(diǎn)P在滑槽上、

下移動(dòng)時(shí)，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖（2）所示，已知每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均為20c%,且

AB=CD=CP=DM=20cm.

圖⑴

⑴當(dāng)點(diǎn)尸向下滑至點(diǎn)N處時(shí)，測(cè)得NDCE=600時(shí)

①求滑槽"N的長(zhǎng)度；

②此時(shí)點(diǎn)A到直線DP的距離是多少？

（2）當(dāng)點(diǎn)P向上滑至點(diǎn)/處時(shí)，點(diǎn)/在相對(duì)于⑴的情況下向左移動(dòng)的距離是多少？

（結(jié)果精確到0.01cm,參考數(shù)據(jù)&a1.414,6a1.732）

3.某景區(qū)草地上豎立著一個(gè)如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個(gè)近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）

所示的圖形，矩形FECG可由矩形/BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E在4。上，延長(zhǎng)ED交FG于點(diǎn)H.連接

BE,CH.

（1）判斷四邊形的形狀并給予證明；

（2）若點(diǎn)G在水平地面上，與水平地面平行，ZBCE=48°,AB=3cm,BC=4cm,求點(diǎn)A到水平地面的

距離.（結(jié)果精確到0.1m.）參考數(shù)據(jù)：

sin48°a0.75,cos48°~0.67,tan48°s1.11,cos24°?0.91,tan24°?0.45

4.圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長(zhǎng)廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2,并測(cè)得正

方形與正方形跖GH的面積相等，且Z3=100cm,CD〃砂，ZC￡)￡=140°,ZCGF=25°

⑴判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)求CG的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù)：sin25°?0.42,cos25°?0.91,tan25°?0.47)

壓軸題型六解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合

例題：(24-25九年級(jí)上?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí))如圖1是公交車的站臺(tái)，主要由頂棚、站牌、底座構(gòu)成.圖2

是其截面示意圖，站牌截面是矩形/BCD,邊4。平行于地面"V,邊CD垂直于地面MV,頂棚4E與站牌

上端的夾角功小=22。，底座CF與地面的夾角/CFM=60。.經(jīng)測(cè)量

/￡=195cm,4D=49cm,CD=166cm,CF=76cm.(結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù):

sin22°。0.374,cos22°?0.926,tan22°°0.404,73-1.73)

圖1

(1)求站牌邊緣點(diǎn)D與棚頂邊緣點(diǎn)E的水平距離;

(2)求棚頂邊緣點(diǎn)E到地面的距離.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期中）如圖1是一臺(tái)放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖2

所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊4。與鍵盤所在面的側(cè)邊2。長(zhǎng)均為24cm,點(diǎn)尸為眼睛所在位置,

。為49的中點(diǎn)，連接尸當(dāng)刊〃/O時(shí)，稱P點(diǎn)為“最佳視角點(diǎn)”，此時(shí)乙40c=120。，作尸CLO5,垂

足C在。8的延長(zhǎng)線上，且8C=12cm.

圖1

（1）求點(diǎn)。到08的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）求PC的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)021.414,1.732）

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑.如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)

驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽

象成右側(cè)示意圖，已知試管/2=24cm,BE=；AB,試管傾斜角448G為12。.（參考數(shù)據(jù)：sinl2°?0.21；

cosl2°?0.98）

（1）求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長(zhǎng)度；

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁延長(zhǎng)8M交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，且KNLC尸于點(diǎn)N（點(diǎn)C,D,N,

尸在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：DE=28cm,MN=Scm,ZABM=147°,求線段DN的長(zhǎng)度.

3.(2024?上海寶山?一模)如圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱04垂直地面08,支架8與。N

交于點(diǎn)A,支架CGLCD交。/于點(diǎn)G,支架平行地面OB,籃篋E尸與支架。E在同一直線上，

OA=2.5m,/D=0.8m,ZAGC=32°.

(1)求：/G/C的度數(shù).

(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上

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