直線與圓的位置關(guān)系知識歸納與題型訓(xùn)練（6類題型清單）原卷版-2024-2025學(xué)年浙教版九年級數(shù)學(xué)下冊

直線與同的位置關(guān)系知識歸納與題型訓(xùn)練

（6類題型）

01思維導(dǎo)圖

直線與圓相離直線與圓沒有公共點）

K位置關(guān)系A(chǔ)-（直線與圓相切A~（直線與圓有唯一個公共點）

X直線與圓相交A~（直線與圓有2個公共點）

|~一（直線與圓的位置關(guān)系）

圓。的半徑為r,圓心C?l直線I的距離為d

K位置關(guān)系的定理dVro直線，與圓。相交；

d=ro直線Z與圓O相切；

d>ro直線/與圓。相離；

切線的判定］，一［煞整幽臉并且垂直這條半徑的直線是圓的切線

切線的判定與性質(zhì)

直線與圓的切線的性質(zhì)1經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線

位置關(guān)系

定義：從圓外一點作圓的切線，通常我們把圓外這一點到切點間的線段

的長叫做切線長

切線長定理

過圓外一點所作的圓的兩萩線長相等

內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形叫做圓

.的外切三角形

三角形的內(nèi)切圓

內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心

02知識速記

一、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的3種位置關(guān)系：

（1）直線與圓相交：當(dāng)直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交；

（2）直線與圓相切：當(dāng)直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，該公共點叫作切點;

（3）直線與圓相離：當(dāng)直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離；

（、/\\

?0II"）I?Q

直線/與圓。相交直線/與圓。相切直線,與圓〃相離

2、直線與圓的位置關(guān)系定理:

如果圓。的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d,那么:

直線/與圓。相交；

d=ro直線/與圓。相切；

d>r直線/與圓。相離；

3、直線與圓相切的判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線；

4、圓的切線的性質(zhì)：

經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線；

要點詮釋：

切線性質(zhì)的應(yīng)用口訣：有切點，連半徑，得垂直；

切線判定的應(yīng)用口訣：有切點，連半徑，證垂直；

無切點，做垂直，證半徑；

二、切線長定理

1、切線長：從圓外一點作圓的切線，通常我們把圓外這一點到切點間的線段的長叫做切

線長；

如圖，線段PA、PB的長是點P到圓0的切線長

2、切線長定理：過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等

如上圖，當(dāng)PA與PB與圓0相切時，PA=PB；

另有性質(zhì)：①0P垂直平分AB；②0P平分/AOB、ZAPB

三、三角形的內(nèi)切圓

1、內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形叫做圓的

外切三角形。

2、三角形的內(nèi)心：三角形的三條角平分線的交點；A

要點詮釋：

如圖，RtAABC中，圓0為其內(nèi)切圓，r為△ABC的內(nèi)切圓半徑；則有

\C

r=a+b—cb/—\

2/0\

?IX

I/\

____________________K\

03題型歸納ca1

題型一直線與圓的位置關(guān)系

例題：

1.（2023秋?東陽市期末）已知。。的半徑為5,點。到直線a的距離為4,則直線。與。。公共點的個數(shù)

為（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

2.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）已知。。的直徑為6c加，點。到直線/的距離為4"?,貝!）/與。。的位置關(guān)系

是（）

A.相離B.相切

C.相交D.相切或相交

3.（2024秋?沐陽縣校級月考）已知。。的半徑是一元二次方程/-2x-3=0的一個根，圓心。到直線/

的距離d=4,則直線/與的位置關(guān)系是.

鞏固訓(xùn)練

4.（2024?西湖區(qū)校級開學(xué)）如圖，在矩形N8CD中，BC=6,AB=3,是以8c為直徑的圓，則直線

AD與的位置關(guān)系是.

AD

BC

5.（2024?拱墅區(qū)一模）在直角坐標(biāo)系xQy中，對于直線/：y=kx+b,給出如下定義：若直線/與某個圓相

交，則兩個交點之間的距離稱為直線/關(guān)于該圓的“圓截距”.如圖，點〃的坐標(biāo)為（-1,0）,若O"

的半徑為2,當(dāng)人的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線/關(guān)于OM的“圓截距”的最小值為加，貝U6的

值為

6.（2023秋?江北區(qū)期末）如圖,在RtZUBC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,若0C與直線N8相交,

()

C.r>2.4D.2.4<r<4

題型二切線的性質(zhì)

例題：

1.（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。/與y軸相切于原點。，平行于x軸的直線交

于M、N兩點，若點〃的坐標(biāo)是（-8,-4）,則點N的坐標(biāo)為（）

A.（-5,-4）B.（-4,-4）C.（-3,-4）D.（-2,-4）

2.（2023秋?婺城區(qū)期末）如圖，△48C的邊與。。相切于點8,點C在上，邊NC經(jīng)過圓心

O.已知N/=36°,則NC的度數(shù)為（）

A.27°B.36°C.40°D.54°

3.（2024秋?婺城區(qū)校級期中）如圖，48是。。的直徑，PA,PC分別與。。相切于點C,PC交AB

的延長線于點D,DELPO交PO的延長線于點E.

（1）求證：/PDE=NPOA；

（2）若尸C=12,tan/4PC=-l,求DE的長.

鞏固訓(xùn)練

4.（2024?蓮都區(qū)二模）如圖，48是O。的直徑，C,。是。。上的兩點，過點C作O。的切線交48的延

長線于點￡,若/E=40°,則/。的度數(shù)為（）

5.（2024?鹿城區(qū)校級三模）如圖，。。經(jīng)過矩形4BCD的頂點/,B,且與邊CD相切于點E,與邊

交于點尸，若AF=9DF,則N8和8c的比值為（）

。?唔DY

6.（2023?衢州一模）如圖，點。在△/3C的邊NC上，。。經(jīng)過點C,且與相切于點8.若。C=l,

NC=3,則黃的長為（）

7.（2024?浙江模擬）如圖，N5是。。的直徑，3C切。。于點2,N/C2的平分線交N5于點尸，若/C=

5,BC=3,則。尸的長為,

8.（2024?定海區(qū)三模）如圖，尸為。O的直徑A4延長線上的一點，PC為。。的切線，切點為C,CDL

4B于D,連接NC.

（1）求證：/c平分/pen

（2）若尸N=3,AC=V3＞求。。的半徑.

題型三切線的判定

例題：

1.（2023?拱墅區(qū)二模）如圖，點8在。/上，點C在。/外，以下條件不能判定3c是。/切線的是（）

B.NB-

C.AB1+BC1=AC1

D.GM與NC的交點是/C中點

2.（2024?金華模擬）如圖，已知：以的直角邊為直徑作O。，與斜邊NC交于點。，E為BC

邊上的中點，連接DE.

（1）猜想DE是。。的切線嗎？并證明你的結(jié)論；

（2）若/C=40°,AD=6,求。。的半徑.（精確到0.01,sin40°心0.64,cos40°心0.77）

鞏固訓(xùn)練

3.（2023?龍游縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，半徑為2的OP的圓心P的坐標(biāo)為（-3,0）,

將OP沿x軸正方向以0.5個單位/秒的速度平移，使OP與了軸相切，則平移的時間為秒.

4.（2023?龍游縣校級一模）已知：如圖，△48C中，AB=AC,以N8為直徑的交8c于點尸，PDL

NC于點D

（1）求證：尸。是。。的切線；

（2）若/a8=120°,AB=6,求8c的值.

題型四切線的判定與性質(zhì)

例題：

1.(2024?嘉興一模)如圖，AB=6,以45為直徑作半圓，弦CD〃AB,將C。上方的圖形沿CD向下折

疊，使弧與直徑45恰好相切于點O,則圖中陰影部分的面積為.

」......、、

cj'產(chǎn)

AoB

2.(2023秋?柯橋區(qū)月考)如圖，AB=BC,以5c為直徑作。。NC交0。于點￡,過點￡作EGJ_/8于

點、F,交C8的延長線于點G.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)若GF=2正，GB=4,求。。的半徑.

鞏固訓(xùn)練

3.(2023秋?浙江期末)如圖，是。O的直徑，點C、。在上，且ND平分NC48.過點。作ZC

的垂線，與NC的延長線相交于E,與N2的延長線相交于點尸.

(1)求證：即與。。相切；

(2)若DF=2%，BF=2,求。。的半徑.

4.(2023?婺城區(qū)校級模擬)如圖，48為。。的直徑，點C是弧48的中點，點。在圓。上，點、E在AB

的延長線上，且EP=ED.

(1)求證：是。。的切線；

(2)連接3C,若tan/BCD=_LDE=6,求N8的長.

C

5.（2023秋?鄲州區(qū)期末）如圖，48為。。的直徑，點P為區(qū)4延長線上一點，以點P為圓心，尸。為半

徑畫弧，以點。為圓心，N8為半徑畫弧，兩弧相交于點C,連結(jié)OC交。。于點。，連結(jié)PZX（1）求

證：即與。。相切;

（2）若PD=4近，cos/POC」，求。。的半徑.

3

題型五切線長定理

例題：

1.（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，48、AC,3。是O。的切線，切點分別是P、C、D.若48=10,/C=6,

則BD的長是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2023秋?玉環(huán)市校級期中）如圖所示，過半徑為6c%的。。外一點尸引圓的切線尸/,PB,連接P。

交O。于尸，過尸作O。的切線，交P4,尸2分別于。，E,如果產(chǎn)。=10c加，ZAPB=40°,則△尸磯）

的周長=;的度數(shù).

BX

3.（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，PA,尸2分別切。。與點/,B,跖V切。。于點C,分別交PHPB

于點跖N,若PA=15cm,則△PAW的周長是（）

A.7.5cmB.10cmC.12.5cmD.15cm

鞏固訓(xùn)練

4.（2021?紹興模擬）如圖，在矩形48?！踔?，AB=3,BC=2,以為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點/作

半圓的切線/E,則sin/C3E=（）

。?唔

5.（2023秋?拱墅區(qū)校級月考）如圖，一圓內(nèi)切于四邊形48CD,且45=16c加，CD=10cmf則四邊形的

周長為.

A'B

題型六三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

例題：

1.（2024?拱墅區(qū)一模）如圖，在△Z2C中，AB+AC^^-BC,4D_LBC于D,。。為△4BC的內(nèi)切圓，設(shè)

3

O。的半徑為七AD的長為場,則旦的值為（）

h

A.3B.2C.AD..1

8732

2.（2024?西湖區(qū)校級開學(xué)）要在一個三角形鐵皮上截下一個面積最大的圓，此圓圓心應(yīng)在三角形（）

A.三邊高線的交點

B.三個角的平分線的交點

C.三邊垂直平分線的交點

D.三邊中線的交點

3.（2024?青田縣校級模擬）如圖，△A8C的內(nèi)切圓。。分別與BC,NC相切于點。，E,F,且AD=

3,BE=2,CF=4,則△4BC的周長為（）

A

A.18B.17C.16D.15

鞏固訓(xùn)練

4.（2024?浙江一模）如圖，四邊形/BCD為矩形，點E在邊CD上，DE=2CE,。。與四邊形4BED的

各邊都相切，。。的半徑為x,/XBCE的內(nèi)切圓半徑為乃則x：y的值為（)

A.2B.AC.3D.12

33

5.