自動控制原理（7-4）學習資料

自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院第七章線性離散系統(tǒng)的分析7.1引言7.2信號的采樣與保持7.3z變換理論7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學模型7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差7.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

7.5

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差1.從s平面到z平面的映射關(guān)系由z變換的定義若令則有一、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性可見：虛軸映射為單位圓（實部為零）左半平面映射為單位圓內(nèi)（實部小于零）右半平面映射為單位圓外（實部大于零）s平面上虛軸在z平面上的映象系統(tǒng)的特征根為即為閉環(huán)傳遞函數(shù)極點2.z域的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性判據(jù)對于下圖所示的采樣控制系統(tǒng)，其特征方程式為結(jié)論：閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內(nèi)，或者所有根的模均小于1，即在分析連續(xù)系統(tǒng)時，曾應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的特征根位于s右半平面的個數(shù)，并依此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于采樣系統(tǒng)，也可用勞斯判據(jù)分析其穩(wěn)定性，但由于在z域中穩(wěn)定區(qū)域是單位圓內(nèi)，而不是左半平面，因此不能直接應(yīng)用勞斯判據(jù)。雙線性變換可建立z平面單位圓與變換后坐標系虛軸之間的對應(yīng)關(guān)系。

3.雙線性變換（w變換）則同時令可見，對于w平面上的虛軸，實部u=0，即—z平面上單位圓的方程令和單位圓內(nèi)x2+y2＜1，對應(yīng)于w平面上實部u為負數(shù)，即為w平面的左半平面；單位圓外x2+y2＞1，對應(yīng)于w平面上實部u為正數(shù)，即為w平面的右半平面?？梢姡x散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，由特征方程1+GH(z)=0的所有根位于z平面的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程1+GH(w)=0的根位于w平面的左半平面。因此，可以直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性——w域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。例7-20設(shè)采樣系統(tǒng)如下圖所示，采樣周期T=0.25s，求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：特征方程為：令，T=0.25s，代入上式得整理后得：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列各項大于零，因此得：勞斯表為：對于本例的二階系統(tǒng)，如果沒有采樣作用，則不論K取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；但引入采樣以后，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。4.采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益K、系統(tǒng)的零極點分布和傳輸延遲等因素。影響離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素，除與連續(xù)系統(tǒng)相同的因素外，還有采樣周期T的值。例7-21

設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如下圖所示，試求：

(1)當采樣周期T分別為1s和0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益Kc；

(2)當r(t)=1(t)，K=1，T分別為0.1s，1s，2s，4s時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(kT)。離散系統(tǒng)解

系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程：整理得：當T=1s時，有令z=(w+1)/(w－1)

，得w域特征方程根據(jù)勞斯判據(jù)，得Kc=2.4。當T=0.5s時，w域特征方程根據(jù)勞斯判據(jù)，得Kc=4.37?？梢姡蓸又芷跍p小，臨界開環(huán)增益增大。閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為當輸入r(t)=1(t)，即R(z)=z/(z－1)時，可求得C(z)表達式。令K=1，T分別為0.1s，1s，2s，4s，可由C(z)的反變換求出c(kT)，分別畫于下圖中。離散系統(tǒng)在不同采樣周期下的階躍響應(yīng)由例可見，K與T對離散系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：當采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；當開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)圖形式，所以誤差脈沖傳遞函數(shù)Φe(z)也給不出一般的計算公式。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。設(shè)單位反饋誤差采樣系統(tǒng)如下圖所示。系統(tǒng)采樣誤差信號的z變換函數(shù)為：二、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在離散系統(tǒng)中，也可把開環(huán)傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點數(shù)，作為劃分系統(tǒng)型別的標準。把G(z)中ν=0，1，2…的系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型（離散）系統(tǒng)等。在連續(xù)系統(tǒng)中，如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有ν個s=0的極點，則由z=eTs可知相應(yīng)G(z)必有ν個z=1的極點。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值：1.單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差式中稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。當系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)時，其z變換函數(shù)為：穩(wěn)態(tài)誤差為：對0型離散系統(tǒng)（沒有z=1的極點），則Kp≠∞，從而e(∞)≠0；對I型、II型以上的離散系統(tǒng)（有一個或一個以上z=1的極點），則Kp=∞，從而e(∞)=0。因此，在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差；I型或II型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似！2.單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。式中當系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t時，其z變換函數(shù)為：穩(wěn)態(tài)誤差為：對0型離散系統(tǒng)，則Kv=0，從而e(∞)=∞；對I型離散系統(tǒng)，則Kv≠∞，從而e(∞)≠0；對II型及II型以上的離散系統(tǒng)，則Kv=∞，從而e(∞)=0。因此，0型離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用；I型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下，在采樣瞬時存在速度誤差；II型或II型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時沒有速度誤差。3.單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。式中當系統(tǒng)輸入為單位加速度函數(shù)r(t)=t2/2時，其z變換函數(shù)為：穩(wěn)態(tài)誤差為：對于0型及I型離散系統(tǒng)，Ka=0，從而e(∞)=∞；II型離散系統(tǒng)的為Ka≠∞

，從而e(∞)≠0；

III型及III型以上系統(tǒng)的，Ka=∞，從而e(∞)=0。

0型及I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)作用；II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下存在加速度誤差，只有III型及III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下，才不存在采樣瞬時的加速度誤差。系統(tǒng)型別位置誤差r(t)=1(t)速度誤差r(t)=t加速度誤差r(t)=t2/20型1/Kp∞∞Ⅰ型0T/Kv∞Ⅱ型00T2/KaⅢ型000單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差采樣周期為0.2s，求在輸入信號r(t)=1+t+t2(t>0)的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例7-22已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示，其中采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：解采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：w域的閉環(huán)特征方程為：可見，該離散系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，在輸入r(t)=1+t+t2作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為在階躍和斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為7.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析在已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)情況下，應(yīng)用z變換法分析系統(tǒng)動態(tài)性能時，通常假定外作用為單位階躍函數(shù)1(t)。如果可以求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z－1)，則系統(tǒng)輸出量的z變換函數(shù)：一、離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)將上式展成冪級數(shù)，通過z反變換可以求出輸出信號的脈沖序列c*(t)。由于離散系統(tǒng)時域指標的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線c*(t)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。如果無法求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)，但由于R(z)是已知的，且C(z)的表達式總是可以寫出的。例7-23

設(shè)采樣系統(tǒng)如下圖所示，采樣周期T=0.1s，大致繪出系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。

解閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為用長除法得

輸出信號的脈沖序列將c*(t)在各采樣時刻的值用“*”標于圖上，光滑地連接圖中各點，便得到了系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線c(t)的大致波形。由該波形曲線可得，注意：由于離散系統(tǒng)的時域性能指標只能按采樣周期整數(shù)倍采樣值來計算，所以是近似的。二、采樣器和保持器對動態(tài)性能的影響例7-24

設(shè)采樣系統(tǒng)如下圖所示，采樣周期T=1s，K=1，試分析采樣器和保持器對系統(tǒng)性能的影響。

解：(1)如果沒有采樣器和零階保持器，則成為連續(xù)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：單位階躍響應(yīng)為：(2)只有采樣器而沒有零階保持器，則系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：相應(yīng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：代入R(z)=z/(z－1)，得系統(tǒng)輸出z變換：(3)既有采樣器又有零階保持器，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：代入R(z)=z/(z－1)，得系統(tǒng)輸出z變換：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：連續(xù)與離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線曲線1為連續(xù)系統(tǒng)；曲線2為只有采樣器而無保持器的離散系統(tǒng)；曲線3為既有采樣器又有保持器的離散系統(tǒng)。上圖中：系統(tǒng)類型時域指標連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)（只有采樣器）離散系統(tǒng)（有采樣器和保持器）峰值時間/s3.63.04.0調(diào)節(jié)時間/s5.35.012超調(diào)量/%16.320.740.0振蕩次數(shù)0.50.51.5連續(xù)與離散系統(tǒng)的時域指標采樣器可使系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)節(jié)時間略有減小，但超調(diào)量增大，故采樣造成的信息損失會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。然而，在某些情況下，例如在具有大延遲的系統(tǒng)中，誤差采樣反而會提高系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。零階保持器使系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)節(jié)時間都加長，超調(diào)量和振蕩次數(shù)也增加。這是因為除了采樣造成的不穩(wěn)定因素外，零階保持器的相角滯后降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。可見，采樣器和保持器對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響有：三、閉環(huán)極點與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：式中，zi(i=1,2,…,m)為Φ(z)的零點；pk

(k=1,2,…,n)為Φ(z)的極點。當r(t)=1(t)時；離散系統(tǒng)輸出的z變換將C(z)/z展開成部分分式，有式中常數(shù)于是上式中等號右端第一項的z反變換為M(1)/D(1)是c*(t)的穩(wěn)態(tài)分量；第二項的z反變換為c*(t)瞬態(tài)分量。1.正實軸上的閉環(huán)單極點設(shè)pk為正實數(shù)，pk對應(yīng)的瞬態(tài)分量求z反變換得若令，則若pk>1，閉環(huán)單極點位于z平面上單位圓外的正實軸上，有a>0，故動態(tài)響應(yīng)ck(nT)是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的脈沖序列；若pk=1，閉環(huán)單極點位于z平面上單位圓周上，有a=0，故動態(tài)響應(yīng)ck(nT)=ck，為等幅脈沖序列；若0<pk<1，閉環(huán)單極點位于z平面上單位圓內(nèi)的正實軸上，有a<0，故動態(tài)響應(yīng)ck(nT)是按指數(shù)規(guī)律收斂的脈沖序列，且pk越接近原點，|a|越大，ck(nT)衰減越快。若pk<－1，閉環(huán)單極點位于z平面上單位圓外的負實軸上，則動態(tài)響應(yīng)ck(nT)為交替變號的發(fā)散脈沖序列；若pk=－1，閉環(huán)單極點位于z平面上單位圓周上，ck(nT)為交替變號的等幅脈沖序列；若－1<pk<0，閉環(huán)單極點位于z平面上單位圓內(nèi)的負實軸上，ck(nT)為