2024年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽內(nèi)蒙古賽區(qū)初賽試卷（解析版）

2024年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽內(nèi)蒙古賽區(qū)初賽試卷（2024年5月19日，8:30~9:50）考生注意：1、本試卷共二個大題（11個小題），全卷滿分120分.2、用黑色的鋼筆或簽字筆作答.3、解題書寫不要超出裝訂線.4、不能使用計算器.一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）本題共有8小題，要求直接將答案寫在橫線上.1.集合的全部非空子集的元素和等于_________.【答案】272【解析】【分析】分析各元素出現(xiàn)的次數(shù)，進而可得結(jié)果.【詳解】集合的子集有以下情形；含有元素1的子集有個；含有元素2的子集有個；含有元素3的子集有個；含有元素5的子集有個；含有元素6的子集有個，所有子集的元素的和為．故答案為：272.2.設(shè)，，是實數(shù)，滿足，，，的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，求出，，根據(jù)韋達定理確定和是關(guān)于的方程：的兩個根，求出，又，構(gòu)造函數(shù)，，對函數(shù)求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)值域即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，即，所以，即，，又，所以由韋達定理得和是關(guān)于的方程：的兩個根，所以，整理有：，解得，又，所以，所以，，令，，，，令，解得或，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增；當時，，，，所以，，所以的取值范圍為.故答案為：.3.已知正三棱柱的側(cè)棱長為4，底面邊長為2，過點A的一個平面截此棱柱，與側(cè)棱，分別交于點，，若為直角三角形，則面積的最大值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，則由直角三角形可得，從而可得面積表達式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求最大值.【詳解】如圖，設(shè)，不妨設(shè)，則，即，整理得：，若，顯然不成立，可得，又因為，即，解得.設(shè)的面積為S，則，令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可知最大值是，所以.故答案為：.4.已知在中，，，則線段的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合外接圓可知：點在優(yōu)?。ú话ǘ它c）上，當線段過外接圓的圓心時，線段取到最大值，結(jié)合垂徑定理分析求解.【詳解】由題意可知：的外接圓半徑，則點在優(yōu)?。ú话ǘ它c）上，可知當線段過外接圓的圓心時，線段取到最大值，取的中點，連接，則，可得，所以線段的最大值為.故答案為：.5.從1，2，，11中任取三個不同的數(shù)，則這三個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)求所有的可能性，再求符合條件的可能，結(jié)合古典概型運算求解.【詳解】從1，2，，11中任取三個不同的數(shù)，則不同的組合有共有種，能構(gòu)成等差數(shù)列不同的組合的有種，所以這三個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為.故答案為：.6.是原點，橢圓，直線過且與橢圓交于A，兩點，則面積的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，利用韋達定理可得，換元，利用對勾函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可知：直線與橢圓必相交，且斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，因為直線所過定點在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓必有兩交點，則，可得，則面積，令，則，可得，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以面積的最大值為.故答案為：.7.數(shù)列中，，且對任意，，求的整數(shù)部分是__________.【答案】9【解析】【分析】由題意可證得數(shù)列是遞增數(shù)列，由，結(jié)合裂項相消法求出，再求出，即可得出答案.【詳解】由，可得：，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以，則，對于正整數(shù)，可得：，所以，所以，，，……，，所以，，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，，所以，故的整數(shù)部分是.故答案為：.8.已知關(guān)于的方程的三個復數(shù)根分別為，，，則的值為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，，，各式相乘，準確運算，即可求解.【詳解】因為關(guān)于的方程的三個復數(shù)根分別為，，，可得，且，由①②可得，因為，可得，即同理可得，，各式相乘得.故答案為：.二、解答題（本題滿分56分）9.已知雙曲線，直線與雙曲線的左右支分別相交于，兩點，雙曲線在，兩點處的切線相交于點，求面積的最小值.【答案】9【解析】【分析】聯(lián)立只需與雙曲線方程，結(jié)合已知得，由韋達定理、弦長公式得，結(jié)合切點弦的有關(guān)結(jié)論得出點的橫縱坐標為，進一步，從而可表示出的面積，結(jié)合導數(shù)即可求解.【詳解】設(shè)Ax1,y1,整理可得，由于與雙曲線左右兩支相交于兩點,于是有，由，可得，因此設(shè)Px0,y0,即為，故可得,,故,令，代入上式有,令,設(shè),則,當時，；當時，.故最大值為,因此三角形面積的最小值為.10.已知函數(shù).（1）當時，討論在上的極值.（2）若是的極小值點，求的取值范圍.【答案】（1）在上的極大值為，無極小值（2）【解析】【分析】（1）求導可得，構(gòu)建，利用導數(shù)分析的單調(diào)性和符號，即可得f'x的符號，進而可得的單調(diào)性和極值；（2）可知存在實數(shù)，使得在內(nèi)恒成立，構(gòu)建，則是y=fx的極小值點等價于是的極小值點，分類討論，分析的極值點即可.【小問1詳解】若，則，，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知當時，gx>0；當時，gx注意到當時，與f'x的符號性一致，即當時，f'x>0；當時，f可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上的極大值為，無極小值.小問2詳解】因為，對于函數(shù)，且，可知存在實數(shù)，使得在內(nèi)恒成立，構(gòu)建函數(shù)，可知當時，與y=fx符號相同，且，所以是y=fx的極小值點等價于是的極小值點，因為，則，構(gòu)建，則，①當，即時，則存在，使得φx在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知當時，；當時，；即當時，h'x>0；當時，h則hx在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可知是的極大值點，不合題意；②當，即時，則存在，使得φx在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知當時，；當時，；即當時，h'x<0；當時，h則hx在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知是的極小值點，符合題意；③當，即時，可知在R上恒成立，此時，則，當時，φ'x>0；當時，φ可知φx在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知在-1,1內(nèi)恒成立，即在-1,1內(nèi)恒成立，則hx在-1,1內(nèi)單調(diào)遞增，不為h綜上所述：的取值范圍是.11.設(shè)是一個給定的正整數(shù)，集合，求最大的正數(shù)，使得對任意正整數(shù)，，都存在集合的子集，滿足集合至少有個元素，且集合的任兩個元素，均有，.【答案】1【解析】【分析】把轉(zhuǎn)化成排列的一系列點，通過研究點每行的點的排列，求解c的最大值.【詳解】可以把看成在第行，