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文檔簡介
幾何作圖
一、基本作圖:
⑴作一條線段等于已知線段,以及線段得和、差(2)作一個角等于已知角,以及角得和、差、
1、已知線段a,畫一條線段CD等于a2、已知Na,求作/AOB=/oc
a
(3)作一個角得平分線(4)作一條線段得垂直平分線、(5)過一點作已知直線得垂
線、
3.已知/AOB,求作/AOB得4、已知線段AB,求作線段AB5、已知直線AB和直線外
一點C
平分線OC、得中垂線過點c作直線
AB得垂線
ABAB
⑴已知三邊作三角形、(2)已知兩邊及其夾角作三角形、
(3)已知兩角及其夾邊作三角形、(4)已知底邊及底邊上得高作等腰三角形、
(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形、
4、與圓有關(guān)得尺規(guī)作圖:
⑴過不在同一直線上得三點作圓(即三角形得外接圓)、(2)作三角形得內(nèi)切圓、
(3)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形
題型一應(yīng)用角平分線、線段中垂線得性質(zhì)作圖
【例1】(2016?衢州)如圖,已知80就就是矩形ABCD得對甭線、AD
(1)用直尺和圓規(guī)作線段8。得垂直平分線,分別交力。,8。于點石,尸(保留作圖/
痕跡,不寫作法和證明)、上/
BC.
(2)連結(jié)BE,Da問:四邊形8即產(chǎn)就就是什么四邊形?請說明理由、
題型二作三甭形
【例2】(2014?無錫)⑴如圖①,在中,/方=90°,4B=28G現(xiàn)以點。為圓心,長為
半徑畫弧交邊NC于點0,再以點/為圓心,/。長為c
半徑畫弧交邊于點石、求證:錯誤!=錯誤!(這四/
個比懂錯誤!未定義書簽。叫做黃金比)、
AEBAE
2)如果一個等腰三角形得底邊與腰得比等于黃金…
①②
比,那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形、請您
以圖②中得線段/方為腰,用直尺和圓規(guī),作一個黃金三角形ABC.
(注:作圖不要求寫作法,但要求保留作圖痕跡,并對作圖中涉及得點用字母進行標注、)
題型三通過畫圖確定圓心
【例3】(2016?南京)如圖,在口/反力中,石就就是上一點,延長CE
到點區(qū)使/凡?C=/LDCE,
⑴求證:ZZ?=ZK
(2)用直尺和圓規(guī)在/。上作出一點P,使△SPCsACQR保留作圖痕跡,不寫作法)、
題型四利用基本作圖進行方案設(shè)計
【例4】某小區(qū)現(xiàn)有一塊等腰直甭三角形形狀得綠地,腰長為100m,直甭頂點為/、小區(qū)物業(yè)管委
會準備把她分割成面積相等得兩塊,有如下得分割方法:
方法一:在底邊BC上找一點。,連結(jié)AD作為分割線;
方法二:在腰/C上找一點。,連結(jié)8。作為分割線;
方法三:在腰/右上找一點。,作DEHBC,交AC于點
凡。石作為分割線;
方法三
方法四:以頂點/為圓心/。為半徑作弧,交AB于點D,
交/C于點區(qū)錯誤!作為分割線、這些分割方法中分割線最短得就就是()
A、方法一B、方法二C、方法三D、方法四
題型五利用網(wǎng)格進行作圖
【例5】、(2016?黑龍江哈爾濱?7分)圖1、圖2
就就是兩張形狀和大小完全相同得方格紙,方格
紙中每個小正方形得邊長均為1,線段/C得兩個
端點均在小正方形得頂點上、
⑴如圖1,點尸在小正方形得頂點上,在圖1中作
出點P關(guān)于直線/C得對稱點Q連接AQ.QC.
CP、并直接寫出四邊形NOCP得周長;
(2)在圖2中畫出一個以線段4。為對角線、面積為6得矩形48CD,且點8和點。均在小正方形
得頂點上、
基礎(chǔ)鞏固題組
—、選擇題
1、(2015-福州)如圖,QO分別就就是線段/瓦得中點,分別以點為圓心,8。長為半徑畫
弧,兩弧交于點M測量得度數(shù),結(jié)果為()??:___________?
AncB
A、80°B、90°C100°D、105°
2、(2015?深圳)如圖,已知△/SG/Sv8G用尺規(guī)作圖得方法在8。上取一點2使得=8
C,則下列選項正確得就就是()
錯誤!錯誤!錯誤!未定義書簽。
錯誤!
3、(2015?衢州)數(shù)學(xué)課上,老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△/3C,使其斜邊48=c,一條直角邊8。=。、
小明得作法如圖所示,您認為這種作法中判斷/4CB就就是直角得依據(jù)就就是()
A、勾股定理B、直徑所對得圓周角就就是直
角
C、勾股定理得逆定理D、90°得圓周角所對得弦就就是直
徑
4、(2016?河北)如圖,已知鈍角△/瓦;依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡、
步驟1:以。為圓心,G4為半徑畫?、伲?/p>
步驟2:以8為圓心,8/為半徑畫?、?交弧①于點D-,
步驟3:連接49,交8。延長線于點〃、
下列敘述正確得就就是()
A、8H垂直平分線段。B、平分
C、S^AB(^BC-AHD、AB-AD
5、(2016?麗水)用直尺和圓規(guī)作斜邊48上得高線CD,以下四個作圖中,作法錯誤得
就就是()
錯誤!錯誤!未定義書簽。
錯誤!錯誤!未定義書簽。
二、填空題
6、(2016-吉林)如圖,已知線段分別以點/和點8為圓心,大于錯誤!得長為
半徑作弧,兩弧相交于C、。兩點,作直線CD交于點已在直線8上任取一
點£連接FA,FB、若上4=5,則FB=
7、(2015?濰坊)如圖,在△48C中,/。平分NH4G按如下步驟作圖:
1
第一步,分別以點/、。為圓心,以大于于4。得長為半徑在/。兩側(cè)作弧,交
于兩點題N;
第二步,連接人川分別交/8、于點區(qū)F-
第三步,連接。石、DF、
若8。=6/乒4,。。=3,則8石得長就就是、
8、(2016?深圳)如圖,在口718co中,力矢3,方。=5,以點8為圓心,
以任意長為半徑作弧,分別交加、BC于點、P、Q,再分別以P、Q
為圓心,以大于\f(1,2)00得長為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于
點M連接8M并延長交/。于點石則。石得長為_
9、(2015?北京)閱讀下面材料:尺規(guī)作圖:作一條線段得垂直平分線、
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:已知:線段48、
小蕓得作法如下:
力1--------------------1月
求作:線段48得垂直平分線、
如圖,
(1)分別以點/和點8為圓心,大于得長為半徑作弧,兩弧相交于G。兩點;
(2)作直線CD、
所以直線CD就就就是所求作得線段得垂直平分線、
老師說:“小蕓得作法正確、”
請回答:小蕓得作圖依據(jù)就就是—一________________
三、解答題
10>(2016?陜西)如圖,已知△N8C,/歷10=90°,請用尺規(guī)過點/4
使其將△/8C分成兩個相似得三角形(保留作圖痕跡,不寫作法)、
11、(2016?達州)如圖,在口488中,已知40/8、
(1)實踐與操作:作ZBAD得平分線交BC于點已在上截取/F=AB,
連接石尸(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
⑵猜想并證明:猜想四邊形4右及F得形狀,并給予證明、
12、已知中,/』=25°,2,0=40°、
(1)求作:。。,使得。。經(jīng)過/、C兩點,且圓心。落在邊上(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必
寫作法);
(2)求證:BC就就是⑴中所作OO得切線、
An
13、(2014?江西,第17題6分)已知梯形/SCO,請使用無刻度直尺畫圖。
(1)在圖1中畫一個與梯形/BCD面積相等,且以CD為邊得三角形;
(2)在圖2中畫一個與梯形ABCD
面積相等,且以48為邊得平行四
邊形。
14、(2016-福建龍巖?12分)圖
1就就是某公交公司1路車從起點
站/站途經(jīng)8站和。站,最終到達終點站。站得格點站路線圖、(8X8得格點圖就就是由邊長為1
得小正方形組成)
圖1圖2圖3圖4
(1)求1路車從/站到。站所走得路程;
(2)在圖2、圖3和圖4得網(wǎng)格中各畫出一種從/站到。站得路線圖、(要求:①與圖1路線不同、路程
相同;②途中必須經(jīng)過兩個格點站;③所畫路線圖不重復(fù))
能力提升題組
15、(2016?陜西)如圖,在菱形ABCD中,LABC=G0°,AB=2,點、P
就就是這個菱形內(nèi)部或邊上得一點,若以點P、B、C為頂點得三甭形
就就是等腰三角形,則P、D(P、。兩點不重合)兩點間得最短距離為、
16、(2015?江西)。。為4力3。得外接圓,請僅用無
刻度得直尺,根據(jù)下列條件分別在圖1,圖2中畫出一
條弦,使這條弦將分成面積相等得兩部分(保
留作圖痕跡,不寫作法)、
(1)如圖\AC=BC\
(2)如圖2,直線/與。。相切與點。,且///BC、
17、(2015-廣州)如圖,/C就就是OO得直徑,點8在。。上,/月CS=
30°、
(1)利用尺規(guī)作。得平分線8。交/C于點£交OO于點。,連接
CD(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在⑴所作得圖形中,求石與△CDE得面積之比、
18、(2015-隨州)如圖,射線切。。于點/,連接P。、
⑴在尸。得上方作射線尸。,使/。尸。=/00/(用尺規(guī)在原圖中作,保留/、
痕跡,不寫作法),并證明:就就是。。得切線;(\
⑵在(1)得條件下,若。。切O。于點AB=AP=4,求A3得長、,
PN~
19>(2016?咸寧)如圖1,在平面直角坐標系xQ,中,點/得坐標為(0,1),取一點8@0),連接
作線段48得垂直平分線乙,過點右作x軸得垂線A,記4,/2得交點為P、
(1)當6=3時,在圖1中補全圖形(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)小慧多次取不同數(shù)值6,得出相應(yīng)得點石并把這些點用平滑得曲線連接起來,發(fā)現(xiàn):這些點P竟然
在一條曲線Z上!
①設(shè)點?得坐標為(x,y),試求y與x之間得關(guān)系式,并指出曲線£就就是哪種曲線;
②設(shè)點0到x軸,尸軸得距離分別為求4+力得范圍;當&+d諄8時,求點夕得坐標;
③將曲線工在直線了=2下方得部分沿直線產(chǎn)2y\y.
向上翻折,得到一條"W"形狀得新曲線,若直線
了=h+3與這條形狀得新曲線有4個交點,
直接寫出發(fā)得取值范圍、
答案
基礎(chǔ)鞏固題組
一、選擇題
1、(2015?福州)如圖,QO分別就就是線段/與,ZC得中點,分別以點為圓心,80長為半徑畫弧,
兩弧交于點M測量ZAMB得度數(shù),結(jié)果為()
????
ADCR
A、80°eB、90°
C、100°D、105°
解析,由作圖可知,點〃在以/8為直徑得。。上,
...根據(jù)直徑所對得圓周角就就是直甭得性質(zhì)得/4/3=90°、
答案B
2、(2015?深圳)如圖,已知△/8C,48V8C,用尺規(guī)作圖得方法在8。上取一點£使得R4+A*
萬。則下列選項正確得就就是()
錯誤!錯誤!未定義書簽。錯誤!
錯誤!未定義書簽。
答案D
3、(2015?衢州)數(shù)學(xué)課上,老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫,使其斜邊48=c,一條直角邊BC=a、
小明得作法如圖所示,您認為這種作法中判斷//C8就就是直角得依據(jù)就就是()
A、勾股定理
B、直徑所對得圓周角就就是直甭
C、勾股定理得逆定理
D、90°得圓周角所對得弦就就是直徑
解析小明得作法就就是:①取力8=6作48得垂直平分線交幺8于點。;②以點。為圓心,。右長
為半徑畫圓;③以點6為圓心,a長為半徑畫弧,與。O交于點G④連接8G/C,則即為所
求、從以上作法可知,N/C8就就是直角得依據(jù)就就是:直徑所對得圓周角就就是直角、
答案B
4、(2016-河北)如圖,已知鈍角△/8C;依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡、
步驟1:以。為圓心,G4為半徑畫?、?;
步驟2:以8為圓心,2/為半徑畫?、?,交弧①于點幺
步驟3:連接AD,交8。延長線于點〃、
下列敘述正確得就就是()
A、8H垂直平分線段40。B、/C平分/8/Z?
C、S^ABC=BC-AHsD、AB=AD
解析4D相當于一個弦,BHLAD,CHLAD故B、D兩項不一定正確;C項面積應(yīng)除以2、
答案A
5、(2016'麗水)用直尺和圓規(guī)作斜邊力8上得高線CD,以下四個作圖中,作法錯誤得就就
是()
錯誤!錯誤!錯誤!未定義書簽。
錯誤!
解析A、根據(jù)垂徑定理作圖得方法可知,CD就就是RtZ\/8C斜邊45上得高線,不符合題意;
B、根據(jù)直徑所對得圓周角就就是直角得方法可知,8就就是RtZk/8C斜邊48上得高線,不符合
題意;
C、根據(jù)相交兩圓得公共弦得性質(zhì)可知,CD就就是Rt△/2。斜邊上得高線,不符合題意;
D、無法證明8就就是RtZX/SC斜邊48上得高線,符合題意、
答案D
二、填空題
6、(2016?吉林)如圖,已知線段以8,分別以點4和點8為圓心,大于\f(l,2)幺8得長為半徑作弧,兩弧
相交于G。兩點,作直線CD交于點£在直線CD上任取一點凡連接兄4,FB、若R4=5,
則FB=、
解析由題意可知,直線CD就就是線段48得垂直平分線,
1.點尸在直線CD上,:.FB=FA=5,
答案5
7、(2015?濰坊)如圖,在△48。中/。平分/區(qū)4G按如下步驟作圖:
第一步,分別以點/、。為圓心,以大于'f(1,2)4D得長為半徑在兩側(cè)作弧,交于兩點M、
N;
第二步,連接肱V分別交/3、/C于點石、F-
第三步,連接。區(qū)DF、
若BD=6/F=4,CD=3,則迎得長就就是
B
M
解析-.■根據(jù)作法可知:川TV就就是線段AD得垂直平分線,
:.AE=DE,AF=■DF,:.£EAD=^EDA,
,.2。平分/血&二/8/仄/CAD,
:.AEDA=ACAD,:.DEHAC,
同理可得,。F///E,
四邊形AEDF就就是菱形,
:.AE=DE=DF=AF,
-:AF=4,:.AE=DE=DF=/尸=4,
???0>4///&.??錯誤!未定義書簽。=錯誤!未定義書簽。,
,:BD=6旌=4,CD=3,
二錯誤!=錯誤!,二8萬=8、
答案8
8、(2016?深圳)如圖,在口48。。中,人廬3,8。=5,以點方為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交BA,
8。于點RQ再分別以。、Q為圓心,以大于錯誤!未定義書簽。尸Q得長為半徑作弧,兩弧在//8C
內(nèi)交于點M,連接3并延長交40于點旦則DE得長為—―、
解析根據(jù)作法可知:3石平分/4BG
/.ZABE=ACBE,
...四邊形/SCO就就是平行四邊形,
:.ADHBC,AD=BC=5,
:.AAEB=ACBE,:.AABE=AAEB,
.'.AE=AB=?>,DE=AD-AE=E>—3=2,
答案2
9、(2015?北京)閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
尺規(guī)作圖:作一條線段得垂直平分線、
已知:線段AB^
-------------1R
求作:線段得垂直平分線、
小蕓得作法如下:
如圖,
⑴分別以點/和點8為圓心,大于48得長為半徑作弧,兩弧相交于C、。兩點;
(2)作直線CD、
所以直線CD就就就是所求作得線段得垂直平分線、
老師說:“小蕓得作法正確、”
請回答:小蕓得作圖依據(jù)就就是___________________________________________________________
答案到線段兩個端點距離相等得點在線段得垂直平分線上;兩點確定一條直線
三、解答題
10、(2016-陜西)如圖,已知△/8C,Z5/。=90°,請用尺規(guī)過點/作一條直線,使其將
。分成兩個相似得三甭形(保留作圖痕跡,不寫作法)、
解過點/作40,8。于點。,利用等角得余角相等可得到/必0=NG則可判斷△/即與
△CLD相似、作圖如下圖所示、
11、(2016?達州)如圖,在口ABCD中,已知
(1)實踐與操作:作/歷1。得平分線交8C于點E,在上截取4產(chǎn)=/8,連接跖要求:尺規(guī)作
圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)猜想并證明:猜想四邊形石尸得形狀,并給予證明、
解(1)作圖如圖所示:
(2)四邊形48E產(chǎn)就就是菱形,理由如下:
四邊形ABCD就就是平行四邊形,
ADHBC,:.ADAE=£AEB,
...AE■平分N8/。,.,./8/4=/IMK,
NBAE=/_AEB.BE—AB,
由(1)得:/尸=AS,:.BE=AF,
■:BEHAF,
:.四邊形石下就就是平行四邊形,
尸=48,...四邊形石尸就就是菱形、
12、已知C中,//=25°,/8=40°、
⑴求作。。使得。。經(jīng)過/、。兩點,且圓心。落在邊上(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不
必寫作法);
(2)求證就就是(1)中所作。。得切線、
4n
解⑴作出線段/C得垂直平分線進而得出4C得垂直平分線與線段得交點。,進而以/。
為半徑做圓即可、作圖如圖所示、
⑵證明:如圖,連接OC,
OA=OC,£A=25°,,/8。仁50
又?.?/8=40,二/8。。+/8=90°,
ZOCB=90°,OCLBC,
就就是。。得切線、
能力提升題組
13、(2016?陜西)如圖,在菱形中,60°,40=2,點P就就是這個菱形內(nèi)部或邊上得
一點,若以點RB、。為頂點得三角形就就是等腰三角形,則尸、D3。兩點不重合)兩點間
得最短距離為、
解析如圖,連接/。、即交于點。,以8為圓心8。為半徑畫圓交㈤于P,此時△2SC就就
是等腰三角形,線段PD最短,
1,四邊形48co就就是菱形,/48。=60°,
:.AB=BC=CD=AD,AABC=£ADC=6Q
:./XABQ^ADC就就是等邊三角形,
8。=。。=錯誤!X2=錯誤!,=BD=2BO=2錯誤!未定義書簽。,
,即最小值=8D-8R=2錯誤!未定義書簽。-2、
答案2\r(3)-2
14、(2015■江西)0。為△4BC得外接圓,請僅用無刻度得直尺,根據(jù)下列條件分別在圖1,圖2中畫
出一條弦,使這條弦將分成面積相等得兩部分(保留作圖痕跡,不寫作法)、
(1)如圖1
(2)如圖2,直線/與。。相切與點。,且/HBC.
p
解(1)如答圖1,連接CO并延長交OO于點。,交48于點£則弦CD即為所求、
XC=BC,:AC=BC=錯誤!未定義書簽。,,點。就就是AB得中點,
???由垂徑定理得/萬=笈瓦CE_L4B,
S&ACE=S&BCE,CD為所求作得弦、
答圖1
(2)如答圖2,連接PO并延長交。。于點。,交8。于點瓦連接并延長交。。于點尸,則
弦/尸即為所求、
/切。。于點石且///BC,
:.PDLBC,
-:由垂徑定理知,8E=CE;
S/XABE-S^ACE,-'-AF所求作得弦、
15、(2015?廣州)如圖,/C就就是。。得直徑,點8在。。上,//。8=30
(1)利用尺規(guī)作N/8C得平分線8n交4C于點右,交。。于點。,連接CD(保留作圖痕跡,不
寫作法);
(2)在(1)所作得圖形中,求△/8后與4CDE得面積之比、
解⑴作圖如圖所示:
(2)如答圖,連接OD,設(shè)。。得半徑為r,
■:£BAE=ACDE,AAEB=ADEC,
:.NABEs、DCE,
在RtZX/CS中,N/8C=90°,//CS=30°,
:.AB=錯誤!4C=r,
-:OD=OC,
:.AABD=/LACD=^°,
:.£DOC=^°,
在中,7。。2+。。2=錯誤!未定義書簽。4
,錯誤!=錯誤!未定義書簽。2=錯誤!未定義書簽。2=錯誤!未定義書簽八
16、(2015-隨州)如圖,射線切。。于點力,連接P。、
(1)在尸。得上方作射線?&使/。尸。=/。24(用尺規(guī)在原圖中作,保留痕跡,不寫作法),并證
明:。。就就是。。得切線;
(2)在(1)得條件下,若PC切。。于點8,AB=AP=^,求AB得長、
,二
'I
解⑴如圖所示,即為所求作得圖,
連接。過。作
PA切O。于點A,:.OALPA,
又OPC=AOPA,OBLPC,
:.OA=OB,即占r,二尸。就就是。。得切線、
(2)\-PA.PC就就是。。得切線,,PA=PB,
又就就是等邊三角形,
AAPB=6Q°,:.AAOB=\20°,^POA=60°,
4
在Rt△40。中,tan60°=錯誤!未定義書簽。=—=-\/3,
.104=錯誤!未定義書簽。,
二AB得長=\f(120兀X\f(4y,3),180)=錯誤!未定義書簽。小
17、(2016?咸寧)如圖1,在平面直角坐標系x
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