圓的方程（原卷版）

專題35圓的方程

【考點預測】

知識點一：基本概念

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓.

知識點二：基本性質(zhì)、定理與公式

1.圓的四種方程

(1)圓的標準方程：+(y-〃)2=戶，圓心坐標為(〃，b),半徑為"r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標為[^，一^]，半徑

y]D2+E2-4F

r=-------------

2

(3)圓的直徑式方程：若A&,%),為)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

(%-%1)(%-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

(4)圓的參數(shù)方程：

①尤2+y=產(chǎn)(廠>0)的參數(shù)方程為尸=“os?%為參數(shù))；

[y=rsmO

2x=a+rco

②(尤一a)+(y-6)2=r\r>0)的參數(shù)方程為\^(e為參數(shù)).

[y=b+rsmu

注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為(a+rcos0,6+rsin。)(。為

參數(shù)，(°,6)為圓心，/?為半徑)，以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題,

然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.

2.點與圓的位置關(guān)系判斷

(1)點尸(%,%)與圓(x-a]+(y-b)2=r的位置關(guān)系：

?(x-a)2+(y-b)2>^o點P在圓外；

②(x-a)2+(y-6)2=/o點尸在圓上；

③0-“)2+(>_6)2</=點/>在圓內(nèi).

(2)點尸(%,%)與圓元2+/+m+與+尸=0的位置關(guān)系：

①x；+y；+Dx0+Ey0+F>0<^>點尸在圓外；

②x；+y；+Dx0+Ey0+F—00"點P在圓上；

③片+，；+Dx()+Ey。+F<0=點P在圓內(nèi).

【題型歸納目錄】

題型一：求圓多種方程的形式

題型二：直線系方程和圓系方程

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應用

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題

題型八：圓過定點問題

【典型例題】

題型一：求圓多種方程的形式

例1.已知。的圓心是坐標原點0,且被直線2x-y+5=o截得的弦長為4,則。的方程為()

A.x2+y2=4B.X2+/=8

C.x2+y2=SD.x2+y2=9

例2.過點(7,-2)且與直線2x-3y+6=0相切的半徑最小的圓方程是()

A.(x-5)2+(y+l)2=5B.(x-5)2+(y-l)2=13

C.(X-4)2+(J+4)2=13D.(尤-I?+(>+6)2=52

例3.若圓C與直線乙：x+y=0和4：x+y-8=0都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為()

A.%2+(>+4『=8B.x2+(y-4)2=8

2222

C.X+(J+4)=16D.%+(y-4)=16

例4.過點A(3,l)的圓C與直線x-y=0相切于點8(1,1),則圓C的方程為()

A.(x-2)2+y2=2B.(x-2)2+(y-l)2=1

C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+l)2=8

例5.已知直線/：2x-y+2=0與以點C(2,l)為圓心的圓相交于A,B兩點，且G4LCB,則圓C的方程為

()

A.(x-2)2+"1)2=25B.(尤-2)2+"1)2=20

C.(x-2)2+(y-l)2=10D.(X-2)2+(J；-1)2=5

例6.直線3+4=1與X軸，y軸分別交于點A,B,以線段為直徑的圓的方程為()

42

A.x2+y2-4x-2y=0B.x2+y2-Ax-2y-1=0

C.x2+y2-Ax-2y+1=0D.x2+y2-2x-4y=0

例7.過點A(L-1),且圓心在直線％+y-2=0上的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x-3)2+(y+l)2=4D.(x+l)2+(y+l)2=4

例8.過點P(4,2)作圓f+y2=4兩條切線，切點分別為A、B,O為坐標原點，貝UQ4B的外接圓方程是

()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(尤+2產(chǎn)+“+1)2=5D.(X+4)2+(J+2)2=20

例9.已知三個點A(0,0),8(2,0),C(4,2),貝rABC的外接圓的圓心坐標是.

例10.圓心在直線y=—2元上，并且經(jīng)過點4(2,-1),與直線尤+y=l相切的圓C的方程是.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(。，6)

和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半

徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

題型二：直線系方程和圓系方程

例11.過圓.一+/一2〉一4=0與f+y2-4x+2y=0的交點，且圓心在直線/：2x+4y-1=。上的圓的方程

是.

例12.已知圓C]:X。+—2x—3=0與圓C2:x?+y~—4x+2y+3=0相交于A、8兩點.

(1)求公共弦AB所在直線方程；

(2)求過兩圓交點A、B,且過原點的圓的方程.

例13.已知圓G:尤2+y2+6x-i6=0C：尤2+y2-4x-5=0.求證：對任意不等于T的實數(shù)4,方程

/+、2+6左一16+/1(/+/-4》—5)=。是通過兩個已知圓交點的圓的方程.

例14.已知圓G：x~+y~+4x—4y+4=0和圓C2：尤？+K+2x=0.

(1)求證：兩圓相交；

(2)求過點(-2,3),且過兩圓交點的圓的方程.

【方法技巧與總結(jié)】

求過兩直線交點(兩圓交點或直線與圓交點)的直線方程(圓系方程)一般不需求其交點，而是利用它

們的直線系方程(圓系方程).

(1)直線系方程：若直線4：4%+用丁+。1=0與直線/2：4尤+32〉+6=0相交于點「，則過點尸的直

線系方程為：4(Ax+Bj+G)+4(4尤+B2_y+G)=o(42+若片0)

簡記為：陽+儀=0("+若片0)

當4wo時，簡記為：/1+制2=o(不含4)

(2)圓系方程：若圓￡:尤2+尸+。儼+￡；＞+4=0與圓C2：f+y2+2x+E2y+1=0相交于A，B兩

2222

點，則過A,B兩點的圓系方程為：x+y+Dlx+Ely+Fl+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(A^-l)

簡記為：G+幾。2=0(彳彳-1)，不含C2

當;1=一1時，該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)/:(R-D?)x+(Ei-EJy+耳一B=0

注意:與圓C共根軸/的圓系C/C+刀=0

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

例15.已知點A(o,l),3(2,-1),動點p(x,y)滿足尸4依=1，則點尸的軌跡為.

例16.古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)依左＞0,左片1)的

點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系xOy中，4-4,0),8(2,0),點M滿

足1^|=2,則點M的軌跡方程為()

A.(x+4)2+y2=16B.(%-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=16

例17.若圓G：f+丁=1與圓Q：(＞4+6-4=1的公共弦A5的長為1,則下列結(jié)論正確的有

()

A.a2+b2=1

B.a2+b2=14

c.A5中點的軌跡方程為/+y2=]

4

9

D.AB中點的軌跡方程為爐+y;二

例18.己知圓0:/+丁=1,直線/：x+y_2=0,過/上的點尸作圓0的兩條切線，切點分別為則

弦AB中點M的軌跡方程為()

0

D.T+(>+￡|="任+>%

例19.已知A,2為圓C:d+y2-2x-4y+3=0上的兩個動點，P為弦A8的中點，若/ACB=90。，則點

產(chǎn)的軌跡方程為()

A.(尤-1)-+(y-2)2=zB.(x—I)"+(y—2)2=1

C.(尤+1)2+0+2)2=；D(x+l>+(y+2)2=]

例20.(多選題)已知aeR,過定點A的直線為4："+V=。與過定點3的直線4：尤-孫-。+1=。，兩條

動直線的交點為P,則()

A.定點4(0,1)

B.定點3(—1,—1)

C.點尸的軌跡方程為V+V+x+ynO

O.|巳4+2M的最大值為8

例21.(多選題)在平面直角坐標系內(nèi)，已知A(-l,。)，B(l,O),C是平面內(nèi)一動點，則下列條件中使得點

C的軌跡為圓的有()

A.|AC|=|BC|B.|AC|=2|BC|

c.ACBC^OD.ACBC=2

例22.在邊長為1的正方形ABC。中，邊AB、8C上分別有一個動點Q、R,且忸。|=|CR|.求直線AR與

。。的交點P的軌跡方程.

例23.已知圓C過點(2,-3),(0,-3),(0,-1).

(1)求圓C的標準方程；

(2)已知點尸是直線2x+y-l=0與直線x+2y+l=。的交點，過點尸作直線與圓C交于點A,B,求弦

A3的中點M的軌跡方程.

例24.已知圓6:/+'2-4工=0,平面上一動點尸滿足：92+「儲=6且/（-1，。），陽1,0）.

求動點P的軌跡方程；

例25.已知圓C:Y+y2=4,直線/滿足（從①/過點（4,2）,②/斜率為2,兩個條件中，任

選一個補充在上面問題中并作答），且與圓C交于A,8兩點，求A8中點M的軌跡方程.

例26.直線/：丫=笈（％-5）信中0）與圓0:尤2+3；2=16相交于4,B兩點，。為圓心，當左變化時，求弦

的中點M的軌跡方程.

例27.設(shè)不同的兩點A,8在橢圓C:/+2y2=3上運動，以線段為直徑的圓過坐標原點O,過。作

OMLAB,M為垂足.求點M的軌跡方程；

例28.在平面直角坐標系無Qy中，曲線y=x2-2x-3與兩坐標軸的交點都在圓C上.

（1）求圓C的方程；

（2）已知。為坐標原點，點A在圓C上運動，求線段的中點M的軌跡方程.

【方法技巧與總結(jié)】

要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或

轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

例29.若方程/+>2+彳0+2依+4y+5k+2=0表示圓，則上的取值范圍為.

例30.設(shè)甲：實數(shù)。<3；乙：方程/+/一尤+3>+。=0是圓，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例31.已知點A（1,2）在圓C：x2+y2+mx-2y+2=0^,則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.（—3,—2）（2,+oo）B.（-3,-2）u（3,+co）

C.（-2,+co）D.（-3,+oo）

例32.若方程/+;/+6》+機=0表示一個圓，則根的取值范圍是（）

A.(-oo,9)B.(-oo,-9)C.(9,+co)D.(-9,-H?)

例33.曲線C:x=J—y2+i6y_i5上存在兩點A,3到直線y=-；到距離等于到《0,；）的距離，則

|AF|+|BF|=（）

A.12B.13C.14D.15

例34.“根>6”是“方程爐+/-〃4+4y+m+7=0是圓的方程”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例35.已知點4（2,1）在圓C：尤2+,2-2x+叼+2=。的外部，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.(-3,-2)(2收)B.(-2,2)1_(3,+<?)

C.(-2,+co)D.(-3,+co)

例36.方程（3x—y+l）（y-Jl—犬）=0表不的曲線為（

A.兩條線段B.一條線段和一個圓

C.一條線段和半個圓D.一條射線和半個圓

例37.已知aGR,若方程序―+（0+2）丫2+4彳+8）+5a=0表示圓，則此圓的圓心坐標為（）

A.(-2,-4)

C.(-2,-4)或一「D.不確定

【方法技巧與總結(jié)】

方程無②+/+瓜+與+尸=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0,故在解決圓的一般式方程的有關(guān)

問題時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為一g）半徑一;"意一4/

題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷

例38.已知直線ox+6y+c=0過點M（cosa,sina）,則（）

A.a2+b2<1B.a2+b2>1

C.a1+1）1<c2D.a2+b2>c2

例39.已知點尸（5a+l,12a）在圓（尤-1『+丁=1的內(nèi)部，則（）

1

A.—1<a<1B.CL<----

13

1111

C.----<Q<一D.----<a<——

551313

【方法技巧與總結(jié)】

在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約

束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應用

例40.（多選題）關(guān)于曲線C：x2+/=2|x|+2|y|,下列說法正確的是（）

A.曲線C圍成圖形的面積為4%+8

B.曲線C所表示的圖形有且僅有2條對稱軸

C.曲線C所表示的圖形是中心對稱圖形

D.曲線C是以（1』）為圓心，2為半徑的圓

例41.直線y=x+6與曲線x=6丁有且僅有一個公共點.則6的取值范圍是

例42.若關(guān)于x的方程71二？=點+1有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)機的取值范圍是.

例43.已知函數(shù)/（町=而口齊+2的圖像上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線>=1的對稱點在丫=履+1

的圖像上，則實數(shù)上的取值范圍是.

例44.已知/（無）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點（2,0）對稱，當xe[0,2]時，/⑺=-J1-（x-1了,

若方程了（均-左（廠2）=0的所有根的和為6,則實數(shù)上的取值范圍是.

例45.廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平

面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域Y+y2V4.其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的

l,x>0

邊界為一個半圓.已知符號函數(shù)sgnQ）=<0,x=0,則當/+時，下列不等式能表示圖中陰影部分

—1,%<0

的是（）

A.%(%2+(y-sgn(x))2-l)<0B.y((x-sgn(y))2+v2-1)<0

C.x(x2+(y-sgn(x))2-l)>0D.y((x-sgn(y))2+y2-l)>0

例46.已知平面直角坐標系內(nèi)一動點P,滿足圓C:(x-4y+y2=i上存在一點。使得NCPQ=45。，則所

有滿足條件的點尸構(gòu)成圖形的面積為()

A.—B.%C.—D.2萬

42

【方法技巧與總結(jié)】

研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，尤其要注意需對

代數(shù)式進行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤.

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題

例47.若直線，=履與圓(尤+2『+y2=i的兩個交點關(guān)于直線2x+y+6=0對稱，則3匕的值分別是

()

A.-4B.--,4

22

C.y,—4Dg,4

例48.圓/+_/-2》+4>-4=0關(guān)于直線x+y-l=O對稱的圓的方程是()

A.(x-3)2+y2=16B.x2+(y-3)2=9

C.%2+(y-3)2=16D.U-3)2+y2=9

1?

例49.已知圓(x+l)2+(y+2y=4關(guān)于直線6+6y+l=0(o>0,6>0)對稱,則上+］的最小值為

ab

)

A.B.9C.4D.8

2

例50.設(shè)點A（-2,3）,3（0M）,若直線AB關(guān)于>對稱的直線與圓（x+3>+（y+2）2=l有公共點，則。的

取值范圍是.

例51.若圓/+/+瓜+引+尸=。關(guān)于直線4：了一〉+4=。和直線/2"+3，=。都對稱，則。+E的值為

【方法技巧與總結(jié)】

（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱

（2）圓關(guān)于點對稱：

①求己知圓關(guān)于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程

②兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點

（3）圓關(guān)于直線對稱：

①求己知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程

②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線

題型八：圓過定點問題

例52.點P（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點，。是坐標原點，則以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點

（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

例53.一動圓的圓心在拋物線V=16y上，且該動圓恒與直線'+4=0相切，則動圓必經(jīng)過的定點為

（）

A.（0,4）B.（4,0）C.（2,0）D.（0,2）

例54.已知直線/:（機2+m+1）尤+（3-2租）>一2m2-5=。，圓C:*+y2-2x=0,則直線/與圓C的位置關(guān)

系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

例55.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)/（x）=x?+2x+6（xeR）的圖象與兩坐標軸有三個不同的交

點.經(jīng)過這三個交點的圓記為C.

（/）求實數(shù)匕的取值范圍；

（〃）求圓C的一般方程；

（/〃）圓C是否經(jīng)過某個定點（其坐標與匕無關(guān)）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

例56.判別方程/+/+2丘+（4左+10）y+10左+20=0（左為參數(shù)，左彳一1）表示何種曲線?找出通過定點

的坐標.

【方法技巧與總結(jié)】

特殊值法

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習（文））已知圓（x+l）2+（y+2）2=4關(guān)于直線依+勿+2=0（a>0,b>0）對

稱，則上1+■2的最小值為（）

ab

AI9

Bn.—C.4D.8

2

2.（2022?全國?高三專題練習）己知P是半圓C：或丫-:/=f上的點,Q是直線x-y-1=。上的一

點，則|PQ|的最小值為（）

c.也-1

A.還B.72-1D.顯

222

3.（2022?北京市第十二中學三模）已知直線/過圓苫2-2尤+丁=0的圓心，且與直線2x+y—3=0垂直,

則I的方程為（）

A.x~2y+l=QB.x+2y~l=Q

C.2x+y~2=0D.x—2y—l=0

4.（2022?河南?寶豐縣第一高級中學模擬預測（理））已知p：t>\,q：關(guān)于x,y的方程

f+y2—6比+89+25=0表示圓，則夕是4的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2022?全國-高三專題練習）己知4（2,0）1（3,3）,。（-1,1）,則ABC的外接圓的一般方程為（）

A.+)2-2%+4y=0B.f+y2-2%+4》+2=0

C.x2+y2-2x-4y=0D.x2+y2-2x-Ay+1=0

6.（2022?全國?高三專題練習）已知集合人=，羽,則集合A中元素的個數(shù)為

)

A.3B.4

C.5D.6

7.（2022?全國?高三專題練習）已知V是圓C：x2+y2=1上一個動點，且直線4：mx-y-3m+l=0（mGR）

與直線，2：%+色-3mT=0OeR）相交于點尸，則1PMi的取值范圍是（）

A.[^-1,2A/3+1]B.[72-1,372+1]

C.[V2-1,2A/2+1]D.[72-1,373+1]

8.（2022?全國?高三專題練習）已知直線x-y+m=0與圓C：/+;/+-=0相交于A,8兩點，若

CACB=0，貝1P"的值為（）

A.Y或0B.T或4C.0或4D.-4或2

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習）已知定點4（-10）、3（1,0）,P是動點且直線B1、尸8的斜率之積為

4（2H0）,則動點尸的軌跡可能是（）

A.圓的一部分2.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

10.（2022?全國?高三專題練習）已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的是

)

A.圓M的圓心為（4,3）B.圓M的半徑為5

C.圓Af被x軸截得的弦長為6D.圓M被y軸截得的弦長為6

11.（2022?全國?高三專題練習）已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點（1,0）且被X軸分成兩段，弧長比為

1:2,則圓C的方程為（）

44

33

L4

C.(X-A/3)2+/D.(尤++>2=§

12.（2022?全國?高三專題練習）已知圓C被x軸分成兩部分的弧長之比為1:2,且被〉軸截得的弦長為

4,當圓心C到直線工+行〉=0的距離最小時，圓C的方程為（）

A.（x+4p+（y-扃=20B.（x-盯+（y+扃=20

C.（尤+4y+（y+南=20D.（X-4）2+（J-V5）2=20

三、填空題

13.（2022?全國?高三專題練習（文））圓心為C（-l,2）,且截直線x+3y+5=0所得弦長為2指的圓的方

程為.

14.（2022?全國?高三專題練習（文））已知圓C的圓心為C（1,1）,且經(jīng)過直線尤+>=4上的點P,則

周長最小的圓C的方程是.