中考數(shù)學專項復習提升：分式（講義2考點+2命題點8種題型（含4種解題技巧））（原卷版）

第一章數(shù)與式

第03講分式

（思維導圖+2考點+2命題點8種題型（含4種解題技巧））

01考情透視?目標導航??題型02分式值為0的條件

02知識導圖?思維引航命題點二分式的運算

03考點突破?考法探究??題型01分式的運算

考點一分式及其性質＞題型02判斷分式運算的錯誤步驟

考點二分式的運算＞題型03分式的化簡求值

04題型精研?考向洞悉??題型04分式運算的應用

命題點一分式及其性質??題型05分式的規(guī)律探究

A題型01分式有、無意義的條件＞題型06與分式運算有關的新定義問題

考情透視?目標導航

中考考點考有頻率新課標要求

分式的相關概念★了解分式和最簡分式的概念.

分式的基本性質★★能利用分式的基本性質進行約分與通分.

分式的化簡及求值★★★能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.

【考情分析】本考點主要考查分式的化簡和求值，考查形式多樣，其中分式的考查以解答題為主，難度一

般.解分式化簡、求值問題時，一要注意整體思想的應用，二要注意解題技巧（分母為多項式時，先分解因

式，進行約分，再計算），三要注意代入的值要使分式有意義.

知識導圖?思維引航

分式的值不變/一--------\[分子、分母的符號

一^（改變其中任何兩個）\----------------1?符號法則

K------------------'[分式本身的符號卜=--------

除法與乘法是同級運算，除法可以轉化為乘法

它們的混合運算不滿足結合律，要按從左到右的順序進行

定義整式A和B

或犯e除法轉化為乘法后懿合?運算B中有字母且不等于0

相關概念最簡分式分子與分母沒有公因式

例:4+/。=4電"="6工47+（J9）

各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)

最簡公分母I----------------------

—七’-----所有字母因式的最高次幕的積

1_11

M（n+l）-n-n+l曲裂項

同時|~~

學

知「基本性質分子^5?母I—L

法

識"相同非。整式

指

梳

導

找出分子和分母的公因式約分的關鍵理同分母分式分母不變分子相加減

-------------------------------------1約分與通分

確定幾個分式的最簡公分母通分的關鍵----------------------1異加分式先通分

、分子相乘作積的分子（（'

運用分式的基本性質時，要注意同乘（或除以）一個不等于0的整式

——?分母相乘彳傍的分母化為毒簡分式,

不能區(qū)分分式何時有意義,無型尊值為q

約分孰底，使?jié)遂泄蚴椒质降倪\算運算

除法顛倒除式的分子、分母與被除式相乘

確定幾個分式的最簡公分母時，不要遺漏只在一個分式的分母中出現(xiàn)的

字母及其指教乘方分子、分母分別乘方

先乘方，再球，最后加減

★混合運算有括號時，先進行括號內的運算

同級運算，按照從左到右的“腑進行

考點突破?考法探究

考點一分式及其性質

1.分式及其性質

A

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子片叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.

2.分式有意義、無意義或值為0的條件

對于分式A/B來說條件

分式有意義分母不等于零，即BW0

分式無意義分母等于零，即B=0

分式值為0A=0且BW0

注意：分式的值是在分式有意義的前提下考慮的.

3.分式的基本性質

分式的基本性質：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

AAA—c

字母表示：2=2士或2=9,其中A,B,C是整式且B?CWO.

BB?CBB+C

分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變.

【補充】改變其中一個或三個，分式變?yōu)樵质降南喾磾?shù).

【易錯易混】運用分式的基本性質時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；

②隱含條件：分式的分母不等于0.

4.分式的約分

分式的約分:根據分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式

的約分.

最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

【補充說明】約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式,約分要徹

底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.

5.分式的通分

分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一

過程叫做分式的通分.

最簡公分母：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次累的積作為公分母，這樣的分母叫

做最簡公分母.在確定幾個分式的最簡公分母時，不要遺漏只在一個分式的分母中出現(xiàn)的字母及其指數(shù).

確定最簡公分母的方法：

1）分母為單項式:①取單項式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；

②取單項式中每個字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡公分母中該字母的次數(shù).

2）分母為多項式:①對每個分母進行因式分解；

②找出每個出現(xiàn)的因式的最高次基,它們的積為最簡公分母；

③若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).

針對訓練

1.（2022.湖南懷化.中考真題）代數(shù)式》，工，義，x2-1，歿中，屬于分式的有（）

5nxz+43xx+2

A.2個B.3個C.4個D.5個

a2-5a/、

2.（2023?甘肅蘭州?中考真題）計算:

Q—5

A.a—5B.a+5C.5D.a

3.（2024?四川雅安?中考真題）已知？+《=l（a+b40）.則弋=（）

aba+b

1

A.-B.1C.2D.3

2

4.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)、=高+圭中，自變量工的取值范圍是.

5.（2023?四川南充?中考真題）若分式二的值為0,貝卜=

x-2

考點二分式的運算

1.分式的加減法

hch+c

1）同分母分式相加減：分母不變，把分子相加減；符號表示為：一±—二=^

aaa

2）異分母分式相加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p；符號表示為：b±c=bd±ac

adad

2.分式的乘除法

1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即？h?上c二上be.

adad

2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即2+￡=2?°=也.

adacac

3）分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，即［色］=—（n為正整數(shù)，bWO）

IbJb"

3.分式的混合運算

運算順序：分式的混合運算順序與實數(shù)類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，先進行括號內的

運算；同級運算，按照從左到右的順序進行.

針對訓練

1.（2024.四川雅安.中考真題）計算（1—3）。的結果是（）

A.-2B.0C.1D.4

2.（2024?河北?中考真題）已知A為整式，若計算;——的結果為貝田=（）

%y+yxz+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x—y

3.（2024.黑龍江大慶.中考真題）已知a+二=逐，則（^+與的值是

4.（2024.北京?中考真題）已知。-6-1=0,求代數(shù)式的值.

az-2ab+bz

5.（2024?黑龍江大慶?中考真題）先化簡，再求值：（1+。）——三，其中x=-2.

\x-37xz-6x+9

題型精研?考向洞悉I

命題點一分式及其性質

A題型01分式有、無意義的條件

方法技巧

對于分式A/B來說條件

分式有意義分母不等于零，即BW0

分式無意義分母等于零，即B=0

1.（2023?湖北黃石?中考真題）函數(shù)y=與的自變量x的取值范圍是（）

A.%>0B.%W1C.%N0且%H1D.x>l

2.（2024.安徽.中考真題）若代數(shù)式二有意義，則實數(shù)久的取值范圍是.

3.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）在函數(shù)y=鬃中，自變量x的取值范圍是.

4.（21-22八年級下?廣東佛山?階段練習）當x=1時，分式等無意義；當％=4時分式的值為0,貝卜6+n）2012

的值是.

＞題型02分式值為0的條件

方法技巧

對于分式A/B來說條件

分式值為0A=0且B#0

注意：分式的值是在分式有意義的前提下考慮的.

2

1.（2023?四川涼山?中考真題）分式一的值為0,貝k的值是（）

X-1

A.0B.-1C.1D?0或1

2.（2021.四川雅安.中考真題）若分式中的值等于0,則x的值為（）

X-1

A.-1B.0C.1D.±1

3.（2021.江蘇揚州.中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）

A.x+1B./—1C.—D.(%+1)2

x+l'/

4.(2024.山東濟南.中考真題)若分式?的值為0,貝k的值是

2x

命題點二分式的運算

A題型01分式的運算

:方法技巧

相關公式：1）匕￡=巫bebd±acc、bcbe

2)一±—=-------3)一?一二—

aaaadadadad

.bcbdbd5)(31=—(n為正整數(shù)，bWO)

）；二一?一二—

4————n

adacacIbJb

混合運算順序：分式的混合運算順序與實數(shù)類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，先進行括號

內的運算；同級運算，按照從左到右的順序進行.

1.（2024?河北?中考真題）已知A為整式，若計算;—-的結果為七匕貝"=（）

%y+yx^+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

2.（2024?江蘇揚州?中考真題）（1）計算：|7r-3|+2sin30°-（V5-2）0；

（2）化簡：-2）.

3.（2024.四川瀘州?中考真題）化簡：停+X-2y）+《

4.（2024.廣東廣州.中考真題）關于久的方程/一2久+4-6=0有兩個不等的實數(shù)根.

（1）求TH的取值范圍;

1-m2m-1m-3

（2）化簡:

\m-3\2m+1

5.（2023?江西?中考真題）化簡（喜+￡）?寧.下面是甲、乙兩同學的部分運算過程:

解：原式=1x(x-l)+x(x+l)

(x+l)(x-l)(x-l)(x+l).X

甲同學

解：原式=三?三1+三?日二

x+1Xx-1X9

乙同學

（1）甲同學解法的依據是,乙同學解法的依據是；（填序號）

①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律.

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

＞題型02判斷分式運算的錯誤步驟

方法技巧）

常見錯誤類型:

hhhbb

1）錯在顛倒運算順序，例如：一+-一）=—+Q-—+—,錯誤原因：運算順序錯誤，應先算括號里的,

aaaaa

再算括號外的.

加2

2）錯在去分母，例如：m-1----（--7-7--z--l）（/?+l）-m2=-l,錯誤原因：上述解法把分式通分與解方

m+1

程混淆，要注意分式計算式等式代換，不能去分母.

3）錯在符號變化，例如：+2==加+2）

W4-1W+lW+1W+1n?+lWJ+1

,錯誤原因：去括號時沒有注意前面的符號.

1.（2024?四川樂山?中考真題）先化簡,再求值：目-￡,其中尤=3.小樂同學的計算過程如下:

解.2x1=2%1①

用牛：7,

x2-4x-2(x+2)(x-2)xW

_2x%+2⑨

/、/....

~(x+2)(x-2)(%+2)(%-2)

_2x-x+2

..③

(x+2)(x—2)

_x+2..④

(%+2)(%—2)

=—...?

x-2

當久=3時，原式=1.

（1）小樂同學的解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯誤;

⑵請幫助小樂同學寫出正確的解答過程.

2.（2024?江蘇連云港.中考真題）下面是某同學計算看一高的解題過程:

解：土2m+12

m2-l(7n+l)(7n-l)(m+l)(m-l)

=(m+1)-2②

=m-1③

上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出完整的正確解題過程.

3.12。23?內蒙古通遼?中考真題）以下是某同學化簡分式一+1一中）的部分運算過程:

解：原式=T+a—二+些土.......第一步

CLCLCL

a-b1a-ba第二步

aaa2ab-b2

a-ba-b第三步

a22ab-b2

（1）上面的運算過程中第步開始出現(xiàn)了錯誤；

（2）請你寫出完整的解答過程.

4.（2023?山東臨沂?中考真題）（1）解不等式5-2尤＜言，并在數(shù)軸上表示解集.

（2）下面是某同學計算仁-a-1的解題過程：

a-1

解：--a-1

CL—1

Cl—1Q—1

=小一（即1）2②

CL—1

a2-a2+a-l否

a-1

a-1

1④

a-1

上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程.

＞題型03分式的化簡求值

方法技巧

1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，

代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2）若題干中明確給出字母的數(shù)值，通常選用直接代入法.

3）若題干中未明確給出字母的數(shù)值，可考慮使用整體代入法.

1.（2024?江蘇蘇州?中考真題）先化簡，再求值：（若暮.其中尤=—3.

2.（2024.湖南.中考真題）先化簡，再求值：^-―+-,其中x=3.

*x+2x

3.（2024?四川廣安?中考真題）先化簡（a+1—三）+2空，再從-2,0,1,2中選取一個適合的數(shù)代入

求值.

4.（2024?山東淄博.中考真題）化簡分式：事市+胃,并求值（請從小宇和小麗的對話中確定a，b的

b是大于1且小

于石的整數(shù)。

小麗

5.（2024?山東煙臺?中考真題）利用課本上的計算器進行計算,按鍵順序如下:

若zn是其顯示結果的平方根，先化簡：（」）+誓9）+匕警，再求值.

\rn-39-m2/m+3

6.（2023?山東濱州?中考真題）先化簡，再求值:史等---三一），其中a滿足a?—仁尸.a+6cos600=

a\a2-2aa2-4a+4/\4/

0.

＞題型04分式運算的應用

1.（2024濠江區(qū)一模）閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還

可以應用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：/+y3=（X+y）（%2—+y2）.

立方差公式：%3—y3=（%—y）（x2++y2）.

根據材料和已學知識解決下列問題

(1)因式分解：a3-8；

3xX2+2X+4'

(2)先化簡，再求值:島，其中久=3.

.X2-2XX3-8

2.(2022?湖北鄂州?一模)若三個實數(shù)x,y,z滿足孫z豐0,且x+y+z=0,則有：J妥+京+*=|1+^+||

(結論不需要證明)

19

例如:++專=聆+專+旨=ll+l+^y

30

根據以上閱讀，請解決下列問題:

【基礎訓練】

(1)求+q+q的值；

【能力提升】

(2)設S=J1+1+1+J1+J+1+…+小+短+高'求$的整數(shù)部分?

【拓展升華】

當生+/+/+F—工―工|取得最小值時，

(3)已知％+y+z=0(xyzH0,x>0),其中，且y+z=3yz.zzz

AIxyzlxyz\

求X的取值范圍.

3.(2023?江蘇鹽城?中考真題)課堂上，老師提出了下面的問題:

已知3a>b>0,M=-,N=—,試比較M與N的大小.

bb+3

小華：整式的大小比較可采用“作差法”.

老師：比較/+1與2x-1的大小.

小華：(x2+1)—(2%-1)=x2+1—2%+1=(%—I)2+1>0,

.".%2+1>2%—1.

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？

(1)請用“作差法”完成老師提出的問題.

(2)比較大?。?(填“>”"=”或“<”)

6865

4.(2024.內蒙古?中考真題)某研究人員對分別種植在兩塊試驗田中的“豐收1號”和“豐收2號”兩種小麥進

行研究，兩塊試驗田共產糧1000kg,種植“豐收1號”小麥的試驗田產糧量比種植“豐收2號”小麥的試驗田

產糧量的1.2倍少100kg,其中“豐收1號”小麥種植在邊長為am(a>1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方

形蓄水池后余下的試驗田中，“豐收2號”小麥種植在邊長為(a-l)m的正方形試驗田中.

(a-l)m

(1)請分別求出種植“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥兩塊試驗田的產糧量；

(2)哪種小麥的單位面積產量高？高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍?

＞題型05分式的規(guī)律探究

1

1.(2023?湖北恩施?一模)對于正數(shù)X,規(guī)定/(X)=捻,例如:/⑵=*=|,-3)=總=|,/(￡)=W=±

十2

1

/(1)=於=[…利用以上的規(guī)律計算：f(急)+/(急)+/(嘉)+…+/G)+/⑴+/⑵+■?-+

3

/(2021)+/(2022)+/(2023)=.

2.(2022.浙江舟山.中考真題)觀察下面的等式：|=1+；=；；=；+去，……

23634124520

(1)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論(用含”的等式表示，”為正整數(shù))

(2)請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的.

3.(2021.安徽合肥?一模)觀察以下等式：

第1個等式：乙―^=工第2個等式：三―^=工

31X2X3282X3X43

第3個等式:411第4個等式：11

153X4X54244X5X65

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含”的等式表示)，并證明.

4.(2020?安徽?中考真題)觀察以下等式：

第1個等式：|x(l+g=2-1

第2個等式：|x(1+|)=2-1

第3個等式：jx(l+|)=2-|

第4個等式：：義(1+：)=2-：

6\4/4

第5個等式：^x(l+|)=2-|

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

（1）寫出第6個等式；

（2）寫出你猜想的第九個等式：_（用含n的等式表示），并證明.

5.（2023?山東青島?模擬預測）閱讀下列相關的兩段材料，根據材料反映的規(guī)律完成后面的填空題.

設力是正整數(shù)，

材料1：

=1

_1_2_1

&=T+2=273=3

_1_2_1

%=1+2+3=3x4=6

121

%=1+2+3+4=4x5=10

問題：（1）用含九的代數(shù)式表示即=（寫最簡結果）

材料2：Si=的=1

211111114

$2=1+7；-----=2(------+-----)=2(-77+二—二)=2(1—―■)=~■

2122x311x22x3，,1223，,373

22111

So=%+劭+=1+------+------=2(-----—+-----